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《优化探究》2013届高三数学理科二轮复习专题演练1-6-1第一讲 空间几何体


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空间几何体

1-6-1 第一讲

一、选择题 1.(2012 年青岛摸底)如图,在下列四个几何体中,其三视图(正视图、侧视 图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )

A.② ④ ③ C.① ④ ③

B.① ③ ② D.

① ④ ②

解析:① 的三个视图都是边长为 1 的正方形;② 的俯视图是圆,正视图、侧 视图都是边长为 1 的正方形;③ 的俯视图是一个圆及其圆心,正视图、侧视图是 相同的等腰三角形;④ 的俯视图是边长为 1 的正方形,正视图、侧视图是相同的 矩形. 答案:A 2.(2012 年高考课标全国卷)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 2,则此球的体积为( A. 6π C.4 6π B.4 3π D.6 3π )

解析:利用截面圆的性质先求得球的半径长. 如图,设截面圆的圆心为 O′,M 为截面圆上任一点, 则 OO′= 2,O′M=1, ∴ OM= ( 2)2+1= 3,即球的半径为 3, 4 ∴ 3π( 3)3=4 3π. V= 答案:B 3.(2012 年高考江西卷)若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体
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积为( )

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11 A. 2 9 C.2

B.5 D.4

解析:三视图还原为实物图,利用六棱柱体积公式求解. 由三视图可知,此几何体为直六棱柱,且底面的面积为 4,高为 1,则体积 V=Sh=4. 答案:D 4.(2012 年郑州模拟)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面 积为( )

A.6+ 5 C.8+ 5

B.6+2 5 D.8+2 5

解析:由三视图知,该几何体是一个底面为直角三角形的直棱柱,其表面积 1 等于 2× 2× 2)+(2× 12+22+1× ( 1× 2+2× 2)=8+2 5,选 D.

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答案:D

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5.如图,正方体 ABCD A′B′C′D′的棱长为 4,动点 E、F 在棱 AB 上,且 EF =2,动点 Q 在棱 D′C′上,则三棱锥 A′?EFQ 的体积( A.与点 E、F 位置有关 B.与点 Q 位置有关 C.与点 E、F、Q 位置都有关 D.与点 E、F、Q 位置均无关,是定值 1 1 16 解析:因为 VA′-EFQ=VQ-A′EF=3× 2× 4)× ( 2× 4= 3 ,故三棱锥 A′EFQ 的体积 与点 E、F、Q 的位置均无关,是定值. 答案:D 二、填空题 6.(2012 年高考山东卷)如图,正方体 ABCD- 1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分 A 别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1EDF 的体积为________. )

解析:利用三棱锥的体积公式直接求解. 1 VD1EDF=VF- 1E=3S△D1DE· DD AB 1 1 1 =3× × 1× 6. 2 1× 1= 1 答案:6 7.在三棱锥 ABCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥 的外接球的表面积为________. 解析:依题意得,该三棱锥的三组对棱分别相等,因此可将该三棱锥补形成 一个长方体,设该长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,且其外接球的半径为 R,

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2 2 2

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?a2+b2 =62 则?b +c =5 ,得 a2+b2+c2=43,即(2R)2=a2+b2+c2=43,易知 R 即为该三 ?c2+a2=52
棱锥的外接球的半径,所以该三棱锥的外接球的表面积为 4πR2=43π. 答案:43π 8.(2012 年高考辽宁卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面 积为________.

解析:将三视图还原为直观图后求解. 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱,所以 S=2× (4+3+12) +2π-2π=38. 答案:38 三、解答题 9.某商店门口标识墩的直观图以及正视图和俯视图如图所示,墩的上半部 分是正四棱锥 PEFGH,下半部分是长方体 ABCD EFGH.

(1)请画出该标识墩的侧视图; (2)求该标识墩的体积. 解析:(1)由于墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH,下半部分是长方形
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ABCDEFGH,故其侧视图与正视图全等.该标识墩的侧视图如图所示.

(2)由三视图易得,长方体与正四棱锥的底面均是边长为 40 cm 的正方形, 长方体的高为 20 cm,正四棱锥的高为 60 cm. 故该标识墩的体积 V=VP-EFGH+VABCDEFGH 1 =3× 40× 40× 60+40× 20=64 000(cm3). 40× 10.已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为 等腰直角三角形,俯视图为直角梯形. (1)若 M 为 CB 的中点,证明:MA∥ 平面 CNB1; (2)求这个几何体的体积.

解析:(1)证明:取 CB1 的中点 P,连接 MP,NP.因为 M 为 CB 的中点,所 1 以 MP∥ 1,且 MP=2BB1. BB

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1 由三视图可知, 四边形 ABB1N 为直角梯形, AN∥ 1 且 AN=2BB1, MP∥ BB 则 AN 且 MP=AN,所以四边形 ANPM 为平行四边形,所以 AM∥ NP. 又因为 AM ? 平面 CNB1,NP ? 平面 CNB1,所以 AM∥ 平面 CNB1. (2)因为该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直 角梯形,所以 BC⊥ BA,BC⊥ 1B.又 BB1 与 BA 相交于点 B,连接 BN,所以 BC⊥ B 平面 ABB1N,所以 BC 为三棱锥 CABN 的高.取 BB1 的中点 Q,连接 QN,因为 1 四边形 ABB1N 是直角梯形且 AN=2BB1=4,所以四边形 ABQN 为正方形,所以 NQ⊥ 1,又 BC⊥ BB 平面 ABB1N,NQ ? 平面 ABB1N,所以 BC⊥ NQ,又 BC 与 BB1 相交于点 B,所以 NQ⊥ 平面 C1B1BC,所以 NQ 为四棱锥 N- 1C1 的高. CBB 所以该几何体的体积 V=VC- +VN-CBB1C1 ABN 1 1 =3CB·△ABN+3NQ· 四边形 BCC1B1 S S 1 1 1 160 =3× 2× 4+3× 4× 4× 4× 4× 8= 3 . π 11.(2012 年高考陕西卷)在直三棱柱 ABC- 1B1C1 中,AB=AA1,∠ A CAB=2. (1)证明:CB1⊥ 1; BA (2)已知 AB=2,BC= 5,求三棱锥 C1- 1 的体积. ABA

解析:(1)证明:如图所示,连接 AB1. π ∵ 三棱柱 ABC- 1B1C1 是直三棱柱,∠ A CAB= , 2 ∴ AC⊥ 平面 ABB1A1, 故 AC⊥ 1. BA 又∵ AB=AA1, ∴ 四边形 ABB1A1 是正方形, ∴ 1⊥ 1. BA AB 又 CA∩AB1=A,
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∴ 1⊥ BA 平面 CAB1,故 CB1⊥ 1. BA (2)∵ AB=AA1=2,BC= 5,∴ AC=A1C1=1. 由(1)知,A1C1⊥ 平面 ABA1, 1 1 2 ∴ 1- 1=3S△ABA1· 1C1=3× 1=3. VC ABA A 2×

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