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课题:单位圆和三角函数线(教案)


课题:7.3.2 单位圆和三角函数线.
教学目标: 1.理解三角函数的几何意义,掌握用单位圆中的有向线段表达三角函数值的方法,能由 已知角正确作出它的三角函数线. 2.能够根据角 的终边与单位圆交点 的坐标:( )求特殊角的三角函数值及

确定各三角函数值在各象限的符号,并牢记它们,能熟练应用. 3.通过三角函数线的教学培养学生数形结合的思想和能力. 教学重点:三角函数线及各象限的角的三角函数值符号. 教学难点:三角函数线的概念和性质. 教学方法:启发点拨,讲练结合. 教学用具:三角板、圆规、投影片. 教学过程: 一、复习引入 1.复习提问 (1)已知角 终边上一点 , 点到原点的距离为 r,试说出角 的余弦、正弦

和正切值.又问:另外的 3 种函数——正割、余割和余切与它们有何关系?怎样定义的? (2)以上定义的各种比值与点在角 终边上的位置有没有关系?为什么?其中余弦和正

弦这两种比值分别等于什么? ( 上单位向量在 轴、 轴上的正射影的数量.)

,

分别是角

的终边

(3)如果在(1)中取 =1,那么

点就是单位圆(以坐标原点为圆心,半径为 1 的圆)上的一

点,此时

可以写成怎样的表达式?

2.引入 7.3.2 单位圆与三角函数线 从刚才的提问我们可以知道:角 正弦,即有 ( 分别是角 ),亦即 =(

终边与单位圆交点的横、纵坐标分别等于

的余弦和

),由于|

|=1,所以 cos

和 sin 轴

终边上单位向量在 轴、

轴上的正射影的数量.于是作出

在 轴和

上的正射影, 我们便可得到

的几何表示.(出示预先准备好的小黑板, 请同学

作出 正.)

在 轴、 轴上的正射影



,对于向量的方向应注意强调,并予以纠

二、新课 1.三角函数线 由于 于是定义 的数量(或坐标)可用 为 的余弦线, 为 来表示,所以有 ,同理 .

的正弦线.请同学思考正切线如何作呢?

启发: 因为

=

,如果能在角

的终边上取一点

, 使得它的横坐标为 1, 那么点 的纵坐标就必在过 , 当 的终边在第 .怎

的纵坐标不就表示了 单位圆与 轴正向的交点

的值吗?而要使点

的横坐标为 1,那么点

(1, 0)的单位圆的切线上.教师边讲边作出 的终边的反向延长线与过

二、三象限时,提示学生让

的单位圆的切线相交找到点

样说明

就是

的正切线呢? (1, ),即 为 =(1,tan 的正切线. ),因 在 轴上的正射影

启发:由作图可知 为 ,即有 =

,所以定义

强调:三角函数线都是有向线段,在作图及表示它们时要注意它们的方向,分清始点和 终点,书写顺序不能颠倒.(作图板演时分别用不同颜色的笔区别开三种函数线.) 例 1 如图 2 所示, ,边 与单位圆相交于点 ,求点 的坐标.

解:设点

的坐标为(



),则

所以点 的坐标为 . 例 2 求下列各角的三角函数值:

(1)0;(2)

;(3)

;(4)

(5)2

.

解:由角的终边与单位圆交点坐标

可得:

(以上三角函数值要求会熟练推导, 并牢固记忆.) 三、小结 单位圆是从“形”与“数”两方面研究三角函数的一种十分有用的工具.利用这个工具我们得

到了:“角

的终边与单位圆交点坐标为

)”这一重要结论.由此我们研究

了以下三个问题: (1)得到了三角函数值的一种几何表示,即三角函数线; (2)求特殊角的三角函数值. (3)得到了三角函数值在各象限的符号规律(全、 、 、 ). 四、作业 1.复习课文.做第 215 页练习 2.预习下一节. 五、板书设计 ,第 1,2,3 题, 第 1,2 题.


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