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排列组合综合应用2(分配问题)


宜春中学数学学科 2-3 册笫一章排列组合的综合应用
编写:丁红平 审核:高二数学理科备课组

2 导学案

编号:58

某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同 学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案? 解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含

有甲乙来分类,有以下四种情况:
4 ①若甲乙都不参加,则有派遣方案 A8 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有 3 种方法,然后安排其 3 3 3 余学生有 A8 方法,所以共有 3 A8 ;③若乙参加而甲不参加同理也有 3 A8 种;④若甲乙都参加,则先安 2 2 排甲乙,有 7 种方法,然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 A8 种,共有 7 A8 方法.所以共有不同的

学习目标: 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理; 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析 问题的能力 ; 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。. 学习重点:排列组合在分配问题中的应用 学习难点:排列组合在分配问题中的应用 学习过程: 一、预习导航,要点指津(约 3 分钟) 引例:1.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法. (1)有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4 人承担这三项任务, 不同的选法种数是( ) A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种 解析:先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务,第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务,不同的选法共有 C C C ? 2520 种,选 C .
2 10 1 8 1 7

4 3 3 2 派遣方法总数为 A8 ? 3A8 ? 3A8 ? 7 A8 ? 4088 种.

5、平均分堆问题---除序法: 12 本不同的书,平均分为 3 堆,不同的分法种数为多少种。 解:先从 12 本书中选出 4 本到第一堆,再从剩下的 8 本中选出 4 本到第二堆,第三步从剩下的 4 本中 选 4 本到第三堆,但题中是不要堆序,所以不同的分法共有 二、自主探索,独立思考(约 10 分钟) 例 1、有 12 人。按照下列要求分配,求不同的分法种数。 ①分为三组,一组 5 人,一组 4 人,一组 3 人; ②分为甲、乙、丙三组,甲组 5 人,乙组 4 人,丙组 3 人; ③分为甲、乙、丙三组,一组 5 人,一组 4 人,一组 3 人; ④分为甲、乙、丙三组,每组 4 人; ⑤分为三组,每组 4 人。 ⑥分成三组,其中一组 2 人,另外两组都是 5 人。 ①C C C
5 12 4 7 3 3 ②
4 4 C12 C84C4 种。 3 A3

(2) 12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查, 若每个路口 4 人, 则不同的分配方案有 (
4 4 A、 C12 种 C84C4 4 4 B、 3C12 种 C84C4 4 3 C、 C12 种 C84 A3



D、

4 4 C12 C84C4 种 3 A3

答案: A . 2.全员分配问题分组法: (1)4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种? 解析: 把四名学生分成 3 组有 C
2 再把三组学生分配到三所学校有 4 种方法,

A

3 故共有 3 种,

C A ? 36 种
2 4 3 3

C CC

5 12

4 7

3 3 ③

C C C A ④C C C

5 12

4 7

3 3

3 3

4 12

4 8

4 4 ⑤

4 4 2 5 5 C12 C84C4 C12 C10 C5 ⑥ 3 2 A3 A2

方法. 说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. (2)5 本不同的书,全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( ) A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种 答案: B . 3.名额分配问题隔板法: 10 个三好学生名额分到 7 个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案? 解析:10 个名额分到 7 个班级,就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆,每堆至少一个,可 以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案 为 C9 ? 84 种.
6

小结:例 1 与练习 1 说明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配问题。 例 2、从 1,2,3,…,2000 这 2000 个自然数中,取出 10 个互不相邻的自然数,有多少种方法? 解:将问题转化成把 10 名女学生不相邻地插入站成一列横列的 1990 名男生之间(包括首尾两侧),有多 少种方法? 因为任意相邻 2 名男学生之间最多站 1 名女学生, 队伍中的男学生首尾两侧最多也可各站 1 名女学生. 于 是,这就是 1991 个位置中任选 10 个位置的组合问题,故共有 种方法. 利用“插孔”法,也可以减

少元素,从而简化问题. 例 3、 (1)7 个相同的小球,任意放入 4 个不同的盒子中,共有多少种不同的方法? 解:相当于将 7 个小球用 3 块隔板分成 4 份 C10 (挡板占位法) (2)7 个相同的小球,任意放入 4 个不同的盒子中,每个盒子至少有 1 个小球的不同放法有多少种?
1
3

4.限制条件的分配问题分类法:

解:将 7 个小球用 3 块隔板分成 4 份但盒子又不能空,

3 (挡板不占位) C6

分配方案有(
4 4 A、 C12 种 C84C4


4 4 B、 3C12 种 C84C4 4 3 C、 C12 种 C84 A3

例 4、 有一群孩子外出旅行,回来时准备包车回家,包车费 20 元,他们把每个人的钱凑合起来,其中 有 23 人,每人有 0.5 元硬币一枚,另外 10 人,每人有 1 元硬币一枚,问有多 不同的凑合方法?解:把所有人的硬币都凑合起来共有 23×0.5+10×1=21.5 元,所以多 1.5 元, 这样问题可转化为取多余钱的方法数即取 3 个 0.5 的硬币或取 1 个 0.5 硬币和 1 个 1 元硬币的方法 数,则有 C23 ? C23 ? C10
3 1 1

D、

4 4 C12 C84C4 种 3 A3

答案:先从 12 人中选出 4 人到第一个年级,再从剩下的 8 人中选 4 人到第二个年级,第三步从剩
4 4 下的 4 人中选 4 人到第三个年级,不同的选法共有 C12 种,选 A . C84C4

种取法。

小结:对于某些问题如果直接去考虑,就会比较复杂,若能转化为与其等价的问题,就变得简单,容 易解决,这种方法叫转化法。 三、小组合作探究,议疑解惑(约 5 分钟) 各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论,交流,议疑解惑。 四、展示你的收获(约 8 分钟) 由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方 法、知识技巧。 (即学习成果) 五、重、难、疑点评析(约 5 分钟) 由教师归纳总结点评 六、达标检测(约 8 分钟) 1. 3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检, 每校分配 1 名医生和 2 名护土, 不同的分配方法 共有 ( ). A.90 种 B.180 种 C.270 种 D.540 种 分析:(一)先分组、后分配: 第一步:将 3 名医生分成 3 组,每组一人只有一种分法.第二步:将 6 名护士分成 3 组,每组 2 人有:( 士,有 )/ 种分法.第三步:将医生 3 组及护士 3 组进行搭配,使每组有一名医生、2 名护 种分配法.

4.5 本不同的书,全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( ) A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种 答案: B . 5. 编号为 1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5 的五个座位,其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是( ) A 10 种 B 20 种 C 30 种 D 60 种 答案:B 6.五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有( (A)60 种 (B)44 种 (C)36 种 (D)24 种 答案:B 7.若 7 个座位 3 个孩子去坐,要求每个孩子的旁边都有空位置,有多少种不同的排法? 搬凳子插入: A3 8.分配问题 (1)6 本不同的书分给 5 名同学每人一本,有多少种不同分法? A6
5

)

3

(2)5 本相同的书分给 6 名同学每人至多一本,有多少种不同的分法? C6

5

种搭配方法.第四步:将所得的 3 组分配到 3 所不同的学校有

(3)6 本不同的书全部分给 5 名同学每人至少一本,有多少种不同的分法? C6 A5

2

5

(4)6 本不同的书分给 3 名同学,甲 1 本、乙 2 本、丙 3 本,有多少种不同的分法? C6C5 C3 故共有不同的分配方法: · =540(种).故选(D). (种)分法. ( 6) 8 本不同的书分给 3 名同学, 其中 1 名同学 2 本、 另两人 3 本, 有多少种不同分法? C8 ?
2

1

2

3

(5)6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 名同学每人两本,有多少种不同分法? C6 C4 C2

2

2

2

分析:(二)第一步:先将 6 名护士分配到 3 所不同学校,每所学校 2 名,则有 第二步:再将 3 名医生分配到 3 所不同的学校,每所学校 1 人,有 故共有 =540(种)故选(D). 种分法.

3 3 C6 C3 3 ? A3 2 A2

(7)7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社会公益活动,若每天安排 3 人,者有多少种不同 的安排方法? C7 C4
3 3

说明:处理此类问题应注意准确分步. 2.4 个不同小球放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子,则恰有一个空盒的放法有_________种. 简析:这是一个排列与组合的混合问题.因恰有一个空盒,所以必有一个盒子要放 2 个球,故可 分两步进行:第一步选,从 4 个球中任选 2 个球,有 种选法。从 4 个盒子中选出 3 个,有 种选 法;第二步排列,把选出的 2 个球视为一个元素,与其余的 2 个球共 3 个元素对选出的 3 个盒子作全 排列,有 种排法.所以满足条件的放法共有 =144 种. 3.学生会的 12 名同学分配到三个不同的年级对同学们进行仪容仪表检查,若每个年级 4 人,则不同的
2



3 3 C7 C4 2 ? A2 2 A2

(8)将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每个班至少 1 名,最多 2 名,则不同的分配方案

C52C32 3 有多少? ? A3 2 A2
七.课后练习

1.把 12 支不同的钢笔分给 3 人,一人得 6 支,二人各得 3,有几种分法? 解:先分堆:有
6 3 6 3 3 C12 C6 C12 C6 A3 3 种.再将这三堆分配给三人,有 种。共有 种. A 3 2 2 A2 A2

的思想……等等。而我们以上的:特殊元素(位置)分析法,插入法,捆绑法,排除法,转化法,机 会均等法,隔板法都是运用这些思想在解排列组合应用题时所得到的各种解法,当然,这些 解法要灵 活运用,而且有时要联合运用才能把问题解决 7. 某班有 27 名男生 13 女生, 要各选 3 人组成班委会和团支部每队 3 人, 3 人中 2 男 1 女, 共有________
4 2 2 1 种不同的选法。 C27 C13 C4 C2
2 3 8.将 4 个不同的小球放到编号为 1、 2、 3、 4 的 4 个盒子中, 则恰好有一个空盒子的方法有多少种? C4 A4
2 2 C4 C2 2 ) A4 2 A2

本题亦可用“选位,选项法”,即:

=3

.

2. 3 个人坐在一排 8 个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种? 【解析】 : 解法 1、先将 3 个人(各带一把椅子)进行全排列有 A ,○*○*○*○,在四个空中分别放 一把椅子,还剩一把椅子再去插空有 A 4 种,所以每个人左右两边都空位的排法有
1
3 A1 4 A 3 =24 种.

3 3

1 问:恰有两个盒子不放小球的方法有多少种? (C4 ?

解法 2:先拿出 5 个椅子排成一排,在 5 个椅子中间出现 4 个空,*○*○*○*○*再让 3 个人每人带一 把椅子去插空,于是有 A 4 =24 种. 3. 停车场划出一排 12 个停车位置,今有 8 辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车方法 有几种?
8 【解析】 :先排好 8 辆车有 A8 种方法,要求空车位置连在一起,则在每 2 辆之间及其两端的 9 个空档
1 1 8

9.10 双不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任取 4 只,试求符合下列各种情形的方法数? (1)4 只鞋子恰成两双; C10
4 1 1 1 1 1 1 1 1 4 (2) 4 只鞋子没有成双; C10 C2C2C2C2 ? 3360或 (C20 C18 C16 C14 ) ? A4 1 2 1 1 (3)4 只鞋子中有 2 只成双,另外 2 只不成双; C10 C9 C2C2 ? 1140
5 4 C13 C84C4 2 A2

3

2

中任选一个,将空车位置插入有 C 9 种方法,所以共有 C 9 A 8 种方法. 注:题中*表示元素,○表示空. 4.把 5 个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,使每个盒子都不空的方法数是多少?
1 3 1 1 C52C32C1 C5 C2C1 3 3 A ? A3 3 2 2 A2 A2

10. 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法?

11.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人, 但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方 法 (1540) 12.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数为_____
2 2 2 C4 C2 A6 ? 90 2 A2

理论:平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要除以 Am ,即 m!,其中 m 表示组数。 5.12 个相同的球分给 3 个人,每人至少一个,而且必须全部分完,有多少种分法? 解:将 12 个球排成一排,一共有 11 个空隙,将两个隔板插入这些空隙中,规定两 隔板分成的左中右 三部分球分别分给 3 个人,每一种隔法 对应一种分法,于是分法的总数为 C11 种方法。 小结:将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数) ,可以用 m-1 块隔板,插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中,所有的插法数就是分法数,这种方法叫隔板法。 6.某出版社的11名工人中,有5人只会排版,4人只会印刷,还有2人既会排版也会印刷,现从这 11 人中选出 4 人排版,4 人印刷,有几种选法? 以选印刷者为对象分析: (合理分类)
4 4 3 1 4 2 2 4 C5 C6 ? C5 C2C5 ? C5 C2 C4
2

m

14.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,则不同的 选法共有_______ 34 15.3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船,这 3 人共有多少乘船方法. 27 16..本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种不同的分法?
3 2 1 3 4 (C6 C3 C1 ) ? A3 ? (C6 ? 2 2 2 1 1 C6 C4 C2 C2 C1 3 3 ) ? A ? ( ) ? A3 3 2 3 A2 A3

17.从 5 男 3 女中选 5 人担任 5 门不同学科的课代表,求符合下列条件的不同选法? (1)有女生担人数必须少于男生; (C3C5 ? C3 C5 ) A5
1 4 2 3 2 2 3 5

(2) 男生只能担任数学化学物理课代表; C5 A3 A3 ? C5 A3 A3
3 3

2

小结:在中学数学中,解答数学问题常用的数学思想方法很多如数形结合思想;分类讨论思想;转化
3


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