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2012-2013学年度下学期期中考试高二数学理科试题


2012-2013 学年度下学期期中考试高二 数 学 试 题
考试时间:120 分钟 编辑人:丁济亮 一、单项选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分 1.复数 (1 ? i)(1 ? i) =??????????????????????????( )

A. 2 B . ?2 D . ? 2i C . 2i 2. “所有金属都能导

电,铁是金属,所以铁能导电”这种推理属于??????( A.演绎推理 B.类比推理 C.合情推理 D.归纳推理
3.若复数 z 满足
科_网]

) )

z =2i,则 z 在复平面内对应的点位于??????????( 1? i
B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第 四象限

[来源:学_

A. 第一象限

4.乘积 ?a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ?b1 ? b2 ? ? ?c1 ? c2 ? c3 ? 展开后共有不同的项数为??( A.9 B.12 C.18 D.24

)

5. 函数 y ? x sin x ?

x 的导数是????????????????????(
1 2 x 1 2 x
B. y ' ? sin x ? x cos x ? D. y ' ? sin x ? x cos x ?

)

A. y ' ? sin x ? x cos x ?

1 2 x 1 2 x


C. y ' ? sin x ? x cos x ?

6. 证明: A. 1

n?2 1 1 1 1 ?1? ? ? ??? ? n ? 1(n ? 1) ,当 n ? 2 时,中间式子等于( 2 2 3 4 2n
B. 1 ?

1 2

C. 1 ? 1 ? 1
2

3

7.设 a , b 为正数,且 a ? b ? 4 ,则下列各式中正确的是??????????(



A.
'

1 1 + <1 a b

B.

1 1 ? ?1 a b
'

C.

1 1 + <2 a b

D.

1 1 ? ?2 a b


8. f ( x) 是 f ( x ) 的导函数, f ( x) 的 图象如右图所示,则 f ( x ) 的图象只可能是(

9.观察下列各式: 5 = 3125,5 = 15625,5 = 78125,? ,则 5

5

6

7

2013

的末四位数字为(



[来源:学科网 ZXXK]

A.3125

B.5625

C.0625

D.8125

10. 设 f ( x), g ( x) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? 0 ,且 g (?2) ?0
A. (?2,0) ? (2, ??) C. (??, ?2) ? (0, 2)

,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是(



B. (??, ?2) ? (2, ??) D. (?2, 0) ? (0, 2)

二、填空题:本大题共 7 小题, 每小题 4 分,满分 28 分 11.设 O 是原点,向量 OA, OB 对应的复数分别 为 2 ? 3i, ?3 ? 2i, 那么向量 BA 对应的复数 是 ;

??? ??? ? ?

??? ?

12.4 个班分别从 5 个风景点中选择一处游览,不同选法的种数是__________ 13.函数 f ( x) = 2 x 2 - ln x 的递增区间是_____________.

f (1 ? ?x ) ? f (1) ? 2 ,则实数 a 的值为_____ ?x ? 0 ?x 15.用数学归纳法证明: (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 n ?1? 3 ??? (2n ? 1) 时,从“ k 到
14.已知函数 f(x)=2ax+4,若 lim

k ? 1 ”左边需 增加的代数式是___________.
16.在平面上,我们如果用一条直线 去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形, 按图所标边长,由勾股定理有: c ? a ? b .
2 2 2

设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂 直的三棱锥 O—LMN,如果用 s1 , s2 , s3 表示三个侧面面积,s 4 表示截面面积,那么你类比 得到的结论是 .

17.设 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) ( a, b, c 是两两不等的常数),则 的值是 _____________.

a b c ? ' ? ' f (a) f (b) f (c)
'

三、解答题:本大题共 4 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.

18. (本小题满分 12 分) 知 z1 ? x2 ? x2 ? 1i ,z2 ? ( x2 ? a)i , 已 对于任意 x ? R , 均有 z1 ? z2 成立,试求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)已知实 数 a>0,函数 f ( x) ? ax( x ? 2) 2 ( x ? R) 有极大值 8。 (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)求实数 a 的值。
[来源:Z*xx*k.Com]

20、(本小题满分 13 分)已知 a, b, c 分别是三角形 ABC 的角 A、B、C 所对边,且 a, b, c 成等 差数列,公差 d ? 0 ; (1)求证:

1 1 1 , , 不可能成等差数列. a b c
? ?

(2)求证: 0 ? B ? 60

21. (本题满分 15 分)设函数 f ? x ? ? ax ? ln x .
2

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ? x ? 的图象在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程; (Ⅱ)已知 a ? 0 ,若函数 y ? f ? x ? 的图象总在直线 y ? ?

1 的下方,求 a 的取值范围; 2 (Ⅲ) f ? ? x ? 为函数 f ? x ? 的导函数. a ? 1 , 记 若 试问: 在区间 ?1,10? 上是否存在 k( k ? 100 )
个正数 x1 , x 2 , x 3 … x k , 使得 f / ( x1 ) ? f / ( x2 ) ? f / ( x3 ) ? ?? f / ( xk ) ? 2013成立? 请证明你的结论.

19

因为 a, b, c 成等差数列, d ? 0 ;所以 a-b=b-c=-d,

?d -d ? , ab=bc 即 a=c 与已知 d ? 0 相矛盾。 从而 ab bc 1 1 1 所以 , , 不可能成等差数列. ??????????????7 a b c


a+c 2 ) 2 a ?c ?b (a 2 ? c2)-(a +c) 4 2 cos B ? ? ? 2ac 2ac 8ac (2) 2 2 3(a ? c )-2ac 6ac ? 2ac 1 ? ? ? (等号不成立) 8ac 8ac 2
2 2 2

a 2 ? c2 ? (

因为 B 为三角形内角,所以 0 ? B ? 60 ???????????13
? ?

[来源:学#科#网]

(Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? ? x ? ? 2 x ? ∵当 x ? ?1,10? 时, g ? ? x ? ? 2 ?

1 . x

记 g ?x ? ? f

/

?x ? ,其中 x ? ?1,10? .

1 ? 0 ,∴ y ? g ? x ? 在 ?1,10? 上为增函数, x2 1 201 / 即 y ? f ? x ? 在 ?1,10? 上为增函数. 又 f / ?10 ? ? 2 ? 10 ? , ? 10 10 201 所以,对任意的 x ? ?1,10? ,总有 f / ? x ? ? . 10 201 所以 f / ? x1 ? ? f / ? x2 ? ? f / ? x3 ? ? ... ? f / ? xk ? ? k ? f / ?10 ? ? k, 10 201 又因为 k ? 100 ,所以 k ? 2010 . 10 故在区间 ?1,10? 上不 存在使得 f / ( x1 ) ? f / ( x2 ) ? f / ( x3 ) ? ?? f / ( xk ) ? 2013 成立 的 k ( k ? 100 )个正数 x1 , x 2 , x 3 … x k .


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