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第七章 直线和圆的方程答案


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第八章 直线和圆的方程
【知识图解】 中点坐标 点 两点间距离 直线斜率与倾斜角 点斜式 直 线 与 圆 的 方 程 方 程 形 式 斜截式 两点式 截距式 一般式 平行 两条直线位置关系 相交 点与直线位置关系 标准方程 一般方程 圆 位置关系 空间直角坐标系 【方法点拨】 1.掌握直线的倾斜角,斜率以及直线方程的各种形式,能正确地判断两直线

位置关系,并能熟练地利 用距离公式解决有关问题.注意直线方程各种形式应用的条件.了解二元一次不等式表示的平面区域,能 解决一些简单的线性规划问题. 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3.熟练运用待定系数法求圆的方程. 4.处理解析几何问题时,主要表现在两个方面:(1)根据图形的性质,建立与之等价的代数结构;(2)根 据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质. 5.要重视坐标法,学会如何借助于坐标系,用代数方法研究几何问题,体会这种方法所体现的数形结 合思想. 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题;还要注意综合运用三角函数、平面向量 等与本章内容关系比较密切的知识. 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 垂直

直 线

点到直线的距离

方程形式

1

2

第1课
【考点导读】

直线的方程

理解直线倾斜角、斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的几种形式,能根据条 件,求出直线的方程. 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程,属中、 低档题,多以填空题和选择题出现,每年必考. 【基础练习】 1. 直线 xcosα+ 3 y+2=0 的倾斜角范围是 ?0,

? ? ? ? 5? ? ? ,? ? ? 6? ? 6 ? ? ?

2. 过点 P (2, 3) ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 x ? y ? 1 ? 0或3x ? 2 y ? 0 3.直线 l 经过点 (3, , -1) 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形, 则直线 l 的方程为 y ? x ? 4或y ? ? x ? 2 4.无论 k 取任何实数,直线 ?1 ? 4k ? x ? ? 2 ? 3k ? y ? ? 2 ?14k ? ? 0 必经过一定点 P,则 P 的坐标为(2,2) 5.已知直线 l 过点 P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为 5 个平方单位,求直线 l 的方程

2 8 y ? ? x ? 6或y ? ? x ? 12 5 5

【范例导析】 例 1.已知两点 A(-1,2) 、B(m,3) (1)求直线 AB 的斜率 k; (2)求直线 AB 的方程; (3)已知实数 m ? ? ?

? ?

? 3 ? 1, 3 ? 1? ,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 ?

分析:运用两点连线的子斜率公式解决,要注意斜率不存在的情况. 解:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的斜率不存在. 当 m≠-1 时, k ?

1 , m ?1 1 ? x ? 1? . m ?1

(2)当 m=-1 时,AB:x=-1, 当 m≠1 时,AB: y ? 2 ?

(3)①当 m=-1 时, ? ? ②当 m≠-1 时, ∵k ?

?

2



? 3 ? 1 ? ??, ? 3 ? ? ? , ?? ? ? ? m ?1 ? 3 ?

?

∴? ? ?

? ? ? ? ? ? 2? ? , ??? , ? ?6 2 ? ? 2 3 ?
2

3

故综合①、②得,直线 AB 的倾斜角 ? ? ?

? ? 2? ? , ?6 3 ? ?

点拨:本题容易忽视对分母等于 0 和斜率不存在情况的讨论. 例 2.直线 l 过点 P(2,1),且分别交 x 轴、y 轴的正半轴于点 A、B、O 为坐标原点. (1)当△AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|PA|?|PB|取最小值时,求直线 l 的方程. 分析: 引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求 l 的方程.

1 1 ,0),B(0,1-2k),且 2- >0, 1-2k>0,即 k<0. k k 1 1 1 1 1 1 △AOB 的面积 S= (1-2k)(2- )= [(-4k)+ +4]≥4,当-4k= ,即 k= ? 时, △AOB 的面积有最小值 2 k 2 ?k ?k 2
解 (1)设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2),则点 A(24,则所求直线方程是 x+2y-4=0. (2)解法一:由题设,可令直线方程 l 为 y-1=k(x-2). 分别令 y=0 和 x=0,得 A(2-

1 ,0),B(0,1-2k), k

∴|PA|?|PB|= (4 ? 4k )(1 ?
2

1 1 ) ? 8 ? 4(k 2 ? 2 ) ? 4 ,当且仅当 k2=1,即 k=±1 时, |PA|?|PB|取得最 2 k k

小值 4.又 k<0, ∴k=-1,这是直线 l 的方程是 x+y-3=0. 解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得 θ∈(0, 当且仅当 θ=

? 时, |PA|?|PB|取得最小值 4,此时直线 l 的斜率为-1, 直线 l 的方程是 x+y-3=0. 4
y B F O P E 例2图 A x

? | PE | | PF | 4 ? ? ?4 ),且|PA|?|PB|= sin ? cos ? sin 2? 2

点评

①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本

量.②在研究最值问题时,可以从几何图形开始,找到取最值时的情形,也可以从代数角度出发,构建目 标函数,利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值. 例 3.直线 l 被两条直线 l1:4x+y+3=0 和 l2:3x-5y-5=0 截得的线段中点为 P(-1,2).求直线 l 的方程. 分析 本题关键是如何使用好中点坐标,对问题进行适当转化. 解:解法一 设直线 l 交 l1 于 A(a,b) ,则点(-2-a,4-b)必在 l2,所以有

?4a ? b ? 3 ? 0 ?a ? ?2 ,解得 ? ? ?3(?2 ? a) ? 5(4 ? b) ? 5 ? 0 ?b ? 5
直线 l 过 A(-2,5),P(-1,2),它的方程是 3x+y+1=0.
3

4

解法二 由已知可设直线 l 与 l1 的交点为 A(-1+m,2+n) ,则直线 l 与 l2 的交点为 B(-1-m,2-n) , 且 l 的斜率 k= 所以 k=-3, 从而直线 l 的方程为 3x+y+1=0. 解法三 设 l1、l2 与 l 的交点分别为 A,B,则 l1 关于点 P(-1,2)对称的直线 m 过点 B,利用对称关系 可求得 m 的方程为 4x+y+1=0,因为直线 l 过点 B,故直线 l 的方程可设为 3x-5y-5+λ(4x+y+1)= 0.由于直线 l 点 P(-1,2) ,所以可求得 λ=-18,从而 l 的方程为 3x-5y-5-18(4x+y+1)=0,即 3x+y+1=0. 点评 本题主要复习有关线段中点的几种解法,本题也可以先设直线方程,然后求交点,再根据中点 坐标求出直线 l 的斜率,但这种解法思路清晰,计算量大,解法一和解法二灵活运用中点坐标公式,使计 算简化,对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程,解法三是利用直线系方程求 解,对学生的思维层次要求较高。

?4(?1 ? m) ? (2 ? n) ? 3 ? 0 n ,∵A,B 两点分别 l1 和 l2 上,∴ ? ,消去常数项得-3m=n, m ?3(?1 ? m) ? 5(2 ? n) ? 5 ? 0

反馈练习: 1.已知下列四个命题①经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示;②经过任意两个不同点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示;③不经过原点的直线都可以用方程

x y + =1 表示;④经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示,其中正确的是①③④ a b
2.设直线 l 的方程为 2x ? ? k ? 3? y ? 2k ? 6 ? 0 ? k ? 3? ,当直线 l 的斜率为-1 时,k 值为__5__,当直线 l 在 x 轴、y 轴上截距之和等于 0 时,k 值为 1 或 3 3.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? +cos ? =0,则 a,b 满足的关系式为 a ? b ? 0 4.若直线 l: y=kx ?

? ? 则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ( , ) 3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限, 6 2
1 1 ,则 c 的值为 c 5 1 1 1 ? 的值等于 . a b 2

5.若直线 4x-3y-12=0 被两坐标轴截得的线段长为

6.过点 P(1,1)作直线 l,与两坐标轴相交所得三角形面积为 10,则直线 l 有 4 条 7.若三点 A(2, 2), B(a,0), C (0, b)(ab ? 0) 共线,则

8.若直线(m ─1)x─y─2m+1=0 不经过第一象限,则实数 m 的取值范围是 ? , 1?
2

?1 ? ?2 ?

9.已知直线 l 被两直线 l 1 :4x+y+6=0 与 l

2

:3x 一 5y 一 6=0 截得的线段中点为坐标原点,那么直线 l 的

方程是 x+6y=0 . 10.已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点为 P(2,3) ,求过两点 Q1(a1,b1) 2(a2,b2) 1 、Q (a
4

5

≠a2)的直线方程 分析:利用点斜式或直线与方程的概念进行解答 解:∵P(2,3)在已知直线上, ∴ 2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0 ∴2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即

b1 ? b2 2 =- a1 ? a 2 3

∴所求直线方程为 y-b1=-

2 (x-a1) 3

∴2x+3y-(2a1+3b1)=0,即 2x+3y+1=0 点拨:1.由已知求斜率; 2.运用了整体代入的思想,方法巧妙. 11.在△ABC 中,BC 边上的高所在的直线方程为 x-2y+1=0,∠A 的平分线所在直线方程为 y=0,若点 B 的 坐标为(1,2),求点 A 和点 C 的坐标. 分析:利用高线与∠A 的平分线求得点 A 坐标,然后求出直线 AC 与 BC 的方程,从而求出 C 点坐标. 解 A 点既在 BC 边的高线上,又在∠A 的平分线上, 由?

?x ? 2 y ?1 ? 0 得 A(-1,0),∴kAB=1,而 x 轴是角 A 的平分线, ∴kAC= –1, ?y ? 0
∴BC 边所在直线方程为 y–2=–2(x–1) ②

∴AC 边所在直线方程为 y=-(x+1) ① 又 kBC= –2,

联立① ②得 C 的坐标为(5,–6) 点拨: 综合运用三角形和直线有关知识,寻找解题突破口,将问题转化为先求一些直线方程,再求直线 的交点.这是解决这一类问题的常用办法. 12.一条直线经过点 P(3,2) ,并且分别满足下列条件,求直线方程: (1)倾斜角是直线 x-4y+3=0 的倾斜角的 2 倍; (2)与 x、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,且△AOB 的面积最小(O 为坐标原点) 解: (1)设所求直线倾斜角为 θ,已知直线的倾斜角为 α,则 θ=2α,且 tanα= 从而方程为 8x-15y+6=0 (2)设直线方程为

1 8 ,tanθ=tan2α= , 4 15

y x + =1,a>0,b>0, a b
6 2 3 + =1≥2 ,得 ab≥24, ab b a

代入 P(3,2) ,得

1 ab≥12, 2 2 2 3 b 此时 = ,∴k=- =- b 3 a a
从而 S△AOB= 点拨:此题(2)也可以转化成关于 a 或 b 的一元函数后再求其最小值

第2课
【考点导读】

两条直线的位置关系
5

6

1. 掌握两条直线平行与垂直的条件,能根据直线方程判定两条直线的位置关系,会求两条相交直线 的交点,掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式. 2. 高考数学卷重点考察两直线平行与垂直的判定和点到直线的距离公式的运用,有时考察单一知识 点,有时也和函数三角不等式等结合,题目难度中等偏易. 【基础练习】 1.已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的值为-8 2.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为 2x+y-1=0 3.若三条直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, x ? y ? 1 ? 0 和 x ? ky ? k ?

1 1 ? 0 相交于一点,则 k 的值等于 ? 2 2

4.已知点 P 1 (1,1)、P 2 (5,4)到直线 l 的距离都等于 2.直线 l 的方程 为 3x-4y+11=0 或 3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0 或 x-3=0. 5.已知 A(7,8) ,B(10,4),C(2,-4),求?ABC 的面积. 简解:答案为

28 3

【范例导析】 【例 1】已知两条直线 l1 :x+m2y+6=0, l 2 :(m-2)x+3my+2m=0,当 m 为何值时, l1 与 l 2 (1) 相交; (2)平行; (3)重合? 分析:利用垂直、平行的充要条件解决. 解:当m=0 时, l1 :x+6=0, l 2 :x=0,∴ l1 ∥ l 2 , 当m=2 时, l1 :x+4y+6=0, l 2 :3y+2=0 ∴ l1 与 l 2 相交; 当 m≠0且 m≠2时,由

1 m2 1 6 ? ? 得 m=-1或 m=3,由 得 m=3 m ? 2 2m m ? 2 3m

故(1)当 m≠-1且 m≠3且 m≠0时 l1 与 l 2 相交。 (2)m=-1或 m=0时 l1 ∥ l 2 , (3)当 m=3时 l1 与 l 2 重合。 点拨:判断两条直线平行或垂直时,不要忘了考虑两条直线斜率是否存在. 例 2.已知直线 l 经过点 P(3,1) ,且被两平行直线 l1 :x+y+1=0 和 l 2 :x+y+6=0 截得的线段之长为 5。 求直线 l 的方程。 分析:可以求出直线 l 与两平行线的交点坐标,运用两点距离公式求出直线斜率 解法一::若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=3,此时与 l1 、 l 2 的交点分别是 A1(3,-4)和 B1(3,-9) ,截得的线段 AB 的长|AB|=|-4+9|=5,符合题意。若直线 l 的斜率存在,则设 l 的方程为 y=k (x-3)+1,
6

7

解方程组 ?

?x ? y ?1 ? 0 3k ? 2 4k ? 1 ? ,- 得 A( ) k ?1 k ?1 ? y ? k ? x ? 3? ? 1 ? ?x ? y ? 6 ? 0 3k ? 7 9k ? 1 ? 得 B( ,- ) ? k ?1 k ?1 ? y ? k ? x ? 3? ? 1 ?
2 2

解方程组 由|AB|=5 得

? 3k ? 2 3k ? 7 ? ? 4k ? 1 9k ? 1 ? ? ? ? ? +?? ? =25, k ?1 ? ? k ?1 k ?1 ? ? k ?1
解之,得 k=0,即所求的直线方程为 y=1。 综上可知,所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。 解法二.设直线 l 与 l1 、 l 2 分别相交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,则 x1+y1+1=0, x2+y2+6=0。两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5 又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25 联立①② ,可得 ? ① ②

? x1 ? x2 ? 5 ? x1 ? x2 ? 0 或? ? y1 ? y2 ? 0 ? y1 ? y2 ? 5

由上可知,直线 l 的倾斜角为 0°或 90°,又由直线 l 过点 P(3,1) ,故所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。 点拨:用待定系数法求直线方程时,要注意对斜率不存在的情况的讨论. 【例 3】 设已知三条直线 l1 : mx ? y ? m ? 0, l2 : x ? my ? m ? m ?1? ? 0, l3 : ? m ? 1? x ? y ? ? m ? 1? ? 0 ,它们围成?ABC,(1)求证:不论 m 为何值,?ABC 有一个顶点为定点.(2)当 m 为何值时,?ABC 面 积有最大值和最小值,并求此最大值与最小值. 分析:本题问题(2)考察直线过定点的问题,问题(3)可以建立面积的表达式,转化为求函数最值问 题. 解: (1)证明:因为直线 l1 : mx ? y ? m ? 0 恒过定点(-1,0) ,直线 l3 : ? m ? 1? x ? y ? ? m ? 1? ? 0 也 恒过定点(-1,0) ,所以直线 l1 与 l2 的交点为定点(-1,0) ,即?ABC 有一个顶点为定点,不妨设为 C (-1,0). (2) 因为 m ? ?1? ? m ?1 ? 0, 所以 l1 ? l2 ,即 AB⊥AC,又 l3 与 l2 的交点为 B(0,m+1) ,由点到直线 距离公式得 B 到直线 AC 的距离 d B ?

1 m2 ? 1

,点 C 到 AB 的距离 d c ?

m2 ? m ? 1 m2 ? 1

.所以?ABC

2 1 m ? m ?1 1 1 1 的面积 S= = 1? .当 m>0 时, m ? ? 2 ,等号在 m ? 1 时成立,S 有 2 1 2 m 2 m ?1 m? m 3 1 1 最大值 .当 m ? 0 时, m ? ? ?2 ,等号在 m ? ?1 时成立,S 有最小值 . 4 m 4

点拨:解几中的最值问题通常可以转化为函数最值问题. 反馈练习:
7

8

1.已知直线 l 在 x 轴上的截距为 1,且垂直于直线 y ?

1 x ,则 l 的方程是 y ? ?2 x ? 2 2

2.若直线 ax ? (1 ? a) y ? 3 与 (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 5 互相垂直,则 a ? -3 或 1 3.若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0 平行,则 a 的值是___-1___. 4.已知 0 ? ? ?

?
2

,且点 (1, cos? ) 到直线 x sin? ? y cos? ? 1的距离等于

? 1 ,则 ? 等于 4 6

5.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 sinA?x+ay+c=0 与 bx-sinB?y+sinC=0 的位置关系是垂直 6.已知点 P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ?x2 , y 2 ? ,分别是直线 l 上和直线 l 外一点,若直线 l 的方程是 f ?x, y ? ? 0 ,则方程
f ?x, y ? ? f ?x1 , y1 ? ? f ?x2 , y 2 ? ? 0 表示的图形是 过P 且与l平行的直线 2

7.点 (2,3) 关于直线 x ? y ? 1 的对称点的坐标是 (-2, -1) 8. 经过直线 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 与 7 x ? 15y ? 1 ? 0 的交点,且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程是 3x+6y-2=0 9.两条直线 ax ? 2ay ? 1 ? 0, 和 ? a ?1? x ? ? a ? 1? y ?1 ? 0 互相垂直,则垂足的坐标为 ? ?

? 2 7 ? , ? ? 15 30 ?

10.线 l1 过点 A(5,0) , l 2 过点 B (0,1) , l1 ∥ l 2 ,且 l1 与 l 2 之间的距离等于 5,求 l1 与 l 2 的方程。 解: l1 与 l 2 的方程分别为:12x-5y-60=0,12x-5y+5=0 或 x=5,x=0

11.条直线 x ? y ? 1 ? 0, 2 x ? y ? 8 ? 0 和 ax ? 3 y ? 5 ? 0 共有三个不同的交点,求 a 的范围。 解: a ? 3 且 a ? ?6 且 a ?

1 3

12.已知?ABC 的三边方程分别为 AB: 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 ,BC: y ? 2 ? 0 ,CA: 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . 求: (1)AB 边上的高所在直线的方程; (2)∠BAC 的内角平分线所在直线的方程. 解: (1)AB 边上的高斜率为 ? 方程为 3x ? 4 y ? 21 ? 0 . (2)设 P ? x, y ? 为∠BAC 的内角平分线上任意一点,则 或 x ? y ? 15 ? 0 ,由图形知 7 x ? 7 y ? 5 ? 0 即为所求.

?y ? 2 ? 0 3 13 且过点 C,解方程组 ? 得点 C( ,2)所以 AB 边上的高 4 3 ?3x ? 4 y ? 5 ? 0

4 x ? 3 y ? 10 42 ? ? ?3?
2

?

3x ? 4 y ? 5 32 ? ? ?4 ?
2

解得 7 x ? 7 y ? 5 ? 0

第3课

圆的方程
8

9

【考点导读】 1. 掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程;理解圆的标准方 程与一般方程之间的关系,会进行互化。 2. 本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程,利用三角换元或数形结合求最值问题,题型难度 以容易题和中档题为主. 【基础练习】 1.已知点 A(3,-2),B(-5,4),以线段 AB 为直径的圆的方程为(x + 1)2 + (y-1)2 = 25 2.过点 A(1,-1) 、B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=4 3.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为

x 2 ? y 2 ? 4x ? 0
4.圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? c ? 0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若∠APB=120°,则实数 c 值为_-11__

5.如果方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ? 所表示的曲线关于直线 y ? x 对称,那么必有
__D=E__ 【范例导析】 【例1】 设方程 x ? y ? 2(m ? 3) x ? 2(1 ? 4m ) y ? 16m ? 9 ? 0 ,若该方程表示一个圆,求 m 的取值范
2 2 2 4

围及这时圆心的轨迹方程。 分析:配成圆的标准方程再求解 解:配方得: ? x ? (m ? 3)? ? ? y ? (1 ? 4m ) ? ? 1 ? 6m ? 7m ? ?
2 2 2 2

该方程表示圆,则有 1 ? 6m ? 7m ? 0 ,
2

得 m ? (?

?x ? m ? 3 1 1 2 ,1) ,此时圆心的轨迹方程为 ? ,消去 m,得 y ? 4( x ? 3) ?1 ,由 m ? (? ,1) 得 2 7 7 ? y ? 4m ? 1

x=m+3 ? ?

? 20 ? ? 20 ? , 4 ? ? 所求的轨迹方程是 y ? 4( x ? 3)2 ?1, x ? ? , 4 ? ? 7 ? ? 7 ? ? 20 ? , 4? ? 7 ?

注意:方程表示圆的充要条件,求轨迹方程时,一定要讨论变量的取值范围,如题中 x ? ?
2 2

变式 1:方程 ax ? ay ? 4(a ?1) x ? 4 y ? 0 表示圆,求实数 a 的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方 程。 解:原方程可化为 ? x ?

? ?

2(a ? 1) ? 2 4(a 2 ? 2a ? 2) ? ( y ? )2 ? a ? a a2 ?
2

? a2 ? 2a ? 2 ? 0,?当 a ? 0 时,原方程表示圆。
2 ? a ? 2? 2a 2 ? 2(a 2 ? 4a ? 4) 4(a 2 ? 2a ? 2) ? ? 2? ? 2 又r ? 2 2 a a a2
2

当 a ? 2, rmin ? 2 ,所以半径最小的圆方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

9

10

例 2 求半径为 4,与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆的方程. 分析:根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解. 解:则题意,设所求圆的方程为圆 C: ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 . (x 圆 C 与直线 y ? 0 相切,且半径为 4,则圆心 C 的坐标为 C1 (a , 4) 或 C2 (a , ? 4) . 又已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的圆心 A 的坐标为 (2 , 1) ,半径为 3. 若两圆相切,则 CA ? 4 ? 3 ? 7 或 CA ? 4 ? 3 ? 1. (1)当 C1 (a , 4) 时, (a ? 2)2 ? (4 ?1)2 ? 72 ,或 (a ? 2) 2 ? (4 ? 1) 2 ? 12 (无解),故可得 a ? 2 ? 2 10 . ∴所求圆方程为 ( x ? 2 ? 2 10)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 ,或 ( x ? 2 ? 2 10)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 . (2)当 C2 (a , ? 4) 时, (a ? 2) ? (?4 ? 1) ? 7 ,或 (a ? 2) ? (?4 ?1) ? 1 (无解),故 a ? 2 ? 2 6 .
2 2 2 2 2 2

∴所求圆的方程为 ( x ? 2 ? 2 6 )2 ? ( y ? 4)2 ? 42 ,或 ( x ? 2 ? 2 6 )2 ? ( y ? 4)2 ? 42 . 说明:对本题,易发生以下误解: 由 题 意 , 所 求 圆 与 直 线 y ? 0 相 切 且 半 径 为 4 , 则 圆 心 坐 标 为 C (a , 4) , 且 方 程 形 如

( x ? a)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 .又圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 ,即 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 32 ,其圆心为 A(2 , 1) ,
半径为 3.若两圆相切,则 CA ? 4 ? 3 .故 (a ? 2) ? (4 ?1) ? 7 ,解之得 a ? 2 ? 2 10 .所以欲求圆
2 2 2

的方程为 ( x ? 2 ? 2 10)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 ,或 ( x ? 2 ? 2 10)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 . 上述误解只考虑了圆心在直线 y ? 0 上方的情形,而疏漏了圆心在直线 y ? 0 下方的情形.另外,误解中没 有考虑两圆内切的情况.也是不全面的. 点评:在解决求圆的方程这类问题时,应当注意以下几点: (1)确定圆方程首先明确是标准方程还是 一般方程; (2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得 a、b、r 或 D、E、F; (3)待定系 数法的应用,解答中要尽量减少未知量的个数. 【例2】 设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所 有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程. 分析:注意挖掘题目的条件,充分利用圆的几何性质解决问题. 解法一:设圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.
0 由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90 ,知圆P截x轴的弦长为 2r ,故r2=2b2

又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r =a +1.从而得2b -a =1. 又点P(a,b)到直线x?2y=0的距离为 d ?

2

2

2

2

| a ? 2b | 5
10

11

所以5d =│a-2b│ =a +4b -4ab ≥a +4b -2(a +b )=2b -a =1, 当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d =1,从而d取得最小值. 由此有 解此方程组得 由于r2=2b2知 r ?
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2 于是,所求圆的方程是:

(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. 解法二:同解法一得

| a ? 2b | ? a ? 2b ? ? 5d 5 得a 2 ? 4b 2 ? 4 5bd ? 5d 2 d?
将a2=2b2-1代入上式,整理得

2b2 ? 4 5db ? 5d 2 ? 1 = 0 ②
把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即 △=8(5d2-1)≥0, 得
2

5d2≥1.

所以5d 有最小值1,从而d有最小值
2

5 5

将其代入②式得2b ±4b+2=0.解得b=±1. 将b=±1代入r =2b ,得r =2.由r =a +1得a=±1. 综上 a=±1,b=±1,r =2. 由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是 (x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. 点拨:求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系进而求 得圆的基本量(圆心、半径)和圆的方程,二是代数法,即根据题意设出圆的方程,再利用条件得到有关方程 系数的方程组,解方程组得到方程系数,从而求出圆的方程. 【例 4】在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原
2 2 2 2 2 2

点 O .椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 . a2 9

(1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q , Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长. 使 若存在,
11

12

请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 分析:问题(2)可以转化为探求以右焦点 F 为顶点,半径为 4 的圆(x─4)2+y2=8 与(1)所求的圆的交点数。 解: (1)设圆心坐标为(m,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8 已知该圆与直线 y=x 相切,那 么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则

m?n 2

=2 2

即 m ? n =4



又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得 m2+n2=8 ② 联立方程①和②组成方程组解得

?m ? ?2 ? ?n ? 2
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 (2) a =5,∴a =25,则椭圆的方程为
2

x

2

25

+

y
9

2

=1

其焦距 c= 25? 9 =4,右焦点为(4,0),那么 OF =4。 要探求是否存在异于原点的点 Q,使得该点到右焦点 F 的距离等于 OF 的长度 4,我们可以转化为探求以 右焦点 F 为顶点,半径为 4 的圆(x─4)2+y2=8 与(1)所求的圆的交点数。

12 4 ,y= 5 5 4 12 即存在异于原点的点 Q( , ),使得该点到右焦点 F 的距离等于 OF 的长。 5 5
通过联立两圆的方程解得 x= 点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题代 数化的思想运用.

反馈练习: 1.关于 x,y 的方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示一个圆的充要条件是 B=0 且 A=C≠0,D2+E2-4AF>0 2.过点 P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐标是(5,-1) 3.若两直线 y=x+2k 与 y=2x+k+1 的交点 P 在圆 x2+y2=4 的内部,则 k 的范围是 ?

1 ? k ?1 5

4. 已 知 圆 心 为 点 ( 2 , -3 ) 一 条 直 径 的 两 个 端 点 恰 好 落 在 两 个 坐 标 轴 上 , 则 这 个 圆 的 方 程 是 ,

x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 0
5.直线 y=3x+1 与曲线 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,则 AB 的中点坐标是 ? ?

? 3 1? , ? ? 10 10 ?

12

13

6.方程 x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1) 表示的曲线是_两个半圆
2

7.圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 2 关于直线 x ? y ? 0 的对称圆的方程是 ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 2
2 8.如果实数 x、y 满足等式 ? x ? 2 ? ? y ? 3 ,那么 2

y 的最大值是 3 x

9.已知点 A(?1,1) 和圆 C : ( x ? 5) 2 ? ( y ? 7) 2 ? 4 ,求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的最短路程为 ___8___ 10.求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x─y─3=0 上的圆的方程; 解:设圆心 P(x0,y0),则有 ? 解得 x0=4, y0=5, ∴半径 r= 10 , ∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10
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?2 x 0 ? y 0 ? 3 ? 0
2 2 2 2 ?( x0 ? 5) ? ( y 0 ? 2) ? ( x0 ? 3) ? ( y 0 ? 2)

,

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11. 一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ,求此圆的方程 解:因圆与 y 轴相切,且圆心在直线 x-3y=0 上, 故设圆方程为 ( x ? 3b)2 ? ( y ? b)2 ? 9b2 又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 7 , 则有 (
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| 3b ? b | 2 ) + ( 7)2 =9b2, 2
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解得 b=±1 故所求圆方程为
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( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 9 或 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9

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点拨:(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程; (2)待定系数法;(3)尽量利用几何关系 求 a、b、r 或 D、E、F. 12.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2) O 与 x 轴相交于 A,B 两点, 圆 圆内的动点 P 使 PA , , 成等比数列, PA?PB 的取值范围. 求 PO PB 解: (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离, 即

??? ??? ? ?

r?

4 ? 2. 1? 3
2 2

得圆 O 的方程为 x ? y ? 4 .

13

14

(2)不妨设 A( x1,,B( x2,,x1 ? x2 .由 x 2 ? 4 即得 0) 0)

A(?2,,B(2, . 0) 0)
设 P( x,y ) ,由 PA , , 成等比数列,得 PO PB

( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ,


x2 ? y 2 ? 2 .
??? ??? ? ? PA?PB ? (?2 ? x, y)? ? x, y) ? (2 ?
? x2 ? 4 ? y2 ? 2( y 2 ? 1).

? x 2 ? y 2 ? 4, ? 由于点 P 在圆 O 内,故 ? 2 2 ? x ? y ? 2. ?
由此得 y 2 ? 1 . 所以 PA?PB 的取值范围为 [?2, . 0)

??? ??? ? ?

第4课
【考点导读】

直线与圆的位置关系

能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系;熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的 综合问题,运用空间直角坐标系刻画点的位置,了解空间中两点间的距离公式及其简单应用. 【基础练习】 1.若直线 4x-3y-2=0 与圆 x2+y2-2ax+4y+a2-12=0 总有两个不同交点,则 a 的取值范围是-6<a<4 2.直线 x-y+4=0 被圆 x2+y2+4x-4y+6=0 截得的弦长等于 2 2 3.过点 P(2,1)且与圆 x2+y2-2x+2y+1=0 相切的直线的方程为 x=2 或 3x-4y-2=0 4..设集合 M ? .

?? x, y ? | x

2

? y 2 ? 25? , N ?

?? x, y ? | ? x ? a ?

2

? y 2 ? 9 ,若 M∪N=M,则实数 a 的取值范

?

围是-2≤a≤2 5.M(2,-3,8)关于坐标平面 xOy 对称点的坐标为(2,-3,-8) 【范例导析】 例 1.已知圆 C: (x-1)2+(y-2)2=25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程. 分析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. (1)证明:l 的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0. 由?

?2 x ? y ? 7 ? 0 ? x ? 3 得? ?x ? y ? 4 ? 0 ?y ?1
14

15

即 l 恒过定点 A(3,1). ∵圆心 C(1,2) ,|AC|= 5 <5(半径) , ∴点 A 在圆 C 内,从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点. (2)解:弦长最小时,l⊥AC,由 kAC=-

1 , 2

∴l 的方程为 2x-y-5=0. 点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质. 例 2.已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 , C: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 , 圆 由两圆外一点 P (a, b) 引两圆切线 PA、 PB, 切点分别为 A、B,满足|PA|=|PB|. (1)求实数 a、b 间满足的等量关系; (2)是否存在以 P 为圆心的圆, 使它与圆 O 相内切并且与圆 C 相外切?若 存在,求出圆 P 的方程;若不存在,说明理由. 分析: 问题(1)可直接根据题目条件求得,在解决问题(2)时,要注意问 题(1)结论的运用. (1)连结 PO、PC,∵|PA|=|PB|,|OA|=|CB|=1 ∴|PO|2=|PC|2,从而 a 2 ? b 2 ? (a ? 2) 2 ? (b ? 4) 2 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: a ? 2b ? 5 ? 0 . (2)∵圆 O 和圆 C 的半径均为 1, 若存在半径为 R 圆 P, 与圆 O 相内切并且与圆 C 相外切, 则有 | PO |? R ? 1 且 | PC |? R ? 1 从而得 于是有: | PC | ? | PO |? 2 即 | PC |?| PO | ?2 例2

(a ? 2) 2 ? (b ? 4) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 两边平方,整理得 a 2 ? b 2 ? 4 ? (a ? 2b)

将 a ? 2b ? 5 代入上式得: a 2 ? b 2 ? ?1 ? 0 故满足条件的实数 a、b 不存在,∴ 不存在符合题设条件的圆 P. 点拨: 注意圆与圆的位置关系的判断. 例 3.已知圆 C 与两坐标轴都相切,圆心 C 到直线 y ? ? x 的距离等于 2 . (1)求圆 C 的方程.(2)若直线 l :

x y ? ? 1 (m ? 2, n ? 2) 与圆 C 相切,求证: mn ? 6+4 2. m n

分析:本题要充分利用圆的几何性质以得到简单的解法. 解: (1)设圆 C 半径为 r ,由已知得:

15

16

? ?a ? b ? ? ?r ? a ? ? a?b ? 2 ? 2 ?

∴?

?a ? b ? 1 ?a ? b ? ?1 ,或 ? ?r ? 1 ?r ? 1

∴圆 C 方程为 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1, 或( x+ 2 ? ( y+ 2 ? 1 . 1) 1) (2)直线 l方程为nx ? my ? mn ? 0 , ∵ 直线l与圆C : ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1相切, ∴

n ? m ? mn n ?m
2 2

? 1, ∴ (n ? m ? mn)2 ? n2 ? m2 ,
mn ? 2 . 2

左边展开,整理得, mn ? 2m ? 2n ? 2. ∴ m ? n ? ∵ m ? 0, n ? 0, m ? n ? 2 mn , ∴

mn ? 2 ? 2 mn , 2

∴ ( mn )2 ? 4 mn ? 2 ? 0, ∴ mn ? 2 ? 2, 或 mn ? 2 ? 2. ∵ m ? 2, n ? 2 ∴ mn ? 2 ? 2 , ∴ mm ? 6 ? 4 2. 点拨:有关直线和圆的位置关系,一般可以考虑圆心到直线的距离,当然也以联立方程组用代数手段解决. 3 x 反射. 反 3

例 4.如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 平行于 x 轴且过点 A(3 3, 2)的入射光线 l1 被直线 l: y= 射光线 l2 交 y 轴于 B 点,圆 C 过点 A 且与 l1, l2 都相切. (1)求 l2 所在直线的方程和圆 C 的方程; (2)设 P,Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点,求 PB+PQ 的 最小值及此时点 P 的坐标.

y l A O B l2 l1 x

16

例4

17

解: (1)直线 l1 : y ? 2, 设 l1交l于点D,则( 3 2 . D2 , )

? l 的倾斜角为 30? ,?l2的倾斜角为60?, k2 ? 3. ? 反射光线 l2 所在的直线方程为 ?

y ? 2 ? 3( x ? 2 3) .

即 3x ? y ? 4 ? 0 .

已知圆 C 与 l1切于点A ,设C(a,b),

? 圆心 C 在过点 D 且与 l 垂直的直线上,?b ? ? 3a ? 8 ,又圆心 C 在过点 A 且与 l1 垂直的直线上,
? a ? 3 3 ,?b ? ? 3a ? 8 ? ?1 ,圆 C 的半径 r=3,
故所求圆 C 的方程为 ( x ? 3 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 .

? y0 ? 4 3 x0 ? ? ? ? 2 3 2 (2)设点 B ? 0, ?4? 关于 l 的对称点 B?( x0 , y0 ) ,则 ? ,得 B?(?2 3, 2) ,固定点 Q 可发现, ? y0 ? 4 ? ? 3 ? x0 ?
当 B?、P、Q 共线时, PB ? PQ 最小,

? y ?1 x ?3 3 ? ? 3 1 ? 2 ? 1 ?2 3 ? 3 3 故 PB ? PQ 的最小值为 B?C ? 3 ? 2 21 ? 3 .此时由 ? ,得 P( , ). 2 2 3 ? ?y ? 3 x ?

反馈练习: 1.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3 )处的切线方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0

2.直线

3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为

? 3

解析:如图 7—7 所示, 由?

? 3x ? y ? 2 3 ? 0 ? ?x 2 ? y 2 ? 4 ?

消 y 得:x2-3x+2=0 ∴x1=2,x2=1 ∴A(2,0) ,B(1, ∴|AB|=

3)

(2 ? 1) 2 ? (0 ? 3 ) 2 =2

又|OB|=|OA|=2

17

18

∴△AOB 是等边三角形,∴∠AOB=

? ,故选 C. 3

评述:本题考查直线与圆相交的基本知识,及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想,同时也 体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线 AB 的倾斜角为 120°.则等腰△OAB 的底角为 60°.因此∠ AOB=60°.更加体现出平面几何的意义.

( 0) 当直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x 有两个交点时, ( 3.已知直线 l 过点 ? 2, , 其斜率 k 的取值范围是 ?
4.设 m>0,则直线 2 (x+y)+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系为相切或相离 解析:圆心到直线的距离为 d=

2 2 , ) 4 4

1? m ,圆半径为 m . 2 1? m 1 1 ∵d-r= - m = (m-2 m +1)= ( m -1)2≥0, 2 2 2

∴直线与圆的位置关系是相切或相离. 2 2 5.圆(x-3) +(y-3) =9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有个数为 3 6.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 逆时针方向运动

2? 弧长到达 Q 点,则 Q 的坐标为 3

1 3 (? , ) 2 2

7.若圆 x ? y ? mx ?
2 2

1 3 ? 0 与直线 y ? ?1 相切,且其圆心在 y 轴的左侧,则 m 的值为 4 4
,过点 P 的最长

8.已知 P(3,0)是圆 x2+y2-8x-2y+12=0 内一点则过点 P 的最短弦所在直线方程是 x+y-3=0 弦所在直线方程是 x-y-3=0 9.设 P 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为 1

.

10. 已知与曲线 C:2+y2-2x-2y+1=0 相切的直线 L 交 x 轴、y 轴于 A、 两点, O 为原点, 且|OA|=a, |OB|=b x B (a>2,b>2) (1)求证曲线 C 与直线 L 相切的条件是(a-2)(b-2)=2 (2)求Δ AOB 面积的最小值. 解 依题意得,直线 L 的方程为 x y + =1 即 bx+ay-ab=0,圆 C 的方程为(x-1)2+(y-1)2=1 a b ①

(1) ∵直线与圆相切, ∴

|a+b-ab| =1,化简: (a-2)(b-2)=2 2 2 a +b ∴SΔ AOB=

(2) 由(a-2)(b-2)=2, 得 ab=2a+2b-2

1 |ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3≥2 (a-2)(b-2) +3=2 2 +3, 2

当且仅当 a=b=2+ 2 时,面积有最小值:2 2 +3. ?x ? 0 ? 2 2 2 11.已知平面区域 ? y ? 0 恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 及其内 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 部所覆盖. (1)试求圆 C 的方程. (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B. 满足 CA ? CB ,求直线 l 的方程. 解:(1)由题意知此平面区域表示的是以 O(0,0), P(4,0), Q(0, 2) 构成的三角形及其内部,且△ OPQ 是直角
18

19

三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆 ,故圆心是(2,1),半径是 5 ,所以圆 C 的方程是

( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 .
(2)设直线 l 的方程是: y ? x ? b . 因为 CA ? CB , 所以圆心 C 到直线 l 的距离是 即

??? ?

??? ?

| 2 ?1 ? b | 1 ?1
2 2

?

10 2

10 , 2

解得: b ? ?1 ? 5 .所以直线 l 的方程是: y ? x ? 1 ? 5 . 12、 (本题满分 16 分)已知⊙ O : x 2 ? y 2 ? 1和定点 A(2,1) ,由⊙ O 外一点 P (a, b) 向⊙ O 引切线 PQ , 切点为 Q ,且满足 | PQ |?| PA | . (1) 求实数 a、 b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心所作的⊙ P 与⊙ O 有公共点,试求半径取最小值时的⊙ P 方程. 解: (1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有 PQ ? OP ? OQ
2 2 2

又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA .即: (a2 ? b2 ) ?12 ? (a ? 2)2 ? (b ?1)2 .
2 2

化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .

(3 分)

6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? . 5 5
故当 a ?

2 2 6 时, PQ min ? 5. 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5 5 5

(7 分)

(3)设 ? P 的半径为 R ,? ? P 与 ? O 有公共点, ? O 的半径为 1,

? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ?1 .
而 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? 故当 a ?

6 5

9 , 5

3 6 时, OP ? 3 5. 此时, b ? ?2a ? 3 ? , Rmin ? 3 5 ? 1 . min 5 5 5 5 得半径取最小值时 ? P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . (12 分) 5 5 5 解法 2: ? P 与 ? O 有公共点, ? P 半径最小时为与 ? O 外切(取小者)的情形,而这些半径的最小值
为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1,圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的交点 P0. 3 3 5 -1. 2 -1 = 5 2 +1 又 l’:x-2y = 0, r=
2

y
2

A
19

P0
O 2

x

Q

20

6 ? x? , ? x ? 2 y ? 0, ,得 ? ? 5 .即 P0( 6 ,3 ). 解方程组 ? ? 5 5 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y?3 ? 5 ?
∴所求圆方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5

本章自主检测 一填空:
1.点 P (a, b ), Q (b+1 , a-1) 关于直线 L 对称,则 L 的方程是 x-y-1=0 2.过点 P(2,1)且被圆 x2+y2-2x+4y=0,截得的弦长最大的直线的方程是 3x-y-5=0 3.如果点(4,a)到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离不大于 3,那么 a 的取值范围是[0,10] 4.直线 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0, 当 k 变动时,所有直线都过定点(3,1) 5.直线 x ? 2ay ? 1 ? 0 和直线 (3a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 平行的充要条件是 a ?

1 或0 6

1 6.方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(t∈ R)表示圆方程,则 t 的取值范围是 - ? t ? 1 7
7.点 A 是圆 C: x2 ? y 2 ? ax ? 4 y ? 5 ? 0 上任意一点,A 关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称点也在圆 C 上,则实 数 a 的值为-10 8.过圆 x2+y2=4 外一点 P(4,2)作圆的两条切线,切点为 A、B,则△ABP 的外接圆方程是(x-2)2+(y-1)2=5 9.M( x0 , y 0 ) 为圆 x ? y ? a (a ? 0) 内异于圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a 2 与该圆的位置关系为
2 2 2

相离(填相切、相交、相离) 10.设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则 a ? 0
2 2

11.已知圆 C 过点 A(4,-1),且与圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 相切于点 B(1,2),则圆 C
2 2

的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

12. 若点( x,y)在直线3x ? 4 y ? 25 ? 0上移动,则x
2 2

2

? y 2的最小值为 25

13.过点 (1, 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) ? y ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率

20

21

k=

2 2

14.若圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的 倾斜角的取值范围是 ?

? ? 5? ? , ?12 12 ? ?

二解答题 15.已知 A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0)求点 D 的坐标,使四边形 ABCD 为等腰梯形. 解:设 D( x, y) ,若 AB ? CD ,则 K AB 若 AD ? BC ,则由 ? 故点 D 的坐标为 (

? KCD , AD ? BC ,易得 D( 16 , 3 )
5 5

? k AD ? k BC ? ,可解得 D(2,3) ? AB ? CD ?

16 3 , )或(2,3) 5 5

16.已知 ?ABC 的顶点 A 为(3,-1) ,AB 边上的中线所在直线方程为 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 , ? B 的平分线 所在直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在直线的方程. 解:设 B(4 y1 ?10, y1 ) ,由 AB 中点在 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 上, 可得: 6 ?

4 y1 ? 7 y ?1 ? 10 ? 1 ? 59 ? 0 ,y1 = 5,所以 B(10,5) . 2 2

设 A 点关于 x ? 4 y ? 10 ? 0 的对称点为 A '( x ', y ') ,
y? ? 4 ? x? ? 3 ? 4? ? 10 ? 0 ? ? 2 2 则有 ? A?(1,7) .故 BC : 2 x ? 9 y ? 65 ? 0 ? y? ? 1 1 ? ? ? ?1 ? x? ? 3 4 ?

2 2 17.已知圆 C1 :x ? y ? 2 和圆 C2 , 直线 l 与圆 C1 相切于点 (1,1) ; C2 的圆心在射线 2 x ? y ? 0 ( x ? 0) 圆

上,圆 C2 过原点,且被直线 l 截得的弦长为 4 3 . (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)求圆 C2 的方程. 解:(Ⅰ)(法一)∵点 (1,1) 在圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2 上, ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (法二)当直线 l 垂直 x 轴时,不符合题意. 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 1 ? 0 .

21

22

则圆心 C1 (0,0) 到直线 l 的距离 d ? r ? 2 ,即: ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 .

| ?k ? 1| k 2 ?1

? 2 ,解得 k ? ?1 ,

(Ⅱ)设圆 C2 : ( x ? a)2 ? ( y ? 2a)2 ? r 2 (a ? 0) ,∵圆 C2 过原点,∴ 5a ? r .
2 2

∴圆 C2 的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? 2a)2 ? 5a2 (a ? 0) . ∵圆 C2 被直线 l 截得的弦长为 4 3 ,∴圆心 C2 (a , 2a) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离:

d ? 5a 2 ? 12 ?

| a ? 2a ? 2 | . 2

2 整理得: a ? 12a ? 28 ? 0 ,解得 a ? 2 或 a ? ?14 .

∵ a ? 0 ,∴ a ? 2 . ∴圆 C2 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 20 . 18.已知过 A(0,1)和 B (4, a ) 且与 x 轴相切的圆只有一个,求 a 的值及圆的方程. 解:设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .因为点 A、B 在此圆上, 所以 E ? F ? 1 ? 0 ,① ,

4D ? aE ? F ? a2 ? 16 ? 0 ②,
又知该圆与 x 轴(直线 y ? 0 )相切,所以由 ? ? 0 ? D ? 4 F ? 0 ,③
2

由①、②、③消去 E、F 可得:

1 (1 ? a) D 2 ? 4 D ? a 2 ? a ? 16 ? 0 ,④ 4

由题意方程④有唯一解,当 a ? 1 时, D ? ?4, E ? ?5, F ? 4 ;当 a ? 1 时由 ? ? 0 可解得 a ? 0 , 这时 D ? ?8, E ? ?17, F ? 16 .
2 2 综上可知,所求 a 的值为 0 或 1,当 a ? 0 时圆的方程为 x ? y ? 8x ?17 y ? 16 ? 0 ;当 a ? 1 时,圆的方

程为 x ? y ? 4x ? 5 y ? 4 ? 0 .
2 2

22

23

19.已知圆 O: x2 ? y 2 ? 2 交 x 轴于 A, 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为 B

2 的椭圆,其左焦点为 F. 2

若 P 是圆 O 上一点,连结 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线于点 Q. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; y (Ⅲ)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A、B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关系?若是, Q 请证明;若不是,请说明理由. P 解:(Ⅰ)因为 a ?

2, e ?

2 ,所以 c=1 2
A F O B x

x2 C 的标准方程为 ? y 2 ? 1 则 b=1,即椭圆 2
(Ⅱ)因为 P (1,1),所以 k PF ?

1 ,所以 kOQ ? ?2 ,所以直线 OQ 的方程为 y=-2x(7 分) 第 19 题 2

又椭圆的左准线方程为 x=-2,所以点 Q(-2,4) 所以 kPQ ? ?1 ,又 kOP ? 1 ,所以 k OP ? k PQ ? ?1,即 OP ? PQ , 故直线 PQ 与圆 O 相切 (Ⅲ)当点 P 在圆 O 上运动时,直线 PQ 与圆 O 保持相切
2 2 证明:设 P( x0 , y0 ) ( x0 ? ? 2 ),则 y0 ? 2 ? x0 ,所以 k PF ?

y0 x ?1 , kOQ ? ? 0 , x0 ? 1 y0

所以直线 OQ 的方程为 y ? ? 所以点 Q(-2,

x0 ? 1 x y0

2 x0 ? 2 ) y0 2x ? 2 y0 ? 0 y0 y 2 ? (2 x0 ? 2) ? x0 2 ? 2 x0 x y ? 0 ? ? ? 0 ,又 kOP ? 0 , 所以 k PQ ? x0 ? 2 ( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2) y0 y0 x0 所以 k OP ? k PQ ? ?1,即 OP ? PQ ,故直线 PQ 始终与圆 O 相切

23


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