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江西省南昌市第二中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


南昌二中 2014—2015 学年度下学期期末考试

高一数学试卷
一、选择题(12× 5 分=60 分) 1.下列函数中,最小正周期为 A. y ? sin( 2 x ? C. y ? cos( 2 x ?

?

? 的是( 2



?
6
<

br />3

) )

B. y ? tan( 2 x ? D. y ? tan( 4 x ?

? ?
3 6

) )

2. 把函数 y ? sin(2 x ?

?

4 为( ) A. y ? cos 2 x ? 2 B. C. y ? ? cos 2 x ? 2 y ? sin 2 x ? 2 D. y ? ? cos 2 x ? 2 3. 某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,用
分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查, 如果已知从高一学 生中抽取的人数 7,那么从高三学生中抽取的人数应为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 则 S10 的值为( A. ?110 ) )

) 的图象向右平移

? 个单位,再向下平移 2 个单位所得函数的解析式 8

4. 等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,a1 ? 20 ,且 a3 ,a 7 ,a9 成等比数列.Sn 为 ?an ? 的前 n 项和, B. ?90 C. 90 D. 110 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 5. 已知向量 OA 、 OB 的夹角为 60° , | OA |?| OB |? 2 , 若 OC ? 2OA ? OB , 则 | OC | =(

A. 6 B. 2 2 C. 2 5 D. 2 7 6. 甲 乙 两 人 各 自在 300 米长的直线形跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道上相距不超过 50 米的概率是多 少( ) . A.

1 3

B.

11 36

C.

15 36

D.

1 6

7. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的概率等 于( )

1 2 5 C. D. 3 3 6 2 8. 若关于 x 的不等式 x ? ax ? 2 ? 0 在区间 ?1,5? 上有解,则实数 a 的取值范围为(
A. B. A. ( ?

1 6



23 ,?? ) 5
? A ? ,i ?1 3

B. [ ?

23 , 1] 5
)

C.(1,+∞)

D. ( ?? , ?

23 ) 5

9. 下列程序框图中,输出的 B 是(

开始

A ? A?

? 3

B ? tan A

i ? i ?1

i ? 2015



输出B

结束



3 C. 0 D. 3 3 2 10. 已知关于 x 的方程 ?2 x ? bx ? c ? 0 ,若 b,c ??01 , , 2, 3? ,记“该方程有实数根 x1 , x2 且
A. ? 3 B. ? 满足 ?1 ? A.

x1 ? x2 ? 2 ”为事件 A,则事件 A 发生的概率为(
B.

) D.

1 4

3 4

C.

7 8

15 16

11. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1,| an ? an ?1 |? 是递增数列,则 12a10 ?

1 ( n ? N , n ? 2) ,且 {a2 n?1} 是递减数列,{a2 n } 3n

1 1 1 C. 11 ? 10 D. 11 ? 9 9 3 3 3 ??? ? ??? ? 2? ? 上, 12. 如图,给定两个平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 3 ??? ? ??? ? ??? ? 且 OC ? xOA ? yOB ( 其中 x,y∈R), 则满足 x ? y ? 2 的概率为
A. 6 ? B. 6 ? ( A. )

1 310

2 ?1

B.

3 4

C.

?
4

D.

?
3

二、填空题(4× 5 分=20 分) 13. 已知向量 a ? (1, 3) ,向量 a , c 的夹角是

?
3

, a ? c ? 2 ,则 | c | 等

于_______. 14. 安排 A, B, C , D, E, F 六名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人.考 虑到义工与老人住址距离问题,义工 A 不安排照顾老人甲,义工 B 不安排照顾老人乙,安 排方法共有___________ 15. 已知 x ? 0, y ? 0 ,且

2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围为 x y

__________. 2 d 为常数, n? N*) 16. 如果一个实数数列 ?an ? 满足条件: , 则称这一数列 “伪 an ?1 ? an ? d(

等差数列”, d 称为“伪公差”。给出下列关于某个伪等差数列 ?an ? 的结论:①对于任意的首 项 a1 ,若 d <0,则这一数列必为有穷数列;②当 d >0, a1 >0 时,这一数列必为单调递增数列; ③这一数列可以是一个周期数列;④若这一数列的首项为 1,伪公差为 3, ? 5 可以是这一 数列中的一项;⑤若这一数列的首项为 0,第三项为-1,则这一数列的伪公差可以是 其中正确的结论是________________. 三、解答题(共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 设函数

5 ?3 。 2

f ( x) ? ax2 ? (b ? 2) x ? 3(a ? 0) ,
1 4 ? 的最小值. a b

(1)若不等式 f ( x) ? 0 的解集 ( ?1,3) ,求 a, b 的值; (2)若 f (1) ? 2, a ? 0, b ? 0 ,求

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin ?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间;

? 7? ? ? 2 x ? ? 2sin 2 x ? 1( x ? R) , ? 6 ?

(2)在 ?ABC 中,三内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,已知函数 f ? x ? 的图象

经过点 ( A,

??? ? ??? ? 1 ) , b、a、c 成等差数列,且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值. 2

19. (本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 20 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量得到如 图 1 的频率分布直方图,从左到右各组的频数依次记为 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 . ⑴求图 1 中 a 的值; ⑵图 2 是统计图 1 中各组频数的一个算法 流程图,求输出的结果 S ; ⑶ 从 质 量 指 标 值 分 布 在 [80 , 90) 、

[110, 120) 的产品中随机抽取 2 件产品,求所
抽取两件产品的质量指标值之差大于 10 的概 率.

20. (本小题满分 12 分) 某商场在今年“十一”黄金周期间采取购物抽奖的方式促销(每人至多抽奖一次) ,设了金 奖和银奖,奖券共 2000 张。在某一时段对 30 名顾客进行调查,其中有 而得奖的顾客中有

2 的顾客没有得奖, 3

3 的顾客得银奖,若对这 30 名顾客随机采访 3 名顾客。 5

(1)求选取的 3 名顾客中至少有一人得金奖的概率; (2)求选取的 3 名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数的概率。 21. (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 满 足 an?2 ? qan ( q 为实数,且q ? 1 , ) ? n . a2 + a , 3a + 3a ,a 4 +a 4 成等差数列 5 (I)求 q 的值和 {an } 的通项公式; (II)若下图所示算法框图中的 a i 即为(I)中所求,回答以下问题: (1)若记 b 所构成的数列为 {bn } ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn (2)求该框图输出的结果 S 和 i
*

a N1?, a ? 21 , , 且2

22. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? a(a ? N ) . a1 ? a2
*

? ??? ? an ? pan?1 ? 0( p ? 0, p ? ?1)

n? N ) .
*

(1)数列 {an } 的通项公式; (2)对每一个正整数 k ,若将 ak ?1 , ak ?2 , ak ?3 按从小到大的顺序排列后,此三项均能 构成等差数列,且记公差为 dk .求 p 的值及相应的数列 {dk } ;

南昌二中 2014—2015 学年度下学期期末考试

高一数学试卷参考答案
一、BBDDD BDADC DB 二、(13) 2 (14)42 (15) ( ?4, 2) (16) ①③④ 17. 解:(1) a ? ?1, b ? 4 …………5 分 (2) 9 …………………10 分 7? 1 3 sin 2 x ? cos 2 x 18.解: f ( x) ? sin( ? 2 x) ? 2 sin 2 x ? 1 ? ? cos 2 x ?
6 2 2

1 3 ? co2 sx ? sin 2 x ? s i n (x2? ) …………………………3 分 2 2 6 2? ?? , (1)最小正周期: T ? ………………………………4 分 2 ?
由 2 k? ?

?

k? ?

?
3

2

? 2x ?

?

6

? 2 k? ?

?

? x ? k? ?

?
6

2

(k ? Z ) 可解得:

(k ? Z ) ,

所以 f ( x) 的单调递增区间为: [ k? ? (2)由 f ( A) ? sin(2 A ? 所以 A ?

?
3

, k? ?

?
6

](k ? Z ) ;

………………6 分

?
6

)?

?

1 ? ? 5? ? 2k? ( k ? Z ) 可得: 2 A ? ? ? 2k? 或 2 6 6 6
………………………8 分

3 又因为 b, a, c 成等差数列,所以 2a ? b ? c , ……9 分 ??? ? ???? 1 而 AB ? AC ? bc cos A ? bc ? 9,? bc ? 18 …………………10 分 2 1 (b ? c)2 ? a 2 4a 2 ? a 2 a2 ? cos A ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 , 2 2bc 36 12

,

?a ? 3 2 . ………………………………………12 分 19. 解:⑴依题意, (2a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04) ? 10 ? 1 解得 a ? 0.005 ……3 分 ⑵ A1 ? 0.005? 10 ? 20 ? 1, A2 ? 0.040? 10? 20 ? 8 ,
A3 ? 0.030?10? 20 ? 6 , A4 ? 0.020?10? 20 ? 4 , A5 ? 0.005?10? 20 ? 1 ……6 分 输出的 S ? A2 ? A3 ? A4 ? 18 ……8 分 ⑶记质量指标在 [110 , 120) 的 4 件产品为 x1 , x2 , x3 , x4 ,质量指标在 [80 , 90) 的 1 件 产品为 y1 ,则从 5 件产品中任取 2 件产品的结果为:? x1 , x 2 ? ,?x1 , x3 ? , ? x1 , x 4 ? ,? x1 , y1 ? , ?x2 , x3 ?, ?x2 , x4 ? , ?x2 , y1 ? , ?x3 , x 4 ?, ?x3 , y1 ? , ?x4 , y1 ? ,共 10 种……10 分 记“两件产品的质量指标之差大于 10”为事件 A, 则事件 A 中包含的基本事件为: ?x1 , y1 ? , ?x 2 , y1 ? , ?x3 , y1 ? , ?x 4 , y1 ? 共 4 种……11 分 4 2 ? ……12 分 ∴ P ( A) ? 10 5

20. (1)依题意得,在接受采访的 36 人中,没有得奖的人数为 得银奖人数为 ? 10 ? 6 ,得金奖人数为 4 设三人中至少一人得金奖为事件 A,则 P(A ) ?
3 C26 130 ? 3 C30 203

2 ? 30 ? 20 ,得奖人数为 10, 3

3 5

? P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

130 73 ? 203 203

(2)设得金奖、银奖和不得奖的人数分别为 x, y , z

? x ? y, x ? y ? z ? 3,?选取的 3 名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数可分解为下列两个
互斥事件: B0 : x ? 0 和 B1:x ? 1, y ? 1, z ? 1或x ? 1, y ? 2, z ? 0
3 1 1 1 2 C26 C4 (C6 C20 ? C6 ) 27 130 , ? P ( B ) ? ? 1 3 3 C30 203 C30 203 130 27 157 ? P( x ? y ) ? P( B0 ) ? P( B1 ) ? ? ? 203 203 203 21. (1)解:由已知,有 ? a3 ? a4 ? ? ? a2 ? a3 ? ? ? a4 ? a5 ? ? ? a3 ? a4 ? ,即 a4 ? a2 ? a5 ? a3 ,

P( B0 ) ?

所以 a2 ? q ?1? ? a3 ? q ?1? .又因为 q ? 1 ,故 a3 ? a2 ? 2 ,由 a3 ? a1 ? q ,得 q ? 2 . 当 n ? 2k ?1(k ? N ? ) 时, an ? a2k ?1 ? 2k ?1 ? 2 当 n ? 2k (k ? N ? ) 时, an ? a2 k ? 2k ? 2 2 .
?1 ? n2 2 , n为奇数, ? 所以, ?an ? 的通项公式为 an ? ? n ?2 2 ,n为偶数. ?

n ?1 2



n

(2)解:由(I)得 bn ?

log 2 a2 n n ? n ?1 .设 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,则 a2 n ?1 2 1 1 1 1 1 Sn ? 1? 0 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ... ? ? n ? 1? ? n ?2 ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Sn ? 1? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ... ? ? n ? 1? ? n ?1 ? n ? n , 2 2 2 2 2 2
1?

上述两式相减,得

1 1 1 1 1 n 2n ? n ? 2 ? 2 ? n , Sn ? 1 ? ? 2 ? ... n ?1 ? n ? 1 2n 2 2 2 2 2 2n 2n 1? 2 n?2 整理得, S n ? 4 ? n ?1 . 2 n?2 ? 所以,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 4 ? n ?1 , n ? N . 2 n ? 2 n ? 3 n ?1 ? 又 S n ?1 ? S n ? n ?1 ? n ? n ? 0 , n ? N 恒成立 2 2 2

11 26 26 ,S 4 ? ,i ? 5 所以输出的结果: S ? 4 8 8 22. 解: (1) 因为 a1 ? a2 ? ??? ? an ? pan?1 ? 0 , 所以 n ? 2 时,a1 ? a2 ? ??? ? an?1 ? pan ? 0 , a p ?1 p ?1 (n ? 2) ,故数列 {an } 从第二项起是公比是 两式相减,得 n ?1 ? 的等比数列. p an p
所以数列 {Sn } 单调递增,又 S 3 ?

? a 又当 n ? 1 时, a1 ? pa2 ? 0 ,解得 a2 ? ,从而 an ? ? a p ? 1 n ?2 . p ? p ( p ) (n ? 2) ? a p ? 1 k ?1 a p ?1 k a p ? 1 k ?1 (2) 由(1)得 ak ?1 ? ( ) , ak ? 2 ? ( ) , ak ?3 ? ( ) . p p p p p p 1 p ?1 p ?1 ?1或 ? ?2 ,解得 p ? ? , 若 ak ?1 为等差中项,则 2ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?3 ,即 3 p p
?1 此 时 ak ?1 ? ?3a ( 与 (?2) k 异 号 , 所 以 ? 2 ) , ak ?2 ? ?3a(?2) , 注 意 到 (? 2 k)

?a (n ? 1)

k ?1

k

dk ?| ak ?1 ? ak ?2 |? 9a ? 2k ?1 ;
p ?1 ? 1 ,此时无解; p 2 p ?1 p ?1 1 ? 1或 ? ? ,解得 p ? ? , 若 ak ?3 为等差中项,则 2ak ?3 ? ak ?1 ? ak ?2 ,即 3 p p 2 3a 1 k ?1 3a 1 1 1 (? ) , ak ?3 ? ? (? ) k ?1 , 注 意 到 (? ) k ?1 与 (? ) k ?1 同 号 , 所 以 此 时 ak ?1 ? ? 2 2 2 2 2 2 9a 1 k ?1 d k ?| ak ?1 ? ak ?3 |? ?( ) . 8 2 1 2 9a 1 k ?1 k ?1 ?( ) . 综上所述, p ? ? , dk ? 9a ? 2 或 p ? ? , d k ? 3 3 8 2
若 ak ?2 为等差中项,则 2ak ?2 ? ak ?1 ? ak ?3 ,即


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