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《优化探究》2013届高三数学理科二轮复习专题演练1-1-2第二讲 复数、平面向量、程序框图与推理


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第二讲

复数、平面向量、程序框图与推理

一、选择题 1.(2012 年高考福建卷)若复数 z 满足 zi=1-i,则 z 等于( A.-1-i C.-1+i 解析:解法一 B.1-i D.1+i 利用复数的四则运算法则求解. )

1-i 1 由 zi=1-i 得 z= i = i -1=-1-i. 解法二 利用复数相等的充要条件求解.

设 z=a+bi(a,b∈ R),由 zi=1-i,得(a+bi)i=1-i,即-b+ai=1-i. ?-b=1, ?a=-1, 由复数相等的充要条件得? 即? ?a=-1, ?b=-1. ∴ z=-1-i. 答案:A 2.(2012 年长沙模拟)类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两 个函数:S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+a-x,其中 a>0,且 a≠1,下面正确的运算公 式是( )

① S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);② S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);③ 2S(x+y)= S(x)C(y)+C(x)S(y);④ 2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y). A.① ② C.① ④ B.③ ④ D.② ③
+ -x-y

解析:经验证易知① 错误.依题意,注意到 2S(x+y)=2(ax y-a ②

),又

S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x-y),因此有 2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理 有 2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).综上所述,选 B. 答案:B 3.(2012 年福州模拟)执行如图所示的程序框图,若输入 x=0.1,则输出的 m 的值是( )

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A.0 C.1

B.0.1 D.-1

解析:当 x=0.1 时,m=lg 0.1=-1, ∵ -1<0,执行 m=m+1=-1+1=0, 将 0 赋给 m,输出 m 的值是 0. 答案:A → → 4.已知点 A(1,2)、B(3,4)、C(-2,2)、D(-3,5),则向量AB 在向量CD 上的投影为( 10 A. 5 3 10 C. 5 ) 2 10 B. 5 4 10 D. 5

→ → → → → 解析:AB=(2,2),CD=(-1,3),设AB和CD的夹角为 α,则向量AB在向 → CD → → 上的投影为|AB|cos α=AB· =-2+6=2 10. → 量CD → 5 10 |CD| 答案:B 1 4 x 5.(2012 年唐山摸底)已知 x∈ (0,+∞),观察下列式子:x+ x≥2,x+x2=2+ x 4 a N* 2+x2≥3,…类比有 x+xn≥n+1(n∈ ),则 a 的值为( A.nn C.n+1
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)

B.n D.n-1

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a 解析:由观察可得:x+xn=

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a +xn ≥(n+1)·

n+1 x x n+1 a x a n ··…·n·n=(n+1)· nn x nn=n+1,则 a=n .故选 A. 答案:A 6.(2012 年高考课标全国卷)如果执行如图所示的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2,…,aN,输出 A,B,则( )

A.A+B 为 a1,a2,…,aN 的和 A+B B. 2 为 a1,a2,…,aN 的算术平均数 C.A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最大的数和最小的数 D.A 和 B 分别是 a1,a2,…,aN 中最小的数和最大的数 解析:结合循环结构的意义求解. 由于 x=ak,且 x>A 时,将 x 值赋给 A,因此最后输出的 A 值是 a1,a2,…, aN 中最大的数;由于 x=ak,且 x<B 时,将 x 值赋给 B,因此最后输出的 B 值是 a1,a2,…,aN 中最小的数.∴ C. 选 答案:C 7.如图,正方形 ABCD 中,点 E 是 DC 的中点,点 F 是 BC 的一个三等分
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→ 点,那么EF=( )

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1→ 1 → A.2AB-3AD 1→ 1 → C.3AB+2DA

1→ 1 → B.4AB+2AD 1→ 2 → D.2AB-3AD

→ 1→ 解析: 在△CEF 中, → =EC+CF, 有EF → → 因为点 E 为 DC 的中点, 所以EC=2DC. → 2→ → 1 → 2→ 1→ 2 因为点 F 为 BC 的一个三等分点,所以CF= CB.所以EF= DC+ CB= AB+ 3 2 3 2 3 → 1→ 2 → DA=2AB-3AD.故选 D. 答案:D 8.如图为一个求 20 个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为( )

A.i<=20 C.i>=20 解析:由于是求 20 个数的平 均数,所以应是直到“i>20”

B.i<20 D.i>20

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时,退出循环,故选 D. 答案:D 二、填空题

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9.已知复数 z1 满足(z1-2)· (1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2, 若 z1·2 是实数,则 z2=________. z 解析:∵ 1-2)· (z (1+i)=1-i, 1-i ∴ 1= z +2=2-i. 1+i 由题意设 z2=a+2i, ∴ 1·2=(2-i)· z z (a+2i)=(2a+2)+(4-a)i, ∵ 1·2 是实数,∴ z z 4-a=0,∴ a=4,∴ 2=4+2i. z 答案:4+2i 10.“无字证明”(proofs without words),就是将数学命题用简单、有创意而 且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出 该图所验证的一个三角恒等变换公式:__________________________________.

1 解析:由图中所给数据易得图甲中阴影部分的面积为 S1=2× × 1× (α+ 2 1× sin β)=sin (α+β),图乙中阴影部分的面积为 S2=sin αcos β+cos αsin β,又 S1=S2, 所以 sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β. 答案:sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β → → → 11. 已知点 G 是△ABC 的重心,→ =λAB+μAC(λ, R), A=60° AB· AG μ∈ 若 ,→ AC → =2,则|AG|的最小值为________. → AC → |AC cos → → |AC 1 解析:由题知 2=AB· =|AB|·→ |· A=|AB|·→ |·, 2 → |AC 即|AB|·→ |=4. → → → 由三角形重心的性质,可得AB+AC=3AG.
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→ → → → → → → → → 所以 9|AG|2=|AB|2+|AC|2+2AB· ≥2|AB|· |+2AB· =2× AC |AC AC 4+2× 2=12, 2 3 → 所以|AG|min= 3 . 2 3 答案: 3

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