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江苏省泰州市姜堰区2016届高三上学期期中考试 数学(理) Word版含答案


姜堰区 2015-2016 学年度第一学期期中调研测试 高三年级数学试题(理)
命题人:史记祥(省姜堰二中)
2015.11

审核人:王如进

孟太

数学Ⅰ
(本卷考试时间:120 分钟 总分 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上 . . 1.若复数 z ? i(3 ? 2i) ( i 是虚数单位) ,则 z 的实部为 ▲ . ▲ .

2.已知 A ? [1, 4], B ? (??, a] ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围为

3 .若样本数 据 x1 , x2 ,..., x10 的平均数为 8 , 则数据 2 x1 ?1, 2 x2 ?1,..., 2 x10 ?1 的平均 数为 ▲ .

?x ? y ? 0 ? 4.若 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? 0 ?
5.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为 ▲







S←1 I←1 While I ? 10 S←S+2 I←I+3 End While Print S
(第 5 题图)

6.设 x ? R ,则“ x ? 2 ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的
2



条件(从“充分不必

要” 、 “必 要不充分” 、 “既不充分也不必要” 、 “充要”中选择) . 7.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球,从中一次随机 摸出 2 只球,则这 2 只球中有黄球的概率为 ▲ . 8.将函数 f ( x) ? cos x 图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得到

的图像向右平移

? 个单位长度得到函数 g ( x) ,则 g ( x) ? 3





9.设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 3,sin B ? ▲ .

3 ? , C ? ,则 b ? 2 6

10.在 ?ABC 中,点 M , N 满足 AM ? 2MC, BN ? NC ,若 MN ? xAB ? yAC ,则 x ? y ? ▲ . 11.若函数 f ( x) ? ? ▲ . 12. 过点 P(?1, 0) 作曲线 C : y ? ex 的切线, 切点为 T1 , 设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1 , 过点 H1 再作曲线 C 的切线,切点为 T2 ,设 T2 在 x 轴上的投影是点 H 2 ,依次下去,得到第
n ? 1 (n ? N ) 个切点 Tn ?1 ,则点 T2015 的坐标为

???? ?

???? ? ??? ?

????

???? ?

??? ?

??? ?

?? x ? 6, x ? 2 (a ? 0, a ? 1) 的值域是 [4, ??) ,则实数 a 的取值范围是 ?3 ? log a x, x ? 2





13. 如果函数 f ( x) ? 最大值为
3

1 1 (m ? 2) x 2 ? (n ? 8) x ? 1(m ? 0, n ? 0) 在区间 [ , 2] 单调递减, 则 mn 的 2 2




14.设 x ? ax ? b ? 0 ,其中 a , b 均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的有 ▲ (写出所有正确条件的编号) ① a ? 0, b ? 2 ;② a ? 3, b ? 2 ;③ a ? ?3, b ? ?3 ;④ a ? ?3, b ? 2 ;⑤ a ? ?3, b ? 2 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出必要 ........ 的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
x x x 已知函数 f ( x) ? sin cos ? sin 2 . 2 2 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 [?? ,0] 上的最小值.

16. (本小题满分 14 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m ? ( (1)若 m ? n ,求 tan x 的值; (2)若 m 与 n 的夹角为

??

2 2 ? ? ,? ), n ? (sin x, cos x), x ? (0, ) . 2 2 2

??

?

??

?

? ,求 x 的值. 3

17. (本小题满分 14 分) 已知关于 x 的方程 x ? ? m ? 3? x ? m ? 0 .
2

(1)若方程的一根在区间 (?2, 0) 内,另一根在区间 (0, 4) 内,求实数 m 的取值范围; (2)若方程的两根都在区间 (0, 2) ,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 16 分) 强度分别为 a , b 的两个光源 A, B 间的距离为 d .已知照度与光的强度成正比,与光

P ? x , 源距离的平方成反比, 比例系数为 k (k ? 0, k为常数) . 线段 AB 上有一点 P , 设A
P 点处总照度为 y .试就 a ? 8, b ? 1, d ? 3 时回答下列问题. (注: P 点处的总照度为 P
受 A, B 光源的照度之和) (1)试将 y 表示成关于 x 的函数,并写出其定义域; (2)问: x 为何值时, P 点处的总照度最小?

19. (本小题满分 16 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, {bn } 是等差数列,且 a1 = b1 = 1, b2 +b3 = 2a3 ,

a5 - 3b2 = 7 .
(1)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)设 cn = anbn , n ? N* ,其前 n 项和为 Tn . ①求 Tn ; ②若 ? ? n(Tn ? 3) 对任意 n ? N 恒成立,求 ? 的最大值.
?

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

( x ? 1) 2 . 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)证明:当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ; (3) 确定实数 k 的所有可能取值, 使得存在 x0 ? 1 , 当 x ?, 恒有 f ( x) ? k ( x ? 1) . 1 ( ) x0 时,

数学Ⅱ
(本卷考试时间:30 分钟 21A. (本小题满分 10 分) 已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边,已知 sin 2 B ? 2sin A sin C , B ? 90? ,且 总分 40 分)

a ? 2, 求 ?ABC 的面积.

21B. (本小题满分 10 分) 设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列,求数列 {an } 的通项公 式.

22. (本小题满分 10 分) 投资生产 A 产品时,每生产 100t 需要资金 200 万元,需场地 200 m ,可获得利润 300 万元;投资生产 B 产品时,每生产 100 m 需要资金 300 万元,需场地 100 m ,可获 得利润 200 万元.现某单位可使用资金 1400 万元,场地 900 m ,问:应作怎样的组合投 资,可使获利最大?
2
2 2

23. (本小题满分 10 分)

已知函数 f ( x) = 4 x - x4 , x ? R . (1)求 f ( x ) 的单调性; (2)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P ,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) , 求证:对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) .

姜堰区 2015-2016 学年度第一学期期中调研测试 高三年级数学试题(理)参考答案 数学Ⅰ
1.2 9. 2. a ? 4 10. 3.15 4.2 5.7 6.充分不必要
2014

7.

5 6

8. cos( x ? 14. ①②③⑤

1 2

?
6

)

3 或3 2

1 3

11. 1 ? a ? 2

12. (2014, e

)

13.18

15. 解: (1) f ( x) ?

sin x 1 ? cos x 1 1 ? ? (sin x ? cos x) ? 2 2 2 2

?
-----------4 分 所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? -----------7 分 (2)因为 x ? [?? , 0] ,所以 x ? -----------9 分 所以当 x ?

2 ? 1 sin( x ? ) ? 2 4 2

2? ? 2? 1

?
4

? [?

3? ? , ] 4 4

?
4

??

?
2

,即 x ? ?

3? 时 4

-----------11 分

f ( x) 取最小值为 ?

2 1 ? 2 2

-----------14 分 16.解: (1)因为 m ? n ,所以 m ? n ? (

??

?

?? ?

2 2 ,? ) ? (sin x, cos x) 2 2

?
-----------4 分 所以 sin x ? cos x 因为 x ? (0, -----------7 分

2 2 sin x ? cos x ? 0 2 2

?
2

) ,所以 tan x ? 1

?? ? m?n (2)由 cos ? ?? ? ? 3 | m || n |

?

2 2 sin x ? cos x 2 2 2 2 2 ( ) 2 ? (? ) ? sin 2 x ? cos2 x 2 2

? sin( x ? ) 4
-----------10 分 因为 x ? (0,

?

?
2

) ,所以 x ?

?
4

? (?

? ?

, ) 4 4

-----------12 分 所以 x ?

?
4

?

?
6

,即 x ?

5? 12

-----------14 分 17.解: (1)令 f ( x) ? x ? (m ? 3) x ? m ,由题意可知
2

? f (?2) ? 0 ?4 ? 2(m ? 3) ? m ? 0 ? ? ? f (0) ? 0 ,即 ?m ? 0 ? f (4) ? 0 ?16 ? 4(m ? 3) ? m ? 0 ? ?
解得 ?

-----------4 分

4 ?m?0 5

-----------7 分

m?3 ? ?0 ? ? 2 ? 3 ? ? 2 (2)由题意可知 ?(m ? 3) ? 4m ? 0 ?m ? 0 ? ? ?4 ? 2(m ? 3) ? m ? 0

-----------10 分

解得

2 ? m ?1 3
ka 8k ? x2 x2

-----------14 分

18.解: (1)由题意可知:

P 点处受 A 光源的照度为 y1 ?
-----------2 分

P 点处受 B 光源的照度为 y1 ?
-----------4 分 从而,P 点的总照度为 y ? 分 其定义域为 {x | 0 ? x ? 3} -----------7 分 (2)对函数求导,可得 y ? ?
'

kb k ? 2 (3 ? x) (3 ? x) 2

8k k ? , 2 x (3 ? x) 2

-----------6

16k 2k ? , 3 x (3 ? x)3

-----------9

分 令 y' ? 0 ,得 ?

16k 2k 2k 16k ? ? 0, ? 3 , 3 3 3 x (3 ? x) (3 ? x) x 1 8 ? 3 ,所以 x3 ? 8(3 ? x)3 ,解得 x ? 2 3 (3 ? x) x
-----------11

因为 k ? 0 ,所以 分

当 0 ? x ? 2, y ? 0;2 ? x ? 3, y ? 0
' '

-----------13 分 因此, x ? 2 时, y 取得极小值,且是最小值 分 答:x ? 2 时,P 点处的总照度最小 分 19.解: (1)设 {an } 的公比为 q , {bn } 的公差为 d ,由题意 q ? 0 , -----------16 -----------15

由 -----------1 分 解 -----------3 分





,



?2q 2 ? 3d ? 2 ? 4 ? q ? 3d ? 10
q?2 d ?



所 以 {an } 的 通 项 公 式 为 an ? 2n?1 , n ? N? ,

{bn } 的 通 项 公 式 为

bn ? 2n ?1, n ? N? ----------5 分
(2)由(1)有 cn ? ? 2n ?1? 2
n?1

,则

Tn ? 1? 20 ? 3? 21 ? 5? 22 ? ?? ? 2n ?1? ? 2n?1, 2Tn ?
----------7 分 两式相减得 ?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? 2n ?1? ? 2 ? ? ? 2n ? 3? ? 2 ? 3,
2 3 n n n

1? 21 ? 3? 22 ? 5? 23 ? ?? ? 2n ?1? ? 2n ,

所 -----------10 分



Tn ? ? 2n ?

?

n

?

(3)令 en ? n(Tn ? 3) ? n(2n ? 3)2 n 由 en ? en?1 ,得 n(2n ? 3)2 ? (n ? 1)(2n ?1)2
n
?

n?1

,即 n(2n ? 3) ? 2(n ? 1)(2n ? 1)

解得对任意 n ? N 成立,即数列 {en } 为单调递增数列, 所 以

{en }











e1 ? ?2

-----------13 分
? 因为 ? ? en 对任意 n ? N 恒成立,所以 ? ? ?2 ,

所 以 -----------16 分

?











?2

20.解: (1)函数的定义域为 (0, ??) 分

-----------1

1 ? x2 ? x ? 1 对函数求导,得 f ( x) ? ? x ? 1 ? x x
'

-----------2



?x ? 0 1? 5 ? 由 f ( x) ? 0 ,得 ? ? x 2 ? x ? 1 ,解得 0 ? x ? 2 ?0 ? x ?
'

故 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, 分

1? 5 ) 2

-----------4

证明: (2)令 F ( x) ? f ( x) ? ( x ?1), x ? (1, ??) ,

则 -----------5 分



F ' ( x) ?

1 ? x2 x

当 x ? (1, ??) 时, F ' ( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 (1, ??) 上单调递减, 分 故当 x ? 1 时, F ( x) ? F (1) ? 0 ,即 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 分 解: (3)由(2)知,当 k ? 1 时,不存在 x0 ? 1 满足题意; 分 当 k ? 1 时,对于 x ? 1 ,有 f ( x) ? x ? 1 ? k ( x ? 1) , 则 f ( x) ? k ( x ? 1) ,从而不存在 x0 ? 1 满足题意; 分 当 k ? 1 时,令 G( x) ? f ( x) ? k ( x ? 1), x ? (1, ??) 则有 G ( x) ?
'

-----------7

-----------9

-----------10

-----------12

1 ? x 2 ? (1 ? k ) x ? 1 ? x ?1? k ? x x
2

由 G ( x) ? 0 得, ? x ? (1 ? k ) x ? 1 ? 0 .
'

解得 x1 ?

1 ? k ? (1 ? k )2 ? 4 1 ? k ? (1 ? k )2 ? 4 ? 0, x2 ? ?1 2 2
'

-----------14 分

所以当 x ? (1, x2 ) 时, G ( x) ? 0 ,故 G ( x) 在 (1, x2 ) 内单调递增,

从而当 x ? (1, x2 ) 时, G( x) ? G(1) ? 0 ,即 f ( x) ? k ( x ? 1) 综上,k 的取值范围是 k ? 1 -----------16 分

数学Ⅱ
21A.解:由题意及正弦定理可知: b = 2ac ; 因为 B = 90 ,由勾股定理得 a + c = b ; 又a ?
? 2 2 2 2

-----------3 分 -----------5 分 -----------7 分 -----------10

2 ,所以解得 c = a = 2 ;
1 ? 2 ? 2 ?1. 2

所以 ?ABC 的面积 S ?

分 21B.解:由已知 Sn ? 2an ? a1 , 有 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 (n ? 2) , 即 an ? 2an?1 (n ? 2) . 从而 a2 ? 2a1 , a3 ? 4a1 , 又因为 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列,即 a1 ? a3 ? 2(a2 ? 1) , 所以 a1 ? 4a1 ? 2(2a1 ? 1) ,解得 a1 ? 2 ; 所以,数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 故 an ? 2n . 分 22.解:设生产 A 产品 x 百吨,生产 B 产品 y 百米,利润为 S 百万元,则 -----------10 -----------8 分 -----------5 分

?2 x ? 3 y ? 14 ?2 x ? y ? 9 ? 约束条件为 ? ; ?x ? 0 ? ?y ? 0
目标函数为 S ? 3x ? 2 y . 分 作出可行域,将目标函数 S ? 3x ? 2 y 变形为 y ? ? 这是斜率为 ?

-----------3 分

-----------5

3 S x? 2 2

3 S S ,随 S 变化的一族直线. 是直线在 y 轴上的截距,当 最大时,S 最大. 2 2 2

由图象可知,使 3x ? 2 y 取得最大值的 ( x, y ) 是两直线 2 x ? 3 y ? 14 与 2 x ? y ? 9 的交点

(3.25, 2.5)
此时 S ? 14.75 -----------9 分

答: 生产 A 产品 325 吨, 生产 B 产品 250 米时, 获利最大, 且最大利润为 1475 万元. --10 分 23.解: (1)由 f ( x) = 4 x - x 4 ,可得 f ? ( x) = 4 - 4x3 , 当 f ? ? x ? ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ? x ? 单调递增; 当 f ? ? x ? ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ? x ? 单调递减; 所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??,1? ,单调递减区间是 ?1, ?? ? . (2)设 P ? x0 ,0? ,则 x0 ? 4 3 , f ? ? x0 ? ? ?12, 曲线 y ? f ? x ? 在点 P 处的切线方程为 y ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? , 即 g ? x ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ; 令 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 即 F ? x ? ? f ? x ? ? f ? ? x ?? x ? x0 ? -----------6 分
1

-----------1 分

-----------4 分 -----------5 分

则 F ? ? x ? ? f ? ? x ? ? f ? ? x0 ? ;由于 f ( x) = 4 - 4 x 3 在 ? ??, ??? 单调递减, 所以 F ? ? x ? 在 ? ??, ??? 单调递减,又因为 F ? ? x0 ? ? 0 , 所以当 x ? ? ??, x0 ? 时, F ? ? x ? ? 0 ,所以当 x ? ? x0 , ??? 时, F ? ? x ? ? 0 , -----------8 分 所以 F ? x ? 在 ? ??, x0 ? 单调递增,在 ? x0 , ??? 单调递减, 所以对任意的实数 x, F ? x ? ? F ? x0 ? ? 0 , 即对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) . ――----10 分


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