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空间向量算角距离


空间向量算角距离 空间直角坐标系中的坐标:
如图给定空间直角坐标系 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一 的有序实数组 ( x, y, z ) 叫 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的 坐标, 记作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标 (1) 夹角公式: cos a ? b ?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? 2 | a |?| b | a1 ? a2 2 ? a32 b12 ? b2 2 ? b32

(2) 求解空间中的距离, 点到平面的距离 A 为平面α 外一点(如图), n 为平面α 的法向量,过 A 作平面α 的斜线 AB 及垂线 AH.

| AH |?| AB | ? sin ? ?| AB | ? | cos ? AB, n ?|
= | AB | ?

| AB ? n | | AB | ? | n |

A n
?

= | AB ? n |

|n|

B

H

(3) 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图 2,设 a=( x1,y1,z1)、 b=(x2,y2,z2) 是平面α 内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若 n⊥a 且 n⊥b,则 n ⊥α .换句话说,若 n·a = 0 且 n·b = 0,则 n⊥ α

求平面的法向量的坐标的步骤: 第一步(设):设出平面法向量的坐标为 n=(x,y,z). 1 1 1 第二步(列):根据 n·a = 0 且 n·b = 0 可列出方程组 第三步(解):把 z=1,用 z 表示 x、y. 2 2 2 第四步(取):取 z 为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量 n 的坐标.

?x x? y y?z z ?0 ? ?x x ? y y ? z z ? 0

A

(4)运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为 n =(x, y, 1),则直线 AB 和
α

n

?

平面α所成的角θ的正弦值为, sinθ= cos(

? -θ) = |cos< AB , n >| = 2

AB ? n AB ? n

(4)用向量证明线面平行:证明直线所在的向量与平面的法向量垂直即可 A

n (5)用空间向量证明线线垂直,线面垂 直 线线垂直:即证明线所在的向量 a ? b ? 0 线面垂直: 即证明线所在的向量和面内两条相交直线所在的向量垂直, 或者证明线所在的向 量和面的法向量平行。
? ?

α

(6)用向量求二面角:

n2
b a
? ?

?

n1

?

两个平面的法向量 n1 与 n2 所成的角与二面角的平面角互补或相等 1. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA ? 底面

ABCD , AB ? 3 ,BC ? 1 ,PA ? 2 , E 为 PD 的中点.求直线 AC
与 PB 所成角的余弦值;

PV
D A B C
解: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,

则 A, B, C, D, P, E 的坐标为 A(0, 0, 0) 、

B( 3,0,0) 、 C( 3,1,0) 、 D(0,1, 0) 、

1 P(0, 0, 2) 、 E (0, ,1) , 2
从而 AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0,?2). 设 AC与PB 的夹角为 ? ,则

cos ? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 . 14

PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 4 , 2. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, AB ? 2 .以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 P M. (1)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角; (2)求点 O 到平面 ABM 的距离. M 解: (1)如图所示,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0) , P(0,0, 4) ,

B(2,0,0) , C (2,4,0) , D(0,4,0) , M (0,2,2) ,
设平面 ABM 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,由 n ? AB, n ? AM 可得:
A D

? 2x ? 0 ,令 z ? ?1 ,则 y ? 1 ,即 n ? (0,1, ?1) .设所求角为 ? , ? ?2 y ? 2 z ? 0
2 2 ? 则 sin ? ? , 3 PC n
所求角的大小为 arcsin

O B
z P M

PC ? n

C

2 2 . 3
得 :) ( 1, ,2 ,0
A

( 2 ) 设 所 求 距 离 为 h , 由 O( 1 , 2 , 0 A)O ,?

N

D

y

h?

A O? n ? 2 n

O B x C

3. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD,AD=PD,E,F 分 别 CD、PB 的中点。 (Ⅰ)求证:EF ? 平面 PAB; (Ⅱ)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成角的大小。 以 D 为坐标原点,DA 的长为单位,建立如图所示的直 角坐标系,

? 1 1? (1)证明:设 E ? a,0,0 ? ,其中 a ? 0 ,则 C ? 2a,0,0? , A ? 0,1,0 ? , B ? 2a,1,0 ? , P ?0,0,1? , F ? a, , ? , ? 2 2? ? 1 1? EF ? ? 0, , ? , PB ? ? 2a,1, ?1? , AB ? ? 2a,0,0? , EF ? PB ? 0,? EF ? PB , ? 2 2?
AB ? EF ? 0,? AB ? EF
王新敞
奎屯 新疆

z
AB ? B ,

又 PB ? 平面PAB, AB ? 平面PAB, PB
? EF ?? 平面PAB
王新敞
奎屯 新疆

P

(2)解:由 AB ? 2BC, 得 a ? 可得 AC ?

2 , 2

x C
B

F E y
A

D

?

2, ?1,0 , PB ?
AC ? PB AC ? PB ?

?

?

2,1, ?1

?

cos? AC, PB? ?

3 , 6
3 , 6

则异面直线 AC,PB 所成的角为 arccos

? 2 1 1? AF ? ? ? 2 ,? 2 , 2 ? ? ,? AF ? PB ? 0, AF ? PB , ? ?

又 PB ? EF ,AF 为平面 AEF 内两条相交直线,
? PB ? 平面AEF ,

? AC 与平面 AEF 所成的角为

?
2

? arccos
3 6

3? 3? ? arcsin ? ?, ? 6 ? 6 ? ?

即 AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin

王新敞
奎屯

新疆

4. 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 90 , PA ? 底面
?

ABCD ,且 PA ? AD ? DC ?

1 , AB ? 1 , M 是 PB 的中点,求 AC 与 PB 所成的角. 2

证明:以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为

1 A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), C (1,1, 0), D(1, 0, 0), P(0, 0,1), M (0,1, ) . 2
解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ?? AC ? PB | AC | ? | PB | ? 10 . 5

5. 如右下图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1. 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值. 解:设 EC1 与 FD1 所成角为β,则

cos ? ?

EC1 ? FD1

| EC1 |? | FD1 |

?

1? (?4) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2

12 ? 32 ? 22 ? (?4) 2 ? 22 ? 22

?

21 14

6. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 B1C1、C1D1 的中点,求 A1 到面 BDFE 的距离。 解:如图,建立坐标系 D-ACD1,则 B(1,1,0) ,A1(1,0,1) ,E( ∴ BD ? (?1, ?1,0)

1 ,1,1) 2
D1 A1
F

1 BE ? (? , 0,1) 2

A1B ? (0,1, ?1)

C1
E

设面 BDFE 的法向量为 n ? ( x, y,1) ,则

B1

?( x, y,1) ? (?1, ?1, 0) ? 0 ?? x ? y ? 0 ?n ? BD ? ?x ? 2 ? ? ?? ?? 1 ?? ? 1 ( x, y,1) ? (? , 0,1) ? 0 ? x ? 1 ? 0 ? y ? ?2 ? ? ? ?n ? BE ? 2 ? 2
∴ n ? (2, ?2,1) ∴ A1 到面 BDFE 的距离为 d =
A

D

C

B

| A1B ? n | ? 0,1, ?1? ? ? 2, ?2,1? | ?3 | ? ? ?1 2 2 3 |n| 2 ? ? ?2 ? ? 1

7. 直三棱柱 ABC- A1B1C1 的侧棱 AA1= 3 ,底面△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=1,求直线 A1B1 与平面 A1BC 所成角。 解:建系设点同上(略) 设平面 A1BC 的法向量为 n=( x0,y0,z0) 由于 x0,y0,z0 不全为零,不妨设 z0≠0,x 则由 n⊥平面 A1BC 得 n⊥ A1 B 且 n⊥ A1C ∴n· A1 B =0 且 n· A1C =0 ∴ - x0+y0- 3 z0=0 x0=- 3 z0 A A1 H B1 C z C1

B
y

- x0- 3 z0=0

?

y0=0

∴法向量 n=(- 3 z0,0,z0) ∵ A1 B1 =(-1,1,0) n·A1B1 ∴|cos< A1 B1 ,n>|=| | |n|·| A1B1| =| 3 z0 4 z0 · 2
2

|=

6 4

由于线线所成角不大于 90°, ∴直线 A1B1 与法向量所在直线所成角为 arccos π 6 ∴A1B1 与平面 A1BC 所成角为 - arccos 2 4 6 4

8.

9. 直三棱柱 ABC- A1B1C1 的侧棱 AA1= 3 , 底面△ABC 中, ∠C=90°, AC=BC=1, 求二面角 A-A1B-C 的大小 1 1 1 1 E( , ,0)C(0,0,0)∴ EC =(- ,- ,0) 2 2 2 2 又过 B1 作 B1H⊥平面 A1BC,则向量 B1 H B1H 为平面 A1BC A1 H C1 B1

3 3 的法向量,由前面的方法可求得 B1 H =( ,0,4 4 EC·B1H = |EC|·|B1H| 2 2 6 4 ) 3 8 12 4 6 4

)x A

B

C

y

∴cos< EC , B1 H >=

=-

·

∴< EC , B1 H >=arccos(-

由于 EC , B1 H 同时指向二面角内部 ∴二面角的大小为π -arccos(6 4 )=arccos ( 6 4 )

10. 四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形, 其对角线 AC=2, BD= 2 , AE、 CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2. (I)求二面角 B-AF-D 的大小;

(向量法)以 A 为坐标原点, BD 、 AC 、 AE 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立 空间直角坐标系(如图)

? ? n1 ? AB ? 0 ?? 2 x ? y ? 0 ? 设平面 ABF 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ,则由 ? 得? 2 n ? AF ? 0 ? ?2 y ? 2 z ? 0 ? 1 ?
令 z ? 1 ,得 ?

? ?x ? ? 2 , n1 ? (? 2, ?1,1) ? ? y ? ?1

同理,可求得平面 ADF 的法向量 n2 ? ( 2, ?1,1) 。 由 n1 ? n2 ? 0 知,平面 ABF 与平面 ADF 垂直,二面角 B-AF-D 的大小等于

? 。 2

空间向量算角距离 空间直角坐标系中的坐标:
如图给定空间直角坐标系 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一 的有序实数组 ( x, y, z ) 叫 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的 坐标, 记作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标 (1) 夹角公式: cos a ? b ?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? 2 | a |?| b | a1 ? a2 2 ? a32 b12 ? b2 2 ? b32

1. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 ,

BC ? 1 , PA ? 2 ,

E 为 PD 的中点.求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值;

P

V D C B

A

2. 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC ,

1 ?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? AD ? DC ? , AB ? 1 , 2 M 是 PB 的中点,求 AC 与 PB 所成的角.

3. 如右下图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1. 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值.

4.

空间向量算角距离
(1) 求解空间中的距离, 点到平面的距离 A 为平面α 外一点(如图), n 为平面α 的法向量,过 A 作平面α 的斜线 AB 及垂线 AH.

| AH |?| AB | ? sin ? ?| AB | ? | cos ? AB, n ?|
= | AB | ?

| AB ? n | | AB | ? | n |

A n
?

= | AB ? n |

|n|

B

H

(2)在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图 2,设 a=( x1,y1,z1)、 b=(x2,y2,z2) 是平面α 内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若 n⊥a 且 n⊥b,则 n ⊥α .换句话说,若 n·a = 0 且 n·b = 0,则 n⊥ α

求平面的法向量的坐标的步骤: 第一步(设):设出平面法向量的坐标为 n=(x,y,z). 1 1 1 第二步(列):根据 n·a = 0 且 n·b = 0 可列出方程组 第三步(解):把 z=1,用 z 表示 x、y. 2 2 2 第四步(取):取 z 为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量 n 的坐标.

?x x? y y?z z ?0 ? ?x x ? y y ? z z ? 0

A

(3)运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为 n =(x, y, 1),则直线 AB 和

n

?
平面α所成的角θ的正弦值为, sinθ= cos(
α

? -θ) = |cos< AB , n >| = 2

AB ? n AB ? n

(4)用向量证明线面平行:证明直线所在的向量与平面的法向量垂直即可 A

n (5)用空间向量证明线线垂直,线面垂 α

直 线线垂直:即证明线所在的向量 a ? b ? 0 线面垂直: 即证明线所在的向量和面内两条相交直线所在的向量垂直, 或者证明线所在的向 量和面的法向量平行。 (6)用向量求二面角:
? ?

n2
b a
? ?

?

n1

?

两个平面的法向量 n1 与 n2 所成的角与二面角的平面角互补或相等 1. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D中 , 底 面 ABCD 是 矩 形 , PA ? 平 面 A B C D, PA ? AD ? 4 , AB ? 2 .以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直 P 径的球面交 PD 于点 M . (1)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角; (2)求点 O 到平面 ABM 的距离. M

A

D

O B C

2. 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,PD ? 底面 ABCD, AD=PD,E,F 分别 CD、PB 的中点。 (Ⅰ)求证:EF ? 平面 PAB; (Ⅱ)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成角的大小。 以 D 为坐标原点,DA 的长为单位,建立如图所示的直 角坐标系,

3. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 B1C1、C1D1 的中点,求 A1 到面 BDFE 的距离。
A1 D1
F

C1
E

B1

D

C

A

B

4. 直三棱柱 ABC- A1B1C1 的侧棱 AA1= 3 ,底面△ ABC 中,∠C=90°, AC=BC=1,求直线 A1B1 与平面 A1BC 所成角。 A1 H x A B1 C z C1

B
y

5. 直三棱柱 ABC- A1B1C1 的侧棱 AA1= 3 ,底面△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=1,求二面角 A-A1B-C 的大小

6. 四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线 AC=2,BD= 2 ,AE、CF 都 与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2.,求二面角 B-AF-D 的大小;

空间向量算角距离 空间直角坐标系中的坐标:
如图给定空间直角坐标系 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一 的有序实数组 ( x, y, z ) 叫 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的 坐标, 记作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标 (1) 夹角公式: cos a ? b ?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? 2 | a |?| b | a1 ? a2 2 ? a32 b12 ? b2 2 ? b32

(2) 求解空间中的距离, 点到平面的距离 A 为平面α 外一点(如图), n 为平面α 的法向量,过 A 作平面α 的斜线 AB 及垂线 AH.

| AH |?| AB | ? sin ? ?| AB | ? | cos ? AB, n ?|
= | AB | ?

| AB ? n | | AB | ? | n |

A n
?

= | AB ? n |

|n|

B

H

(3) 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图 2,设 a=( x1,y1,z1)、 b=(x2,y2,z2) 是平面α 内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若 n⊥a 且 n⊥b,则 n ⊥α .换句话说,若 n·a = 0 且 n·b = 0,则 n⊥ α

求平面的法向量的坐标的步骤: 第一步(设):设出平面法向量的坐标为 n=(x,y,z). 1 1 1 第二步(列):根据 n·a = 0 且 n·b = 0 可列出方程组 第三步(解):把 z=1,用 z 表示 x、y. 2 2 2 第四步(取):取 z 为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量 n 的坐标.

?x x? y y?z z ?0 ? ?x x ? y y ? z z ? 0

A

(4)运用法向量求直线和平面所成角

n

α

设平面α的法向量为 n = (x, y, 1), 则直线 AB 和平面α所成的角θ的正弦值为, ? sinθ= cos(

? -θ) = |cos< AB , n >| = 2

AB ? n AB ? n

(5)用向量证明线面平行:证明直线所在的向量与平面的法向量垂直即可 A

n (6)用空间向量证明线线垂直,线面垂 直 线线垂直:即证明线所在的向量 a ? b ? 0 线面垂直: 即证明线所在的向量和面内两条相交直线所在的向量垂直, 或者证明线所在的向 量和面的法向量平行。
? ?

α

(7)用向量求二面角:

n2
b a
? ?

?

n1

?

两个平面的法向量 n1 与 n2 所成的角与二面角的平面角互补或相等

PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 4 , 1. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, AB ? 2 .以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 P M. (1)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角; (2)求点 O 到平面 ABM 的距离. M 解: (1)如图所示,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0) , P(0,0, 4) ,

B(2,0,0) , C (2,4,0) , D(0,4,0) , M (0,2,2) ,
设平面 ABM 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,由 n ? AB, n ? AM 可得:
A
z

D

? 2x ? 0 ,令 z ? ?1 ,则 y ? 1 ,即 n ? (0,1 , 1 ? ) .设所求角为 ? , ? ?2 y ? 2 z ? 0
2 2 ? 则 sin ? ? , 3 PC n PC ? n
B

P

O C
M

A

N

D

y

O B x C

所求角的大小为 arcsin

2 2 . 3
AO ? n n ? 2

(2)设所求距离为 h ,由 O(1, 2,0), AO ? (1, 2,0) ,得: h ?

2. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面 ABCD,AD=PD,E,F 分 别 CD、PB 的中点。 (Ⅰ)求证:EF ? 平面 PAB; (Ⅱ)设 AB= 2 BC,求 AC 与平面 AEF 所成角的大小。 以 D 为坐标原点,DA 的长为单位,建立如图所示的直 角坐标系, ( 1 ) 证 明 : 设 E ? a, 0 ? , 其 中 a?0 , 则 , 0
? 1 1? C ? 2a,0,0? , A ? 0,1,0 ? , B ? 2a,1,0 ? , P ?0,0,1? , F ? a, , ? , ? 2 2? ? 1 1? EF ? ? 0, , ? , PB ? ? 2a,1, ?1? , AB ? ? 2a,0,0? , EF ? PB ? 0,? EF ? PB ? 2 2?


AB ? EF ? 0,? AB ? EF
王新敞
奎屯 新疆

z
AB ? B ,

又 PB ? 平面PAB, AB ? 平面PAB, PB
? EF ?? 平面PAB
王新敞
奎屯 新疆

P

(2)解:由 AB ? 2BC, 得 a ? 可得 AC ?

2 , 2

x C
B

F E y
A

D

?

2, ?1,0 , PB ?
AC ? PB AC ? PB ?

?

?

2,1, ?1

?

cos? AC, PB? ?

3 , 6
3 , 6

则异面直线 AC,PB 所成的角为 arccos

? 2 1 1? AF ? ? ? 2 ,? 2 , 2 ? ? ,? AF ? PB ? 0, AF ? PB , ? ?

又 PB ? EF ,AF 为平面 AEF 内两条相交直线,
? PB ? 平面AEF ,

? AC 与平面 AEF 所成的角为

?
2

? arccos
3 6

3? 3? ? arcsin ? ?, ? 6 ? 6 ? ?

即 AC 与平面 AEF 所成的角为 arcsin

王新敞
奎屯

新疆

3. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 B1C1、C1D1 的中点,求 A1 到面 BDFE 的距离。 解:如图,建立坐标系 D-ACD1,则 B(1,1,0) ,A1(1,0,1) ,E( ∴ BD ? (?1, ?1,0)

1 ,1,1) 2
D1 A1
F

1 BE ? (? , 0,1) 2

A1B ? (0,1, ?1)

C1
E

设面 BDFE 的法向量为 n ? ( x, y,1) ,则

B1

?( x, y,1) ? (?1, ?1, 0) ? 0 ?? x ? y ? 0 ? ?x ? 2 ?n ? BD ? ? ?? ?? 1 ?? ? 1 ( x, y,1) ? (? , 0,1) ? 0 ? x ? 1 ? 0 ? y ? ?2 ? ? ? ?n ? BE ? 2 ? 2
∴ n ? (2, ?2,1) ∴ A1 到面 BDFE 的距离为 d =
A

D

C

B

| A1B ? n | ? 0,1, ?1? ? ? 2, ?2,1? | ?3 | ? ? ?1 2 3 |n| 22 ? ? ?2 ? ? 1

4. 直三棱柱 ABC- A1B1C1 的侧棱 AA1= 3 ,底面△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=1,求直线 A1B1 与平面 A1BC 所成角。 解:建系设点同上(略) 设平面 A1BC 的法向量为 n=( x0,y0,z0) 由于 x0,y0,z0 不全为零,不妨设 z0≠0,x 则由 n⊥平面 A1BC 得 n⊥ A1 B 且 n⊥ A1C ∴n· A1 B =0 且 n· A1C =0 ∴ - x0+y0- 3 z0=0 - x0- 3 z0=0 A A1 H B1 C z C1

B
y

?

x0=- 3 z0 y0=0

∴法向量 n=(- 3 z0,0,z0) ∵ A1 B1 =(-1,1,0)

n·A1B1 ∴|cos< A1 B1 ,n>|=| | |n|·| A1B1| =| 3 z0 4 z0 · 2
2

|=

6 4

由于线线所成角不大于 90°, ∴直线 A1B1 与法向量所在直线所成角为 arccos π 6 ∴A1B1 与平面 A1BC 所成角为 - arccos 2 4 6 4

5. 直三棱柱 ABC- A1B1C1 的侧棱 AA1= 3 , 底面△ABC 中, ∠C=90°, AC=BC=1, 求二面角 A-A1B-C 的大小 1 1 1 1 E( , ,0)C(0,0,0)∴ EC =(- ,- ,0) 2 2 2 2 又过 B1 作 B1H⊥平面 A1BC,则向量 B1 H B1H 为平面 A1BC 3 3 的法向量,由前面的方法可求得 B1 H =( ,0,4 4 EC·B1H = |EC|·|B1H| 2 2 6 4 ) 3 8 12 4 6 4 )x A A1 H C1 B1 B C

y

∴cos< EC , B1 H >=

=-

·

∴< EC , B1 H >=arccos(-

由于 EC , B1 H 同时指向二面角内部 ∴二面角的大小为π -arccos(6 4 )=arccos ( 6 4 )

6. 四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线 AC=2,BD= 2 ,AE、CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2. (I)求二面角 B-AF-D 的大小;

(向量法)以 A 为坐标原点, BD 、 AC 、 AE 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立 空间直角坐标系(如图)

? 2 ? ? n1 ? AB ? 0 ?? x? y ?0 设平面 ABF 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ,则由 ? 得? 2 ? ? n1 ? AF ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 ?
令 z ? 1 ,得 ?

? ?x ? ? 2 , n1 ? (? 2, ?1,1) ? ? y ? ?1

同理,可求得平面 ADF 的法向量 n2 ? ( 2, ?1,1) 。 由 n1 ? n2 ? 0 知,平面 ABF 与平面 ADF 垂直, 二面角 B-AF-D 的大小等于

? 。 2


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