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2.平行线分线段成比例定理


二、平行线分线段成比例定理
A D L1

B

E

L2

C

F

L3

一、复习导入
如图: l1 // l2 // l3 // l4 // l5 // l6 , 且AP=PB=BQ=QR=RC. (1)你能

推出怎样的结论? 为什么?
由平行线等分线段定理可知. (注意其前提条件是:等距)
A P B Q R C D S E T G F L1 L2 L3

L4 L5
L6

(2)三条距离不相等的平行线截 两条直线会有什么结果?

AQ QC 思考并猜想:根据上述结论,
你还能发现什么新的结论?

3 DT 2 TF

3 2

二、定理的引入及推导
三条距离不相等的平行线 截两条直线会有什么结果? A B

l

l? D E F

l1 l2

猜 想 :

2 AB 2 DE 若 ? ,那么, ?? BC 3 EF 3C 3 AB 3 DE 若 ? , 那么, ?? BC 4 EF 4
你能否利用所学过的相关知识进行说明?

l3

AB 2 考察 ? BC 3

A
P1

l

l? D
Q1

B E 设线段AB的中点为P1,线 l2 Q P2 2 段BC的三等分点为P2、P3. a1 P3 Q3 a3 AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C C F l3 分别过点P1,P2, P3作直线 a1,a2,a3平行于l1,与l? 的交 这时你想到了什么? 点分别为Q1,Q2,Q3. DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F 平行线等分线段定理

l1 a1

AB DE 2 则: ? ? . BC EF 3

A B

D E

L1

A (D) B E

L1 L2 2 L3

L2
F 1 L3

C

C

F

D

A

L1 L2

D B (E)

A

L1 L2 4 L3

B
C

E
F

L3

3

C

F

平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

符号语言: AB AB DE 一般地,当l1 // l2 // l3,且 =q(q ? R)时, = =q. BC BC EF

若将下图中的直线L2看成是平行于△ABC 的边BC的直线,那么可得: AD = AE .
AB AC

推论:平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

l
A D

l?
L1

l
L2

E A

? l D

L2 L1

E

B

C L3

B

C L3

我们们已经得到 AB 2 若l1 //l 2 //l 3 , ? , BC 3 AB DE DE 2 即: ? 则 ? BC EF EF 3

A B C

l

l? D E F

l1 l2

l3

除此之外,还有其它对应线段成比例吗?

AB DE 怎样由 ? 得到其它比例式? BC EF

AB DE ? BC EF

反 比
BC EF ? AB DE

合比
AC DF ? AB DE

合比 AC DF AB BC ? ? DE EF BC EF 反 比
BC EF ? AC DF
BC AC ? EF DF

?

合比
AB DE ? AC DF

AB BC AC ? ? DE EF DF

三、定理的运用
例1(一、基础题) 1、已知: L1∥L2∥L3 则:
A B

D
E

L1 L2

AB BC AB DE

( DE) ( EF) (BC ) (EF )

BC ( EF) AC ( DF) ( AC) ( DF)

F

C L3

2、如图L1∥L2∥L3 , DE (1)已知BC=3, 3,则AB=(9) EF (2)已知AB=a,BC=b,EF= c, C ac 则DE=( ) b

A

D

L1

B

E F

L2 L3

3、如图1:已知L1∥L2∥L3 , AB=3厘米,BC=2厘米,DF=4.5厘米. 则EF=( 1.8 ),DE=( 2.7 ).
4、如图2:△ABC中,DE ∥BC,如果 AE :EC=7 :3,则DB :AB=( 3:10 )
A
A B F D E C L1 L2 L3

D B

E C 图2

图1

(二、提高题:)

C

1、如图:EF∥AB,BF:FC= 5 :4, E F 4 AC=3厘米,则CE=( cm) 3 2、已知在△ABC中,DE∥BC,EF∥DC, A B A 那么下列结论不成立的是( B ) F AD AB AD AC B A AF AD AB AE D E C AF AD D AF AE DF DB B AD AC C A 3、如图: △ABC中, DE ∥BC, DF ∥AC,AE=4,EC=2,BC=8, D E 求线段BF,CF之长.
16 16 8 CF = DE = , BF = 8 = . 3 3 3

B

F

C

例2:三角形内角平分线分对边成两线段, 这两线段和相邻的两边成比例.
A
4 3

E

已知:AD是△ABC中∠A的平 分线, BD AB
求证:DC

=

F
B

AC

.

1 2

证明:作CE//DA交BA的延长线于E.
C

BD AB = . 由平行线分线段成比例定理知 DC AE ∵CE//DA,∴∠1=∠4 ,∠2=∠3.

D

又∵∠1=∠2(已知), ∴∠3=∠4, ∴AC=AE . BD AB \ = . DC AE

例3:用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线 截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形的三边 对应成比例.(文字语言) A (图形语言) 已知:如图,DE//BC分别交AB、AC于

证明:过点E作EF//AB,交BC于点F, ∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC. 为了证明AE:AC=DE:BC, ∵EF//AB, ∴BF:BC=AE:AC. 需要构造一组平行线,使 且四边形DEFB为平行四边形. ∴DE=BF.∴ DE:BC=AE:AC. AE、AC、DE、BC成为 AD AE DE ? ? ? . 由这组平行线截得的线段. AB AC BC 故作EF//AB.

(符号语言) 分析:由平行线分线段 成比例定理的推论可直 接得到AD:AB=AE:AC.

AD AE DE ? ? . 点D、E.求证: AB AC BC

D B F

E

C

已知:如图,DE//BC分别交AB、AC于点D、 E.求证:AD AE DE

AB

?

AC

?

BC

.

A

(图形语言)

AD DE 法2:为了证明 AB ? BC ,需

D

E C

G

用平行线分线段成比例定理. B 故作CG//AB,且与DE的延长 线交于点G.

证明:过点C作CG//AB,且与DE的延长线交于点G. ∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC ? AD DE ? . ?? ∵CG//AB, ∴DE:DG=AE:AC ? AB DG ∵四边形DEFB为平行四边形, ∴DG=BC.
AD AE DE ? ? ? . AB AC BC

四 课后小结
1、学习掌握平行线等分线段定理,了解定 理的证明。 2、正确理解“对应线段成比例”,能正确 写出需要的比例式。 3 了解平行线分线段成比例定理是一般情 况,平行线等分线段定理的特殊情况, 明确我们的研究是采用从特殊到一般的 数学方法。


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