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高三数学试题甘肃省天水一中2013届高三第一次考试(理)试题


天水一中 2010 级 2012~2013 学年第一学期第一次考试 数学试题(理科)
命题:伏景祥 一、选择题(本题满分 60 分,每小题 5 分) 审核:张硕光

2 ?1 x ?1 2 1.已知集合 M ? x lg x ? 0 , N ? x 2 ? 2 ? 2 ,x ? Z ,则 M ? N ?(

?

?

?

?

) ??11? A. ,

B. ??1?

C. ?0?

D. ??1 0? ,

2.“ | x ? 1|? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.即不充分又不必要条件 3.函数 y ?

D.充要条件

1 的定义域为( log 0.5 (4 x ? 3)



A. (

3 ,1) 4

C. (1,+∞) 4.已知函数 f ( x) ? ? A. x0 ? 8

3 ,+∞) 4 3 D. ( ,1)∪ (1,+∞) 4
B. (

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

? 3 x ?1 , x ? 0, ?log2 x, x ? 0.

若 f ? x0 ? ? 3 ,则 x0 的取值范围是( C. 0 ? x 0 ? 8



B. x0 ? 0 或 x0 ? 8

D. x0 ? 0 或 0 ? x 0 ? 8

( ? + 上的奇函数 f (x) 在 +?) (0, 上为增函数,当 x ? 0 时, f (x) 的 5.定义在 -?,0)(0,?)
图像如图所示,则不等式 x ? f ( x) ? f (?x)? ? 0 的解集是( A. (??, ?3) ? (0,3) B. (??, ?3) ? (3, ??) C. (?3, 0) ? (3, ??) D. (?3, 0) ? (0,3)
2 6.函数 ?( x ? 3 )= x +4x-5,则函 数 ?(x)(x≥0)的值域是(









A. ??

? 41 ? ,?? ? ? 4 ?

B. ?? 9,???

C. ??

? 33 ? ,?? ? D. ?? 7,??? ? 4 ?

7.已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? ax ? 3a) 在区间[2,+ ? )上是增函数,则 a 的取值范围是
2

A. ? ?,4] (

B. ? ?,2] (

C. ? 4,4] (

D. ? 4,2] (

8.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15 x 2 和 L2=2 x,其中 x 为销售量(单位:辆) .若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的 最大利润为( )
[来源:学科网]

A.45.606

B.45.6

C.45.56

D.45.51

9. 定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且在[-1, 0]上单调递增, a ? f (3) , 设

b ? f ( 2 ) , c ? f (2) ,则 a, b, c 大小关系是(
A. a ? b ? c 10.若曲线 y ? x A.64
? 1 2

) D. c ? b ? a





B. a ? c ? b 在点 ? a , a

C. b ? c ? a

? ?

?

1 2

? ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? ?
C.16 D.8

B.32

11. 若 函 数 f ( x ) ? ka x ? a? x ( ? 0 a ? 1) (??, ??) 上 既 是 奇 函 数 又 是 减 函 数 , 则 在 a 且

g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图像是(



2 2 12.如图所示的曲线是函数 f ( x) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? d 的大致图象,则 x1 ? x 2 等于(



8 9 16 C. 9
A.

10 9 5 D. 4
B.

y ?1
x1


O x2

2 x
(第 12 题)

二、填空题(本题满分 20 分,每小题 5 分) 13.若集合 A ? ? x log 1 x ?

? ? ? ?

2

1? ? ? ,则 CR A = 2? ?
.

.

14.

?

?

2 0

cos 2

1 x dx ? ? 1 ? x 2 dx ? 0 2

[来源:Zxxk.Com]

15 . 函 数 f ? x ? 对 于 任 意 实 数 x 满 足 条 件 f ? x ? 2 ? ?

1 , 若 f ?1? ? ? 5 ,则 f ? x?

f ? f ?5?? ? __________.
2 16.若方程 ax ? 2 x ? 3 ? 0 在(0, 2)内恰有一解, 则实数 a 的取值范围为

.

三、解答题(本题满分 70 分,解答应写出必要的文字说明,推演过程及演算步骤) 17. (10 分)定义在 (?1,1) 上的函数 f ( x) ? ?5x ? sin x ,如果 f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0 ,
2

求实数 a 的取值范围.

18.(12 分)设命题 p:函数 f(x)=x3-ax-1 在区间[-1,1]上单调递减;命题 q:函数 y=ln(x2 +ax+1)的值域是 R.如果命题 p 或 q 为真命题 ,p 且 q 为假命题,求 a 的取值范围. 19. (12 分)已知二次函数 f (x)满足条件: f (0) ? 1, f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x . (1)求 f (x) ; (2)讨论 f (| x |) ? m

(m ? R) 的解的个数.

20. (12 分)设定义在 R 上的函数 f (x) ,对任意 x, y ? R, 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? 1 ,若 f (1) ? 2 .

(1)求 f (0) ; (2)求证: x ? R 时 f (x) 为单调递增函数. 21. (12 分)已知函数 f ( x) ? loga x ,其中 a ?{a | 20 ? 12a ? a 2 } . (1)判断函数 f ( x) ? loga x 的增减性; (2 )若命题 p : | f ( x ) |? 1? | f (2 x ) | 为真命题,求实数 x 的取值范围. 22. (12 分)已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax ? 1.
2

(Ⅰ )讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ )设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | .

天水一中 2010 级 2012——2013 学年度第一学期第一次检测考试答案
数学(理科) 一、选择题(本题满分 60 分,每小题 5 分) 1.B2.B3.A4.A5.D 6.B7.C8.B9.D10.A 11.D 12.C 二、填空题(本题满分 20 分,每小题 5 分) 13. (??, 0] ? ?

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

? 2 ? , ?? ? ? 2 ? ? ?

14.

? ?1 2

15. ?

1 5

16. a ?

1 4

三、解答题(本题满分 70 分) 17. (10) 17. 因为 f (x) 是奇函数, f ?( x) ? ?5 ? cos x ? 0, 所以f ( x)在(?1,1)上是减函数 又 .

所以f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ? f (1 ? a) ? f (a 2 ? 1)

? ?1 ? 1? a ? 1 ? ? ?? 1 ? a 2 ? 1 ? 1 ? ? 1? a ? a2 ?1 ?

1? a ? 2 .
18.[解答] p 为真命题? f′(x)=3x2-a≤0 在[-1,1]上恒成立? a≥3x2 在[-1,1]上恒成立? a≥3. 2 q 为真命题? Δ=a -4≥0 恒成立? a≤-2 或 a≥2. 由题意 p 和 q 有且只有一个是真命题. ? ? ?a≥3, ?a<3, ? ? p 真 q 假? ? ?; a∈ p 假 q 真? ? a≤-2 或 2≤a<3. ?-2<a<2 ?a≤-2或a≥2 ? ? 综上所述:a∈ (-∞,-2]∪ [2,3). 19. (12)解: (1)设二次函数 f(x)= ax ? bx ? 1, f ( x ? 1) ? ax ? (2a ? b) x ? a ? b ? 1 ,
2 2

f ( x) ? 2 x

? ax2 ? (b ? 2) x ? 1 ?1 f2 , x .( ?





f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x





a ?1

,b ?

x ? )

x?

1

(2)因为函数 y ?

3 时,解的个数为 0; 4 3 3 ? m ? 1 时,解的个数为 4, m ? 1 时,解的个数为 3; m ? 1 或 m ? 时,解的个数 4 4
f (| x |) 是偶函数,作出其图像,易知 m ?

为 2.
2 20. (12)解: (1)令 x ? y ? 0, f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 或 f (0) ? 1 ,

又 f (1) ? 2 = f (1) f (0) ,故 f (0) ? 1 . (2)由于 f ( x) ? f ( ) ? 0, 假设存在 t ,使 f (t ) ? 0 ,则
2

x 2

f ( x) ? f ( x ? t ? t ) ? f ( x ? t ) f (t ) ? 0 ,与题设矛盾,所以 f ( x) ? 0 。
设 x1 ? x2 , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 )( f ( x2 ? x1 ) ?1) ,由已知

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,于是 f (x) 为单调递增函数.
21. (12)解: (1)∵a ?{a | 20 ? 12a ? a 2 } ,∴a 2 ? 12a ? 20 ? 0 , 即 2 ? a ? 10 ,∴ 函数 y ? loga x 是增函数; (2) | f ( x ) |? 1? | f (2 x ) | 即 | loga 当0 ? x ?

x | ? | loga 2 x |? 1 ,必有 x ? 0 ,

1 时, loga 4

x ? loga 2 x ? 0 ,不等式化为 ? loga x ? loga 2 x ? 1,
1 1 1 ?x? ; ,此时 2a 2a 4

∴? loga 2 x ? 1 ,故 loga 2x ? ?1 ,∴x ? 当

1 ? x ? 1 时, loga 4

x ? 0 ? loga 2 x ,不等式化为 ? loga x ? loga 2 x ? 1 ,
1 ? x ?1; 4

∴ loga 2 ? 1 ,这显然成立,此时 当 x ? 1 时, 0 ? loga ∴loga 2 x ? 1 ,故 x ?

x ? loga 2 x ,不等式化为 loga x ? loga 2 x ? 1 ,
a a ,此时 1 ? x ? ; 2 2 1 a ? x ? }. 2a 2

综上所述知,使命题 p 为真命题的 x 的取值范围是 { x | 22.解: ) f(x)的定义域为(0,+ ? ) f ?x ? (Ⅰ , ()

a ?1 2a ?x x

2a a ? 1 x 2 ? ? . x

当 a≥0 时, f ?( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ?( x ) =0,得 x= ?

a ?1 .当 x∈ (0, 2a ?

?

a ?1 )时, f ?( x ) >0; 2a

x∈ ( ?

a ?1 ,+ ? )时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0, 2a a ?1 ,+ ? )单调减少. 2a

a ?1 )单调增加, 2a

在( ?

(Ⅱ )不妨设 x1≤x2。由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4x2-4x1,即 f(x2)+ 4x2≤f(x1) + 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则 g ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2ax +4= 。 x x

因为 a≤2, ? ? 4 2 ? 8a(a ? 1) ? ?8(a ? 1)(a ? 2) ? 0 . 于是 g ?( x ) ≤0. 从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2) , 即 f(x1)+ 4x1≥f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈ (0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 .


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