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08年高考数学直线与圆锥曲线的轨迹与方程测试题


08 年高考数学直线与圆锥曲线的轨迹与方程测试题 年高考数学直线与圆锥曲线的轨迹与方程 直线与圆锥曲线的轨迹与方程测试题
一、选择题 1.已知两点A( 2, 0),B( , 1 0),动点P不在x轴上,且∠APO = ∠BPO,其中O为原点,则点P的轨 迹方程为 A.( x + 2) 2 + y 2 = 4( y ≠ 0) C.( x 2) 2 + y 2 = 4( y ≠ 0) B.( x + 1) 2 + y 2 = 1( y ≠ 0) D.( x 1) 2 + y 2 = 1( y ≠ 0)

a a 1 2. ABC中,A为动点,B、C为定点,B( ,0), C ( ,0)且满足条件 sin C sin B = sin A, 则动点A的 2 2 2 轨迹方程是 16 y 2 16 x 2 16 x 2 16 y 2 = 1( y ≠ 0) B. 2 = 1( x ≠ 0) 3a 2 3a 2 a2 a 16 y 2 16 y 2 16 x 2 16 y 2 D. 2 C. 2 = 1的左支( y ≠ 0) = 1的右支( y ≠ 0) a a 3a 2 3a 2 3. 设圆( x + 1) 2 + y 2 = 25的圆心为C , A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上一动点,线段AQ的垂直平分线 A. 与CQ交于M,则M的轨迹方程为 4x 2 4 y 2 4x 2 4 y 2 4x 2 4 y 2 4x 2 4 y 2 =1 + =1 =1 + =1 B. C. D. 21 25 21 25 25 21 25 21 4. F1、F2 是椭圆的两个焦点,M是椭圆上任一点,从任一焦点向F1 MF2 顶点M的外角平分线引垂线, A. 垂足为P,则P点的轨迹为 A.圆 是 1 1 1 B. y = 3x 2 + C. y = 3x 2 1 D. y = 6 x 2 3 3 3 6.已知圆x 2 + y 2 = 1, 点A(1,0),ABC内接与圆,且∠BAC = 60°,当BC在圆上运动时,BC中点的轨 A. y = 6 x 2 迹方程是 1 1 1 1 1 1 B.x 2 + y 2 = C. x 2 + y 2 = ( x < ) D.x 2 + y 2 = ( x < ) 2 4 2 2 4 4 2 7. 过抛物线y = 4 x的顶点O作两条互相垂直的直线分别交抛物与A、B两点,则线段AB的中点P的 A.x 2 + y 2 = 轨迹方程是 A. y 2 = 2 x 8 动点Q的轨迹是 A.圆 B.两条直线 C.抛物线 D.双曲线 B. y 2 = 2 x 8 C. y 2 = 2 x + 8 D. y 2 = 2 + 8 8. 设动点P在直线x = 1上,O为坐标原点,以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰直角OPQ,则 B.椭圆
2

C.双曲线

D.抛物线

5. 设动点P是抛物线y = 2 x + 1上任意一点,定点A(0,1),点M分 PA所成的比为2,则点M的轨迹方程

9.已知动点 P ( x, y )满足5 ( x 1) 2 + ( y 2) 2 =| 3 x + 4 y + 12 |, 则P点的轨迹是 A.两条相交直线
2

B.抛物线 B.x = 0( y ≠ 0)

C .双曲线 C.x + 4 y = 0( x ≠ 0)

D.椭圆 D.4 x + y = 0( x ≠ 0)

10.若ac = 1,则抛物线 y = ax + 2 x + c的焦点 F的轨迹方程 A. y = 0( x ≠ 0) 二、填空题 11.两条直线 ax + y + 1 = 0和x ay 1 = 0(a ≠ ±1)的交点的轨迹方程是 12.点P在以 F1、F2为焦点的双曲线 程是 14.设以P(2, 2)为圆心的圆与椭圆 x 2 + 2 y 2 = 1交于A、B两点,则 AB的中点 M的轨迹方程是 三、解答题 15.设 2 < m < 0,在直角坐标系中,通 过点M(m,0)的直线 l与双曲线 x 2 y 2 = 4有唯一的交点 P, 而与双曲线的渐近线交 于A、B两点 ( )求直线 l的方程 1 x2 y2 = 1上运动,则 F1 F2 P的重心 G的轨迹方程是 16 9 13.过抛物线 y 2 = 4 x的顶点 O作相互垂直的弦 OA、OB,则抛物线顶点 O在AB上的射影 M的轨迹方

(2)当m变化时,求 ABC的重心的轨迹方程

16.已知

x2 y2 ( + = 1( a > b > 0)的左、右焦点分别是 F1 c, 0)、F(c, .Q是椭圆外的动点,满足 0) 2 a2 b2

| F1Q |= 2a,点P是线段 F1Q与该椭圆的交点,点 T在线段 F2 Q上,并且满足 PT TF2 = 0,TF2 |≠ 0 |

(1)设x为点P的横坐标,证明 | F1 P |= a +

c x a

(2)求点T的轨迹方程

(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使F1 MF2的面积S = b 2 , 若存在,求F1 MF2的正 切值;若不存在,请说明理由

17.已知

x2 + y2 =1 2 (1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程

(2)过A(2, 1)的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点轨迹方程

1 1 (3)求过点P( , )且被P平分的弦所在直线的方程 2 2

专题七
一、1.C 2.D 3.D 4.A 5.A

直线与圆锥曲线的轨迹与方程
6.D 7.B 8.B 9.B 10.C

2 2 二、 11.x + y x + y = 0

12.

9x2 y2 = 1 16

13.x 2 + y 2 4 x = 0( x ≠ 0)

14.xy + 2 x 4 y = 0(椭圆内的部分 )
三、

15.解:)显然,l与x不垂直,设其方程为y = k ( x m).代入x 2 y 2 = 4中,有(1 k 2 ) x 2 + (1 2 2mk 2 x (k 2 m 2 + 4) = 0, 因为 = 0,有k = ± 4 m2 2 所以l:y = ± ( x m) 4 m2 2 2m 2m ( 2) y = ( x m)时,分别与y = x和y = x联立,得A( , ), 2 2 4m 2 4 m 2 4 m2 x A + xB 8 = x = 2m 2m 3 3m B( , ),由重心公式 2 + 4 m2 2 + 4 m2 y = yA + yB = 4 4 m 3 3m 16 消去m得x 2 y 2 = ( x < 0, y > 0) 9 2 16 当y = ( x m)时,同理可得x 2 y 2 = ( x < 0, y < 0) 2 9 4m 16 综上所述,所求轨迹方程为x 2 y 2 = ( x < 0且y ≠ 0) 9 16.解:)设点P的坐标为( x, y ),由点P在椭圆上,得:F1 P |= ( x + c ) 2 + y = ( x + c ) 2 + b 2 (1 | (a + c 2 c c x ) , 则x ≥ a, 知a + x ≥ c + a > 0, 所以 | F1 P |= a + x a a a 1 | F1Q | 2 b2 2 x = a2

(2)设点T的坐标为( x, y ), 当作 | PT |= 0时, 点(a,0)和( a,0)的轨迹上,PT |≠ 0且 | TF2 |≠ 0时,由 | PT TF2 = 0,得 PT ⊥ TF2,又 | PQ |=| PF2 |, 所以T为线段F2 Q的中点,在QF1 F2中,OT |= | = a,∴ x 2 + y 2 = a 2 综上所述,点T的轨迹C的方程是x 2 + y 2 = a 2 x0 2 + y0 2 = a 2 (3)C上存在点M ( x 0 , y 0 )使S = b 2的充要条件是 1 2 2c | y 0 |= b 2 ① ②

由②得 | y 0 |=

b2 b4 b2 b2 b2 2 时存在点 , 将上式代入①得: x 0 = a 2 2 = ( a )( a + ) ≥ 0, 于是,当 a ≥ c c c c c yc b2 b2 M ,使 S = b 2 ; 当 a 时,不存在满足条件的 点 M , 当 a ≥ 时 设 k 1 = k F1 M = , k 2 = k F2 M c c x0 + c 由 | F1 F2 |< 2 a , 知 ∠ F1 MF 2 < 90 °, k1 k 2 |= 2 1 + k1 k 2

=

y0 , x0 c

∴ tan ∠ F1 MF 2 =|

y = 2x + b 17 .解: )设斜率为 2的直线的方程为 y = 2 x + b.由 x 2 (1 得 9 x 2 + 8bx + 2b 2 2 = 0,设平行弦的端 + y2 = 1 2 8b 4b 2 4b 2 点坐标为 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), 则 (8b ) 2 4 × 9 ( 2b 2 2 ) > 0, x1 + x 2 = = ,即 < < , 2×9 9 3 9 3 x1 + x 2 y + y 2 5b 2b 2 2 = ,y = 1 = ,∴ 5 x + 2 y = 0 ( < x < )为所求轨迹方程 2 9 2 9 3 3 2 2 x1 x2 2 2 ( 2 )设 l与椭圆的焦点为 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), 弦的中点为 ( x , y ), 则 + y1 = 1, + y 2 = 1, 两式相减并 2 2 整理得 ( x1 + x 2 )( x1 x 2 ) + 2 ( y1 + y 2 )( y1 y 2 ) = 0, 又 Q x1 + x 2 = 2 x , y1 + y 2 = 2 y ,∴ 2 x ( x1 x 2 ) + 4 y ( y1 y 2 ) = 0,∴ x + 2 y 由题意知 ( y1 y 2 ) =0 ( x1 y 2 ) ①

( y1 y 2 ) y 1 y 1 = , 代入①得 x + 2 y = 0, 化简得 x 2 + 2 y 2 2 x 2 y = 0 ( x1 x 2 ) x 2 x2 ( y1 y 2 ) 1 = , ( x1 x 2 ) 2

∴ 所求轨迹方程为 x 2 + 2 y 2 2 x 2 y = 0 (夹在椭圆内的部分 ) (3) 将 x1 + x 2 = 1, y1 + y 2 = 1代入 ( x1 + x 2 )( x1 x 2 ) + 2 ( y1 + y 2 )( y1 y 2 ) = 0, 得 故所求的直线方程为 2 x + 4 y 3 = 0


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