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【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:27 导函数含参问题的基本讨论点(学生版)


导函数含参问题的基本讨论点 1、求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式) ,从而 引起讨论。

? 1 , x ?1 ? 例 1:设 k ? R ,函数 f ( x) ? ?1 ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx, x ? R ,试讨论函 ?? x ? 1, x ? 1 ?
数 F ( x) 的单调性。

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2、求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ,但不知导函数为 零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。 例 2:已知 a 是实数,函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? 。 (1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)设 g ? a ? 为 f ? x ? 在区间 ?0, 2? 上的最小值。
① 写出 g ? a ? 的表达式; ② 求 a 的取值范围,使得 ?6 ? g ? a ? ? ?2 。

3、求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ,导函数为零的实 根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。 例 3:已知函数 f ? x ? ?
2ax ? a 2 ? 1 ? x ? R ? ,其中 a ? R 。 x2 ? 1

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 2, f ? 2?? 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。

例 4:设函数 f ? x ? ? x2 ? b ln ? x ? 1? ,其中 b ? 0 ,求函数 f ? x ? 的极值点。

练习 1:已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? bx ,其中常数 a, b ? R ,
g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。

(1)求 f ( x) 的表达式; (2)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间 [1,2] 上的最大值和最小值。

练习 2:已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) x 。

(I)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ?
1 时,讨论 f ( x) 的单调性。 2

练习 3:已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)当 a ?

1? a ? 1 (a ? R) 。 x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1 (2)设 g (x) ? x 2 ? 2bx ? 4. ,当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? ?1, 2? ,使不 4

等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 b 的取值范围。


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