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【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:27 导函数含参问题的基本讨论点(教师版)


导函数含参问题的基本讨论点 1、求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式) ,从而 引起讨论。

? 1 , x ?1 ? 例 1:设 k ? R ,函数 f ( x) ? ?1 ? x , F ( x) ? f ( x) ? kx, x ? R ,试讨论函 ?? x ? 1, x ? 1 ?
数 F ( x) 的单调性。

/>
? 1 ? k , x ?1 , ? 1 2 ? ? kx , x ? 1 , ? ?1 ? x ? ? 解: F ? x ? ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? x 对于 F ' ? x? ? ? ?? 1 ? k ,x ? 1 , ?? x ? 1 ? kx ,x ? 1 , ? ? ? 2 x ?1

F ? x ? ,分段进行研究。
对于 F ? x ? ?
1 ? kx ? x ? 1? ,对 k 分类: 1? x

当 k ? 0 时, F ? ? x ? ? 当 k ? 0 时, F ? ? x ? ?

1

?1 ? x ?
1

2

1? 上是增函数; ? k ? 0 ,∴函数 F ? x ? 在 ? ??,

?1 ? x ?

2

?k ?

?kx 2 ? 2kx ? k ? 1

?1 ? x ?

2



令 F ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 ?

k k 或 x ? 1? (舍) , k k

1 ? 1 ? ? ? 函数 F ? x ? 在 ? ??, 1? , 1? 上是增函数; ? 上是减函数,在 ?1 ? k? k ? ? ?
对于 F ( x) ? ? x ?1 ? kx( x ? 1) , F ' ( x) ? ?
1 ? k ,对 k 分类: 2 x ?1

当 k ? 0 时, F ? ? x ? ? 0 ,函数 F ? x ? 在 ? , ? ?? 上是减函数; ?1 当 k ? 0 时,由 F ? ? x ? ? ?
1 1 ? k ? 0 ,解得 x ? 1 ? 2 ; 4k 2 x ?1

, 1? 函数 F ? x ? 在 ?1
?

?

1 ? 1 ? ? ,? ? ? 上是增函数。 2 ? 上是减函数,在 ?1 ? 2 4k ? ? 4k ?

2、求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ,但不知导函数为

零的实根是否落在定义域内,从而引起讨论。 例 2:已知 a 是实数,函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? 。 (1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)设 g ? a ? 为 f ? x ? 在区间 ?0, 2? 上的最小值。
①写出 g ? a ? 的表达式; ②求 a 的取值范围,使得 ?6 ? g ? a ? ? ?2 。

a? ? 3? x ? ? x ? a 3x ? a 3? 解: (1)函数的定义域为 ?0, ?? ? , f ' ? x ? ? x ? ? ? ? ? x ? 0? , 2 x 2 x 2 x

由 f ' ( x) ? 0 得 x ?

a a 。 考虑 是否落在导函数 f ' ( x) 的定义域 ? 0, ?? ? 内,需对参数 a 3 3

的取值分 a ? 0 及 a ? 0 两种情况进行讨论。 当 a ? 0 时,则 f ' ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ?0, ?? ? ; 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ?
a a ;由 f ' ( x) ? 0 ,得 0 ? x ? ; 3 3

? a? ?a ? 因此,当 a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间为 ?0, ? ,单调递增区间为 ? , ?? ? 。 ? 3? ?3 ?

(2)①由第(1)问的结论可知: 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0, ?? ? 上单调递增,从而 f ? x ? 在 ?0, 2? 上单调递增,所以

g ? a ? ? f ? 0? ? 0 ;
? a? ?a ? 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? , ?? ? 上单调递增, ? 3? ?3 ?
a ? a? ?a ? 所以:当 ? ? 0, 2 ? ,即 0 ? a ? 6 时, f ? x ? 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? , 2 ? 上单调递 3 ? 3? ?3 ?

2a 3a 2a a ?a? ?? 增,所以 g ? a ? ? f ? ? ? ? ; 9 3 3 ?3?
a 当 ? ? 2, ?? ? ,即 a ? 6 时, f ? x ? 在 ?0, 2? 上单调递减, 3

所以 g ? a ? ? f ? 2? ? 2 ? 2 ? a ? ;
?0, a?0 ? ? 2a a g ? a ? ? ?? ,0 ? a ? 6 综上所述, ? 3 3 ? 2 ? 2 ? a ? , a ?~ 6 ?
②令 ?6 ? g ? a ? ? ?2 。

若 a ? 0 ,无解; 若 0 ? a ? 6 ,由 ?6 ? ?

2a a ? ?2 解得 3 ? a ? 6 ; 3 3

若 a ? 6 ,由 ?6 ? 2 ? 2 ? a ? ? ?2 解得 6 ? a ? 2 ? 3 2 。 综上所述, a 的取值范围为 3 ? a ? 2 ? 3 2 。 3、求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ,导函数为零的实 根也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。 例 3:已知函数 f ? x ? ?
2ax ? a 2 ? 1 ? x ? R ? ,其中 a ? R 。 x2 ? 1

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 2, f ? 2?? 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。 解: (1)当 a ? 1 时,曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 2, f ? 2?? 处的切线方程为 6 x ? 25y ? 32 ? 0 ;
2a ? x 2 ? 1? ? 2 x ? 2ax ? a 2 ? 1? 1? ? ?2a ? x ? a ? ? x ? ? a? ? ? , 2 ? x2 ? 1?

(2)由于 a ? 0 ,所以 f ' ? x ? ?

?x

2

? 1?

2

1 由 f ' ? x ? ? 0 ,得 x1 ? ? , x2 ? a 。这两个实根都在定义域 R 内,但不知它们之间的 a

大小。因此,需对参数 a 的取值分 a ? 0 和 a ? 0 两种情况进行讨论。
1? ? 当 a ? 0 时,则 x1 ? x2 。易得 f ? x ? 在区间 ? ??, ? ? , ? a, ??? 内为减函数,在区间 a? ?

1 ? 1 ? ? 1? 故函数 f ? x ? 在 x1 ? ? 处取得极小值 f ? ? ? ? ?a 2 ; 函数 f ? x ? ? ? , a ? 为增函数。 a ? a ? ? a?

在 x2 ? a 处取得极大值 f ? a ? ? 1。
1 当 a ? 0 时,则 x1 ? x2 。易得 f ? x ? 在区间 (??, a ) , (? ,?? ) 内为增函数,在区间 a
1 1 ? 1? ( a ,? ) 为减函数。 故函数 f ? x ? 在 x1 ? ? 处取得极小值 f ? ? ? ? ?a 2 ; 函数 f ? x ? 在 a a ? a?

x2 ? a 处取得极大值 f ? a ? ? 1。
点评:以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点,在求解有关含参数的导 数问题时,可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此,对含参数的导数问题的 讨论,还是有一定的规律可循的。当然,在具体解题中,可能要讨论其中的两点 或三点,这时的讨论就更复杂一些了,需要灵活把握。 例 4:设函数 f ? x ? ? x2 ? b ln ? x ? 1? ,其中 b ? 0 ,求函数 f ? x ? 的极值点。 解: 由题意可得 f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ?? ? , f ' ? x ? ? 2 x ?
b 2x2 ? 2x ? b ? , f ' ? x? x ?1 x ?1

的分母 x ? 1 在定义域 ? ?1, ?? ? 上恒为正,方程 2 x 2 ? 2 x ? b ? 0 是否有实根,需要对 参数 b 的取值进行讨论。 当 ? ? 4 ? 8b ? 0 ,即 b ?
1 时,方程 2 x 2 ? 2 x ? b ? 0 无实根或只有唯一根 2

1 x?? , 所以 g ? x ? ? 2x2 ? 2x ? b ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上恒成立, 则 f ' ? x ? ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上 2

恒成立,所以函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上单调递增,从而函数 f ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上无极 值点。 当 ? ? 4 ? 8b ? 0 ,即 b ? 的实根:
x1 ? ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b , x2 ? 。这两个根是否都在定义域 ? ?1, ?? ? 内呢?又需 2 2
1 时,方程 2 x 2 ? 2 x ? b ? 0 ,即 f ' ? x ? ? 0 有两个不相等 2

要对参数 b 的取值分情况作如下讨论: 当 b ? 0 时, x1 ?
?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1, x2 ? ? ?1 , 2 2

所以 x1 ?? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? 。此时, f ' ? x ? 与 f ? x ? 随 x 的变化情况如下表:

由此表可知:当 b ? 0 时, f ? x ? 有唯一极小值点 x2 ?

?1 ? 1 ? 2b 。 2

当0 ? b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, x1 ? ? ?1, x2 ? ? ?1 , 2 2 2

所以 x1 ? ? ?1, ??? , x2 ? ? ?1, ??? 。此时, f ' ? x ? 与 f ? x ? 随 x 的变化情况如下表:

由此表可知:当 0 ? b ?
?1 ? 1 ? 2b 。 2

1 ?1 ? 1 ? 2b 时, f ? x ? 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值 2 2

点 x2 ?

综上所述: 当 b ? 0 时, f ? x ? 有唯一极小值点 x ?
?1 ? 1 ? 2b ; 2

当0 ? b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b 时, f ? x ? 有一个极大值点 x ? 和一个极小值点 2 2

x?

?1 ? 1 ? 2b ; 2

当b ?

1 时, f ? x ? 无极值点。 2

点评:从以上诸例不难看出,在对含参数的导数问题的讨论时,只要把握以上三 个基本讨论点,那么讨论就有了方向和切入点,即使问题较为复杂,讨论起来也 会得心应手、层次分明,从而使问题迎刃而解。 练习 1:已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? bx ,其中常数 a, b ? R ,
g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。

(1)求 f ( x) 的表达式; (2)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间 [1,2] 上的最大值和最小值。

练习 2:已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) x 。

(I)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ?
1 时,讨论 f ( x) 的单调性。 2

解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a x2 ? x ? 2 ? 1(a ? R) f ' ( x ) ? , x ? (0, ??) 所以 x x2 ,

因此,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 x ? y ? ln 2 ? 0 ; (2)因为 f ( x) ? ln x ? ax ? 所以 f ' ( x) ?
1? a ? 1, x

1 a ?1 ax2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ?? , x ? (0,??) , x x x2

令 g ( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??), 当 a ? 0时, h( x) ? ?x ? 1, x ? (0, ??) 所以,当 x ? (0,1)时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0,函数f(x)单调递; 当 a ? 0时,由f?(x)=0 ,即 ax2 ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? 当a ?
1 ?1 a

1 ? (0,??) 上单调 时, x1 ? x2 , h( x) ? 0 恒成立,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x)x在 2

递减;
1 1 当 0 ? a ? 时, ? 1 ? 1 ? 0 2 a
x ? (0,1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递减;
x ? (1, 1 ? 1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递增; a

1 x ? ( ? 1, ??)时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; a 1 当 a ? 0 时,由于 ? 1 ? 0 , a
x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增。

综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减,函数 f ( x) 在 (1,??) 上单调递增;
1 时,函数 f ( x) 在 (0,??) 上单调递减; 2 1 1 当 0 ? a ? 时,函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ? 1) 上单调递增,函数 a 2

当a ?

1 f ( x )在( ? 1, ?? ) 上单调递减。 a

练习 3:已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)当 a ?

1? a ? 1 (a ? R) 。 x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 2 1 (2)设 g (x) ? x 2 ? 2bx ? 4. ,当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ? ?1, 2? ,使不 4

等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 b 的取值范围。 解析: 《审题要津与解法研究》 P 435 。


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