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高一数学专题复习讲义函数三含答案


高一数学专题复习讲义——函数(三)
1.函数 f ( x ) ?
1? x
2

| x ? 2 | ?2

是 (

) 。 C.偶函数且奇函数 D.非偶函数非奇函数
1? x ? x
2

A.偶函数

B.奇函数

【分析及解】由已知定义域为:[ ? 1, 0 ) ? ( 0 ,1] ,所以 f ( x ) ? 所以函数 f ( x ) 为奇函数,故选 B
f (2) f (1) f (4) f (3)

,易知 f ( ? x ) ? f ( x )

2. 若 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b ) 且 f (1)=2,则 ( ) 。 A.2006 B.2007





f (6 ) f (5 )

+?+

f ( 2 0 0 8) f (2007)

等于

C.2008

D.2009

【分析及解】令 a ? x , b ? 1 ,则 f ( x ) ? f [( x ? 1) ? 1] ? f ( x ? 1) ? f (1) ,
f (x) f ( x ? 1)



? f (1) ? 2 ,所以,原式= 2 ? 1004 ? 2008 ,故选 C

3.幂函数 y ? x ? ,当 ? 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的 图象是一族美丽的曲线,如图所示,设点 A(1,0) 、B(0,1) , 连结AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数 y ? x ? , y ? x ? 的图 象三等分,即有 B M ? M N ? N A .那么 αβ=( ) 。 A. 1 B. 2 C. 3 D. -1 解析:由 M、N 为三等分点,可求出 M、N 的坐标,然后将其代入幂函数解析 式,求出幂指数. 过 M 分别作 x,y 轴的垂线,则两垂足应分别是 OA、OB 的三等分点,因而, 可得 M 的坐标为 ? , ? ,将此点坐标代入 y ? x ? ,得 ? ? lo g x y ? lo g 1
?3 3?
3

?1 2?

2 3



同理,可得 N 点坐标为 ? , ? ,于是 ? ? lo g 2
?3 3?
3

?2 1?

1 3



? ? ? lo g 1
3

2 3

? lo g 2
3

1 3

? 1.

4.(2009 年福建高考) 函数 f(x)=a x +bx +c (a ? 0) 的图象关于直线 x=-
2

b 2a

对称.据此可推

测,对任意的非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m[f(x)] +nf(x) +p=0 的解集都不 可能是

2

A.

?1, 2 ?

B ?1, 4 ? D ?1, 4,16, 64 ?
2

C ?1, 2, 3, 4?

解析:根据方程 m[f(x)] +nf(x) +p=0 的性质可以知道,无论根有多少个,他们一定要关于 某条直线对称,显然
64 ? 1 2 ? 16 ? 4 2

,所以答案选择 D

5.对于定义域和值域均为[0, 1]的函数 f(x), 定义 f1 ( x ) ? f ( x ) ,f 2 ( x ) ? f ( f 1 ( x )) , …,
f n ( x ) ? f ( f n ? 1 ( x ))

,n=1,2,3,….满足 f n ( x ) ? x 的点 x∈[0,1]称为 f 的 n 阶
0? x? 1 2 1 2 ? x ? 1, ,

周期点.设

? 2 x, ? ? f (x) ? ? ? 2 ? 2 x, ? ?

则 f 的 n 阶周期点的个数是(

) 。

A. n

B.2n
2 x -1

C. 2 n

D. n 2

6.不等式|x|>

的解集为 _________.。{x|x<1 或 x>2}

7.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)+1,且 a<b,若 m、n 是方程 f(x)=0 的两根,且 m<n,则 实数 a,b,m,n 的大小关系是_________.a<m<n<b. 8. 若一系列函数的解析式相同、 值域相同, 但其定义域不同, 则称这些函数为“同 2 族函数”,那么函数解析式为 y=x 、值域为{1,4}的“同族函数”共有( )个. A. 7 B. 8 C.9 D.10

解析:设函数 y=x2 的定义域为 D,其值域为{1,4},D 的所有情形的个数, 即是同族函数的个数,D 的所有情形为:{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1, -2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2} 共 9 个,答案为 9. 答案:9
9.已知函数 f ( n ) ? log
n ?1

( n ? 2 )( n ? N ) , 定义使 f (1), f ( 2 ), ?,f ( k ) 为整数的数 k ( k ∈ N
*

*



叫做企盼数,则在区间[1,100]内这样的企盼数共有______个. 解读:这里创新定义的“企盼数”非常独到,且有对数的介入,因而试题设计得精巧、 深刻.依题意有: f (1) ? log 2 3 , f ( 2 ) ? log 3 4 , f ( 3 ) ? log 4 5 , ?, f ( k ) ? log
f (1) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? f ( k ) ? log 2 ( k ? 2 )
k ?1

( k ? 2 ) ,则有

,

令 log 2 ( k ? 2 ) ? n ,则 k ? 2 n ? 2 , 由 k ∈[1,100]得: 1 ? 2 n ? 2 ? 100 ,∴ 3 ? 2 n ? 102 。

∵ n ? N * ,∴ n ? 2 ,3 , 4 ,5 , 6 ,故所求企盼数共有 5 个。

10.已知方程 x 2 ? a ? x ? 3 ? 0 ? a ? 0 ? 有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范 围为_________。 a ? 9 11.(2007 年北京大学自主招生)设函数 f ( x ) ? x 2 ? 53 x ? 196 ? | x 2 ? 53 x ? 196 | ,求
f (1) ? f ( 2 ) ? ? ? f ( 50 ) .

答案:660
12.对于区间 [ m , n ] 都有意义的两个函数 f 1 ( x ) 与 f 2 ( x ) ,如果当任意 x ? [ m , n ] ,均有
| f 1 ( x ) ? f 2 ( x ) |? 1 ,则称 f 1 ( x ) 与 f 2 ( x )

在 [ m , n ] 上是接近的,否则称 f 1 ( x ) 与 f 2 ( x ) 在 [ m , n ]

上 是 非 接 近 的 。 能 否 确 定 出 a 的 取 值 范 围 , 使 两 个 函 数 f 1 ( x ) ? log a ( x ? 3 a ) 与
f 2 ( x ) ? log 1
a

x?a

在 D ? [ a ? 2 , a ? 3 ] 上是接近或不接近的。

解读:此题属于创新探索情境,须深刻理解题意。至于求参数范围,最终要列出含参 的不等式(组) 。首先知 x ? 3 a , x ? a 在 [ a ? 2 , a ? 3 ] 上恒正,故有
?a ? 2 ? 3a ? 0 ? ?a ? 2 ? a ? 0 ? 0 ? a ? 1 , ?a ? 0, a ? 1 ?

若 f 1 ( x ) 与 f 2 ( x ) 在 D 上是接近的,则有
| f 1 ( x ) ? f 2 ( x ) |? 1 ? | log

a

( x ? 3 a ) ? log

1
a

x?a

|? 1 ? | log a ( x ? 3 a )( x ? a ) |? 1 1 a ( 0 ? a ? 1) ??※,

? ? 1 ? log a ( x ? 3 a )( x ? a ) ? 1 ? a ? ( x ? 3 a )( x ? a ) ?

设 g ( x ) ? ( x ? 3 a )( x ? a ) ? ( x ? 2 a ) 2 ? a 2 ,其图象的对称轴 x ? 2 a ? 2 ,∴ g ( x ) 在 D 上 为增函数,则要使※成立,只须
4 ? ?a ? 5 ? g (a ? 2) ? a ? ? ? 1 9 ? 57 9 ? 57 9 ? 57 ? , ,a ? ? 0?a? ? g ( a ? 3) ? ? ? a ? a 12 12 12 ? ? ?0 ? a ? 1 ?0 ? a ? 1 ? ? ?

综上:当 0 ? a ?
f 2 (x)

9? 12

57

时, f 1 ( x ) 与 f 2 ( x ) 是接近的;当

9? 12

57

? a ? 1 时, f 1 ( x ) 与

是非接近的。


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