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高中数学必修4人教A教案2.2.3向量数乘运算及其几何意义


2. 2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标:1.掌握向量数乘的定义,理解向量数乘的几何意义; 2.掌握向量数乘的运算律; 3.理解两个向量共线的充要条件,能够运用两向量共线的条件判定 两向量是否平行. 教学重点:理解向量数乘的几何意义. 教学重点:向量共线的充要条件及其应用.

教学过程
情景平台
已知非零向量 a,把 a+

a+a 记作 3a,(-a)+(-a)+(-a)记作-3a,试作出 3a 和 -3a.
a

概念导入
我们规定 向量的数乘,记作 (1) (2) 有上可知: ? =0 时, ? a= 这种运算叫做 ,它的长度和方向规定如下:

向量数乘的几何意义是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小.

运算律
完成以下三个问题 (1)已知非零向量 a,求作向量 2(3a)和 6a,并进行比较. a

(2)已知非零向量 a,求作向量 5a 和 2a+3a,并进行比较

a

1

(3)已知非零向量 a,b,求作向量 2(a+b)和 2a+2b,并把结果进行比较分析.
a

b

总结运算律:设 ? , ? 为实数,那么
(1) ? ( ? a ) ? (?? ) a ; (2) (? ? ? ) a = ? a + ? a ; (3) ? ( a ? b ) = ? a + ? b 。 特别地,我们有 (- ? ) a =-( ? a )= ? (- a )
? ? ?
? ? ? ? ?

?

?

?

?

? (a ? b) = ? a - ? b

?

?

?

?

能力平台
例 1.计算: (1)(-3)× 4a (2)3(a+b)-2(a-b)-a (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c)

变式训练 1、点 C 在线段 AB 上,且 2、课本练习 3、5 题

AC 5 ? ,则 AC = CB 2

AB , BC =

AB .

2

3、若 3m+2n=a,m-3n=b,其中 a,b 是已知向量,求 m,n.

问题引导
1、引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗? 怎样理解两向量平行?与两直线平行有什么异同? 2、如果 a(a≠0)、b,如果有一个实数 λ,使 b=λa. 那么由向量数乘的定义,知 a 与 b 具有怎样 的位置关系? 3、已知向量 a 与 b 共线,a≠0,且向量 b 的长度是向量 a 的长度的 μ 倍,即|b|=μ|a|,那么当 a 与 b 同方向时,有 b= , 当 a 与 b 反方向时,有 b= .

有上可知:
两个向量共线的等价条件是:

能力平台
例 2 如图,已知任意两个非零向量 a、 b,试作 OA =a+b, OB =a+2b, OC =a+3b.你能判断 A、 B、

C 三点之间的位置关系吗?为什么?

例 3 如图,

ABCD 的两条对角线相交于点 M,且 AB =a, AD =b,你能用 a、b 表示

MA MB MC、和 MD 吗? 、 、

3

变式训练

1、课本练习第 4 题

2、课本练习第 6 题

【小结】 1°定义实数与向量的积 与 a 同向,且|λa|=|λ||a|=λ|a|(λ>0) λa= 与 a 反向,且|λa |=|λ||a |=-λ|a|(λ<0) a=0(λ=0) 2°实数与向量积的运算律. 3°向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ,使 b=λa. 作业:习题 2.2 A 组第 9、10 题

课下练习:习题 2.2 A 组第 11、12、13 题

课下思考:习题 2.2 B 组第 1、2、3、4、5 题

4


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