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2015高考数学题库(新)-附加题(空间向量、抛物线、复合函数的导数)


D 的三等分点,H 为 BB1 上靠近 1. 已知边长为 6 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,E , F 为 AD、CD 上靠近
B 的三等分点, G 是 EF 的中点.
(1)求 A1H 与平面 EFH 所成角的余弦值; (2)设点 P 在线段 GH 上,且

GP ? ? ,试确定 ? 的值,使得 C1P 的长度最短.

GH

E
A
A E

D
D

F

G
P B
B

C
C

H

D1
A1
A

C1 B1
A A

z
D
D

解:如图建系:可得 E (2,0,6) , F (0, 2,6) , H (6,6, 4) , A 1 (6,0,0) . (1)设 n ? (1, x, y) , EF ? (?2, 2,0) , EH ? (4,6, ?2) 则?

E
E

F

G
P

C
C

A
A

B
B

??2 ? 2 x ? 0 ? n ? (1,1,5) ; A1H ? (0,6, 4) , 4 ? 6 x ? 2 y ? 0 ?
n ? A1H n A1H ? 26 39 ? 9 27 52

H

D1

C1 B1
A A

y

cos n, A1 H ?

x
42 . (5 分) 9

A1

A

设 A1H 与平面 EFH 所成角为 ? ,则 cos ? ?

(2)由题知 G(1,1, 6) , C1 (0,6,0) , GH ? (5,5, ?2) ,设 GP ? ?GH ? (5?,5?, ?2?) ?

P(5? ? 1,5? ? 1, ?2? ? 6) , C1 P 2 ? ? 5? ? 1? ? ? 5? ? 5 ? ? (2? ? 6) 2 ? 54? 2 ? 64? ? 58 ,
2 2

当? ?

16 时, C1P 的长度取得最小值. (10 分) 27

5. 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , A B ? A C, 顶 点 A1 在 底 面 ABC 上 的 射 影 恰 为 点 B , 且

A B ? A C? 1 AB ?2 .
(1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小;

C1 B1

A1

(2) 在棱 B1C1 上确定一点 P, 使 AP ? 14 , 并求出二面角 P ? AB ? A1 面角的余弦值.
C B

的 平

A

(第 22 题)

【解】(1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 则 C ? 2,, 0 0?,B ? 0,, 2 0?,A1 ? 0,, 2 2?,B1 ? 0,, 4 2? ,

AA1 ? ? 0,, 2 2? , BC ? B1C1 ? ? 2, ? 2, 0? .
cos? AA1,BC ? ? AA1 ? BC AA1 ? BC ? 1 ?? , 2 8? 8
………………………4 分

?4

故 AA1 与棱 BC 所成的角是 π . 3

(2)设 B1P ? ? B1C1 ? ? 2?, 4 ? 2?, 2? . ? 2?, 0 ? ,则 P ? 2?, 于是 AP ? 4? 2 ? ? 4 ? 2? ?
2

1 3 ? 4 ? 14 ? ? ? ( ? ? 舍去), 2 2

C1 P B1

A1

z

则 P 为棱 B1C1 的中点,其坐标为 P ?1 ,, 3 2 ? . …………6 分 设平面 P ? AB ? A1 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,
x C B A

?n1 ? AP ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0, ? x ? ?2 z, ? ?? ?? 则? ?2 y ? 0. ? y ? 0. ? ?n1 ? AB ? 0


y

n1 ? ? ?2, 0, 1? . ………………………………………………………………………………8 分 而平面 ABA1 的法向量是 n2=(1,0,0),则 cos? n1 , n2 ? ?

n1 ? n2 ?2 2 5 , ? ?? n1 ? n2 5 5
………………………………………10 分

故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是

2 5 . 5

2 6. 已知函数 f ( x) ? ln 2 (1 ? x) ? x , g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2 x . 1? x

? ?) 时, g ( x) ? 0 ; (1)证明:当 x ? (0,

(2)求函数 f ( x) 的极值. 【解】(1) g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2 x ,则 g ?( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x . 令 h( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x ,则 h?( x) ? 2 ? 2 ? ?2 x . 1? x 1? x 当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (?1,0) 上为增函数.
? ?) 上为减函数. 当 x>0 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0,

………………………………1 分

………………………………3 分

所以 h(x)在 x=0 处取得极大值,而 h(0)=0,所以 g ?( x) ? 0( x ? 0) ,
? ?) 上为减函数. 函数 g(x)在 (0,

…………………………………………………………4 分 ……………………………………………………5 分

当 x>0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 .
? ?) , (2)函数 f ( x) 的定义域是 (?1,

f ?( x) ?

2ln(1 ? x) x 2 ? 2 x 2(1 ? x) ln(1 ? x) ? x 2 ? 2 x ? ? , 1? x (1 ? x)2 (1 ? x)2

…………………………………6 分

由(1)知, 当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2x ? g (0) ? 0 , 当 x>0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 , 所以,当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 f ( x) 在(-1,0)上为增函数.
? ?) 上为减函数. 当 x>0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,

…………………………8 分

? ?) . 故函数 f ( x) 的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为 (0,

故 x=0 时 f ( x) 有极大值 0. 22. (本小题满分 10 分)

……………………………………………………………10 分

如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ? 90o ,AB=AC=a, A 1

C1 B1 F

1 AA1 ? b , 点 E , F 分 别 在 棱 BB1 , CC1 上 , 且 BE ? BB1 , 3 1 b C1F ? CC1 .设 ? ? . 3 a
(1)当 ? =3 时,求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小; (2)当平面 AEF ⊥平面 A1 EF 时,求 ? 的值. A

E C B (第 22 题图)

22.解:建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz . (1)设 a=1,则 AB=AC=1, AA1 ? 3,各点的坐标为
A(0,0,0) , E (1, 0,1) , A1 (0,0,3) , F (0,1, 2) .

z A1 B1 C 1 F

AE ? (1,0,1) , A1F ? (0,1, ?1) .…………2 分
∵ AE ? A1 F ? 2 , AE ? A1 F ? ?1 , ∴ cos AE , A1F ?

AE ? A1 F AE A1 F

?

1 ?? . 2 2? 2

?1

A B

E C y

∴向量 AE 和 A1 F 所成的角为 120o , ∴异面直线 AE 与 A1 F 所成角为 600 .…4 分 x (第 22 题图)

b 2b (2)∵ E (a,0, ) , F (0, a, ) , 3 3 b 2b ∴ AE ? (a,0, ), AF ? (0, a, ) . 3 3
设平面 AEF 的法向量为 n1 ( x, y, z ) , 则 n1 ? AE ? 0 ,且 n1 ? AF ? 0 .

即 ax ?

bz 2bz ? 0 ,且 ay ? ?0. 3 3 b 2b ,y?? . 3a 3a

令 z ? 1 ,则 x ? ? ∴ n1 ? (?

b 2b ? 2? , ? ,1) = (? , ? ,1) 是平面 AEF 的一个法向量. ………6 分 3a 3a 3 3 2b b 2? ? , ,1) = ( , ,1) 是平面 A1 EF 的一个法向量. ………8 分 3a 3a 3 3

同理, n2 ? (

∵平面 AEF ⊥平面 A1 EF , ∴ n1 ? n2 ? 0 .∴ ? 解得, ? ?

2? 2 2? 2 ? ?1 ? 0 . 9 9

3 . 2 3 . 2
………………………10 分

∴当平面 AEF ⊥平面 A1 EF 时, ? ?

22.已知函数 f ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2 x , x ? ?0, ? ? ? ,求 f ( x) 的最大值. 证明:由 f ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x2 ? 2 x 得 f ?( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x ,(2 分) 令 g ( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x ,则 g ?( x) ? 2 ? 2 ? ?2 x , 1? x 1? x
0) 上为增函数; 当 ?1 ? x ? 0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (?1, ? ?) 上为减函数, 当 x>0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0,

所以 g ( x) 在 x=0 处取得极大值,且 g (0) ? 0 ,(6 分) 故 f ?( x)≤0 (当且仅当 x ? 0 时取等号), 所以函数 f ( x) 为 ? 0, ? ? ? 上的减函数,(8 分) 则 f ( x)≤f (0) ? 0 ,即 f ( x) 的最大值为 0.(10 分)

22.【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

1? x , x ≥ 0 ,其中 a>0. 1? x

(1)若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)若 f ( x) 的最小值为 1,求 a 的取值范围. 解:(1) f ?( x) ?
w.w.w.k .s.5.u.c .o.m

a 2 ax 2 ? a ? 2 ? ? . 2 ax ? 1 (1 ? x) (ax ? 1)(1 ? x) 2

因 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,故 f ?(1) ? 0 ,解得 a=1 (经检验).……………………4 分 (2) f ?( x) ?
ax 2 ? a ? 2 ,因 x ≥ 0, a ? 0 ,故 ax+1>0,1+x>0. (ax ? 1)(1 ? x) 2

当 a≥2 时,在区间 (0, ??) 上 f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 递增, f ( x) 的最小值为 f(0)=1.

当 0<a<2 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

2?a 2?a ;由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? . a a

∴ f(x)的单调减区间为 (0, 于是,f(x)在 x ?

2?a 2?a ) ,单调增区间为 ( , ??) . a a

2?a 2?a ) ? f (0) ? 1 ,不合. 处取得最小值 f ( a a

综上可知,若 f(x)得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??). ……………………10 分

过抛物线 y2=4x 上一点 A(1,2)作抛物线的切线,分别交 x 轴于点 B,交 y 轴于点 D, 点 C(异于点 A)在抛物线上, 点 E 在线段 AC 上, 满足 AE =λ1 EC ; 点 F 在线段 BC 上, 满足 BF =λ2 FC , 且 λ1+λ2=1, 线段 CD 与 EF 交于点 P. (1)设 DP ? ? PC ,求 ? ; (2)当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程. B D

y A E x

O P

F C
(第 23 题图)

解:(1)过点 A 的切线方程为 y=x+1. ………………………1 分 切线交 x 轴于点 B(-1,0),交 y 轴交于点 D(0,1),则 D 是 AB 的中点.

1 所以 CD ? (CA ? CB) . 2

(1) ……3 分

由 DP ? ? PC ? DP ? PC =(1+λ) PC ? CD ? (1 ? ? )CP . (2) 同理由 AE =λ1 EC , 得 CA =(1+λ1) CE ,
BF =λ2 FC , 得 CB =(1+λ2) CF .

(3) (4)

将(2)、(3)、(4)式代入(1)得
CP ? 1 [(1 ? ?1 )CE ? (1 ? ?2 )CF ] . 2(1 ? ? )

因为 E、P、F 三点共线,所以

1+λ1 1+λ2 + =1, 2(1+λ) 2(1+λ)

1 再由 λ1+λ2=1,解之得 λ= .……………………………………………………………6 分 2 (2)由(1)得 CP=2PD,D 是 AB 的中点,所以点 P 为△ ABC 的重心. 1-1+x0 2+0+y0 所以,x= ,y= . 3 3 解得 x0=3x,y0=3y-2,代入 y02=4x0 得,(3y-2)2=12x. 由于 x0≠1,故 x≠3. 所求轨迹方程为(3y-2)2=12x (x≠3). ………………………………………………10 分 22.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,O 是 AC 的中点,E 是线段 D1O 上一点,且 D1E=λEO.

(1)若 λ=1,求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值; (2)若平面 CDE⊥ 平面 CD1O,求 λ 的值. 【解】(1)不妨设正方体的棱长为 1,以 DA, DC, DD1 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . 则 A(1,0,0), O 1 ,1 , 1 0? ,D1(0,0,1), 0 , C ? 0,, 2 2 A1 CB A

D1

C1 B1 CB A C B A

?

?

? 于是 DE ? ? 1 ,1 ,1 ? , CD ? ? 0, ?1 , 1? . 4 4 2
E 1 ,1 ,1 , 4 4 2

?

A
1

1

D C O B A (第 22 题)

E B A

B A

由 cos ? DE, CD1 ? =

DE ? CD1 | DE |? | CD1 |



3 . 6 3 . 6

所以异面直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为

………5 分

CO =0,m· (2)设平面 CD1O 的向量为 m=(x1,y1,z1),由 m· CD1 =0

? 1 x ? 1 y ? 0, ? 得 ?2 1 2 1 取 x1=1,得 y1=z1=1,即 m=(1,1,1) . ? ? y ? z ? 0 , ? 1 1

………7 分

? ? 1 ? ? 1 ? ? ? 由 D1E=λEO,则 E ? ? 2(1 ? ? ),2(1 ? ? ) ,1 ? ? ? , DE = ? 2(1 ? ? ),2(1 ? ? ) ,1 ? ? ? . ? ? ? ?
DE =0. CD =0,n· 又设平面 CDE 的法向量为 n=(x2,y2,z2),由 n·

? y2 ? 0, ? 得 ? ? x2 取 x2=2,得 z2=-λ,即 n=(-2,0,λ) . ? y2 z2 ? 2(1 ? ? ) ? 2(1 ? ? ) ? 1 ? ? ? 0, ?

因为平面 CDE⊥ 平面 CD1F,所以 m· n=0,得 λ=2.

……10 分

23.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线的顶点在原点,焦点为 F(1,0).过抛物线在 x 轴上方的 不同两点 A 、 B 作抛物线的切线 AC 、 BD ,与 x 轴分别交于 C 、 D 两点,且 AC 与 BD 交 y 于点 M ,直线 AD 与直线 BC 交于点 N . A (1)求抛物线的标准方程; (2)求证: MN ? x 轴; (3)若直线 MN 与 x 轴的交点恰为 F(1,0), 求证:直线 AB 过定点. 解:(1)设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 由题意,得
p ? 1 ,即 p ? 2 . 2
2

M N O D F B

C

x

(第 23 题)

所以抛物线的标准方程为 y ? 4 x .………………………3 分

(2)设 A( x1, y1 ) , B( x2, y2 ) ,且 y1 ? 0 , y2 ? 0 . 由 y 2 ? 4 x ( y ? 0 ),得 y ? 2 x ,所以 y? ? 1 . x 所以切线 AC 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 ( x ? x1 ) . y1 x1 整理,得 yy1 ? 2( x ? x1 ) , 且 C 点坐标为 (? x1, 0) . 同理得切线 BD 的方程为 yy2 ? 2( x ? x2 ) ,② 且 D 点坐标为 (? x2, 0) . 由①②消去 y ,得 xM ? 又直线 AD 的方程为 y ? 直线 BC 的方程为 y ? ①

x1 y2 ? x2 y1 .……………5 分 y1 ? y2

y1 ( x ? x2 ) ,③ x1 ? x2

y2 ( x ? x1 ) . ④ x1 ? x2
x1 y2 ? x2 y1 . y1 ? y2

由③④消去 y ,得 xN ?

所以 xM ? xN ,即 MN ? x 轴. …………………7 分
y0 ) ,代入(1)中的①②,得 y0 y1 ? 2(1 ? x1 ) , y0 y2 ? 2(1 ? x2 ) . (3)由题意,设 M (1, y1 ), B( x2, y2 ) 都满足方程 y0 y ? 2(1 ? x) . 所以 A( x1,

所以直线 AB 的方程为 y0 y ? 2(1 ? x) .
0) .……………………………10 分 故直线 AB 过定点 (?1,

21. 如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 4 , AD ? 2 , AA 1 ? 2 , F 是棱 BC 的中点,点 E 在 棱 C1 D1 上,且 D1E ? ?EC1 ( ? 为实数). (1)当 ? ?

1 时,求直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的正弦值的大小; 3

(2)求证:直线 EF 不可能与直线 EA 垂直.

22.(本小题满分 10 分) 如图,已知定点 R(0,-3),动点 P,Q 分别在 x 轴和 y 轴上移动,延长 PQ 至点 M,使 PQ ? 1 QM ,且 PR ? PM ? 0 . 2 (1)求动点 M 的轨迹 C1; (2)圆 C2: x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ,过点(0,1)的直线 l 依次交 C1 于 A,D 两点(从 左到右),交 C2 于 B,C 两点(从左到右),求证: AB ? CD 为定值. O R M y

Q x P

1 解:(1)法一:设 M(x,y),P(x1,0),Q(0,y2),则由 PR ? PM ? 0, PQ ? QM 及 2
R(0,-3),得
? ?? x1 ( x ? x1 ) ? (?3) y ? 0, ? 1 ? 化简,得 x 2 ? 4 y . ………………4 分 ?? x1 ? x, 2 ? 1 1 ? y2 ? y ? y 2 . ? ? 2 2

(第 22 题)

所以,动点 M 的轨迹 C1 是顶点在原点,开口向上的抛物线. ………………5 分 法二:设 M(x,y).

1 由 PQ ? QM ,得 2

P( ?

x , 0Q ), 2

y ( 0. , ) 3

x 3x 所以, PR ? ( , ?3), PM ? ( , y) . 2 2
由 PR PM ? 0 ,得

x 3 3 ( , ?3) ? ( x, y) ? 0 ,即 x2 ? 3 y ? 0 .化简得 x 2 ? 4 y . …4 分 2 2 4

所以,动点 M 的轨迹 C1 是顶点在原点,开口向上的抛物线. ………………5 分 (2)证明:由题意,得
A B? C D ? AB ? C D C2 的圆心即为抛物线 C1 的焦点 F. ,⊙

设 A( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 AB ? FA ? FB ? y1 ? 1 ? 1 ? y1 .

……………7 分

同理

C D? 2 y.

设直线 l 的方程为 x ? k ( y ? 1) .

? x ? k ( y ? 1), 1 2 ? 2 2 2 2 2 由? 1 2 得 y ? k ( y ? 1) ,即 k y ? (2k ? 4) y ? k ? 0 . 4 y ? x , ? ? 4
所以, AB ? CD ? AB ? CD ? y1 y2 ? 1 . ………………10 分

22. 必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1B ? 平面ABC , AB ? AC ,且 AB ? AC ? A1B ? 2 . (1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值为 2 5 . 5 【解】(1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 则 C ? 2,, 0 0?,B ? 0,, 2 0?,A1 ? 0,, 2 2?,B1 ? 0,, 4 2? ,
C1 B1 A1

AA1 ? ? 0,, 2 2? , BC ? B1C1 ? ? 2, ? 2, 0? .
cos? AA1,BC ? ? AA1 ? BC AA1 ? BC ? 1 ?? , 2 8? 8
………………………4 分

?4

C B

A

故 AA1 与棱 BC 所成的角是 π . 3 (2)P 为棱 B1C1 中点,

(第 22 题)
C1 P B1 A1

设 B1P ? ? B1C1 ? ? 2?, 4 ? 2?, 2? . ? 2?,0? ,则 P ? 2?, 设平面 PAB 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? , AP= ? 2?, 4 ? 2?, 2? ,

z

? ?n ? AP ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0, ? z ? ?? x, 则? 1 ?? ?? ?2 y ? 0 ? y ? 0. ? ?n1 ? AB ? 0
故 n1 ? ?1 , 0, ? ? ? ……………………………………………8 分 而 平 面 ABA1 的 法 向 量 是
cos? n1 , n2 ? ? n1 ? n2 1 2 5 ? ? , 2 n1 ? n2 5 1? ?

x C B A

y

n2=(1 , 0 , 0) , 则

解得 ? ?

1 ,即 P 为棱 B1C1 中点,其坐标为 P ?1 …………………10 分 ,, 3 2? . 2

23.【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 已知函数 f ( x) ? (2x ? 1)ln(2x ? 1) ? a(2x ? 1)2 ? x(a ? 0) .

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处取极值,求 a 的值;

1 (2) 如图, 设直线 x ? ? , y ? ? x 将坐标平面分成Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ 、 Ⅳ 四个区域 (不含边界) , 若函数 y ? f ( x) 2
的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的 a 的取值范围; (3)比较 32 ? 43 ? 54 ? ???? 20122011 与 23 ? 34 ? 45 ? ???? 20112012 的大小,并说明理由. 解: f ( x) ? (2x ? 1)ln(2x ? 1) ? a(2x ? 1)2 ? x(a ? 0) , Ⅰ Ⅱ Ⅱ
? 1 2

y
x Ⅲ

f ? ( x) ? 2ln(2x ? 1) ? 4a(2x ? 1) ? 1 .
∵ f ( x) 在 x ? 0 处取极值,∴ f ? (0) ? ?4a ? 1 ? 0 .

1 1 ∴ a ? (经检验 a ? 符合题意).……………3 分 4 4 1 (2)因为函数的定义域为 (? , ??) , 2
且当 x ? 0 时, f (0) ? ?a ? 0 .

O

Ⅲ Ⅳ

x x

(第 23 题)

又直线 y ? ?x 恰好通过原点,所以函数 y ? f ( x) 的图象应位于区域Ⅳ内, 于是可得 f ( x) ? ? x ,即 (2 x ? 1)ln(2 x ? 1) ? a(2 x ? 1)2 ? x ? ? x .…………………………5 分 ∵ 2 x ? 1 ? 0 ,∴ a ? 令 h?( x) ? 0 ,得 x ?
2 ? 2 ln(2 x ? 1) ln(2 x ? 1) ln(2 x ? 1) .令 h( x) ? ,∴ h? ( x) ? . (2 x ? 1) 2 2x ? 1 2x ? 1

e ?1 . 2

1 1 e ?1 ∵ x ? ? ,∴ x ? (? , ) 时, m?( x) ? 0 , m( x) 单调递增, 2 2 2 x ?( e ?1 , ??) 时, m?( x) ? 0 , m( x) 单调递减. 2 e ?1 1 )? . 2 e

∴ hmax ( x) ? h(

1 ∴ a 的取值范围是 a ? . ………………………7 分 e
(3)法一:由(2)知,函数 m( x) ? 函数 p( x) ? ∴

ln(2x ? 1) e ?1 时单调递减, 在x ? ( , ??) 2x ? 1 2

ln x 在 x ? (e, ??) 时单调递减. x

ln( x ? 1) ln x ? ,? x ln( x ? 1) ? ( x ? 1)ln x . x ?1 x

∴ ln( x ? 1) x ? ln x( x ?1) ,即 ( x ? 1) x ? x( x?1) .……………………………………………………9 分 ∴ 令x ? 3, 4, ???, 2011, 则 43 ? 34 ,54 ? 45 , ???, 20122011 ? 20112012 , 又 32 ? 43 ? 23 ? 34 ,所以 32 ? 43 ? 54 ????20122011 ? 23 ? 34 ? 45 ????20112012 .………………10 分

2011

2012 (2011 ? 1) 法二: ? 2012 2011 20112012
2011

2011

?

?C
r ?0

r 2011

20112011?r

20112012



r r ∵ C2011 ? 2011r ,?C2011 20112011?r ? 20112011 ,
2011



?C
r ?0

r 2011

20112011? r ?

20112012

0 1 2009 1 C2011 20112011 ? C2011 20112010 ? ? C2011 20112 ? C2011 2011 ? 1 2012 2011

?

1 1 ? ? 2011 2011

?

1 ?1 2011

∴ 20122011 ? 20112012 ,同理可得 43 ? 34 ,54 ? 45 ,以下同一.

22.(本小题满分 10 分) 如图,圆锥的高 PO ? 4 ,底面半径 OB ? 2 , D 为 PO 的中点, E 为母线 PB 的中点, F 为底面圆周上 一点,满足 EF ? DE . (1)求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值; (2)求二面角 O ? DF ? E 的正弦值. D E P

A

O F
(第 22 题)

B

22.解:(1)以 O 为原点,底面上过 O 点且垂直于 OB 的直线为 x 轴,OB 所在的线为 y 轴,

OP 所在的线为 z 轴,建立空间直角坐标系,则:
B(0, 2,0), P(0,0, 4) , D(0,0, 2), E (0,1, 2) .

……1 分

设 F ( x0 , y0 ,0) ( x0 ? 0, y0 ? 0) ,且 x02 ? y02 ? 4 , 则 EF ? ( x0 , y0 ? 1, ?2), DE ? (0,1,0) , ……2 分 ……3 分 ……4 分
4 7 ?2 2 ? 14 . 7

EF ? DE 即 EF ? DE ,则 EF DE ? y0 ? 1 ? 0 ,故 y0 ? 1 .
? , F ( 3,1,0), EF ? ( 3,0, ?2) , BD ? (0, ?2,2) .
设异面直线 EF 与 BD 所成角为 ? ,则 cos a ?
EF ? BD EF BD ?

……5 分

? ?n ? OD, (2)设平面 ODF 法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? ? ? n ? OF ,

z1 ? 0, ? ? 即? ? ? 3x1 ? y1 ? 0.

令 x1 ? 1 ,得 y1 ? ? 3 ,平面 ODF 的一个法向量为 n1 ? (1, ? 3,0) . 设平面 DEF 法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 同理可得平面 DEF 的一个法向量为 n2 ? (1, 0,
3 ). 2

……6 分

……8 分

设二面角 O ? DF ? E 的平面角为 ? ,则 | cos b | ? |
42 . 7

n1 ? n2 n1 n2

|?

1 7

?

7 . 7

……9 分

∴ sin b ?

……10 分

4、对称轴为坐标轴,顶点在坐标原点的抛物线 C 经过两点 A(a,2a)、B(4a,4a),(其中 a 为正常数). (1)求抛物线 C 的方程; (2)设动点 T (m,0)(m ? a) ,直线 AT、BT 与抛物线 C 的另一个交点分别为 A1、B1,当 m 变化时,记所有 直线 A1 B1 组成的集合为 M,求证:集合 M 中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上. 4.解:(1)当抛物线焦点在 x 轴上时,设抛物线方程 y2=2Px,
2 ? ? 4a ? 2 pa ∵? 2 ? ?16a ? 8 pa

∴ P=2a…………………………2′

∴ y2=4ax 当抛物线焦点在 y 轴上时,设抛物线方程 x2=2py
2 ? ?16a ? 8 pa ∵? 2 ? ? a ? 4 pa

∴ 方程无解

∴ 抛物线不存在…………………………4′

(2)设 A1(as2,2as)、B1(at2,2at) T(m,0)(m>a) ∵kTA ? kTA1 2a 2as ∴ = a-m as2-m m a

∴ as2+(m-a)s-m=0 ∵ (as+m)(s-1)=0 ∴ S=-

m2 ∴ A1( ,-2m) …………………………5′ a ∵kTB ? kTB1 4a 2at ∴ = 4a-m at2-m ∴ (2at+m)(t-2)=0 m ∴ B 1( ,-m) …………………………6′ 4a -2m+m m2 )…………………………7′ 2 2 (xm m a a 4a
2

∵ 2at2+(m-4a)t-2m=0 ∴ t=m 2a

∴l A1B1 的直线方程为 y+2m=

∵ 直线的斜率为 ?

4a 在 ( a,??) 单调 3m

∴ 所以集合 M 中的直线必定相交,…………………………8′ ∵ 直线的横截距为 ?

2m m2 在 ( a,??) 单调,纵截距为 ? 在 ( a,??) 单调 3 2a

∴ 任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上。

3、如图,在三棱锥 P ? ABC 中,平面 ABC ⊥ 平面 APC , AB ? BC ? AP ? PC ? 2 ,

?ABC ? ?APC ? 90? .
(1)求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (2)若动点 M 在底面三角形 ABC 上,二面角 M-PA-C 的余弦值为

3 11 ,求 BM 的最小值. 11

P

A

C

B
5. 解 : 取 AC 中 点 O, 因 为 AB=BC , 所 以

z

P

OB ? OC ,
∵ 平面 ABC ⊥ 平面 APC 平面 ABC ? 平面 APC =AC, ∴OB ? 平面 PAC ∴OB ? OP …………………………1′ 以 O 为坐标原点,OB、OC、OP 分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为 AB=BC=PA= 2 ,所以 OB=OC=OP=1 从而 O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0), C(0,1,0),P(0,0,1), ……………………2′ ∴BC ? (?1,0,1), PB ? (1,0,?1), AP ? (0,1,1) 设平面 PBC 的法向量 n1 ? ( x, y, z) , 由 BC ? n1 ? 0, PB ? n1 ? 0 得方程组

A

O
B

C

y

x

?? x ? y ? 0 ,取 n1 ? (1,1,1) …………………………3′ ? ?x ? z ? 0

∴cos ? AP, n1 ??

AP ? n1 AP n1

?

6 3
6 。…………………………4′ 3

∴ 直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为

(2)由题意平面 PAC 的法向量 n2 ? (1,0,0) ,…………………………5′ 设平面 PAM 的法向量为 n3 ? ( x, y, z ), M (m, n,0) ∵ AP ? (0,1,1), AM ? (m, n ? 1,0) 又因为 AP ? n3 ? 0, AM ? n3 ? 0 ∴?

?y ? z ? 0 n ?1 ,?1,1) ,…………………………7′ 取 n3 ? ( m m x ? ( m ? 1 ) y ? 0 ?
n2 ? n3 n2 n3 ? n ?1 m ? n ? 1? ? ? ?2 ? m ?
2

∴cos ? n2 , n3 ??

?

3 11 11

? n ?1? ∴? ? ?9 ? m ?
∴n ? 1 ? 3m 或 n ? 1 ? ?3m (舍去) ∴ B 点到 AM 的最小值为垂直距离 d ?

2

10 。…………………………10′ 5

22.(本小题满分 10 分) 如图,三棱锥 P-ABC 中,已知 PA⊥ 平面 ABC,△ ABC 是边长为 2 的正三角形,D,E 分别为 PB, PC 中点. (1)若 PA=2,求直线 AE 与 PB 所成角的余弦值; (2)若平面 ADE⊥ 平面 PBC,求 PA 的长.
D B A B B P B E B

C B

(第 22 题) A 且与 FB 平行的直线为 22.解(1)如图,取 AC 的中点 F,连接 BF,则 BF⊥AC.以 A 为坐标原点,过

x 轴,AC 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系. 则 A(0,0,0),B( 3,1,0), C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1), 从而PB=( 3,1,-2), AE=(0,1,1).

z P B D B A F C y B x B E B





设直线 AE 与 PB 所成角为 θ, 1 则 cosθ=| |= . 4 → → |PB|×|AE| 1 即直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为 . 4 …………………… 4 分 PB· AE

→→

(2)设 PA 的长为 a,则 P(0,0,a),从而PB=( 3,1,-a),PC=(0,2,-a). 设平面 PBC 的法向量为 n1=(x,y,z),则 n1· PB=0,n1· PC=0, 所以 3x+y-az=0,2y-az=0. 令 z=2,则 y=a,x= 所以 n1=( 3 a. 3









3 a,a,2)是平面 PBC 的一个法向量. 3 3 1 a a , , ),E(0,1, ), 2 2 2 2

因为 D,E 分别为 PB,PC 中点,所以 D( 则AD=(



3 1 a → a , , ),AE=(0,1, ). 2 2 2 2

设平面 ADE 的法向量为 n2=(x,y,z),则 n2· AD=0,n2· AE=0. 所以 3 1 a a x+ y+ z=0,y+ z=0. 2 2 2 2 3 a. 3 …………………… 8 分





令 z=2,则 y=-a,x=- 所以 n2=(-

3 a,-a,2)是平面 ADE 的一个法向量. 3

因为面 ADE⊥ 面 PBC, 所以 n1⊥ n2,即 n1· n2=( 3 3 1 a,a,2)· (- a,-a,2)=- a2-a2+4=0, 3 3 3 …………………… 10 分

解得 a= 3,即 PA 的长为 3.

23. (本小题满分 10 分)

2 , BB1 ? 3 , D 为 AC 如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,底面是等腰直角三角形, AB ? BC ? 1 1
的中点, F 在线段 AA1 上.

(1)若 CF ? 平面 B1DF ,求 AF ; (2)设 AF ? 1 ,求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

B1 A1 F D

C1

B A
(第 23 题)

C

B 点为原点, BA、BC、BB1 分别为 x、y、z 轴建立如 23. 解:(1)因为直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,以
图所示空间直角坐标系. 因为 AB ? BC ? 2 ,所以 B(0 , 0, 0), A( 2,0, 0) C(0,2,0), B1 (0, 0, 3), A1 ( 2,0, 3), C1 (0,2,3) , 所以 CA 1 ? ( 2, ? 2,3) . 设 AF ? x, 则 F ( 2,0, x) z B1 D C1

CF ? ( 2, ? 2, x), B1F ? ( 2,0, x ? 3) .
因为 CF ⊥ 平面 B1DF ,所以 CF ? B1F . 由 CF B1F ? 2 ? x( x ? 3) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 2 , 故 当

A1 F B

C y

CF

⊥ 平



B1 D 时 F , 可 得

AF ? 1

2 .………………………………………………… 5 分
(2)由(1)知平面 ABC 的法向量为 n1 ? (0,0,1) . 设平面 B1CF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则由 ?

或 A

x

?n ? CF ? 0 ? ? ?n ? B1 F ? 0

,得 ?

? 2 x ? 2 y ? z ? 0, ? ? ? 2 x ? 2 z ? 0,

令 z ? 1 得 n ? ( 2,

3 2,1) , 2

所以平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值

cos ? n, n1 ??

1 9 1? 2 ? ? 1 2

?

30 15

………………………………………………10 分

24. (本小题满分 10 分) 已知常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln(1 ? ax) ? (1)讨论 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的单调性; (2)若 f ( x ) 存在两个极值点 x1 , x2 , 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,求 a 的取值范围. 24. 解:(1)f′(x)= 2(x+2)-2x ax2+4(a-1) a - = .(*) 2 1+ax (x+2) (1+ax)(x+2)2

2x . x?2

当 a≥1 时,f′(x)>0,此时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 当 0<a<1 时,由 f′(x)=0 得 x1=2 1-a? a ? ?x2=-2 1-a ? 舍去?. a ?

当 x∈ (0,x1)时,f′(x)<0; 当 x∈ (x1,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在区间(0,x1)上单调递减, 在区间(x1,+∞)上单调递增. 综上所述, 当 a≥1 时,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; 当 0<a<1 时,f(x)在区间?0,2 (2)由(*)式知,当 a≥1 时,f′(x)≥0, 此时 f(x)不存在极值点,因而要使得 f(x)有两个极值点,必有 0<a<1. 又 f(x)的极值点只可能是 x1=2 1 x>- 且 x≠-2, a 所以-2 1-a 1 >- ,-2 a a 1-a ≠-2, a 1-a 和 x2=-2 a 1-a ,且由 f(x)的定义可知, a

? ?

1-a? ? ?上单调递减,在区间?2 a ? ?

1-a ? ,+∞?上单调递增. 4 分 a ?

1 解得 a≠ .此时,由(*)式易知,x1,x2 分别是 f(x)的极小值点和极大值点. 2 而 f(x1)+f(x2)=ln(1+ax1)- 2x1 2x2 +ln(1+ax2)- =ln[1+a(x1+x2)+a2x1x2]- x1+2 x2+2

4x1x2+4(x1+x2) 4(a-1) 2 =ln(2a-1)2- =ln(2a-1)2+ -2. x1x2+2(x1+x2)+4 2a-1 2a-1 1 令 2a-1=x.由 0<a<1 且 a≠ 知, 2

1 当 0<a< 时,-1<x<0; 2 1 当 <a<1 时,0<x<1. 2 2 记 g(x)=ln x2+ -2. x ………………………………6 分

2 2 2 2x-2 (i)当-1<x<0 时,g(x)=2ln(-x)+ -2,所以 g′(x)= - 2= 2 <0, x x x x 因此,g(x)在区间(-1,0)上单调递减, 从而 g(x)<g(-1)=-4<0. 1 故当 0<a< 时,f(x1)+f(x2)<0. 2 2 (ii)当 0<x<1 时,g(x)=2ln x+ -2, x 2 2 2x-2 所以 g′(x)= - 2= 2 <0, x x x 因此,g(x)在区间(0,1)上单调递减, 1 从而 g(x)>g(1)=0.故当 <a<1 时,f(x1)+f(x2)>0. 2 1 ? 综上所述,满足条件的 a 的取值范围为? ?2,1?. 24. 已知动圆 C 过点 (1,0) 且与直线 x ? ?1 相切. (1)求动圆圆心 C 的轨迹 E 方程; (2)设 A, B 为轨迹 E 上异于原点 O 的两个不同点,直线 OA, OB 的倾斜角分别为 ? , ? , 且 ? ? ? ? 45? .当 ? , ? 变化时,求证:直线 AB 恒过定点,并求出该定点的坐标. 24. 解:(1) y ? 4 x ………………………………………………………………………4 分
2

………………………………10 分

(2)设 OA: y ? kx ( k ? (0,1) )

kOB ? tan ? ? tan(45 ? ? ) ?

1? k 1? k x ,? OB : y ? 1? k 1? k

1? k ? x ? y ? kx 4 4 4( x ? k )2 4(1 ? k ) ?y ? 由? 2 , ) ? A( 2 , ) ,由 ? 1 ? k ? B( (1 ? k )2 1? k k k 2 ? y ? 4x ? ? y ? 4x
下证 A、B、Q(-4,4)三点共线:

kQA ? kQB

4 4(1 ? k ) ?4 ?4 k (1 ? k ) k (1 ? k ) k 1 ? k ? ? ? ? ?0 2 4 4(1 ? k ) 1? k 2 1? k 2 ? 4 ?4 k2 (1 ? k ) 2

? 直线 AB 恒过定点 Q(-4,4). …………………………………………………………10 分

22.(本小题满分 10 分) 己知直线 l : y ? 2 x ? 4 与抛物线 C : y 2 ? 4 x 相交于 A, B 两点,T ? t ,0? (t ? 0 且 t ? 2 ) 为 x 轴上任意 一点,连接 AT , BT 并延长与抛物线 C 分别相交于 A1 , B1 . (1)设 A1B1 斜率为 k ,求证: k ? t 为定值; (2)设直线 AB, A1B1 与 x 轴分别交于 M , N ,令

S?ATM ? S1, S?BTM ? S2 , S?B1TN ? S3 , S?ATN ? S4 , 1
若 S1 , S2 , S3 , S4 构成等比数列,求 t 的值.
M NM

22.解:(1) ?

? y ? 2x ? 4
2 ? y ? 4x

? A(4, 4) , B(1, ?2) ,



m2 n2 , m) ,B1 ( , n) , A1 ( 4 4
k AT ? k A1T ? 4 m ? 2 ? m 2 ? 4t ? 4m ? tm ? m(m ? 4) ? t (4 ? m) 4?t m ?t 4
3t t2 ? t 4
2

? m ? ?t ? A1 (

t2 , ?t ) ,同理: B1 (t 2 , 2t ) ? k ? 4

?

4 ? kt ? 4定值. …5 分 t

(2)A1B1: y ? 2t ?

4 t2 ( x ? t 2 ), 令y ? 0得N ( , 0), 而M (2, 0) t 2

t2 ? t t t2 TN ? y A1 S t2 S1 y 1 ? 2 ? ? ? S 4 ? S1 ? A ? 2 ? S2 ? S1 , 4 ? S1 TM ? y A t?2 4 8 8 S2 yB 2

t (t ? 2) 2t t 2 S3 TN ? yB1 t2 2 ? ? ? ? ? S3 ? S1 S1 TM ? y A t?2 4 4 4

S1 , S2 , S3 , S4 构成的等比数列,∴t 2 ? 1 而 t ? 0 ? t ? 1 .
23.(本小题满分 10 分)

………………10 分

?ABC 为直角三角 如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,底面


B1 C1



?ACB ?

?
2

, 顶 点 C1 在 底 面 ?ABC 内 的 射 影 是 点 B , 且
A1

T A

B

C

AC ? BC ? BC1 ? 3 ,点 T 是平面 ABC1 内一点.
(1)若 T 是 ?ABC1 的重心,求直线 AT 1 与平面 ABC1 所成角; (2)是否存在点 T ,使 TB1 ? TC 且平面 TAC 1 1 ? 平面 ACC1 A 1 ,若存在,求出线段 TC 的长度,若不存 在,说明理由. 23.解:如图以 CB、CA 分别为 x,y 轴,过 C 作直线 Cz//BC1,以 Cz 为 z 轴

? B(3,0,0), C(0,0,0), A(0,3,0),C1 (3,0,3)

CB1 ? CC1 ? CB ? (6,0,3) ? B1 (6,0,3)

B1 z A1 C1

CA1 ? CC1 ? CA ? (3,3,3) ? A1 (3,3,3)
(1)T 是△ ABC1 重心 ? T (2,1,1) ? TA 1 ? (1,2,2) 设面 ABC1 的法向量为 n1 ? ( x1, y1, z1 ), AB ? (3, ?3,0)

x T y A B

?3x1 ? 3 y1 ? 0 ? z1 ? 0 ?? ?? ? 取法向量 n1 ? (1,1,0) ?3x1 ? 3 y1 ? 3z1 ? 0 ? x1 ? y1
? cos ? TA1 , n1 ?? 3 3? 2 ? 2 ? ?? TA1 , n1 ?? 2 4

C

设 TA1 与面 ABC1 所成角为 ? ? ? ?

?
2

? ? TA1 , n1 ??

?
4

.

………………5 分

(2)T 在面 ABC1 内, CT ? CB ? BT ? CB ? mBC 1 ? nBA ? ? 3 ? 3n ,3n ,3m ? , 即 T (3 ? 3n,3n,3m) .由 TB1 ? TC 得

(3 ? 3n)2 ? (3n)2 ? (3m)2 ? (3n ? 3)2 ? (3n)2 ? (3m ? 3)2 ? ?2m ? 4n ? ?1 ①
设面 CAA1C1 法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ), CA ? (0,3,0), CC1 ? (3,0,3)

?3 y2 ? 0 ?? ? 取 n2 ? (1,0,?1) ?3x2 ? 3z2 ? 0
设面 TA1C1 法向量为 n3 ? ( x3 , y3 , z3 ), C1 A 1 ? (0,3,0), C 1T ? (?3n,3n,3m ? 3)

? y3 ? 0 ?? ? 取 n3 ? (m ? 1,0, n) , 由 平 面 TAC 1 1 ? 平 面 ACC1 A 1 得 ??3nx3 ? (3m ? 3) z3 ? 0
cos ? n2 , n3 ?? m ?1 ? n 2 ? (m ? 1) 2 ? n 2 ? 0 ? m ? n ? 1②

由① ② 解得 n ?

1 3 3 11 ?3 3 9? , m ? ,? 存在点 T ? , , ? ,TC= . 2 2 2 ?2 2 2?

………10 分

22.(本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1 ? AB ? AC ? 1,AB⊥AC,M,N 分别是棱 CC1,BC 的中点,点 P

在直线 A1B1 上. (1)求直线 PN 与平面 ABC 所成的角最大时,线段 A1 P 的长度; (2)是否存在点 P,使平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 ? ,若存在,请指明点 P 的位置;若不存 6 在,请说明理由. P
B1 C1 A1

A

M

B

N (第 22 题)

C

22.解:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,则 A1(0,0,1),B1(1,0,1), M(0,1, 1 ),N( 1 , 1 ,0), A 1P ? ? A 1B 1 ? ? ?1,0,0? , 2 2 2

1 ? ? , 1 , ?1 .……………2 分 AP ? AA 1?A 1P ? ? ?,0,1? ; PN ? 2 2
(1)∵ m ? ? 0,0,1? 是平面 ABC 的一个法向量. ∴ sin ? ?| cos ? m, PN ?|?
| 0 ? 0 ? 1| 1 ? , 2 1 2 5 1 1 ( ? ?) ? ? 1 (? ? ) ? 2 4 2 4
B B1

?

?

z P

A1 C1

A

M

∴当 ? ? 1 时, ? 取得最大值,此时 sin ? ? 2 5 , tan ? ? 2 2 5 答:当 ? ? 1 时, ? 取得最大值,此时 tan ? ? 2 .………………5 分 2

x

y

(2)设存在, NM ? ? 1 , 1 , 1 ,设 n ? ? x, y, z ? 是平面 PMN 的一个法向量. 2 2 2
? y ? 1 ? 2? x, ?? 1 x ? 1 y ? 1 z ? 0, ? ? 2 3 2 2 则? 得? 令 x=3,得 y=1+2 ? ,z=2-2 ? ; 1 1 2 ? 2? x, ?( ? ? ) x ? y ? z ? 0, ? z ? ? 2 2 3 ?

?

?

∴ n ? ? 3,1 ? 2? ,2 ? 2? ? , ∴ | cos ? m , n ?|?
2 ? 2? 9 ? ?1 ? 2? ? ? ? 2 ? 2? ?
2 2

……………7 分
? 3 ,化简得 4 ? 2 ? 10? ? 13 ? 0 (*) 2

∵△=100-4 ? 4 ? 13=-108<0,∴方程(*)无解, ∴不存在点 P 使得平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 30?.…………10 分

22. 如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 , E , F 分别在棱 AA1 和 CC1 上(含线段端点). (1)如果 AE ? C1F ,试证 明 B, E, D1 , F 四点共面;

BFE 所成角等于 (2)在(1)的条件下,是否存在一点 E ,使得直线 A 1B 和平面
的位置;如果不存在,试说明理由.

? ?如果存在,确定 E 6

解:(1)共面;(2) E 与 A 重合时

23.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C: y 2 ? 4 x ,F 为其焦点,点 E 的坐标为(2,0),设 M 为抛物线 C 上异于顶点的动点,直线 MF 交抛物线 C 于另一点 N,链接 ME,NE 并延长分别交 抛物线 C 与点 P,Q. (1)当 MN ? Ox 时,求直线 PQ 与 x 轴的交点坐标; (2)当直线 MN,PQ 的斜率存在且分别记为 k1,k2 时,求证: k1 ? 2k2 . 【解】(1)抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点 F(1,0) . 当 MN ? Ox 时,直线 MN 的方程为 x ? 1 . 将 x ? 1 代入抛物线方程 y 2 ? 4 x ,得 y ? ?2 . 不妨设 M (1,2) , N (?1 ,2) , 则直线 ME 的方程为 y ? ?2 x + 4 ,
? y ? ?2 x ? 4 , 由? 2 解得 x ? 1 或 x ? 4 ,于是得 P(4 ,? 4) . ? y ? 4x
4) ,所以直线 PQ 的方程为 x ? 4 . 同理得 Q(4 ,

故直线 PQ 与 x 轴的交点坐标(4,0).………………………………………………4 分 (2)设直线 MN 的方程为 x ? my ? 1 ,

并设 M ( x1 ,y1 ),N ( x2 ,y2 ),P( x3 ,y3 ), Q( x4 ,y4 ) .
? x ? my ? 1, 2 由? 得y ? 4my ? 4 ? 0 , 2 ? y ? 4x

于是 y1 y2 ? ?4 ① ,从而 x1 x2 ?

y12 y22 ? ? 1 ②. 4 4

设直线 MP 的方程为 x ? t y ? 2 ,
?x ? t y ? 2 , 2 由? 得y ? 4my ? 8 ? 0 , 2 y ? 4 x ?

所以 y1 y3 ? ?8 ③ , x1 x3 ? 4 ④ . 同理 y2 y4 ? ?8 ⑤ , x2 x4 ? 4 ⑥ . 由① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ,得 y3 ? 2 y2 ,x3 ? 4x2 ,y4 ? 2 y1 ,x4 ? 4x1 .

k2 ?

y4 ? y3 2 y1 ? 2 y2 1 y1 ? y2 1 ? ? ? ? k, x4 ? x3 4x1 ? 4x2 2 x1 ? x2 2 1

即 k1 ? 2k2 .…………………………………………………………………………10 分

22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知定点 F(1,0),点 P 在 y 轴上运动,点 M 在 x 轴上,点 N 为平面内的动点,且满足 PM ? PF ? 0 , PM ? PN ? 0 . (1)求动点 N 的轨迹 C 的方程; (2)设点 Q 是直线 l : x ? ?1 上任意一点,过点 Q 作轨迹 C 的两条切线 QS , QT ,切点 分别为 S , T ,设切线 QS , QT 的斜率分别为 k1 , k 2 ,直线 QF 的斜率为 k 0 ,求证:
k1 ? k2 ? 2k0 .

【解】(1)设点 N ? x, y ? , M (a, 0) , P(0, b) . 由 PM ? PN ? 0 可知,点 P 是 MN 的中点,
?a ? x ? 0, ?a ? ? x, ? ? 2 ? ? y? 所以 ? 即? y 所以点 M ? ? x,0 ? , P ? 0, 2 ? . ? ? ? 0 ? y ? b, ?b ? , ? 2 ? ? 2
y? y? ? ? 所以 PM ? ? ? x, ? ? , PF ? ? 1, ? ? . 2 2 ? ? ? ?

…………3 分

l

y S

由 PM ? PF ? 0 ,可得 ? x ?

y ? 0 ,即 y 2 ? 4 x . 4
2

2

Q O F T x

所以动点 N 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x .……………5 分 (2)设点 Q ? ?1, t ? , 由于过点 Q 的直线 y ? t ? k ? x ? 1? 与轨迹 C :y 2 ? 4 x 相切,

? y2 ? 4x 2 ? 联立方程 ? ,整理得 k 2 x2 ? 2 k 2 ? kt ? 2 x ? ? k ? t ? ? 0 .…………7 分 ? ? y ? t ? k ? x ? 1?

?

?

则 ? ? 4 ? k 2 ? kt ? 2 ? ? 4k 2 ? k ? t ? ? 0 ,
2 2

化简得 k 2 ? tk ? 1 ? 0 . 显然, k1 , k 2 是关于 k 的方程 k 2 ? tk ? 1 ? 0 的两个根,所以 k1 ? k2 ? ?t . 又 k0 ? ? t ,故 k1 ? k2 ? 2k0 . 2 所以命题得证. ……………………………10 分

23.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,点 F 为其焦点,点 N(3,1)在抛物线 C 的内部,设点 M 是抛物线 C 上的任意一点, MF ? MN 的最小值为 4. (1)求抛物线 C 的方程. (2) 过点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于不同两点 A, B, 与 y 轴交于点 P, 且 PF = ?1 FA ? ?2 FB , 试判断 ?1 ? ?2 是否为定值?若是定值,求出该定值并证明;若不是定值,请说明理由. 23.解: (1)抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线方程为 l1:x= ? 由抛物线定义, | MF || ? MN |=d ? MN ? 3 ? 因此抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2) ?1 ? ?2 ? ?1 . 理由如下:设 A(x1,y1),B(x2,y2),已知 F(1,0), 由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于 0, 设 l:y=k(x-1),则 P(0,-k), 由 PF=?1 FA =?2 FB 知,(1,k)=λ1(x1-1,y1)=λ2(x2-1,y2), ∴k=λ1y1=λ2y2, ∵k≠0,∴ ?1 ?
y ? y2 k k , ?2 ? , ?1 ? ?2 ? k ? 1 , y1 y2 y1 y2

p ,点 M 到 l1 的距离设为 d, 2

p ? 4, 所以 p=2, 2
………………………………4 分

…………………………………6 分

将 y=k(x-1)代入 y2=4x 得 y 2 ? y1+y2= ∴

4 y ? 4 ? 0, k

4 ,y1y2=-4. k

y1 ? y2 4 1 1 =× ?? , k 4 k y1 y2

1 ∴ ?1 ? ?2 =k×( ? )= ?1 为定值. ………………………………………………10 分 k

23.(本小题满分 10 分) 已知平面内一动点 P 到点 F ?1,0 ? 的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 ,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A , B , l2 与轨迹 C 相交于点 D , E ,求 AD ? EB 的最小值. 23.解: (1)设动点 P 的坐标为 ? x, y ? , 由题意有

? x ?1?

2

? y 2 ? x ? 1 ………………2 分

化简得 y 2 ? 2x ? 2 x . 当 x ? 0 时, y 2 ? 4 x ;当 x ? 0 时, y ? 0 . ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y ? 4x ? x ? 0? 和 y ? 0 ? x ? 0? .………………4 分
2

(2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0 ,设为 k ,则 l1 的方程为 y ? k ? x ?1? . 由?

? ? y ? k ? x ? 1? 2 2 2 2 ,得 k x ? ? 2k ? 4 ? x ? k ? 0 . 2 ? ? y ? 4x
, 则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 于是 x1 ? x2 ? 2 ?

4 , x1 x2 ? 1 .……6 分 k2 1 . k

∵ l1 ? l2 ,∴ l2 的斜率为 ?

设 D ? x3 , y3 ? , E ? x4 , y4 ? ,则同理可得 x3 ? x4 ? 2 ? 4k 2 , x3 x4 ? 1 .………………7 分 ∴ AD ? EB ? AF ? FD ? EF ? FB ? AF ? EF ? AF ? FB ? FD ? EF ? FD ? FB

?

??

?

? AF ? FB ? FD ? EF ? ? x1 ?1?? x2 ?1? ? ? x3 ?1?? x4 ?1?

4? 1? 1 ? ? ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 4k 2 ? ? 1 ? 8 ? 4 ? k 2 ? 2 ? ? 8 ? 4 ? 2 k 2 ? 2 ? 16 . k ? k ? k ? ?
当且仅当 k ?
2

1 ,即 k ? ?1 时, AD ? EB 取最小值 16 . k2

∴ AD ? EB 的最小值为 16 .………………………………10 分

22. 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为矩形, 平面 ABEF⊥ 平面 ABCD, EF // AB, ∠ BAF=90? , AD= 2,AB=AF=2EF =1,点 P 在棱 DF 上. (1)若 P 是 DF 的中点, 求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值; (2)若二面角 D-AP-C 的余弦值为
F E P

6 3

,求 PF 的长度.

A

D

B

22. (1)因为∠ BAF=90? AB, ,所以 AF⊥ 因为 平面 ABEF⊥ 平面 ABCD,且平面 ABEF ∩平面 ABCD= AB, 所以 AF⊥ 平面 ABCD,因为四边形 ABCD 为矩形, 所以以 A 为坐标原点,AB,AD,AF 分别 为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz .
1 1 所以 B(1,0,0) , E ( ,0,1) , P(0,1, ) , C (1, 2,0) . 2 2 1 1 所以 BE ? (? ,0,1) , CP ? (?1, ?1, ) , 2 2
x B C E z F P

A

D y

所以 cos ? BE, CP ??

BE ? CP 4 5 ? , | BE | ? | CP | 15
4 5 . 15

即异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值为

-----------------------------5 分

(2)因为 AB⊥ 平面 ADF,所以平面 APF 的法向量为 n1 ? (1,0,0) . 设 P 点坐标为 (0, 2 ? 2t , t ) ,在平面 APC 中, AP ? (0,2 ? 2t, t) , AC ? (1,2,0) , 所以 平面 APC 的法向量为 n2 ? (?2,1,
cos ? n1 , n2 ?? | n1 ? n2 | | n1 | ? | n2 | ?
2t ? 2 ), t

2 (?2)2 ? 1 ? ( 2t ? 2 2 ) t

所以,

?

6 3

解得 t ?

2 ,或 t ? 2 (舍). 3

所以 PF ?

5 . 3

---------------10 分

6.(江苏省如皋中学)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 F、T、 R、S 满足 OF ? (1, 0), OT ? (?1, t ) ,

FR ? RT , SR ? FT , ST // OF .学科网
(1) 当 t 变化时, 证明点 S 的轨迹 C 为抛物线。 并求此抛物线方程. (1)的抛物线中,过点 F 的两直线 AM、BN 与抛物线相交,记直 为 k1 ,直线 AB 的斜率为 k 2 ,
k1 ? 2k2 .求证直线 AB 恒过某定点.

( 2 )如图,在 线 MN 的 斜 率

解:(1)由 FR ? RT ,得点 R 是线段 FT 的中点,又由 SR ? FT ,
|S ?





,因为 T | ST // OF , | S| ST | 即为点 FS| 到直线 x ? ?1 的距离,

则点 S 到定点 点 , 定 直 线

F 的距离等于到定直线的距离,所以点 S 的轨迹为以定点 F 为焦

2 x ? ?1为准线的抛物线,所求点 S 的轨迹 C 的方程 y ? 4 x 。

(2)设 A(

y2 y12 y2 y2 4 4 , y1 ), B ( 2 , y2 ), M ( 3 , y3 ), N ( 4 , y4 ) , k1 ? , k2 ? 4 4 4 4 y3 ? y4 y1 ? y2
2

设过焦点 F 的直线方程为 x ? my ? 1 ,代入抛物线 y ? 4 x , 得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,则 y2 y4 ? ?4, y1 y3 ? ?4 ,所以 k1 ?
4 ?4 ?4 ? y1 y2 ? ? y1 y2 y1 ? y2
2

由 k1 ? 2k2 ,则 y1 y2 ? ?8 。设 AB 直线方程为 x ? ny ? b ,代入抛物线 y ? 4 x , 得 y 2 ? 4ny ? 4b ? 0 ,得 y1 y2 ? ?4b ,则 b ? 2 ,所以直线恒过定点 (2, 0) 。 1 4.设实数 a,b 满足 0≤a≤ ≤b≤1,证明:2(b-a)≤cosπa-cos πb. 2 证明:设 f(x)=2x+cosπx,欲证不等式转化为 f(b)≤f(a). 由于 f ′(x)=2-πsinπx ,f ′′(x)=-π2cosπx. 1 1 当 x∈ (0, )时,f ′′(x)=-π2cosπx<0,当 x∈ ( ,1)时,f ′′(x)=-π2cosπx>0, 2 2 所以 f ′(x)在区间[0,

1 1 ]上单调减,在区间[ ,1]上单调增. 2 2

1 1 因为 f ′(0)=f ′(1)=2 和 f ′( )=2-π<0,所以存在 α 和 β, 0<α< <β<1, 2 2
使得 f ′(α)=f ′(β)=0,f ′(x)<0 当且仅当 x∈ (α,β). 于是函数 f(x)在区间[0,α]和[β,1]上单调增,在区间[α,β]上单调减. 1 1 1 因为 f(0)=f ( )=f (1)=1,故对于 x∈ [0, ]有 f(x)≥1,对于 x∈ [ ,1]有 f(x)≤1. 2 2 2 特别地, f (b)≤1≤f (a).

21. 已知 x ? (0, 解:由 x ? (0,

?
2

) ,求函数 y ?

1 ? sin 2 x 的最小值以及取最小值时所对应的 x 值. 2sin x

?
2

) 知:

1 1 1 1 1 4 4 4 4 ? ? ? ? sin 2 x y? ? sin 2 x ? 2sin x 2sin x 2sin x 2sin x 2sin x

1 1 ? ? ? ? 1 5 2 2 4 4 = sin x 即 sin x ? 时取等号, ? 55 ? ? ? sin x ? 当且仅当 2 4 2 sin x ? 2sin x ? ? ?

4

∴ 当x?

?
6

时 ymin ?

5 4

23. 已知抛物线 y 2 ? 2 3x , 过其对称轴上一点 P(2 3,0) 作一直线交抛物线于 A, B 两点,?OBA ? 60? , 求 OB 的斜率. 23、解:设直线 AB 方程为 ty ? x ? 2 3 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则
2 ? ? y ? 2 3x 由? ,得 y 2 ? 2 3ty ?12 ? 0 ,则 y1 ? y2 ? ?12 , x1 ? x2 ? 12 , ? ?ty ? x ? 2 3

∴x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ,∴OA ? OB ,又 ?OBA ? 60? , ∴OA ? 3OB ,∴x12 ? y12 ? 3( x22 ? y22 ) , ∴

123 122 y24 ? 2 ? ? 3 y22 ,∴ y2 2 ? 4 ? 3 32 , 4 y2 y2 4
1 y2 2 3 y2 6. ? ? ? 3 2 x2 y2

∴kOB ?

…………………………………………10 分

D 的三等分点, H 为 BB1 上靠 22. 已知边长为 6 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , E , F 为 AD、CD 上靠近
近 B 的三等分点, G 是 EF 的中点. (1)求 A1H 与平面 EFH 所成角的余弦值; (2)设点 P 在线段 GH 上,且 使得 C1P 的长度最短.

E
A
A E

D
D

G

GP ? ? ,试确定 ? 的值, GH F C
C

P

B
B

H

D1
A1 22.解:如图建系:可得 E (2,0,6) , F (0, 2,6) , H (6,6, 4) , A 1 (6,0,0) .
(1)设 n ? (1, x, y) , EF ? (?2, 2,0) , EH ? (4,6, ?2) A

C1 B1
A A

z
D
D

E A
A E

F

G
P B
B

C
C

??2 ? 2 x ? 0 则? ? n ? (1,1,5) ; A1H ? (0,6, 4) , 4 ? 6 x ? 2 y ? 0 ?
cos n, A1 H ? n ? A1H n A1H ? 26 39 ? 9 27 52

H

D1
42 . (5 分) 9

C1 B1
A A

y

设 A1H 与平面 EFH 所成角为 ? ,则 cos ? ?

x

A1

A

(2)由题知 G(1,1, 6) , C1 (0,6,0) , GH ? (5,5, ?2) ,设 GP ? ?GH ? (5?,5?, ?2?) ?

P(5? ? 1,5? ? 1, ?2? ? 6) , C1 P 2 ? ? 5? ? 1? ? ? 5? ? 5 ? ? (2? ? 6) 2 ? 54? 2 ? 64? ? 58 ,
2 2

当? ?

16 时, C1P 的长度取得最小值. (10 分) 27

23. 动圆 M 与圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 3 ? 0 外切,且与直线 x ? ?1 相切. (1) 求动圆 M 圆心的轨迹方程; (2) 已知斜率为 ?1 的直线 l 交(1) 中方程的曲线于 A,B 两个不同的点,定点 P(2,4) .求证:直线 PA, PB 与 x 轴总围成等腰三角形. 3.解:(1) 由条件易得:圆心 M 的轨迹方程为 y 2 ? 8x …………………3 分 (2) 由条件可设直线方程为 x ? ? y ? m ,则由 ?

? y 2 ? 8x ?x ? ? y ? m

消去 x 得: y 2 ? 8 y ? 8m ? 0

?? ? 64 ? 32m ? 0 ? m ? ?2 2 2 y1 y2 ? 所以若设 A( ………6 分 , y1 ), B( , y 2 ) ,则有 ? y1 ? y 2 ? ?8 8 8 ? y y ? ?8m ? 1 2
? K PA ?

y1 ? 4 y1 ?2 8
2

?

8( y1 ? 4) y1 ? 16
2

?

8 8 ,同理 K PB ? ………………………8 分 y1 ? 4 y2 ? 4

? K PA ? K PB ?

8( y1 ? y 2 ? 8) 8 8 ? ? ?0( y1 ? 4 y 2 ? 4 ( y1 ? 4)( y 2 ? 4)

y1 ? y2 ? ?8 )

? 直线 PA, PB 的倾斜角互补,即直线 PA, PB 与 x 轴总围成等腰三角形.……………10 分
24. 如图(1),矩形 ABCD 的对角线 AC , BD 交于点 O, AB ? 2AD .沿 AC 把△ ACD 折起,使二面角 D1 ? AC ? B 为直面角,如图(2). (1) 在图(2)中,点 H 满足 CH ? ? HA, D1 H ? BO ,求 ? 的值; (2) 求二面角 D1 ? BC ? A 的余弦值.
D C D O H A 图(1) B A 图(2) B O C D1

4.解:(1) 过点 B 作 BE ? AC 交 AC 于点 E , 平面D1 AC ? 平面ABCD ,

平面D1 AC ? 平面ABCD ? AC , BE ? 平面ABCD ,? BE ? 平面D1 AC ,? D1 H ? 平面D1 AC , ? BH ? D1 H ,又? D1 H ? BO, BH ? BO ? B ,? D1 H ? 平面ABCD,? AC ? 平面ABCD , ? D1 H ? AC ,……………………2 分
? 点 H 满足 CH ? ? HA ,? 点 H 在 AC 上.……………………………………………3 分 ? 在直角 ?D1 AC 中,若设 AD1 ? a, D1C ? 2a ,则 AC ? 5a ,? 由等面积法知

AD1 ? D1C a ? 2a 2 5a 4a 2 4 5a 5a 2 D1 H ? ,? CH ? 4a ? ,? AH ? AC ? CH ? , ? ? ? AC 5 5 5 5 5a
? ? ? 4 ………………………………5 分
(2)
4 21 ……………………………………………………………………………10 分 21

三、空间向量 13、如图所示,已知 ABCD 是正方形,边长为 2,PD⊥ 平面 ABCD. (1)若 PD ? 2 ,① 求异面直线 PC 与 BD 所成的角,② 求二面角 D ? PB ? C 的余弦值; ③ 在 PB 上是否存在 E 点,使 PC⊥ 平面 ADE,若存在,确定点 E 位置,若不存在说明理由; (3)若 PD ? m ,记二面角 D ? PB ? C 的大小为 ? ,若 ? ? 60 ,求 m 的取值范围.
o

14、如图,在底面边长为 1,侧棱长为 2 的正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P 是侧棱 CC1 上 的一点, CP ? m .(1)试确定 m,使直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60? ;

(2)在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q ,使得对任意的 m, D1Q ⊥ AP,并证明你的结论. z A1

D1 B1

C1

P

D A x B

C y

13、如图建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0), A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0),(1 分) (1)? PC ? (0,2,?2), DB ? (2,2,0), (2 分) ∴ cos ? PC , DB ??

PC ? DB | PC | ? | DB |

?

4 2 2 ?2 2

?

1 , 2 (3 分)

∴ ? PC, DB ?? 60? ,∴ 异面直线 PC 与 BD 所成的角为 60° (4 分) (2)假设在 PB 上存在 E 点,使 PC⊥ 平 ADE,记 PE ? ? PB, (5 分)

? PB ? (2,2,?2),? PE ? (2?,2?,?2?),? E(2?,2?,2 ? 2?), (6 分)
∴ AE ? (2? ? 2,2?,2 ? 2?), 若 PC⊥ 平面 ADE,则有 PC⊥ AE,(7 分) 即 PC ? AE ? 8? ? 4 ? 0 ,∴? ?

1 , E (1,1,1), (8 分) 2

又∵ AD ? 面 PDC ,∴PC ? AD ,∴ PC⊥ 平面 ADE. (9 分) ∴ 存在 E 点且 E 为 PB 的中点时,PC⊥ 平面 ADE. (10 分)

(3)

14、(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,2). 所以 BD ? (?1, ?1,0), BB1 ? (0,0,2),

AP ? (?1,1, m), AC ? (?1,1,0).
又由 AC ? BD ? 0, AC ? BB1 ? 0知AC为平面BB1 D1 D 的一个法向量. 设 AP 与 面BDD1 B1   所成的角为 ? ,
3 | AP ? AC | 2 则 sin ? ? cos π ? ? ? = ,解得 m ? 6 . ? 2 2 3 2 | AP | ? | AC | 2? 2?m

?

?

故当 m ? 6 时,直线 AP 与平面 BDD1 B1 所成角为 60? . …………………………5 分 3 (2)若在 A1 C1 上存在这样的点 Q,设此点的横坐标为 x, 则 Q( x,1 ? x,2), D1Q ? ( x,1 ? x,0) . 依题意,对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP. 等价于

D1Q ? AP ? AP ? D1Q ? 0 ? x ? (1 ? x) ? 0 ? x ?

1 2

即 Q 为 A1 C1 的中点时,满足题设的要求.

………………………10 分

22.(本小题满分10分) 已知点 A(1, 2) 在抛物线 ? : y 2 ? 2 px 上. (1)若 ?ABC 的三个顶点都在抛物线 ? 上,记三边 AB , BC , CA 所在直线的斜率分别为 k1 , k 2 , k 3 , 求

1 1 1 ? ? 的值; k1 k2 k3

(2) 若四边形 ABCD 的四个顶点都在抛物线 ? 上, 记四边 AB ,BC ,CD ,DA 所在直线的斜率分别为 k1 ,

k 2 , k 3 , k 4 ,求

1 1 1 1 ? ? ? 的值. k1 k2 k3 k4
2

22.解:(1)由点 A(1, 2) 在抛物线 F ,得 p ? 2 ,? 抛物线 F : y ? 4 x ,………3 分 设 B(

y12 y2 , y1 ) , C ( 2 , y2 ) , 4 4

y12 y2 2 y12 y2 ?1 ? 1? 2 1 1 1 4 ? 4 ? y1 ? 2 ? y2 ? y1 ? 2 ? y2 ? 1 .…7 分 ? 4 ? ? ? ? 4 k1 k2 k3 y1 ? 2 y2 ? y1 2 ? y2 4 4 4
(2)另设 D (

y32 1 1 1 1 y ? 2 y2 ? y1 y3 ? y2 2 ? y3 , y3 ) ,则 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 0. 4 k1 k2 k3 k4 4 4 4 4

22.(本小题满分 10 分) 1 如图,在正四棱锥 P-ABCD 中,PA=AB= 2,点 M,N 分别在线段 PA 和 BD 上,BN= BD. 3 1 (1)若 PM= PA,求证:MN⊥AD; 3 π (2)若二面角 M-BD-A 的大小为 ,求线段 MN 的长度. 4
P



D A

C N · B (第 22 题图)

22.(本小题满分 10 分)

证明:连接 AC,BD 交于点 O,以 OA 为 x 轴正方向,以 OB 为 y 轴正方向,OP 为 z 轴建立空间直角 坐标系. 因为 PA=AB= 2,则 A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).

1 1 2 → 1→ → 1→ (1)由 BN = BD ,得 N(0, ,0),由 PM = PA ,得 M( ,0, ), 3 3 3 3 3 1 1 2 → → 所以 MN =(- , ,- ), AD =(-1,-1,0). 3 3 3 → → 因为 MN · AD =0.所以 MN⊥AD. ………………………………………4 分

→ → (2)因为 M 在 PA 上,可设 PM =λ PA ,得 M(λ,0,1-λ). → → 所以 BM =(λ,-1,1-λ), BD =(0,-2,0). 设平面 MBD 的法向量 n=(x,y,z),

? ?n· → BD =0, ?-2y=0, 由? 得? ?λx-y+(1-λ)z=0, ? n· → BM =0, ?
其中一组解为 x=λ-1,y=0,z=λ,所以可取 n=(λ-1,0,λ).………………………………8 分 → 因为平面 ABD 的法向量为 OP =(0,0,1), → π n· OP 2 λ 1 所以 cos = ,即 = ,解得 λ= , 2 2 4 2 2 → (λ-1) +λ |n|| OP |

|

|

1 1 1 从而 M( ,0, ),N(0, ,0), 2 2 3 所以 MN= 1 1 1 22 ( -0)2+(0- )2+( -0)2= . 2 3 2 6 ………………………………………10 分

22.(本小题满分 10 分) 如图, 在空间直角坐标系 A ? xyz 中, 已知斜四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面是边长为 3 的正方形, 点 B, D,B1 分别在 x,y,z 轴上,B1A = 3,P 是侧棱 B1B 上的一点,BP = 2PB1 . (1)写出点 C1,P,D1 的坐标; (2)设直线 C1E⊥平面 D1PC,E 在平面 ABCD 内, 求点 E 的坐标.
P y A x B C D z B1 A1 D1 C1

22.解:(1)C1(0,3,3),P(1,0,2), D1(?3,3,3). (2)∵C(3,3,0), ∴ CP =(?2,?3,2), ………… 3 分

CD1 =(?6,0,3).
设 E(m,n,0), 则 C1E =(m,n ? 3,?3). ∵C1E⊥平面 D1PC,

………… 5 分

? ?CP ? C1E ? 0, ∴? ? ?CD1 ? C1E ? 0.
?? ? 2m ? 3 ? n ? 3? ? 6 ? 0, 则? ? ??6m ? 9 ? 0.

………… 7 分

3 ∴ m ? ? ,n = 2. 2 3 则点 E 的坐标为( ? ,2,0).………… 10 分 2

17. (本小题 15 分)设 b ? 0 ,椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) .如图所示,过点 2b 2 b 2

F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆
的右焦点 F1 . (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A,B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是 否存在点 P ,使得 △ ABP 为直角三角形?若存在,请指出共有 几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标). F1 A 17. 解:(1)由 x2 ? 8( y ? b) 得 y ? O B x y F G

1 2 x ?b, 8

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 ,? G 点的坐标为 (4, b ? 2) ,

y'?

1 x , y ' |x ? 4 ? 1 , 4

过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 , 令 y ? 0 得 x ? 2 ? b ,? F 1 点的坐标为 (2 ? b, 0) ,由椭圆方程得 F 1 点的坐标为 (b, 0) ,

? 2 ? b ? b 即 b ? 1 ,即椭圆和抛物线的方程分别为
(2)

x2 ? y 2 ? 1和 x2 ? 8( y ? 1) ;7 分 2

过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,? 以 ?PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有一个,同理?

以 ?PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个; 若以 ?APB 为直角,则点 P 在以 AB 为直径的圆上,而以 AB 为直径的圆与抛物线有两个交点。所以

以 ?APB 为直角的 Rt ?ABP 有两个; 因此抛物线上存在四个点使得 ?ABP 为直角三角形。………………15 分

17. (本小题 15 分)已知抛物线 C 的顶点在原点, 焦点为 F(0, 1). (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 在抛物线 C 上是否存在点 P, 使得过点 P 的直线交 C 于另一点 Q, 满足 PF⊥QF, 且 PQ 与 C 在点 P 处的切线垂直? 若存在, 求出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由. Q

y

F O

P x

(第 17 题) (Ⅰ) 解: 设抛物线 C 的方程是 x2 = ay,则 故所求抛物线 C 的方程为 x2 = 4y . (Ⅱ) 解:设 P(x1, y1), Q(x2, y2) , 则抛物线 C 在点 P 处的切线方程是 y ? 直线 PQ 的方程是 y ? ?

a ? 1, 即 a = 4 . 4
…………………(5 分)

x1 x ? y1 , 2

2 x ? 2 ? y1 . x1
2

将上式代入抛物线 C 的方程, 得 x ? 故 x1+x2= ?

8 x ? 4(2 ? y1 ) ? 0 , x1

8 8 4 , x1x2=-8-4y1,所以 x2= ? -x1 , y2= +y1+4 . x1 x1 y1

而 FP =(x1, y1-1), FQ =(x2, y2-1),

FP ? FQ =x1 x2+(y1-1) (y2-1)=x1 x2+y1 y2-(y1+y2)+1
=-4(2+y1)+ y1(

4 4 4 2 +y1+4)-( +2y1+4)+1= y1 -2y1 - -7 y1 y1 y1

1 4( y1 ? 1)2 ( y1 ? 4)( y1 ? 1) 2 2 =( y +2y1+1)-4( +y1+2)=(y1+1) - = =0, y1 y1 y1
2 1

故 y1=4, 此时, 点 P 的坐标是(± 4,4) . 经检验, 符合题意. 所以, 满足条件的点 P 存在, 其坐标为 P(± 4,4). ………………(15 分) 22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?1,1) ,P 是动点,且 ? POA 的三边所在直线的斜 率满足 kOP+kOA=kPA. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程;

(2) 若 Q 是轨迹 C 上异于点 P 的一个点, 且 PQ ? ?OA , 直线 OP 与 QA 交于点 M, 是否存在点 P,使得△ PQA 和△ PAM 的面积满足 S?PQA ? 2S?PAM ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

22.如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直,AB∥ CD,AB⊥ BC,AB=2CD=2BC,EA⊥ EB. (1)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (2)线段 EA 上是否存在点 F,使 EC// 平面 FBD?若存在,求出
EF ;若不存在,说明理由. EA
E

B C D

A

23.设抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ,M 为直线 l : y ? ?m(m ? 0) 上任意一点,过点 M 作抛物线 C 的两条切线
MA, MB ,切点分别为 A, B .

(1)当 m ? 3 时,求证:直线 AB 恒过定点;

(2)当 m 变化时,试探究直线 l 上是否存在点 M,使 ?M A B 为直角三角形.若存在,有几个这样的点; 若不存在,说明理由.

22. 过抛物线 y2=4x 上一点 A(1,2)作抛物线的切线,分别交 x 轴于点 B,交 y 轴于点 D, 点 C(异于点 A)在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足 AE =λ1 EC ;点 F 在线段 BC 上,满足
BF =λ2 FC ,且 λ1+λ2=1,线段 CD 与 EF 交于点 P.

(1)设 DP ? ? PC ,求 ? ; (2)当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程. y A B D
O P

E x

F C
(第 22 题图)

3. 如图,已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面垂直, AA ,AB ⊥AC,M 是 CC1 的中 1 ? AB ? AC ? 1 点,N 是 BC 的中点,点 P 在直线 A1 B1 上,且满足 A1 P ? ? A1 B1 . (Ⅰ)当 ? 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角 ? 最大? (Ⅱ)若平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45 ,试确定点 P 的位置.
?

A1
P

B1

C1

A

M C

B

N

2.解:直线 l 的普通方程为: x ? 3 y ? 3 6 ? 0 ,设椭圆 C 上的点到直线 l 距离为 d .
| 3 cos? ? 3 sin ? ? 3 6 | d? ? 2 6 sin(? ? ) ? 3 6 4 2

?

∴ 当 sin(? ?

?
4

) ? 1 时, d max ? 2 6 ,当 sin(? ?

?
4

) ? ?1 时, d min ? 6 .

3.解:(1)以 AB,AC, AA1 分别为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 PN ? (

1 1 ? ? , ,?1) , 2 2
sin ? ? cos ? PN , n ? ? PN ? n PN n ? 1 1? 5 ? ?? ? ? ? 2? 4 ?
2

平面 ABC 的一个法向量为 n ? (0,0,1) 则

(*)

于是问题转化为二次函数求最值,而 ? ? [0,

?
2

], 当 ? 最大时, sin ? 最大,所以当 ? ?

1 时, 2

(sin ? ) max ?

2 5 . 5
?

(3)已知给出了平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45 ,即可得到平面 ABC 的一个法向量为

1 n ? AA1 ? (0,0,1) ,设平面 PMN 的一个法向量为 m ? ( x, y, z) , MP ? (? , ?1, ) . 2

2? ? 1 1 1 ? ? y ? x ( ? ? ) x ? y ? z ? 0 ? ? ? ? ?m ? NP ? 0 ? 3 2 2 由? 得? ,解得 ? . 1 2(1 ? ? ) ? m ? MP ? 0 ? ?x ? y ? z ? 0 ?z ? ? x ? ? ? 2 3 ?
令 x ? 3, 得m ? (3, 2? ? 1, 2(1 ? ?))这样m和n就表示出来了, 于是由

cos ? m, n ? ?

m?n mn

?

2(1 ? ? ) 9 ? (2? ? 1) 2 ? 4(1 ? ? ) 2

?

2 , 2

解得 ? ? ?

1 1 , 故点P在B1 A1 的延长线上,且 A1 P ? . 2 2
2

23.在平面直角坐标系 xoy 中,已知焦点为 F 的抛物线 x ? 4 y 上有两个动点 A 、 B ,且满足 AF ? ? FB , 过 A 、 B 两点分别作抛物线的切线,设两切线的交点为M. (1) 求: OA ? OB 的值; (2) 证明: FM ? AB 为定值.
2 x12 x2 23.解:设 A( x1 , ), B( x 2 , ) 4 4 2 x12 x2 ? 焦点 F(0,1)? AF ? (? x1 ,1 ? ), FB ? ( x2 , ? 1) 4 4
?? ? ?? ?

? AF ? ? FB

? x1 ? ?x 2 ? ? 2 ? ? x12 x2 1? ? ? ( ? 1) ? 4 4 ?
化简整理得 ( x1 ? x 2 )(

2 x2 x12 ? 1) ? x 2 (1 ? ) ? 0 消 ? 得 x1 ( 4 4

x1 x 2 ? 1) ? 0 4

? x1 ? x2 ? x1 x2 ? ?4
2 x12 x 2 ? y1 y 2 ? ? ?1 4 4

? OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?3 (定值)
(2)抛物线方程为 y ?

1 2 1 x ? y? ? x 4 2

? 过抛物线 A、B 两点的切线方程分别为 y ?
即y?

x2 x2 1 1 x1 ( x ? x1 ) ? 1 和 y ? x2 ( x ? x2 ) ? 2 2 4 2 4

x2 x2 1 1 x1 x ? 1 和 y ? x 2 x ? 2 2 4 2 4

联立解出两切线交点 M 的坐标为 ?

? x1 ? x2 ? ,?1? ? 2 ?
2 2 ? x2 ? x12 x2 ? x12 ? ? ? 0 (定值) = ? 2 2 ?

2 x2 ? x12 ? x ? x2 ?? ? FM ? AB ? ? 1 . ? 2 ?? x ? x , 1 ? 2 4 ? 2 ??

2. 已知抛物线 L 的方程为 x2 ? 2 py( p ? 0) ,直线 y ? x 截抛物线 L 所得弦 AB ? 4 2 . (1) 求 p 的值; (2) 抛物线 L 上是否存在异于点 A 、 B 的点 C ,使得经过 A 、 B 、 C 三点的圆和抛物线 L 在点 C 处有 相同的切线.若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1) 由 ?

?y ? x
2 ? x ? 2 py

解得 A(0,0), B(2 p, 2 p) ,

所以 4 2 ? AB ?
2

4 p 2 ? 4 p 2 ? 2 2 p ,所以 p ? 2 .

(2) 由(1)得 x ? 4 y , A(0,0), B(4, 4) , 假设抛物线 L 上存在异于点 A 、 B 的点 C (t , 线 L 在点 C 处有相同的切线.

t2 )(t ? 0, t ? 4) ,使得经过 A 、 B 、 C 三点的圆和抛物 4

?a 2 ? b2 ? (a ? 4)2 ? (b ? 4)2 ? NA ? NB ? 令圆的圆心为 N (a, b) ,则由 ? 得? t2 2 2 2 2 NA ? NC ? ?a ? b ? (a ? t ) ? (b ? ) ? 4

? t 2 ? 4t a ? ? ?a ? b ? 4 ? ? ? 8 得? , 1 2 ?? 2 4a ? tb ? 2t ? t t ? 4t ? 32 ? ? b? 8 ? ? 8 ?
因为抛物线 L 在点 C 处的切线斜率 k ? y ' |x ?t ?

t (t ? 0) , 2

t2 4 . t ? ?1 ? 2a ? bt ? 2t ? 1 t 3 ? 0 又该切线与 NC 垂直,所以 a ?t 2 4 b?
所以 2(?

t 2 ? 4t t 2 ? 4t ? 32 1 )?t ? 2t ? t 3 ? 0 ? t 3 ? 2t 2 ? 8t ? 0 8 8 4

因为 t ? 0, t ? 4 ,所以 t ? ?2 . 故存在点 C 且坐标为 (?2,1) .

17.(本小题满分 16 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,焦点为 F .⊙M 的圆心在 x 轴的正半轴上,且与 y 轴相切. 过原点 O 作倾斜角为

? 的直线 n ,交 l 于点 A , 交⊙M 于另一点 B ,且 AO ? OB ? 2 . 3
l y

(1)求⊙M 和抛物线 C 的方程; (2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ? PF 的最小值; (3)过 l 上的动点 Q 向⊙M 作切线,切点为 S , T , 求证:直线 ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标. A

B O · FM

x

第 17 题

17.解:(Ⅰ )因为

p 1 ? OA ? cos 60 ? 2 ? ? 1 ,即 p ? 2 ,所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4x ……… 2 分 2 2 OB 1 ? ? 2 ,所以 M 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ……………… 5 分 2 cos 60
2 2 2

设⊙M 的半径为 r ,则 r ?

(Ⅱ )设 P( x, y )( x ? 0) ,则 PM ? PF ? (2 ? x, ? y)(1 ? x, ? y) = x ? 3x ? 2 ? y ? x ? x ? 2 ……8 分 所以当 x ? 0 时, PM ? PF 有最小值为 2 ……………………………………………………………10 分 (Ⅲ )以点 Q 这圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段 ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦………………… 11 分 设点 Q(?1, t ) ,则 QS ? QM ? 4 ? t ? 5 ,所以⊙ Q 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? t ) ? t ? 5 …13 分
2 2 2 2 2 2

从而直线 QS 的方程为 3x ? ty ? 2 ? 0 (*)………………………………………………………………14 分

2 ? 2 ?x ? 因为 ? 3 一定是方程(*)的解,所以直线 QS 恒过一个定点,且该定点坐标为 ( , 0) ……………16 分 3 ? ?y ?0
22.(本小题满分 10 分) 已知动圆 P 过点 F (0, ) 且与直线 y ? ? (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作一条直线交轨迹 C 于 A, B 两点,轨迹 C 在 A, B 两点处的切线相交于点 N , M 为线段

1 4

1 相切. 4

AB 的中点,求证: MN ? x 轴.

y

F· P ·

O

x

第 22 题 22.(1)根据抛物线的定义,可得动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程为 x ? y …………4 分
2

2 2 (2) 证明:设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) , ∵ y ? x 2 , ∴ y? ? 2 x ,

∴ y 为
F· P ·

AN , BN 的斜率分别
2 为 2 x1 , 2 x2 ,故 AN 的方程为 y ? x1 ? 2x1 ( x ? x1 ) , BN 的方程 2 y ? x2 ? 2x2 ( x ? x2 ) …7 分
2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 ? y ? 2 x1 x ? x1 x ? x ? 即? , 两式相减, 得 , 又 , N M 2 2 2 y ? 2 x x ? x ? ? 2 2

O

x

∴ M , N 的横坐标相等,于是 MN ? x ………………10 分

第 22 题

23.如图,已知抛物线 M : x ? 4 py ( p ? 0) 的准线为 l , N 为 l 上的一个动点,过点 N 作抛物线 M 的两条
2

切线,切点分别为 A , B ,再分别过 A , B 两点作 l 的垂线,垂足分别为 C , D . (1)求证:直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q ,并写出点 Q 的坐标; (2)若 ?ACN , ?BDN , ?ANB 的面积依次 数列,求此时点 N 的坐标. y 构成等差

B

A C

O N D

x

23.解法一:(1)因为抛物线的准线 l 的方程为 y ? ? p ,所以可设点 N , A , B 的坐标分别为 (m, , ? p)
2 ( x1, y1 ) , ( x2, y2 ) ,则 x12 ? 4 py1 , x2 ? 4 py2 , 由 x2 ? 4 py ,得 y ?

x x2 ,求导数得 y? ? ,于是 2p 4p
y

x12 ?p y1 ? p x1 x 4p ,即 ? ? 1 , x1 ? m 2 p x1 ? m 2 p
化简得 x ? 2mx1 ? 4 p ? 0 ,
2 1 2

B E Q A C O N D x

同理可得 x ? 2mx2 ? 4 p ? 0 ,
2 2 2

所以 x1 和 x2 是关于 x 的方程 x2 ? 2mx ? 4 p2 ? 0 两个实数根,所以 x1,2 ? m ? m ? 4 p ,且 x1 x2 ? ?4 p2 .
2 2

在直线 AB 的方程 y ? y1 ? 令x ? 0, 得 y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) 中, x2 ? x1

y2 ? y1 x y ?x y x x (x ? x ) xx x1 ? 2 1 1 2 = ? 1 2 1 2 ? ? 1 2 ? p 为定值, x2 ? x1 x2 ? x1 4 p( x2 ? x1 ) 4p

所以直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q(0,p) ,即抛物线的焦点.……………5 分 (2)由(1)知 x1 ? x2 ? 2m ,所以 N 为线段 CD 的中点,取线段 AB 的中点 E , 因为 Q 是抛物线的焦点,所以 AQ ? AC,BQ ? BD ,所以 AC ? BD ? AB , 所以 S?ANB ? S?ANE ? S?BNE ?

1 1 1 EN ? CN ? EN ? DN ? EN ? (CN ? DN ) 2 2 2

? EN ? CN ?
又因为 S ?ACN ? 所以

AC ? BD AB ? CN ? CN ? , 2 2

AC ? CN AQ ? CN BD ? DN BQ ? CN ? ? , S ?BDN ? , 2 2 2 2

BQ ? CN AB ? CN AQ ? CN , , 成等差数列,即 AQ,BQ,AB 成等差数列, 2 2 2

即 0 ? x1,x2 ? 0,x2 ? x1 成等差数列,所以 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 , x2 ? ?2x1 ,
2 2 2 2 2 2 所以 x1 x2 ? ?2 x1 ? (m ? m ? 4 p )(m ? m ? 4 p ) ? ?4 p , x1 ? ? 2 p ,

x1 ? 2 p 时, x2 ? ?2 2 p , m ?
x1 ? ? 2 p 时, x2 ? 2 2 p , m ?

x1 ? x2 2 ?? p, 2 2 x1 ? x2 2 2 . ? p ,所以所求点 N 的坐标为 (? p,? p) 2 2 2

……………………………………………………………………………10 分 解法二:(1)因为已知抛物线的准线 l 的方程为 y ? ? p ,所以可设点 N,A,B 的坐标分别为 (m, , ? p)
2 ( x1, y1 ) , ( x2, y2 ) ,则 x12 ? 4 py1 , x2 ? 4 py2 ,

设过 N 点与抛物线相切的直线方程为 y ? p ? k ( x ? m) ,与抛物线方程 x2 ? 4 py 联立,消去 y 得

x2 ? 4 pkx ? 4 pmk ? 4 p2 ? 0 ,
因 为 直 线 与 抛 物 线 相 切 , 所 以 ? ? 16 p k ?16( pmk ? p ) ? 0 , 即 p k ? m k ?
2 2 2 2

p ? 0 ,解得

m ? m2 ? 4 p 2 m2 ? 4 p 2 , ,此时两切点横坐标分别为 x1, k1, 2 ? 2 pk ? m ? 2 ? 2p
在直线 AB 的方程 y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) 中,令 x ? 0 得 x2 ? x1

y ? y1 ?

y2 ? y1 x y ?x y x x (x ? x ) xx x1 ? 2 1 1 2 = ? 1 2 1 2 ? ? 1 2 ? p 为定值, x2 ? x1 x2 ? x1 4 p( x2 ? x1 ) 4p

所以直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q(0,p) ,即抛物线的焦点.……………5 分

m ? m2 ? 4 p 2 (2)由(1)知两切线的斜率分别为 k1, ,则 k1 ? k2 ? ?1 ,所以 AN ? BN , 2 ? 2p
连接 QN ,则直线 QN 斜率为 kQN ? ? 又因为直线 AB 的斜率 k AB 所以 kQN ? k AB ? ?

2p , m

2 y2 ? y1 x2 ? x12 x ? x 2m m , ? ? ? 2 1? ? x2 ? x1 4 p( x2 ? x1 ) 4p 4p 2p

2p m ? ? ?1 , m 2p

所以 QN ? AB ,又因为 AQ ? AC,BQ ? BD ,所以 ?ACN≌?AQN,?BDN≌?BQN , 所以 ?AQN,?BQN 和 ?ANB 的面积成等差数列,所以 AQ,BQ,AB 成等差数列, 所以 0 ? x1,x2 ? 0,x2 ? x1 成等差数列,所以 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 , x2 ? ?2x1 ,
2 2 2 2 2 2 所以 x1 x2 ? ?2 x1 ? (m ? m ? 4 p )(m ? m ? 4 p ) ? ?4 p , x1 ? ? 2 p ,

x1 ? 2 p 时, x2 ? ?2 2 p , m ?

x1 ? x2 2 ?? p, 2 2

x1 ? ? 2 p 时, x2 ? 2 2 p , m ?
所以所求点 N 的坐标为 (?

x1 ? x2 2 ? p, 2 2

2 . ………………………………10 分 p,? p) 2

22.(本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AB ? AC , AB ? 3 , AC ? 4 , 动点 P 满足 CP ? ?CC1 (? ? 0) ,当 ? ? (1)求棱 CC1 的长; (2)若二面角 B1 ? AB ? P 的大小为

A1

C1

1 时, AB1 ? BP . 2

B1

P

A

C

? ,求 ? 的值. 3

B 第 22 题图

解:(1)以点 A 为坐标原点, AB, AC, AA1 分别为 x, y , z 轴, 建立空间直角坐标系, 设 CC1 ? m ,则 B1 (3,0, m) , B(3, 0, 0) , P(0, 4, ? m) , 所以 AB1 ? (3,0, m) , PB ? (3, ?4, ??m) , AB ? (3,0,0) , 当? ?

………………2 分

1 1 时,有 AB1 ? PB ? (3, 0, m) ? (3, ?4, ? m) ? 0 2 2
………………4 分

解得 m ? 3 2 ,即棱 CC1 的长为 3 2 . (2)设平面 PAB 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z) , 则由 ?

? ? AB?n1 ? 0 ? ? PB?n1 ? 0

,得 ?

? ? ?3 x ? 0 ?x ? 0 ,即 ? , ? ? ?3 x ? 4 y ? 3 2 ? z ? 0 ? 4 y ? 3 2? z ? 0

令 z ? 1 ,则 y ? ?

3 2? 3 2? ,所以平面 PAB 的一个法向量为 n1 ? (0, ? ,1) ,………………6 分 4 4

又平面 ABB1 与 y 轴垂直,所以平面 ABB1 的一个法向量为 n2 ? (0,1,0) , 因二面角 B1 ? AB ? P 的平面角的大小为

? , 3

所以 cos n1 , n2

?

1 ? 2

3 2? 2 6 4 ,结合 ? ? 0 ,解得 ? ? . 9 3 2? 2 ( ) ?1 4 ?

………………10 分

\22.(本小题满分 10 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BA⊥AC,AB=AC=A1B=2,顶点 A1 在底 面 ABC 上的射影恰为点 B.(1)求异面直线 AA1 与 BC 所成角的大小;(2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使 AP= 14,并求出二面角 P-AB-A1 的平面角的余弦值.

A1

C1

B1

A

C

22.解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 C(0, 2, → → 0),A1(0,-2, 2),B1(4, 0 , 2).从而,AA1=(0,-2, 2),BC = 2, 0). →→ -4 AA1· BC 1 → → 记AA1与 BC 的夹角为 θ,则有 cosθ= = =- . → → 2 8· 8 |AA1|· | BC |

B

0) , B(2, 0 , → B1C1 = ( - 2,

又由异面直线 AA1 与 BC 所成角的范围为(0,π),可得异面直线 AA1 与 BC 所成的角为 60? . ………………4 分 (2)记平面 PAB 和平面 ABA1 的法向量分别为 m 和 n,则由题设可令 m=(x, y, z),且有平面 ABA1 的法向 → → 量为 n=(0,2,0).设B1P=λB1C1=(-2λ, 2λ, 0),则 P(4-2λ, 2λ, 2). 1 3 于是 AP= (4-2λ)2+(2λ)2+22= 14,解得 λ= 或 λ= . 2 2 3 1 又可知 λ∈ (0, 1),则 λ= 舍去,故有 λ= .从而,P 为棱 B1C1 的中点,则坐标为 P(3, 1, 2). 2 2 → → 由平面 PAB 的法向量为 m,故 m⊥AP 且 m⊥PB . → 由 m·AP =0,即(x, y, z)· (3, 1 ,2)=0,解得 3x+y+2z=0; ①

→ 由 m·PB =0,即(x, y, z)· (-1,-1,-2)=0,解得-x-y-2z=0,② 解方程①、②可得,x=0,y+2z=0,令 y=-2,z=1, 则有 m=(0,-2, 1) . (0, 2, 0) -4 2 5 m· n (0,-2, 1)· 记平面 PAB 和平面 ABA1 所成的角为 β,则 cosβ= = = =- . |m|· |n| 5 5· 2 2 5 2 5 故二面角 P-AB-A1 的平面角的余弦值是 . 5 ………………10 分

23.(本小题满分 10 分) 已知点 A(?1 , 0) , F (1 , 0) ,动点 P 满足 AP ? AF ? 2 | FP | . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)在直线 l : y ? 2 x ? 2 上取一点 Q ,过点 Q 作轨迹 C 的两条切线,切点分别为 M , N .问:是否存在 点 Q ,使得直线 MN // l ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 23.(1)设 P( x, y ) ,则 AP ? ( x ? 1, y) , FP ? ( x ? 1, y) , AF ? (2,0) , 由 AP ? AF ? 2 | FP | ,得 2( x ? 1) ? 2 ( x ? 1)2 ? y2 ,化简得 y 2 ? 4 x .

故动点 P 的轨迹 C 的方程 y 2 ? 4 x .

…………………………………………………………5 分

(2)直线 l 方程为 y ? 2( x ? 1) ,设 Q( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . 过点 M 的切线方程设为 x ? x1 ? m( y ? y1 ) ,代入 y 2 ? 4 x ,得 y 2 ? 4my ? 4my1 ? y12 ? 0 , 由 ? ? 16m2 ? 16my1 ? 4 y12 ? 0 ,得 m ?

y1 ,所以过点 M 的切线方程为 y1 y ? 2( x ? x1 ) ,……7 分 2

同理过点 N 的切线方程为 y2 y ? 2( x ? x2 ) .所以直线 MN 的方程为 y0 y ? 2( x0 ? x) ,………9 分 又 MN // l ,所以
2 ? 2 ,得 y0 ? 1 ,而 y0 ? 2( x0 ? 1) , y0

1 故点 Q 的坐标为 (? ,1) . ……………………………………………………………………10 分 2
23.如图,A、B、C 是抛物线 y 2 ? 2 x 上三个不同的动点,直线 AB 过点 D ? ?1,0 ? ,直线 BC 过点 E ?1,1? , 求证:直线 AC 过一定点,并求该定点坐标.

23.解:当 y A ? yB ? 0 时, k AB ?

y A ? yB y A ? yB 2 , ? 2 ? 2 yB xA ? xB y A y A ? yB ? 2 2

∴ 直线 AB 方程为 2 x ? ? yA ? yB ? y ? 2xA ? ? yA ? yB ? yA . ∵ y A2 ? 2 xA ,∴ 直线 AB 方程为 2 x ? ? yA ? yB ? y ? yA yB ? 0 . 当 y A ? yB ? 0 时也符合. ………………………………4 分

同理:直线 BC: 2x ? ? yB ? yC ? y ? yB yC ? 0 ,直线 AC: 2x ? ? yA ? yC ? y ? yA yC ? 0 . ∵ 直线 AB 过 D ? ?1,0? ,∴?2 ? yA yB ? 0 . ∵ 直线 BC 过 E ?1,1? ,∴2 ? ? yB ? yC ? ? yB yC ? 0 . ∴2 y A ? y A yB ? y A yC ? y A yB yC ? 0 . ……………………………………………………8 分

∴2 y A ? 2 ? y A yC ? 2 yC ? 0 .即 2 ? 2 ? yA ? yC ? ? yA yC ? 0 .

? 2x ? 2 ? x ?1 令 ? 得 ? . 所 以 直 线 ? ? y ? ?2 ?y ? 2

AC

过 一 定 点

P D A
O

?1,2? .……………………………………10 分
22. (本小题满分 10 分)

B

C

(第 22 题)

如图,三棱锥 P-ABC 中,已知平面 PAB⊥平面 ABC, AC⊥ BC,AC=BC=2a,点 O,D 分别是 AB,PB 的中点,PO⊥ AB,连结 CD. (1)若 PA ? 2a ,求异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦 值的大小; (2)若二面角 A-PB-C 的余弦值的大小为
5 ,求 PA. 5

22.解:连结 OC. ∵平面 PAB⊥平面 ABC,PO⊥ AB,∴PO⊥平面 ABC.从而 PO⊥ AB,PO⊥ OC. ∵ AC=BC ,点 O 是 AB 的中点,∴ OC⊥ AB .且
OA ? OB ? OC ? 2 a . ……………2 分
z P D A O B y C

如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz . (1) PA ? 2a , PO ? 2a .

A(0, ? 2a,0) , B(0, 2a,0) , C ( 2a,0,0) ,
2a 2a , ). P(0,0, 2a) , D (0, 2 2

…………4 分





P ? ( ,A

0?

, 2a ?

,

a

2x

)

2 2 CD ? ( ? 2a, a, a) . 2 2

∵ cos ? PA, CD ??

PA ? CD PA CD

?

?2a2 2a ? 3a

??

3 , 3
3 . ……………………………6 分 3

∴异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦值的大小为

(2)设 PO ? h ,则 P(0,0, h) .∵ PO⊥ OC,OC⊥ AB,∴OC⊥平面 PAB. 从而 OC ? ( 2a,0,0) 是平面 PAB 的一个法向量. 不妨设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

? ?n ? PB ? 0, ∵ PB ? (0,2a, ?h) , BC ? ( 2a, ? 2a,0) , ? ? ?n ? BC ? 0.
不妨令 x=1,则 y=1, z ?
5 OC ? n ? ? 5 OC n
2a 2a ). ,则 n ? (1,1, h h

? ? 2ay ? hz, ∴? ? ? x ? y.
………………………8 分

由已知,得

2 ,化简,得 h2 ? a2 . 3 2a 2 2a 2 ? 2 h

2a

∴ PA ? PO 2 ? OA2 ?

2 2 2 6 a ? 2a 2 ? a. 3 3

…………………………………10 分

22.已知斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 过抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点 F 且交抛物线于 A、B 两点。设线段 AB 的 中点为 M (1)求点 M 的轨迹方程; (2)若 ?2 ? k ? ?1 时,点 M 到直线 l ? : 3x ? 4 y ? m ? 0 ( m 为常数, m ? 的取值范围

1 1 )的距离总不小于 ,求 m 3 5

22. 斜率为 1 的直线与抛物线 y 2 ? 2 x 交于不同两点 A, B ,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程. 22.解:设直线方程: y ? x ? m , A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, M ?x, y ?
2 2 将 y ? x ? m 代入 y 2 ? 2 x ,得 x ? ?2m ? 2?x ? m ? 0 ,……2 分

? ? ? ? 2m ? 2 ?2 ? 4m 2 ? 0, ? ? 所以 ? x1 ? x2 ? 2 ? 2m, ……6 分 ? x x ? m2 , ? ? 1 2

?m?

1 x ? x2 1 ,x? 1 ? 1 ? m ? , y ? x ? m ? 1 ,……9 分 2 2 2

1? ? 线段 AB 中点 M 的轨迹方程为: y ? 1? x ? ? .……10 分 2? ?

23.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PB ? 底
AB ? BC , AD ∥ BC , AB ? AD ? 2 , CD ? PD ,异面

P



ABCD



直线 PA 和 CD 所

成角等于 60 ? . (1)求直线 PC 和平面 PAD 所成角的正弦值的大小; (2)在棱 PA 是否存在一点 E ,使二面角 A ? BE ? D 若存在,指出 E 在棱 PA 上的位置;若不存在,说明 23.解:以 B 为原点, BA, BC , BP 分别为 x, y, z 轴,建
? , a ?B P 直 角 坐 标 系 , 设 B C , 则b
B(0,0,0), A(2,0,0), C (0, a,0), D(2, 2,0), P(0,0, b) .

E B A

C
D

的余弦值 为 理由.

6 ? 6

z (第 23 题图)
P

立 空 间

∵ PD ? (2,2, ?b), CD ? (2,2 ? a,0) , CD ? PD , ∴ CD ? PD ? 0 .∴ 4 ? 4 ? 2a ? 0 , a ? 4 . 又 PA ? (2,0, ?b), CD ? (2, ?2,0) , 异面直线 PA 和 CD 等于 60 ? , ∴
b?2.

E B A

C
D

所 成 角
y

PA ? CD PA ? CD

?

1 ,即 2

4 b ? 4 ?2 2
2

?

1 ,解得 2

x

…………………2 分

(1) PC ? (0,4, ?2), AD ? (0,2,0), PA ? (2,0, ?2) . 设 平 面 PAD 的 一 个 法 向 量 为 n1 ? ( x 1 , y 1 , z 1 ) ,则由
?n1 ? AD ? 0, ? ? ? ? n1 ? PA ? 0,
? y ? 0, 得? 1 ? x ? z ? 0.
PC ? n1 PC n1 ? ?2 20 ? 2 ?

…………………………4 分

取 n1 ? (1,0,1) ,∵ sin q ?

10 , 10

∴直线 PC 和平面 PAD 所成角的正弦值为

10 . 10

…………………………………6 分

(2)假设存在.设 PE ? l PA ,且 E ( x, y, z ) ,则 ( x, y, z ? 2) ? l (2,0, ?2) , E (2l ,0, 2 ? 2l ) . 设平面 DEB 的一个法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,
? ? n ? BE ? 0, 则由 ? 2 ? ?n2 ? BD ? 0,
?l x ? (l ? 1) z, 得? ? x ? ? y.

………………………………………8 分

取 n2 ? (l ? 1,1 ? l , l ) ,又平面 ABE 的法向量 n3 ? (0,1,0) , 由 cos q ?

1?l n2 ? n3 6 ? ,得 n2 n3 6 2(1 ? l )2 ? l

2

?

6 2 ,解得 l ? 或 l ? 2 (不合题意). 6 3
………………………10 分

所以存在这样的 E 点, E 为 PA 的靠近 A 的三等分点.

2 22.过直线 y = - 1 上的动点 A(a, - 1) 作抛物线 y = x 的两切线 AP , AQ , P, Q 为切点.

(1)若切线 AP , AQ 的斜率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 ? k2 为定值; (2)求证:直线 PQ 过定点. 22.(1)设过 A 作抛物线 y ? x2 的切线的斜率为 k ,则切线的方程为 y ? 1 ? k ( x ? a) , 与方程 y ? x2 联立,消去 y ,得 x 2 ? kx ? ak ? 1 ? 0 . 因为直线与抛物线相切,所以 ? ? k 2 ? 4(ak ? 1) ? 0 , 即 k 2 ? 4ak ? 4 ? 0 . 由题意知,此方程两根为 k1 , k 2 ,所以 k1k2 ? ?4 (定值). (2)设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,由 y ? x ,得 y ' ? 2x .
2

所以在 P 点处的切线斜率为: y | x ? x1 ? 2x1 ,因此,切线方程为: y ? y1 ? 2 x1 ( x ? x1 ) .
'

由 y1 ? x12 ,化简可得, 2 x1 x ? y ? y1 ? 0 . 同理,得在点 Q 处的切线方程为 2 x2 x ? y ? y2 ? 0 . 因为两切线的交点为 A(a, ?1) ,故 2 x1a ? y1 ? 1 ? 0 , 2 x2 a ? y2 ? 1 ? 0 . 所以 P, Q 两点在直线 2ax ? y ? 1 ? 0 上,即直线 PQ 的方程为: 2ax ? y ? 1 ? 0 . 当 x ? 0 时, y ? 1 ,所以直线 PQ 经过定点 (0,1) .

22.(本小题满分 10 分) 如图 , 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F , 过 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A( x1 , y1 )( y1 ? 0), B( x 2 , y 2 ) 两 点, T 为抛物线的准线与 x 轴的交点. (1)若 TA ? TB ? 1, 求直线 l 的斜率;(2)求 ?ATF 的最大值.

y A

T

O

F B

x

22.⑴因为抛物线 y 2 ? 4 x 焦点为 F ?1,0 ? , T ( ?1,0) .
第 22 题图

AT B 当 l ? x 轴时,A(1, 2) ,B (1, ?2) , 此时 TA TB ? 0 , 与T
矛盾,……………2 分

?1

所以设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入 y 2 ? 4 x ,得 k 2 x2 ? (2k 2 + 4) x + k 2 ? 0 , 则 x1 + x2 ?

2k 2 + 4 2 , x1 x2 ? 1 , ①所以 y12 y2 ? 16 x1 x2 ? 16 ,所以 y1 y2 ? ?4 ,②…4 分 2 k

因为 TA TB ? 1 ,所以 ( x1 + 1)( x2 + 1) + y1 y2 ? 1 ,将①②代入并整理得, k 2 ? 4 ,

所以 k ? ?2 .………………………………………………………………………………6 分 ⑵因为 y1 ? 0 ,所以 tan ?ATF ?

y y1 y1 1 1 ? ? ≤1 ,当且仅当 1 ? ,即 y1 ? 2 时,取等, y1 1 4 y1 x1 ? 1 y12 ? ?1 4 y1 4

所以 ?ATF ≤ ,所以 ?ATF 的最大值为

? 4

? .……………………10 分 4

22. (本小题满分 10 分) 如图,在各棱长均为 2 的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 A1 ACC1 ? 底面 ABC , ?A1 AC ? 60? . (1)求侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值的大小; (2)已知点 D 满足 BD ? BA ? BC ,在直线 AA1 上是否存在点 P ,使 DP // 平面AB1C ?若存在,请确 定点 P 的位置;若不存在,请说明理由.

(第 22 题) 22. 解:(1)∵侧面 A1 ACC1 ? 底面 ABC ,作 A1O ? AC 于点 O ,∴ A1O ? 平面 ABC . 又 ?ABC ? ?A1 AC ? 60? ,且各棱长都相等,∴ AO ? 1, OA1 ? OB ? 3 , BO ? AC . 故以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ,则

z

A(0,?1,0) , B( 3,0,0) , A1 (0,0, 3) , C (0,1,0) ,
∴ AA , 3) , AB1 ? ( 3,2, 3) , AC ? (0,2,0) . 1 ? (0,1 设平面 AB1C 的法向量为 n ? ( x, y,1) , 则?

?

? ?n ? AB1 ? 3x ? 2 y ? 3 ? ?n ? AC ? 2 y ? 0

解得 n ? (?1,0,1) .

?

O

y

x

? 3 6 ? AA1 ? n 由 cos ? AA1 , n ? ? ?2 2? 4 . AA1 ? n
而侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角,即是向量 AA 1C 的法向量所成锐角的余角, 1 与平面 AB ∴侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值的大小为

6 . 4

…………5 分

(2)∵ BD ? BA ? BC ,而 BA ? ? 3, ?1, 0 , BC ? ? 3,1, 0 .

?

?

?

?

∴ BD ? (?2 3,0,0)

又∵ B( 3,0,0) ,∴点 D 的坐标为 D(? 3,0,0) . 假设存在点 P 符合题意,则点 P 的坐标可设为 P(0, y, z ) ,∴ DP ? ( 3, y, z) . ∵ DP // 平面AB1C , n ? (?1,0,1) 为平面 AB1C 的法向量, ∴由 AP ? ? AA 1 ,得 ?

?

?y ?1 ? ? ? 3?? 3

,? y ? 0 .

又 DP ? 平面 AB1C ,故存在点 P ,使 DP // 平面AB1C ,其坐标为 (0,0, 3 ) ,即恰好为 A1 点.

22.(本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 CA ? CB ? 1 , AA1 ? 2 , ?BCA ? 90o . (1)求异面直线 BA1 与 CB1 夹角的余弦值; (2)求二面角 B ? AB1 ? C 平面角的余弦值. A1 C1 B1

C A
(第 22 题图)

B

22.如图,以 CA, CB, CC1 为正交基底,建立空间直角坐标系 C ? xyz . 则 A(1,0,0) , B(0,1,0) , A1 (1,0, 2) , B1 (0,1, 2) ,所以 CB1 ? (0,1,2) , AB ? (?1,1,0) ,

?

?

AB1 ? (?1,1,2) , BA1 ? (1, ?1,2) .
(1)因为 cos CB1 , BA1 ?

z
? 3 6? 5 ? 30 , 10
C1 A1 B1

CB1 ? BA1 CB1 BA1

所以异面直线 BA1 与 CB1 夹角的余弦值为

30 . 10

C

…………………………4 分 (2)设平面 CAB1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

B

y

x

A

(第 22 题图)

? ?? x ? y ? 2 z ? 0, ? m ? AB1 ? 0, 则? 即? ? y ? 2 z ? 0, ? ? m ? CB1 ? 0,
取平面 CAB1 的一个法向量为 m ? (0, 2, ?1) ;

? ??r ? s ? 2t ? 0, ?n ? AB1 ? 0, 设平面 BAB1 的法向量为 n ? (r , s, t ) ,则 ? 即? ??r ? s ? 0, ? ?n ? AB ? 0,
取平面 BAB1 的一个法向量为 n ? (1,1,0) ;

则 cos m, n ?

m?n 2 10 , ? ? m n 5 5? 2
10 . 5
…………………………10 分

所以二面角 B ? AB1 ? C 平面角的余弦值为

23.(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线方程为 x ? ?

1 , 过点 M(0,-2)作抛物 4

线的切线 MA,切点为 A(异于点 O).直线 l 过点 M 与抛物线交于两点 B,C,与直线 OA 交于点 N. (1)求抛物线的方程; (2)试问:

MN MN ? 的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由。 MB MC

23.(1)由题设知, -

p 1 1 = - ,即 p = 2 4 2

所以抛物线的方程为 y 2 = x …………………………………………………………2 分 (2) A(16, - 4) .……………………………………5 分 所以直线 OA 的方程为 y = -

1 x . ……………………………………………… 6 分 4

设直线 BC 方程为 y = kx - 2 ,得 k 2 x2 - (4k + 1) x + 4 = 0 , 所以 xB + xC = 得 xN =

4k + 1 4 , xB xC = 2 .…………………………………………… 7 分 2 k k

8 .………………………… 8 分 4k + 1

所以

x + xC MN MN xN xN + = + = xN ? B MB MC xB xC xB xC

4k + 1 2 8 ? k 4 4k + 1 k2

8 4k + 1 ? 4k + 1 4

2,



MN MN ? 为定值 2.……………………………10 分 MB MC

22. 如图,在四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为平行四边形,平面 ABE ? 平面 BCDE , AB ? AE ,

DB ? DE , ?BAE ? ?BDE= 90°.

A

B

E

(1)求异面直线 AB 与 DE 所成角的大小; (2)求二面角 B ? AE ? C 的余弦值. 【解】设 BE 的中点为 O,连结 AO,DO, 由于 AB=AE,BO=OE, 所以 AO⊥BE,同理 DO ? BE . 又因为平面 ABE⊥平面 BCDE,平面 ABE 平面 BCDE=BE,所以 AO⊥平面 BCDE,

由题意, BE 2 ? 2 AB 2 ? 2 DB 2 ,所以 AB ? BD ? DE ? AE . 解法一:(1)不妨设 OA ? a ,以 O 为坐标原点,
0, a) , B(0, ? a, 0) , C (a, ? 2a,0) , 建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz,则 A(0, D(a ,0,0) , E (0, a, 0) .

………………3 分

所以 AB ? (0, ? a, ? a) , DE ? (?a, a, 0) ,
2 因为 cos? AB , DE? ? AB ? DE ? ?a ??1 , 2 2a 2a AB DE

z E A

B 所以 AB 与 DE 的夹角为 120°, C

O D x E

E y E

第 22 题图

所以异面直线 AB 与 DE 所成角为 60°.………………………………………5 分 (2)设平面 ACE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) , 因为 AE ? (0, a, ? a) , EC ? (a, ? 3a, 0) , 所以 n1 ? AE ? 0 , n1 ? EC ? 0 ,所以, y ? z 且 x ? 3 y ,取 y ? z ? 1 ,得 x ? 3 , 所以, n1 ? (3,, 1 1) ,又平面 ABE 的法向量为 n2 ? (1,, 0 0) , 设二面角 B ? AE ? C 的平面角为 ? ,由 cos ? ?
n1 ? n2 n1 n2 ? 3 ? 3 11 , 11 11

因此,二面角 B ? AE ? C 的余弦值为 3 11 . ……………………………10 分 11 解法二:(1)不妨设 AB ? 1 ,以 B 为原点,建立如图所示空间直角坐标系 B-xyz,

1 , 2 ) ,…3 分 0, 0) , C (1, 0, 0) ,则 D(0,, 1 0) , E (?1,, 1 0) , A(? 1 , 则 B(0, 2 2 2 z A 则 AB ? ( 1 , 0 0) , ? 1, ? 2 ) , DE ? (?1,, E 2 2 2
DE ? ? AB ? DE ? 因为 cos? AB , AB DE ?1 2 ??1 , 2 1?1?1 4 4 2

B C

O D y E

E

所以 AB 与 DE 的夹角为 120°,

x 第 22 题图 所以异面直线 AB 与 DE 所成角为 60°. ………………………………… 5分 E

(2)设平面 ACE 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) , AB ? ( 1 , 1 0) , ? 1, ? 2 ) , BE ? (?1,, 2 2 2 所以 n1 ? AB ? 0 , n1 ? BE ? 0 ,解得 n1 ? (1,, 1 0) 设平面 ABE 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) , EA ? ( 1 , ? 1, 0) , ? 1 , 2 ) , EC ? (2, 2 2 2 所以 n2 ? EA ? 0 , n2 ? EC ? 0 ,解得 n2 ? (1, 2, 2 ) 2 设二面角 B ? AE ? C 的平面角为 ? ,则 cos ? ?
n1 ? n2 n1 n2 ? 3 ? 3 11 , 11 11

因此,二面角 B ? AE ? C 的余弦值为 3 11 . ……………………………10 分 11 22.如图,抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(2,1) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 均在抛物线上. (1)求抛物线的方程; (2)若 ?APB 的平分线垂直于 y 轴,证明直线 AB 的斜率为定值.

y

A

B O

P

x

解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为 x ? 2 py( p ? 0)
2

因为点 P(2,1) 在抛物线上,所以 2 ? 2 p ?1 ,得 p ? 2 .……………………3 分
2

故所求抛物线的方程是 x ? 4 y .
2

……………………4 分

(II)由题: k AP ? k BP ? 0 ,所以

y1 ? 1 y 2 ? 1 ? ? 0 ……………………6 分 x1 ? 2 x2 ? 2

2 x12 x2 ?1 ?1 x ? 2 x2 ? 2 4 ? ? 0, ? 4 ? 0 ,所以 1 4 4 x1 ? 2 x 2 ? 2

所以 x1 ? x2 ? ?4 .
2 x12 x 2 ? y ? y2 4 ? x1 ? x 2 ? ?1 ? 1 ? 4 x1 ? x 2 x1 ? x 2 4

……………………8 分

k AB

……………………10 分

18. 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 P ,与 C 的交点为 Q ,且
2

| QF |?

5 | PQ | . 4

(1)求 Q 的方程; (2) 过 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、B 两点, 若 AB 的垂直平分线 l ' 与 C 相交于 M 、N 两点, 且 A 、M 、

B 、 N 四点在同一圆上,求 l 的方程.
【解析】 (1)设 Q ( x0 , 4) ,代入 y 2 ? 2 px 得 x0 ? 所以 PQ ?

8 . p

8 p p 8 , QF ? ? x p ? ? . p 2 2 p

由题设得

p 8 5 8 ? ? ? .解得 p ? ?2 或 p ? 2 . 2 p 4 p

所以 C 的方程为 y 2 ? 4 x . (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x ? my ? 1 ( m ? 0 ). 代入 y 2 ? 4 x 得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4 . 故 AB 的中点为 D (2m 2 ? 1, 2m) . AB ? 又 l ' 的斜率为 ? m ,所以 l ' 的方程为 x ? ? 将上式代入 y 2 ? 4 x ,并整理得 y 2 ?

m 2 ? 1 y2 ? y1 ? 4(m 2 ? 1) .
1 y ? 2m 2 ? 3 . m

4 y ? 4(2m 2 ? 3) ? 0 . m 4 , y3 y4 ? ?4(2m 2 ? 3) . m
1 4(m 2 ? 1) 2m 2 ? 1 . ? 1 y ? y ? 4 3 m2 m2

设 M ( x3 , y3 ) , N ( x4 , y4 ) ,则 y3 ? y4 ? ?

故 MN 的中点为 E (

2 2 ? 2m 2 ? 3, ? ) . MN ? 2 m m

由于 MN 垂直平分 AB ,故 A 、 M 、 B 、 N 四点在同一圆上等价于 AE ? BE ? 从而

1 MN , 2

1 1 2 2 2 AB ? DE ? MN , 4 4

即 4(m 2 ? 1) 2 ? (2m ?
2

2 2 2 4(m 2 ? 1) 2 (2m 2 ? 1) 2 . ) ? ( 2 ? 2) 2 ? m m m2

化简得 m ? 1 ? 0 ,解得 m ? 1 或 m ? ?1 . 所求直线 l 的方程为: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .


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