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高二数学选修4-5绝对值不等式的解法( 二)


高二数学

选修4-5

绝对值不等式的解法(2)

第一讲 不等式和绝对值不等式

复习回顾

a ,a>0 1.绝对值的定义: |a|= 0 ,a=0 -a ,a<0 2.绝对值的几何意义: 实数a绝对值|a|表示 |a| 数轴上坐标为A的点 A 到原点的距离. 0 a |a-b| A a B b
实数a,b之差的绝对值 |a-b|,表示它们在数轴上 对应的A,B之间的距离.

3.绝对值的运算性质:

a ? a,
2

a |a| ab ? a b , | |? b |b|

形如|x|<a和|x|>a (a>0)的不等式的解集:

①不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}

-a

0

a

②不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }

-a

0

a

想一想:如果 a ≤ 0 ,以上不等式的解集是什么?

解含绝对值不等式的四种常用思路。

方法一: 利用绝对值的几何意义观察 方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号, 需要分类讨论
方法三: 两边同时平方去掉绝对值符号

方法四: 利用函数图象观察
这四种思路将有助于我们有效地解决含绝 对值不等式的问题。

(1)|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①换元法:令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c型 不等式,然后再求x,得原不等式的解集。 ②分段讨论法:

?ax ? b ? 0 ?ax ? b ? 0 | ax ? b |? c(c ? 0) ? ? 或? ?ax ? b ? c ??(ax ? b) ? c

?ax ? b ? 0 ?ax ? b ? 0 | ax ? b |? c(c ? 0) ? ? 或? ?ax ? b ? c ??(ax ? b) ? c

例1.解不等式 | 3 ? 2 x |? 7.
解:原不等式 ? 2x ? 3 ? 7

? 2 x ? 3 ? ?7或2 x ? 3 ? 7

? x ? ?2或x ? 5
?原不等式的解集为{x | x ? ?2或x ? 5}.

变式练习: 解不等式 | 3 ? 2 |? 1 .
x

答案: (??,0) (1, ??)

例2.解不等式 | x ? 5x |? 6.
2

2 ? x ? ? 5 x ? ?6 2 解:原不等式 ? ?6 ? x ? 5x ? 6 ? ? 2 ? ? x ? 5x ? 6
2 ? x ? x ? 2或x ? 3 ? ? 5x ? 6 ? 0 ?? 2 ?? ? ??1 ? x ? 6 ? x ? 5x ? 6 ? 0

? ?1 ? x ? 2或3 ? x ? 6,
?原不等式的解集为(?1, 2) (3,6).
变式练习: 解不等式 1 ? | 3x ? 4 | ? 6. 10 5 2 答案 : [? , ? ) (?1, ] 3 3 3

|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较:
类型 化去绝对值后 集合上解的意义区别
{x|ax+b>-c} ∩ {x|ax+b<c}, 交 {x|ax+b<-c}∪ |ax+b|>c ax+b<-c或ax+b>c {x|ax+b>c},

|ax+b|<c

-c<ax+b<c



例3.解不等式 | x ? 3x ? 4 |? x ? 1.
2
2 2 ? ? ? x ? 3x ? 4 ? 0 ? x ? 3x ? 4 ? 0 解 1:原不等式 ? ? 2 或? 2 ? ? x ? 3x ? 4 ? x ? 1 ? ??( x ? 3x ? 4) ? x ? 1

? x ? 4或x ? ?1 ??1 ? x ? 4 ?? 或? ? x ? 5或x ? ?1 ??1 ? x ? 3

? x ? ?1, 或x ? 5,或 ? 1 ? x ? 3,
?原不等式的解集为{x | x ? ?1, 或 ?1 ? x ? 3, 或x ? 5}.

例3.解不等式 | x ? 3x ? 4 |? x ? 1.
2

解2:原不等式 ? x2 ? 3x ? 4 ? ?( x ? 1)或x2 ? 3x ? 4 ? x ? 1

? x ? 2x ? 3 ? 0 或 x ? 4x ? 5 ? 0
2 2

? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0, 或( x ? 1)( x ? 5) ? 0

? ?1 ? x ? 3, 或x ? ?1, 或x ? 5,
?原不等式的解集为{x | x ? ?1, 或 ?1 ? x ? 3, 或x ? 5}.

解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有:
(1) f ? x ? ? a (a ? 0) ? f ? x ? ? a或f ? x ? ? ? a

(2) f ? x ? ? a(a ? 0) ? ? a ? f ? x ? ? a
(3) f ? x ? ? g( x ) ? f ? x ? ? g( x )或f ? x ? ? ? g( x )

(4) f ? x ? ? g( x ) ? ? g ( x ) ? f ? x ? ? g ( x )

(5) f ? x ? ? g ? x ? ? ? ? f ? x ?? ? ?? ? g ? x ?? ?
2

2

(2) x ? a ? x ? b ? c和 x ? a ? x ? b ? c 型不等式的解法

例4. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法一:利用绝对值的几何意义. 解:如图,数轴上-2,1对应的点分别为A,B,

-3,2对应的点分别为A1,B1, A1 A B B1
-3 -2 -1 0 1 2

这种方法体现了 数形结合的思想

∵|A1A|+|A1B|=5, |B1A|+|B1B|=5, ∴数轴上,点A1和B1之间的任何一点,到点A,B 的距离之和都小于5, 而A1的左边或B1的右边的任何一点,到点A,B 的距离之和都大于5, ∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.

例4. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法二:利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,分段讨论去绝对值

解: (1)当x ? ?2时, 这种解法体现了分类讨论的思想 ? x ? ?2 ? x ? ?2 ?? ? x ? ?3. 原不等式 ? ? (1 ? x) ? ( x ? 2) ? 5 ? x ? ?3
? (2)当 ? 2 ? x ? 1时,

(3)当x ? 1时, ?x ? 1 ?x ? 1 原不等式 ? ? ?? ?x?2 ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5 ?x ? 2
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.

??2 ? x ? 1 ??2 ? x ? 1 ?? ? x ??. 原不等式 ? ? ?(1 ? x) ? ( x ? 2) ? 5 ?3 ? 5

例4. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解.

解:原不等式化为 | x ?1| ? | x ? 2 | ?5 ? 0,
构造函数 y ?| x ?1| ? | x ? 2 |, 化简得
?(1 ? x) ? ( x ? 2),x ? ?2 ? y ? ?(1 ? x) ? ( x ? 2), ? 2 ? x ?1 ?( x ? 1) ? ( x ? 2),x ? 1 ?

??2 x ? 6, x ? ?2 ? 即 y ? ??2, ? 2 ? x ?1 ?2 x ? 4, x ? 1 ?

例4. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
??2 x ? 6, x ? ?2 ? y ? ??2, ? 2 ? x ?1 ?2 x ? 4, x ? 1 ?
y

-2 -3

1 -2 2 x

如图,作出函数的图象,

函数的零点是-3,2.

由图象可知,当x ? ?3或x ? 2时,y ? 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}. 这种方法体现了函数与方程的思想.

课堂练习
1.对任意实数x,若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立,则k的取值范围是 ( B) (A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D)k≤-3 2.若不等式|x-1|+|x-3|<a的解集为空集,则a的

(??, 2]       取值范围是---------3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)

4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}. 5.解不等式:|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.

6.解不等式|5x- 6|<6-x.

答案:(0,2)

课堂小结:
1.解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。
2.主要方法有: ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化; ⑵分类讨论去绝对值符号; ⑶数形结合(运用绝对值的几何意义); ⑷利用函数图象来分析.

课后作业:
? 习题1.2 ? 8,9


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