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深圳市2016届高三年级第二次调研考试(文数)


深圳市 2016 届高三年级第二次调研考试

数学(文科)
本试卷共 8 页,24 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名 和考生号,并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、 不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答

案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.

第Ⅰ卷
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知为虚数单位,在复平面内,复数 z ? A.第一象限 B.第二象限

3 ? 2i 对应的点所在的象限是( 1? i
C.第三象限 ) D.第四象限



2.设 A, B 是两个集合,则“ x ? A ”是“ x ? A ? B ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列四个函数中,在定义域上不 是单调函数的是( ) . A. y ? x
3

B. y ?

x

C. y ?

1 x

D. y ? ( )

1 2

x

4.在等差数列 {an } 中,若前 10 项的和 S10 ? 60 ,且 a7 ? 7 ,则 a4 ? ( A. 4 B. ?4 C. 5 D. ? 5 ) 5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,下列命题正确的是( A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l // ? , m ? ? ,则 l // m



B.若 l ? ? , l // m ,则 m ? ? D.若 l // ? , m // ? ,则 l // m

1

6.若直线 x ? 为( A. ?

?
3

是函数 y ? sin(2x ? ? ) (其中 ? ?

?
2

)的图象的一条对称轴,则 ? 的值



?
3

B. ?

?
6

C.

? 6

D.

? 3


7.如图所示的流程图中,若输入 a, b, c 的值分别是 2, 4,5 ,则输出的 x ? (
开始 输入 a, b, c 是

a> b且a> c





b> c


x= l ga? l gb

x= l gb l ga
输出x

x= l ga+ l gc

结束

A.1

B. 2

C. lg 2

D. 10 )

8.将一颗骰子掷两次,则第二次出现的点数是第一次出现的点数的 3 倍的概率为( A.

1 18

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 3

? 2 x ? y ? 4 ? 0, ? 9.在平面直角坐标系 xOy 中,若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? x ? y 的最大值 ? y ? 0. ?
为( A. )

7 3

B.1

C. 2

D. 4

10. 如图, 正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点, 若 AC ? ? AM ? ? BD , 则 ? ? ? ?(

??? ?

???? ?

??? ?



4 3 5 B. 3 15 C. 8 D. 2
A.

D

C M

A

B

2

11.如图是某几何体的三视图,正视图是等边三角形,侧视图和俯视图为直角三角形,则该 几何体外接球的表面积为( A. )

20? 3
2
正视图

B. 8? C. 9? D.

1
侧视图

19? 3

1

1

俯视图

12.已知函数 g ( x) 的图象与函数 f ( x) ? ln( x ? a) ?1 的图象关于原点对称,且两个图象恰 有三个不同的交点,则实数 a 的值为( A. )

1 e

B.1

C. e

D. e 2

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第( 13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 13.已知点 F 为抛物线 E : y 2 ? 4 x 的焦点,点 A(2, m) 在抛物线上,则 AF ? 14.函数 f ( x) ? x ? 3x ? ln x 在 x ?
2



处取得极大值.

15. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿, 大鼠日一尺,小鼠也日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢,各穿几何?题意是:有两 只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺, 以后每天减半”如果墙足够厚, Sn 为前 n 天两只老鼠打洞长度之和,则 Sn ?
2 2

尺.

16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 4 ,点 A 、 B 在圆 C 上, 且 AB ? 2 3 ,则 OA ? OB 的最小值是

??? ? ??? ?



3

三、解答题:本大题共 8 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分)
? 在 ?ABC 中 , 点 M 是 BC 上 的 一 点 , BM =3 , AC ? 2 10 , ?B ? 45 ,

cos ?BAM ?

3 10 . 10

(1)求线段 AM 的长度; (2)求线段 MC 的长度.

18. (本小题满分 12 分) 2016 年全国两会,即中华人民共和国第十二届全国人民代表大会第四次会议和中国人民 政治协商会议第十二届全国委员会第四次会议,分别于 2016 年 3 月 5 日和 3 月 3 日在北京 开幕。为了解哪些人更关注两会,某机构随抽取了年龄在 15~75 岁之间的 100 人进行调查, 并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示, 其分组区间为:[15, 25) ,[25,35) ,[35, 45) ,

[55,65) ,[65,75] .把年龄落在区间 [15,35) 和 [35,75] 内的人分别称为“青少年人”和“中老 年人”,经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为 9 :11 .
频率 组距

a
0. 030

b
0. 010 0. 005
15 25 35 45 55 65 75 年龄 岁

(1)求图中 a 、 b 的值根; (2)若“青少年人”中有 15 人关注两会,根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,根据此统 计结果能否有 99 %的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会? 关注 青少年人 中老年人 合计 附:参考公式和临界值表: 不关注 合计

15 50 50 100

P(K ? k0 )
2

0.05 3.841

0.01 6.635

0.001 10.828

K2 ?

n(ad ? bc)2 , (a ? b)(a ? c)(b ? d )(c ? d )

k0

其中 n ? a ? b ? c ? d

4

19. (本小题满分 12 分) 如图, 平面 ABCD ? 平面 ADEF , 四边形 ABCD 为菱形, 四边形 ADEF 为矩形,M 、

N 分别是 EF 、 BC 的中点, AB ? 2 AF , ?CBA ? 60? . (1)求证: DM ? 平面 MNA ;
(2)若三棱锥 A ? DMN 的体积为

3 ,求点 A 到平面 DMN 的距离. 3

M E A D
20. (本小题满分 12 分)

F

B N C

x2 y 2 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点 P 在圆 C : x2 ? ( y ? 2)2 ? 9 上,且椭圆 a b
的离心率为

3 . 2
??? ? ??? ?

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若过圆 C 的圆心是直线与椭圆 E 交于 A 、 B 两点,且 PA ? PB ? 1 ,求直线 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? e ? a cos x(e 为自然对数的底数) .
x

(1)若 f ( x ) 在 x ? 0 处的切线过点 P(1, 6) ,求实数 a 的值; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) ? ax 恒成立,求实数 a 的取值范围.

5

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时写 清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 直径, C 在圆 O 上, CF ? AB 于 F ,点 D 为线段 CF 上任意一点, 延长 AD 交圆 O 于 E , ?AEC ? 30 .
?

C D A F O

E

(1)求证: AF ? FO ; (2)若 CF ? 3 ,求 AD ? AE 的值.

B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? (? 为参数) ,以坐标原 y ? 3 sin ? ? ?

点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 过极坐标系内的两点 A(2 2,

?
4

)和

B(3, ) . 2
(1)写出曲线 C 和直线 l 的直角坐标系中的普通方程; (2)若 P 是曲线 C 上任意一点,求 ?ABP 面积的最小值.

?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 {x ?1 ? x ? 3} . (1)求 a , b 的值; (2)若 ( y ? a)( y ? b) ? 0 ,求 z ?

1 1 ? 的最小值. y?a b? y

6

数学(文科)参考答案
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 【答案】D 【解析】∵ z ?

3 ? 2i (3 ? 2i)(1 ? i) 1 3 ? ? i, ? 2 2 1? i (1 ? i)(1 ? i) 3 ? 2i 1 3 ∴复数 z ? 对应的点 ( , ? ) 在第四象限. 1? i 2 2

2. 【答案】B 3. 【答案】C 4. 【答案】C 【解析】∵ S10 ? 60 , a7 ? 7 ,

?a ? 3 ?10a1 ? 45d ? 60 ? 1 ∴? ,? 2, a ? 6 d ? 7 d ? ? 1 ? 3 ? ∴ a4 ? a1 ? 3d ? 5 .
5. 【答案】B 6.【答案】B 【解析】∵ 2 ?

?
3

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z ,∴ ? ? k? ?

?
6

, k ? Z ,∵ ? ?

?
2

,∴ ? ? ?

?
6



7. 【答案】A 【解析】由题意可知 a ? b ? c , ∴ x ? lg 2 ? lg5 ? 1 . 8. 【答案】A
【解析】一颗骰子掷两次,共有 36 种.

满足条件的情况有 (1,3), (2, 6) ,共 2 种, ∴所求的概率 P ? 9. 【答案】A 10. 【答案】B 【解析】∵ AC ? ? AM ? ? BD

2 1 ? . 36 18

??? ?

???? ?

??? ?

??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? ? ( AB ? BM ) ? ? ( BA ? AD) ??? ? 1 ???? ??? ? ???? ? ? ( AB ? AD) ? ? (? AB ? AD) 2 ??? ? 1 ???? ? (? ? ? ) AB ? ( ? ? ? ) AD , 2

7

4 ? ? 5 ?? ? 3 ?? ? ? ? 1 ∴ ?1 , 解得 ? ,? ? ? ? . 1 ? ? ? ?1 3 ?? ? ? ?2 3 ?
11. 【答案】D 【解析】该几何体为三棱锥 A ? BCD , 设球心为 O , O1 , O2 分别为 ?BCD 和 ?ABD 的外心, 依题意 OO1 ?

A O2 D O1

3 3 , AB ? 6 3 1 5 O1D ? CD ? 2 2
∴球的半径 R ? OO1 ? O1D ?
2 2

O B C

19 , 12
2

∴该几何体外接球的表面积为 S ? 4? R ? 12. 【答案】C

19? . 3

【解析】∵函数 g ( x) 与 f ( x ) 的图象关于原点对称,∴ g ( x) ? ? f (? x) . ∴ f ( x) ? ? f (? x) 有三个不同的零点.

1 . e 当 a ? e 时, y ? ? f (? x) 和 y ? f ( x) 的图象如下:
∴ f (0) ? 0 ,∴ a ? e 或 a ?

y
1 – 3 – 2 – 1

y= f (x)
1 2 3

O
– 1

x

y= f ( x)

有图象可知, a ? e 时,符合条件; 当a ?

1 时, y ? ? f (? x) 和 y ? f ( x) 的图象如下: e

y
1

y= f (x) y= f ( x)
– 3 – 2 – 1

O
– 1

1

2

3

x

8

有图象可知, a ?

1 时,只有 1 个交点,不符合条件. e

二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 13. 【答案】 3 【解析】 AF ? x0 ? 14. 【答案】

p ? 2 ?1 ? 3 . 2

1 2

1 2( x ? 1)( x ? ) 1 2 , 【解析】∵ f ?( x) ? 2 x ? 3 ? ? x x 1 1 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 , x ? ( ,1) 时, f ?( x) ? 0 , 2 2 1 ∴函数 f ( x) ? x2 ? 3x ? ln x 在 x ? 处取得极大值, 2 1 n 15. 【答案】 2 ? n ?1 ? 1 2
【解析】依题意大老鼠每天打洞的距离构成以为首项, 2 为公比的等比数列,

1? (1 ? 2n ) ? 2n ? 1 , ∴前 n 天大老鼠每天打洞的距离为 1? 2

1 1? [1 ? ( )n 2 ? 2? 1 , 同理:前 n 天小老鼠每天打洞的距离为 1 2n?1 1? 2 1 1 n n ∴ Sn ? 2 ? 1 ? 2 ? n ?1 ? 2 ? n ?1 ? 1 . 2 2
16. 【答案】 8 【解析】设 AB 的中点为 D ,则 CE ? 1 . 延长 CD 交圆 C 于点 E ,则 D 为 CE 的中点.

??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ∵ OA ? OB ? OC ? CA ? OC ? CB ? 2OC ? CE ,
设 E (4 ? 2cos ? ,3 ? 2sin ? ) , ∴ OA ? OB ? (8, 6) ? (2cos ? , 2sin ? )

y
4 3 2 1

A D C

E

B

??? ? ??? ?

? (8 ? 2cos? ,6 ? 2sin ? )
? (8 ? 2 cos ? ) 2 ? (6 ? 2sin ? ) 2

– 2 – 1 O 1 – 1 – 2

2

3

4

5

6x

? 104 ? 8(3sin ? ? 4cos? )

9

? 104 ? 40sin(? ? ?) ? 104 ? 40 ? 8 .
三、解答题:本大题共 8 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 【解析】 (1)∵ cos ?BAM ?

3 10 , ?BAM ? (0? ,180? ) , 10 10 . 10

∴ sin ?BAM ? 1 ? cos ?BAM ?
2

∵ sin ?ABM ? ∴由正弦定理

2 , BM =3 , 2

BM AM ? ,得 sin ?BAM sin ?B

BM ? sin ?B ? ∴ AM ? sin ?BAM

3?

2 2 ?3 5. 10 10

(2)∵ cos ?AMC ? cos(?BAM ? ?B) ? cos ?BAM cos ?B ? sin ?BAM sin ?B

? cos ?BAM cos ?B ? sin ?BAM sin ?B ?
2 2 2

3 10 2 10 2 5 ? ? ? ? , 10 2 10 2 5

∵ AC ? 2 10 , AC ? MC ? AM ? 2MC ? AM ? cos ?AMC , 由余弦定理得 (2 10) ? MC ? (3 5) ? 2MC ? 3 5 ?
2 2 2

5 , 5

∴ MC ? 6MC ? 5 ? 0 ,
2

∴ MC ? 1 ,或 MC ? 5 . 18. (本小题满分 12 分) 【解析】 (1)依频率分布直方图可知:

45 ? 10(b ? 0.03) ? ? ?a ? 0.035 ? 100 ,解得 ? . ? ?b ? 0.015 ?10(a ? 0.010 ? 0.005 ? 0.005) ? 55 ? 100 ? (2)依题意可知,“青少年人”共有 100(0.015 ? 0.030) ? 45 人, “中老年人”共有 100 ? 45 ? 55 人,
10

完成完的 2 ? 2 列联表如下: 关注 青少年人 中老年人 合计 不关注 合计

15 35 50

30 20 50

45 55 100

结合列联表的数据得

100(30 ? 35 ? 20 ?15)2 n(ad ? bc)2 ? ? 9.091 , 50 ? 50 ? 55 ? 45 (a ? b)(a ? c)(b ? d )(c ? d ) ∵ P( K 2 ? 6.635) ? 0.01, 9.091 ? 6.635 , ∴有 99 %的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会.

K2 ?

19. (本小题满分 12 分) 【解析】 (1)证明:连接 AC ,在菱形 ABCD 中,
? ∵ ?CBA ? 60 且 AB ? AC ,

∴ ?ABC 为等边三角形. ∵ N 是 BC 的中点, ∴ AN ? BC , AN ? BC . ∵ ABCD ? 平面 ADEF , AN ? 平面 ADEF , ABCD ? 平面 ADEF ? AD , ∴ AN ? 平面 ABEF . ∵ DM ? 平面 ADEF ,∴ AN ? DM . ∵矩形 ADEF 中, AD ? 2 AF , M 是的中点, ∴ ?AMF 为等腰直角三角形,∴ ?AMF ? 45 ,
? ? ? 同理可证 ?DME ? 45 ,∴ ?DAM ? 90 ,∴ DM ? AM .

∵ AM ? AN ? N , AM ? 平面 MNA , AN ? 平面 MNA , ∴ DM ? 平面 MNA . (2)设 AF ? x ,则 AB ? 2 AF ? 2 x ,

在 Rt ?ABN 中, AB ? 2 x , BN ? x ,
?ABN ? 60? ,∴ AN ? 3x .
1 ? 2 x ? 3x ? 3x 2 . 2 ∵ ABCD ? 平面 ADEF , FA ? AD , ABCD ? 平面 ADEF ? AD ,∴ FA ? 平面 ABCD . 设 h 为点 M 到平面 ADN 的距离,则 h ? FA ? x .
∴ S ?ADN ? ∴ VM ? ADN ? V?CDF ? h ? ∵ VM ? ADN ? VD ? AMN

M E A D

F H B N C

1 3

1 3 3 ? 3x 2 ? x ? x , 3 3 3 ,∴ x ? 1 . ? 3
11

作 AH ? MN 交 MN 于点 H . ∵ DM ? 平面 MNA ,∴ DM ? AH . ∴ AH ? 平面 DMN , 即 AH 为求点 A 到平面 DMN 的距离, ∵在 Rt ?MNA 中, MA ? 2 , AN ? 3 ,∴ AH ?

30 . 5

∴点 A 到平面 DMN 的距离为 20. (本小题满分 12 分) 【解析】 (1)依题意,令 x ? 0 ,

30 . 5

2 2 得 0 ? ( y ? 2) ? 9 ,解得 y ? 1 或 y ? 5 , ∴点 P 的坐标为 (0,1) ,即 b ? 1 .

c b2 1 3 ,∴ a ? 2 , ? 1? 2 ? 1? 2 ? a a a 2 x2 ? y 2 ? 1. ∴椭圆 E 的方程为 4 (2)∵直线经过圆心 C (0, ?2) ,
∵e ? ①当直线的斜率不存在时,不合题意; ②当直线的斜率存在时, 设直线的方程为 y ? kx ? 2 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? y ? kx ? 2 ? 2 2 由 ? x2 ,得 (1 ? 4k ) x ?16kx ? 12 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4 3 2 2 2 ∵ ? ? 256k ? 48(1 ? 4k ) ? 0 ,∴ k ? . 4 16k 12 x1 ? x 2 ? ,x x , 1 ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ∵ y1 ? kx1 ? 2, y2 ? kx2 ? 2 , ∴ y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ,

y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 , ??? ? ??? ? ∴ PA ? PB ? ( x1, y1 ?1) ? ( x2 , y2 ?1) ? x1x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ?1
21 12(1 ? k 2 ) 48k 2 ? 1, ? (1 ? k ) x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ? ? ?9 ? 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k
2

解得 k ? ? 5 ,满足 k ?
2

3 , 4

∴直线 l 的方程为 y ? 5x ? 2 或 y ? ? 5x ? 2 .

12

21. (本小题满分 12 分) 【解析】(1)∵ f ?( x) ? e x ? a sin x ,∴ f ?(0) ? 1 . f (0) ? 1 ? a , ∴ f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x ? 1 ? a , ∵切线过点 P(1, 6) ,∴ 6 ? 2 ? a ,∴ a ? 4 . (2)由 f ( x) ? ax ,可得 ex ? a( x ? cos x) , (*) 令 g ( x) ? x ? cos x , x ? [0,

?
2

],

∴ g ?( x) ? 1 ? sin x ? 0 ,且 g (0) ? ?1 ? 0 , g ( ) ? ∴存在 m ? (0,

?

?
2

?
2

2

?0,

) ,使得 g (m) ? 0 ,

当 x ? (0, m) 时, g (m) ? 0 ;当 x ? ( m,

) 时, g (m) ? 0 . 2 m ①当 x ? m 时, e ? 0 , g (m) ? m ? cos m ? 0 , 此时,对于任意 a ? R (*)式恒成立;
②当 x ? ( m,

?

?

2

] 时, g ( x) ? x ? cos x ? 0 ,

由 ex ? a( x ? cos x) ,得 a ?

ex , x ? cos x

ex 令 h( x ) ? ,下面研究 h( x) 的最小值. x ? cos x e x ( x ? cos x ? sin x ? 1) ∵ h?( x) ? 与 t ( x) ? x ? cos x ? sin x ? 1同号, ( x ? cos x)2 ? 且 t ?( x) ? 1 ? sin x ? cos x ? 0 对 x ? [0, ] 成立, 2 ? ? ? ∴函数 t ( x) 在 ( m, ] 上为增函数,而 t ( ) ? ? 2 ? 0 , 2 2 2 ? ∴ x ? ( m, ] 时, t ( x) ? 0 ,∴ h?( x) ? 0 , 2
∴函数 h( x) 在 ( m,

] 上为减函数,∴ h( x)min ? h( ) ? ,∴ a ? . 2 ? ? ③当 x ?[0, m) 时, g ( x) ? x ? cos x ? 0 , 2
由 e ? a( x ? cos x) ,得 a ?
x

?

?

?

?

2e 2

2e 2

ex , x ? cos x

ex 在 [0, m) 上为减函数, x ? cos x 当 x ?[0, m) 时, h( x)max ? h(0) ? ?1,∴ a ? ?1 ,
由②可知函数 h( x) ?
?

综上, a ? [?1,

2e 2

?

].

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时写
13

清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 【解析】 (1)证明:连接 OC , AC , ∵ ?AEC ? 30 ,∴ ?AOC ? 60 .
? ?

∵ OA ? OC ,∴ ?AOC 为等边三角形. ∵ CF ? AB , ∴ CF 为 ?AOC 中 AO 边上的中线,即 AF ? FO . (2)连接 BE , ∵ CF ? 3 , ?AOC 为等边三角形, ∴ AF ? 1 , AB ? 4 . ∵ AB 是圆 O 的直径,∴ ?AEB ? 90 ,
?

C D A F O

E

B

∴ ?AEB ? ?AFD . ∵ ?BAE ? ?DAF ,∴ ?AEB ∽ ?AFD , ∴

AD AF ? ,即 AD ? AE ? AB ? AF ? 4 ? 1 ? 4 . AB AE

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 【解析】 (1)曲线 C 的普通方程为 ∵ A(2, 2) , B(0,3) , ∴直线的方程为 x ? 2 y ? 6 ? 0 . (2)由题意可设 P(2cos? , 3 sin ? ) ,则 点 P 到直线 AB 的距离

x2 y 2 ? ? 1, 4 3

d?

2 c o? s?

2 3? s i?n 5

6 4sin(? ? 6 ) ? 6 2 ? ? , 5 5

?

当 sin(? ?

?
6

) ? 1 时取得最小值,

∵ AB ? 5 , ∴ ?ABP 面积的最小值为

1 2 ? 5? ? 1. 2 5

14

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 【解析】(1)显然 b ? 0 , ∵ x ? a ? b ,∴ ?b ? x ? a ? b , ∴a ?b ? x ? a ?b, ∴?

?a ? b ? ?1 ,解得 a ? 1, b ? 2 . ?a ? b ? 3

(2)由(1)知 ( y ? 1)( y ? 2) ? 0 ,∴ 1 ? y ? 2 .

z?

1 1 1 1 ? ?( ? )[( y ? 1) ? (2 ? y)] y ?1 2 ? y y ?1 2 ? y 2 ? y y ?1 ? , y ?1 2 ? y

? 2?

∵ 1 ? y ? 2 ,∴ y ? 1 ? 0, 2 ? y ? 0 , ∴ z ? 2?2

2 ? y y ?1 ? ? 4, y ?1 2 ? y

当且仅当

3 2 ? y y ?1 ? ,即 y ? 时,等号成立, 2 y ?1 2 ? y

∴当 y ?

3 时, z 取得最小值 4 . 2

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