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三角函数的综合应用


解答题规范练
三角函数的综合应用
(推荐时间:70 分钟) 1. 设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cos x,1),b=(cos x, 3sin 2x),x∈R. π π - , ?,求 x 的值; (1)若函数 f(x)=1- 3,且 x∈? ? 3 3? (2)求函数 y=f(x)的单调增区间,并在给出的坐标系中画出 y=f(x)在区间[0,

π]上的图 象.



π? (1)依题设得 f(x)=2cos2x+ 3sin 2x=1+cos 2x+ 3sin 2x=2sin? ?2x+6?+1.

π? π? 3 ? 由 2sin? ?2x+6?+1=1- 3,得 sin?2x+6?=- 2 . π π π π 5π ∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ , 3 3 2 6 6 π π π ∴2x+ =- ,即 x=- . 6 3 4 π π π (2)当- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z), 2 6 2 π π 即- +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z)时,函数 y=f(x)单调递增,即函数 y=f(x)的单调增区间为 3 6

?-π+kπ,π+kπ?(k∈Z), 6 ? 3 ?
x y 0 2 π 6 3 π 3 2 π 2 0 2π 3 -1 5π 6 0 π 2

2. 已知向量 a=(cos x+ 3sin x, 3sin x),b=(cos x- 3sin x,2cos x),函数 f(x)=a· b- cos 2x. (1)求函数 f(x)的值域; π π? 1 (2)若 f(θ)= ,θ∈? ?6,3?,求 sin 2θ 的值. 5 解 (1)f(x)=a· b-cos 2x

=(cos x+ 3sin x)(cos x- 3sin x)+ 3sin x· 2cos x-cos 2x =cos2x-3sin2x+2 3sin xcos x-cos 2x =cos2x-sin2x-2sin2x+2 3sin xcos x-cos 2x =cos 2x+ 3sin 2x-1 π 2x+ ?-1, =2sin? 6? ? f(x)的值域为[-3,1]. π? (2)由(1)知 f(θ)=2sin? ?2θ+6?-1, π? π? 3 1 ? 由题设 2sin? ?2θ+6?-1=5,即 sin?2θ+6?=5, π π? π ?π 5π? ∵θ∈? ?6,3?,∴2θ+6∈?2, 6 ?, π? 4 ∴cos? ?2θ+6?=-5, π π π π π π 2θ+ ?- ?=sin?2θ+ ?cos -cos?2θ+ ?sin ∴sin 2θ=sin?? 6? 6? 6? 6? ? ? ?? 6 6 4 1 3 3+4 3 3 - ?× = = × -? . 5 2 ? 5? 2 10 1? 3. 已知向量 m=? ?sin A,2?与 n=(3,sin A+ 3cos A)共线,其中 A 是△ABC 的内角. (1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求△ABC 面积 S 的最大值. 解 ∴ 3 (1)∵m∥n,∴sin A· (sin A+ 3cos A)- =0. 2 1-cos 2A 3 3 + sin 2A- =0, 2 2 2



3 1 sin 2A- cos 2A=1, 2 2

π? 即 sin? ?2A-6?=1. π 11π π - , ?. ∵A∈(0,π),∴2A- ∈? 6 6 ? ? 6 π π π 故 2A- = ,A= . 6 2 3 (2)∵BC=2,由余弦定理得 b2+c2-bc=4, 又 b2+c2≥2bc,∴bc≤4(当且仅当 b=c 时等号成立), 1 3 3 从而 S△ABC= bcsin A= bc≤ ×4= 3. 2 4 4 即△ABC 面积 S 的最大值为 3. cos A-3cos C 3c-a 4. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cos B b (1)求 sin C 的值; sin A

(2)若 B 为钝角,b=10,求 a 的取值范围. 解 则 (1)由正弦定理,设 a b c = = =k, sin A sin B sin C

3c-a 3ksin C-ksin A 3sin C-sin A = = , b ksin B sin B

cos A-3cos C 3sin C-sin A 所以 = , cos B sin B 即(cos A-3cos C)sin B=(3sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=3sin(B+C). 又 A+B+C=π,所以 sin C=3sin A, sin C 因此 =3. sin A (2)由 sin C =3 得 c=3a. sin A

?a+c>b ? 由题意知? 2 2 2 , ?a +c <b ?

5 又 b=10,所以 <a< 10. 2 π π? 5. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?其中x∈R,A>0,ω>0,-2<φ<2?的部分图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知函数 f(x)的图象上的三点 M,N,P 的横坐标分别为-1,1,5,求 sin∠MNP 的值. 解 (1)由图可知,A=1,最小正周期 T=4×2=8.

2π π 由 T= =8,得 ω= . ω 4 π π π ? 又 f(1)=sin? ?4+φ?=1,且-2<φ<2, π π π 所以 +φ= ,解得 φ= . 4 2 4 π π? 所以 f(x)=sin? ?4x+4?. (2)因为 f(-1)=0,f(1)=1, 5π π? f(5)=sin? ? 4 +4?=-1, 所以 M(-1,0),N(1,1),P(5,-1). 所以|MN|= 5,|PN|= 20,|MP|= 37. 由余弦定理得 5+20-37 3 cos∠MNP= =- . 5 2 5× 20 因为∠MNP∈(0,π), 4 所以 sin∠MNP= . 5 6. 已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),其中 0<α<x<π. π (1)若 α= ,求函数 f(x)=b· c 的最小值及相应 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan 2α 的值. 3 解 π (1)∵b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α= , 4

∴f(x)=b· c=cos xsin x+2cos xsin α+sin xcos x+2sin xcos α=2sin xcos x+ 2(sin x+cos x). π 2 ? 令 t=sin x+cos x? ?4<x<π?,则 2sin xcos x=t -1,且-1<t< 2. 则 y=t2+ 2t-1=?t+

?

2?2 3 - ,-1<t< 2, 2? 2

∴t=-

2 3 2 时,ymin=- ,此时 sin x+cos x=- , 2 2 2

π 2 x+ ?=- , 即 2sin? ? 4? 2

π π π 5 ∵ <x<π,∴ <x+ < π, 4 2 4 4 π 7 11π ∴x+ = π,∴x= . 4 6 12 3 11π ∴函数 f(x)的最小值为- ,相应 x 的值为 . 2 12 π (2)∵a 与 b 的夹角为 , 3 π a· b ∴cos = =cos αcos x+sin αsin x=cos(x-α). 3 |a|· |b| π ∵0<α<x<π,∴0<x-α<π,∴x-α= . 3 ∵a⊥c, ∴cos α(sin x+2sin α)+sin α(cos x+2cos α)=0, π? ∴sin(x+α)+2sin 2α=0,即 sin? ?2α+3?+2sin 2α=0. 5 3 ∴ sin 2α+ cos 2α=0, 2 2 ∴tan 2α=- 3 . 5


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