当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 高中数学竞赛专题练习——排列组合

高中数学竞赛专题练习——排列组合


高中数学竞赛专题讲座之

排列组合 二项式定理和概率

一. 排列组合二项式定理
1 (2005 年浙江)设 ?1 ? x ? x (A) 3
n
2 n

?

? a 0 ? a1 x ? ? ? a 2 n x

2n

a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n 的值 求 (
3 ?1
n



(B) 3 ? 2
n

(C)

3 ?1
n

(D)

2

2

【解】 令 x ? 0 得 a 0 ? 1 ;1) : ( (2)

令 x ? ?1 得 a 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2 n ? 1 ;

令 x ? 1 得 a 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2 n ? 3 ;
n

(3)
3 ?1
n

n (2) (3) 2 ( a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n ) ? 3 ? 1 , a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n ? + 得 故



2

再由(1)得 a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n ?

3 ?1
n



?选 【 C 】

2

2、 (2004 全国)设三位数 n ? a b c ,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等 边) 三角形, 则这样的三位数 n 有 A. 45 个 B. 81 个 ( C. 165 个 D. 216 个 )

解:a,b,c 要能构成三角形的边长,显然均不为 0。即 a , b , c ? {1, 2, ..., 9} (1)若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为 n1 ,由于三位数中三个数码都相同,所 以, n1 ? C 9 ? 9 。
1

(2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为 n 2 ,由于三位数中只有 2 个 不同数码。设为 a、b,注意到三角形腰与底可以置换,所以可取的数码组(a,b)共有 2 C 9 。 但当大数为底时,设 a>b,必须满足 b ? a ? 2 b 。此时,不能构成三角形的数码是 a b 9 4,3 2,1 8 4,3 2,1 7 3,2 1 6 3,2 1 5 1,2 4 1,2 3 1 2 1
2

2

1

共 20 种情况。
2 2

同时,每个数码组(a,b)中的二个数码填上三个数位,有 C 3 种情况。
2

故 n 2 ? C 3 ( 2 C 9 ? 2 0 ) ? 6 ( C 9 ? 1 0 ) ? 1 5 6 。 综上, n ? n1 ? n 2 ? 1 6 5 。 3. (2005 四川)设 A ? {1, 2 , ? ,10 } ,若“方程 x ? bx ? c ? 0 满足 b , c ? A ,且方程至少
2

有一根 a ? A ” ,就称该方程为“漂亮方程” 。则“漂亮方程”的个数为 (A)8 (B)10 (C)12 (D)14 解: ,由题可知,方程的两根均为整数且两根一正一负,当有一根为 ? 1 时,有 9 个满足题意 的“漂亮方程” ,当一根为 ? 2 时,有 3 个满足题意的“漂亮方程” 。共有 12 个,故选 C。 4. (2005 四川)设 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 是 1, 2 , 3 , 4 的任一排列, f 是 {1, 2 , 3 , 4 } 到 {1, 2 , 3 , 4 } 的映射, 且满足 f ( i ) ? i ,记数表 ?
?a1 ? f (a1 ) a2 f(a
2

a3 )

? ? 。若数表 M , N 的对应位置上至少 f (a 3 ) f (a 4 )? a4

有一个不同, 就说 M , N 是两张不同的数表。 则满足条件的不同的数表的张数为 (A)144 (B)192 (C)216 (D)576





解:对于 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 的一个排列,可以 9 个映射满足 f ( i ) ? i ,而 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 共有
A 4 ? 24 个排列,所以满足条件的数表共有 24 ? 9 ? 216 张,故选 C。
4

5.(2005 江西)连结正五边形 A1 A 2 A3 A 4 A5 的对角线交另一个正五边形 B1 B 2 B 3 B 4 B 5 ,两次连 结正五边形 B1 B 2 B 3 B 4 B 5 的对角线,又交出一个正五边形 C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 (如图) ,以图中线段 为边的三角形中,共有等腰三角形的个数为 ( ) (A)50 (B)75 (C)85 (D)100 解:对于其中任一点 P,以 P 为“顶” (两腰的公共点)的等腰三角形的个数记为[P]则
[ A1 ] ? 6, ( ? A1 A 2 A5 , ? A1 B 3 B 4 , ? A1 B 2 B 5 , ? A1 A3 A 4 , ? A1 A2 B 5 , ? A1 A5 B 2 ) . [ B1 ] ? 9, [ C 1 ] ? 2, ( ? B 1 A 3 A 4 , ? B 1 B 2 B 5 , ? B 1 B 3 B 4 , ? B 1 C 3 C 4 , ? B 1 B 2 C 5 , ? B 1 C 2 B 5 , ? B 1 A 2 A5 , ? B 1 A3 B 4 , ? B 1 A 4 B 3 ) ( ? C 1 B 3 B 4 , ? C 1 B 2 B 5 ) , 由于图中没有等边三角形, 则每个等腰三角形恰有一个 [ B i ] ? 9, [ C i ] ? 2, i ? 1, 2, 3, 4, 5 .因此等腰三角形共有

“顶” 。据对称性可知 [ Ai ] ? 6,
5 ? (6 ? 9 ? 2 ) ? 8 5 个.

6. (2005 全国)将关于 x 的多项式 f ( x ) ? 1 ? x ? x ? x ? ? ? x
2 3

19

? x

20

表为关于 y 的多
y ? x ? 4.





g ( y) ?

a 0 ? a1 y ? a 2 y

2

? ? ? a 19 y

19

? a 20 y

20

,







a 0 ? a 1 ? ? ? a 20 ?

5

21

?1

.

6

解:由题设知, f ( x ) 和式中的各项构成首项为 1,公比为 ? x 的等比数列,由等比数
(? x)
21

列的求和公式,得: f ( x ) ?

?1

? x ?1

?

x

21

?1

x ?1

. 令 x ? y ? 4, 得 g ( y ) ?

( y ? 4)

21

?1

y ?5

,取

y ? 1,
21

有 a 0 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a 20 ? g (1) ?

5

?1

.

6

7.如果自然数 a 的各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从 小到大排成一列 a 1 , a 2 , a 3 , ? , 若 a n ? 2005 , 则 a 5 n ? 5200. 解 : ∵ 方 程 x 1 ? x 2 ? ? ? x k ? m 的 非 负 整 数 解 的 个 数 为 C m ? k ?1 . 而 使
m

x 1 ? 1, x i ? 0 ( i ? 2 ) 的整数解个数为 C m ? k ? 2 .现取 m ? 7 ,可知, k 位“吉祥数”的个数为

m ?1

P (k ) ? C k ?5 .
6

∵2005 是形如 2 abc 的数中最小的一个“吉祥数” ,且 P (1) ? C 6 ? 1, P ( 2 ) ? C 7 ? 7 ,
6 6

P ( 3 ) ? C 8 ? 28 , 对于四位 1 “吉祥数” abc , 其个数为满足 a ? b ? c ? 6 的非负整数解个数,
6

即 C 6 ? 3 ? 1 ? 28 个。
6

∵2005 是第 1+7+28+28+1=65 个“吉祥数” ,即 a 65 ? 2005 . 从而 n ? 65 , 5 n ? 325 . 又 P ( 4 ) ? C 9 ? 84 , P ( 5 ) ? C 10 ? 210 , 而 ? P ( k ) ? 330 .
6 6
k ?1 5

∴从大到小最后六个五位 “吉祥数” 依次是: 70000, 61000,60100,60010,60001,52000. ∴第 325 个“吉祥数”是 52000,即 a 5 n ? 52000 . 8. (2004 四川)某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号,则在这 90000 个牌照中数字 9 至少出现一个,并且各数字之和是 9 的倍数的车牌照共有 4168 个.

二、概率部分
1. (2006 吉林预赛)在 6 个产品中有 4 个正品,2 个次品,现每次取出 1 个作检查(检 查完后不再放回) ,直到两个次品都找到为止,则经过 4 次检查恰好将 2 个次品全部都找到 的概率是 ( D ) A. 1/15 B. 2/15 C. 1/5 D. 4/15 2. (2006 年南昌市)甲、乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者 获冠军),对于每局比赛,甲获胜的概率为 概率为____
17 81 2 3

,乙获胜的概率为

1 3

,则爆出冷门(乙获冠军)的

______.

3. (2006 年浙江省预赛)在 1, 2 , ? , 2006 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概 率是 。

解: 三个数成递增等差数列, 设为 a , a ? d , a ? 2 d , 按题意必须满足 a ? 2 d ? 2006 ,
d ? 1002 。 对于给定的 d,a 可以取 1,2,??,2006-2d。
1002

故三数成递增等差数列的个

数 为

? ( 2006
d ?1

? 2 d ) ? 1003 * 1002 .

三 数 成 递 增 等 差 数 列 的 概 率 为

1003 ? 1002 C 2006
3

?

3 4010



4. (2006 吉林预赛)骰子是一个质量均匀的正方体,6 个面上分别刻有 1、2、3、4、 5、6 点。现在桌面上有 3 只骰子分别为木制、骨制、塑料制的。重复下面操作,直到桌子 上没有骰子:将桌上的骰子全部掷出,然后去掉那些奇数点的骰子。求完成以上操作的次数 多于三次的概率。.(169/512) 5. (2004 湖南)如果一元二次方程 x ? 2 ( a ? 3 ) x ? b ? 9 ? 0 中,a、b 分别是投掷骰
2 2

子所得的数字,则该二次方程有两个正根的概率 P= ( A.
1 18

) D.
13 18

B.

1 9

C.

1 6

6. (2005 江西)从 3 名男生和 n 名女生中,任选 3 人参加比赛,已知 3 人中至少有 1 名 女生的概率为
34 35

,则 n=_____.

7. (2005 江西)有 10 名乒乓球选手进行单循环赛,比赛结果显示,没有和局,且任意 5 人中既有 1 人胜其余 4 人,又有 1 人负其余 4 人,则恰好胜了两场的人数为____________ 个. 8.将编号为 1,2,?,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各 有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放法 的概率.(注:如果某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的 放法) 解:九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九个不同元素 在圆周上的一个圆形排列,故共有 8!种放法,考虑到翻转因素,则本质不同的放法有
8! 2

种. ?5 分

下求使 S 达到最小值的放法数:在圆周上,从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径,对其中任一条 路径,设 x 1 , x 2 , ? , x k 是依次排列于这段弧上的小球号码,则
| 1 ? x 1 | ? | x 1 ? x 2 | ? ? ? || x k ? 9 |? | (1 ? x 1 ) ? ( x 1 ? x 2 ) ? ? ? ( x k ? 9 ) | ? | 1 ? 9 |? 8 .

上式取等号当且仅当 1 ? x 1 ? x 2 ? ? ? x k ? 9 ,即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递 增排列. 因此 S 最小 ? 2 ? 8 ? 16 .?????????????????????????10 分 由上知,当每个弧段上的球号 {1, x 1 , x 2 , ? x k , 9 } 确定之后,达到最小值的排序方案便唯 一确定. 在 1,2,?,9 中,除 1 与 9 外,剩下 7 个球号 2,3,?,8,将它们分为两个子集,元

素较少的一个子集共有 C 7 ? C 7 ? C 7 ? C 7 ? 2 种情况,每种情况对应着圆周上使 S 值达
0 1 2 3 6

6 到最小的唯一排法,即有利事件总数是 2 种,故所求概率 P ?

2

6

8! 2

?

1 315

. ?????20 分

8、 (2004 全国)一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大于 2 ,则算过关。问: (Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关?
n

(Ⅱ)他连过前三关的概率是多少?(注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后,向上一面的点数为出现点数。 ) 解:由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。 (Ⅰ)因骰子出现的点数最大为 6,而 6 ? 4 ? 2 , 6 ? 5 ? 2 ,因此,当 n ? 5 时,n 次出现
4 5

的点数之和大于 2 已不可能。即这是一个不可能事件,过关的概率为 0。所以最多只能连 过 4 关。 .......5 分 (Ⅱ)设事件 A n 为“第 n 关过关失败” ,则对立事件 A n 为“第 n 关过关成功” 。 第 n 关游戏中,基本事件总数为 6 个。 第 1 关:事件 A1 所含基本事件数为 2(即出现点数为 1 和 2 这两种情况) ,
? 过此关的概率为: P ( A1 ) ? 1 ? P ( A1 ) ? 1 ?
n

n

2 6

?

2 3



第 2 关:事件 A 2 所含基本事件数为方程 x ? y ? a 当 a 分别取 2,3,4 时的正整数解组数之 和。即有 C 1 ? C 2 ? C 3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 (个) 。
1 1 1

? 过此关的概率为: P ( A 2 ) ? 1 ? P ( A 2 ) ? 1 ?

6 6
2

?

5 6



........10

分 第 3 关:事件 A 3 所含基本事件为方程 x ? y ? z ? a 当 a 分别取 3,4,5,6,7,8 时的正整 数解组数之和。即有 C 2 ? C 3 ? C 4 ? C 5 ? C 6 ? C 7 ? 1 ? 3 ? 6 ? 1 0 ? 1 5 ? 2 1 ? 5 6 (个) 。
2 2 2 2 2 2

? 过此关的概率为: P ( A 3 ) ? 1 ? P ( A 3 ) ? 1 ?

56 6
3

?

20 27 2 3



.........15

分 故连过前三关的概率为: P ( A1 ) ? P ( A 2 ) ? P ( A 3 ) ?
? 5 6 ? 20 27 ? 100 243



........20

分 (说明:第 2,3 关的基本事件数也可以列举出来)

10、 (2006 年浙江省预赛)六个面分别写上 1,2,3,4,5,6 的正方体叫做骰子。问 1) 共有多少种不同的骰子; 2) 骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差,变差的总和叫 做全变差 V。在所有的骰子中,求 V 的最大值和最小值。 解:1)设台子上有一个与骰子的侧面全等的正方形。我们把一个骰子放到该正方形上的放 法共 6×4 种。所以不同的骰子共有
6! 6*4 ? 30 种。

??????? (5 分)

2) 由 1-6 的六个数字所能产生的变差共有 15 个,其总和为 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)=35 (10 分) 与之相比,每个骰子的全变差中,所缺的是三个相对面上数字之间的变差,记其总和为 v, 则 vmax=(6+5+4)- (1+2+3) =9 , vmin= 1+1+1 = 3 ??????? (15 分) 因此 Vmax=35-vmin=32 Vmin=35-vmax=26. ??????? (20 分)


更多相关文档:

高中数学竞赛专题练习——排列组合

高中数学竞赛专题讲座之 排列组合 二项式定理和概率 一. 排列组合二项式定理 1 (2005 年浙江)设 ?1 ? x ? x (A) 3 n 2 n ? ? a 0 ? a1 x ? ?...

高中数学专项排列组合题库(带答案)

高中数学专项排列组合题库(带答案)_数学_高中教育_...(北京市崇文区 2008 年高三统一练习一)某班学生...某校 举行奥运知识竞赛,有 6 支代表队参赛,每队 ...

数学竞赛练习--排列组合

高2011 级数学竞赛排列组合练习题一、填空题 1、6 种不同颜色的珠子各取一个,做成一个手链,可以做成___种不同的手链。120 2、 4 个相同的红球, 个相同的...

高中数学竞赛讲义(十三)──排列组合与概率

高中数学竞赛讲义(十三) ──排列组合与概率 一、基础知识 1.加法原理:做一件...(粮食单产= ) 五、联赛一试水平训练题 1.若 0<a<b<c<d<500,有___个...

排列组合经典练习答案

排列组合经典练习答案_数学_高中教育_教育专区。排列与组合习题 1.6 个人分乘两...[解析] 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能...

排列组合经典练习答案

排列组合经典练习答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 排列组合经典练习答案_数学_高中教育_教育专区。排列组合题训练 1.6 个人分乘...

数学竞赛单元训练题(高中)排列组合

数学竞赛单元训练题(高中)排列组合_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 数学竞赛单元训练题(高中)排列组合_高三数学_数学_高中...

高中数学竞赛_排列组合与概率【讲义】

高中数学竞赛_排列组合与概率【讲义】_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛...高中数学竞赛讲义(13)排... 54人阅读 18页 免费 数学竞赛单元训练题(高中.....

排列组合经典练习答案

排列组合经典练习答案_数学_高中教育_教育专区。高三数学排列组合复习练习题 1.6...2A 6 45.从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中...

排列组合练习题及答案

排列组合练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。《排列组合》一、排列与组合 1.从 9 人中选派 2 人参加某一活动,有多少种不同选法? 2.从 9 人中选派 2 ...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com