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湖北省孝感高级中学2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 理


孝感高中 2014—2015 学年度高二下学期期末考试
数学试题(理科) 考试时间:120 分钟 分值:150 分

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合的) 1.复数 i 2015 ( i 为虚数单位)的共轭复数 是( .... A. 1 B. ?1 ) C. i D. ?i )

2.已知集合 A ? x y ? log 2 ?x 2 ? 3x ? 10 ? , B ? ?x ? 2 ? x ? 5?则 (CR A) ? B 等于( A. ?x | ?2 ? x ? 2? B. ?x | ?5 ? x ? ?2? ) C. ?x | ?2 ? x ? 5?

?

?

D. ?x | ?5 ? x ? 5?

3.下列命题中错误 的是( ..

A. ?x ? R, ( x ? 3)( x ? 7) ? ( x ? 4)( x ? 6) B. ?x ? R, x ? 2 ? x ? 3 ? 5 C. ?x ? R , 若 a ? b, 则 ax 2 ? bx 2
2

D. ?x ? R,

x2 ? 3 x2 ? 2

?2
2 2 )
正视图

2
侧视图

4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? A. 1 B.
8 3

2 2 ? 3 ,则 ? y 的最小值是( y x

2



俯视图 图

C. 2 2

D. 3

6.已知随机变量 ? ~ N (0, ? 2 ), 若 P(? ? 3) ? 0.023, 则 P(?3 ? ? ? 3) ? ( A.0.477 B.0.628 C.0.954
1



D.0.977

7.函数 y ?

x 的图象大致为( ln x



A.

B. ) C. ? 45

C.

D.

8. (1 ? x)10 的展开式中 x3 的系数为 ( A. ?120 B. 120

D. 45

9.第 29 届北京奥运会上,中国健儿取得了 51 金、21 银、28 铜的好成绩,位居金 牌榜榜首,由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列,也有许多人持反对 意见,有网友为此进行了调查,在参加调查的 2548 名男性中有 1560 名持反对 意见,2452 名女性中有 1200 名持反对意见,在运用这些数据说明性别对判断 “中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时,用什么方法最有说服力 ( ) A.平均数与方差 B.回归直线方程 C.独立性检验 D.概率

10.正四棱锥 S ? ABCD 底面边长为 2,高为 1, E 是边 BC 的中点,动点 P 在四棱 ??? ? ??? ? 锥表面上运动,并且总保持 PE ? AC ? 0 ,则动点 P 的轨迹的周长是 ( ) A. 1 ? 2 11 .双曲线 B. 2 ? 3 C. 2 2 D. 2 3

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于 A, B 两点,公共 2 a b

弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F ,则双曲线 C 的离心率为( A. 2 B. 1 ? 2 C. 2 2

)

D. 2 ? 2

1 12.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, m ? 0) ,若 f ( x) 有三个互不相同的 3
2

零点 0, x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若对任意 x ?? x1, x2 ? , f ( x) ? f (1) 成立,则实数 m 的取值 范围是( )

?1 3? A. ? , ?2 3 ? ? ? ?

? 3? B. ? 0, ? 3 ? ? ? ?

?1 ? C. ? ,1 ? ?2 ?

? 3 ? D. ? ? 3 ,1? ? ? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上) 13 . 在 正 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中 , E , F 分 别 是 线 段 C1D1 , A1B1 上 的 点 且
C1 E ? A1 F ? 1 A1 B1 ,则直线 BE 与 DF 所成角的余弦值是 3

.

14.某年孝感高中校园歌手大赛后,甲、乙、丙、丁四名同学猜测他们之中谁能获 奖. 甲说:“如果我能获奖,那么乙也能获奖.”乙说:“如果我能获奖,那么丙 也能获奖.” 丙说:“如果丁没获奖,那么我也不能获奖.”实际上,他们之中只有一个人没 有获奖,并且甲、乙、丙说的话都是真的.那么没能获奖的同学是 _____________. 15. 如图所示,直线 y ? kx 分抛物线 y ? x 2 ? x 与

x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则实数 k
的值为 .

16.如果对任意一个三角形,只要它的三边 a, b, c 都在函数 f ( x) 的定义域内,就有
f (a), f (b), f (c) 也是某个三角形的三边长,则称 f ( x) 为“和美型函数”.现有

下列函数: ① f ( x) ? x ; ③ ? ( x) ? 2 x ; ② g ( x) ? sin x, x ? (0, ? ) ; ④ h( x) ? ln x, x ? [2, ??) .

3

其中是“和美型函数”的函数序号为 的序号)

. (写出所有正确

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17. (本小题满分 12 分) 已知 p : x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等 的负实数 根,q : 方程 4 x2 + (4m - 2) x + 1 = 0 无实 ... ... 数根. (Ⅰ)若 p 为真,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所
?BAC ? 90? , A1 A ^ 平面 ABC , 示, 截面为 A1 B1C1 , A1 A =

AB = 3,
B1 A B

AC = 2 , 2,
A1 C1

AC 1 1 = 1,

BD 1 = . DC 2

(Ⅰ)证明: BC ? 平面 A1 AD ; (Ⅱ)求二面角 A - CC1 - B 的余弦值.

C D

19. (本小题满分 12 分)某地区因干旱缺水,政府向市民宣传节约用水,并进行广 泛动员. 三个月后,统计部门在一个小区随机抽取了 100 户家庭,分别调查了他们 在政府动员前后三个月的月平均用水量(单位:吨) ,将所得数据分组,画出频率 分布直方图(如图所示).

4

(Ⅰ)已知该小区共有居民 10000 户,在政府进行节水动员前平均每月用水量 是 8.96×104 吨,请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨. (Ⅱ)为了解动员前后市民的节水情况,媒体计划在上述家庭中,从政府动员 前月均用水量在 ?12,16? 范围内的家庭中选出 5 户作为采访对象,其中在 ?14,16? 内的 抽到 x 户,求 x 的分布列和期望.

20. (本小题满分 12 分)如图所示,已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的长轴长 a2 b2

是短轴长的两倍,且过点 C ? 2,1? ,点 C 关于原点 O 的对称点为点 D . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)点 P 在椭圆 E 上,直线 CP 和 DP 的斜 率都存在且不为 0 , 试问直线 CP 和 DP 的斜率之积 是否为定值?若是,求此定值;若不是,请说明理 由; (Ⅲ)平行于 CD 的直线 l 交椭圆 E 于 M、N 两点,求 ?CMN 的面积的最大值, 并求此时直线 l 的方程.

x

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?

b ? c(a ? 0), g ( x) ? ln x , 其中函数 f ( x) x

的图象在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程为 y ? x ? 1 . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) 在 ?1,?? ? 上恒成立,求实数 a 的取值范围;
5

(Ⅲ)证明: 1 ?

1 1 1 n ( n ? 1) . ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? 2 3 n 2(n ? 1)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计 分. 作答时请写清题号.

22. (本小题满分 10 分)如图所示,已知半圆的直径 AB ? 6cm , CD 是半圆上长为
2cm 的弦,问:当弦 CD 在半圆上滑动时, AC 和 BD 延长线的夹角是定值吗?

若是,试求出这个定角的正弦值;若不是,请说明理由.

6

?x ? 2 ? t 23. (本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? (t 为 ? y ? t ?1

参数) ,以该直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下, 曲线 P 的方程为 ? 2 ? 4? cos ? ? 3 ? 0 . (Ⅰ)求曲线 C 和曲线 P 的普坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A、B,求 AB .

24. (本小题满分 10 分)设函数 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 5 . (Ⅰ)解关于 x 的不等式 f ? x ? ? 10 ; (Ⅱ)若 f ? x ? ?
4 ? 2 对任意的实数 x 恒成立,求实数 t 的取值范围. t

7

孝感高中 2014—2015 学年度高二下学期期末考试 数学试题(理科)参考答案

一.选择题 1~5 CADDB 二.填空题 13. 6~10 CDACB 11~12 BA

1 19

3

14. 甲

15.

4 ? 1 16. ①④ 2

三.解答题

?? ? m2 ? 4 ? 0 17. 解: (Ⅰ)由题意知: ? ? ?m? 0
(Ⅱ)若 q 为真, ? ? ?4m ? 2? ?16 ? 0
2

?m ? 2

??

1 3 ?m? 2 2

? p 或 q 为真, p 且 q 为假 ? p, q 必为一真一假

m?2 ? ? 1 3 ①当 p 为真 q 为假时, ? m ? ? 或 m ? ? 2 2 ? ? ? m?2 3 ②当 p 为假 q 为真时, ? 1 ? ?m? ? 2 ? 2
? 1 3? 综上可知: m ? ? ? , ? ? ?2,??? ? 2 2?

?m ? 2

??

1 3 ?m? 2 2

18. (Ⅰ)以 AB、AC、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0, 0,, 0) B( 2, 0,, 0) C(0, 2,, 0) A1 (0, 0,3),C1(01 , ,3) ,
? BD : DC = 1: 2 , \ BD =

??? ?

? 1 ??? BC . 3
8

骣 ? ???? ???? 骣 2 2 2 ÷ 2 2 2 ÷ ??? ? ÷ ÷ \ . , BC = ( 2 , 2 ,, 0) AA1 = (0, 0,3) . , , 0 AD = ,, 0 \ D 点坐标为 ? ? ? ÷ ÷ ? ? ? ? 桫3 3 ÷ 桫3 3 ÷ ??? ? ???? ??? ? ???? ? BC?AA1 = 0 , BC ?AD = 0 , \ BC ^ AA1 , BC ^ AD ,又 A1 A ? AD = A ,
\ BC ^ 平面 A1 AD

??? ? (Ⅱ)? BA ^ 平面 ACC1 A1 ,取 m = AB = ( 2, 0, 0) 为平面 ACC1 A1 的法向量,

??? ? ???? ? 设平面 BCC1 B1 的法向量为 n = (l,m,n) ,则 BC? n = 0, CC1 ? n = 0.
ì ? - 2l + 2m = 0, \ ? \ l= í ? ? ? - m + 3n = 0,

2m,n =

3 m ,如图,可取 m = 1,则 n = 3

骣 3 ? ÷ , 2, 1, ÷ ? ÷ ? ÷ ? 3 桫

2? cos < m,n > =
2 2

2
2

0? 1 0?
2

3 3
2 2

骣3÷ ÷ ( 2) + 0 + 0 ? ( 2) + 1 + ? ? ÷ ? ? 桫3 ÷

=

15 。 5

19.(Ⅰ)根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为 (1×0.015+3×0.030+5×0.105+7×0.200+9×0.120+11×0.030)×2=6.88 (吨). 于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水: 8.96×104-6.88×104=2.08×104(吨). (Ⅱ)由动员前的直方图计算得月平均用水量在 [12,14)范围内的家庭有 6 户,在 [14,16)范围内的有 3 户,因此 X 的可能取值有 0,1,2,3,

P( x ? 0) ?

5 C6 1 ? 5 C9 21 3 2 C3 C6 5 ? 5 C9 42

,

P( x ? 1) ?

1 4 C3 C6 5 ? 5 C9 14

,

P( x ? 2) ?

3 C32C6 10 ? 5 C9 21

,

P( x ? 3) ?

所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3

9

P 所以 E ( X ) ? 0 ?
1 5 10 5 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 21 14 21 42 3

20. (Ⅰ)? 2a ? 2 ? 2b,? a ? 2b.
? 椭圆 E 过点 C ?2,1? ,

?

22 1 ? 2 ? 1,? b ? 2 , a ? 2 2 , 2 4b b

x2 y2 ?1。 ? 椭圆 E 的方程为 ? 8 2

(Ⅱ)依题意,得 D 点的坐标为 ?? 2,?1? ,且点 D 在椭圆 E 上,直线 CP 和 DP 的斜 率 kcp 和 k DP 均存在,设 P ? x, y ? ,则 kCP ?
? kCP ? k DP ? y ?1 y ?1 y 2 ?1 ? ? 。 x ? 2 x ? 2 x2 ? 4
y ?1 y ?1 , k DP ? , x?2 x?2

x2 y2 y 2 ?1 1 2 2 ? 1 ,? x ? 8 ? 4 y , kCP ? k DP ? 2 ?? , 又? 点 P 在椭圆 E 上,? ? 8 2 x ?4 4

1 ? 直线 CP 和 DP 的斜率之积为定值 ? 。 4 1 (Ⅲ)? 直线 CD 的斜率为 ,CD 平行于直线 l , 2 1 ? 设直线 l 的方程为 y ? x ? t , 2 1 ? ? y ? 2 x?t 由? 2 ,消去 y 整理,得 x 2 ? 2tx ? 2t 2 ? 4 ? 0 2 x y ? ? ?1 2 ?8
?? ? 4t 2 ? 4 2t 2 ? 4 ? 4 4 ? t 2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?2t 则? ? x1 ? x2 ? 2t 2 ? 4 ?
10

设 M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y2 ? ,

?

? ?

?

? MN ?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2

?1? ? 1 ? ? ? ? x1 ? x2 = 5 ? 4 ? t 2 ?? 2 ? t ? 2?, ?2?

2

点 C 到直线 MN 的距离为 d ?

t 1 1? 4

?

2t 5

,

? S ?CMN ?

2t 1 1 4 MN ? d ? 5 ? 4 ? t2 ? = t ? 4 ? t 2 ? t 2 4 ? t 2 ? ? 2. 2 2 2 5

?

?

当且仅当 t 2 ? 4 ? t 2 , t 2 ? 2 时取等号
? S ?CMN 的面积最大值为 2,此时直线 l 的方程为 y ?
1 x? 2。 2

21. (Ⅰ) f ' ? x ? ? a ?

?b?0 ? f ?1? ? a ? b ? c ? 0 b , 则有 ,解得 ? ? x2 ?c ? ?1 ? f ' ?1? ? a ? b ? 1

? f ( x) ? x ? 1

















f ? x ? ? ax ?

a ?1 ? 1 ? 2a x





? ? x ? ? f ? x ? ? g ( x) ? ax ?

a ?1 ? 1 ? 2a ? ln x, x
2

1? a ? ? a ? x ? 1? ? x ? ? a ? 1 1 ax ? x ? ? a ? 1? a ? ? ? , x ? ?1,??? ,则 ? ?1? ? 0, ? ' ? x ? ? a ? 2 ? ? x x x2 x2

(i)当 0 ? a ? 若1 ? x ?

1? a ,则 ? ' ? x ? ? 0 ,? ? x ? 是减函数,所以 ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? g ( x). a

1 1? a 时, ?1。 2 a

故 f ? x ? ? g ( x) 在 ?1,??? 上不恒成立. (ii)当 a ?

1 1? a 时, ?1。 2 a

若 x ?1, 则 ? ' ? x ? ? 0,? ? x ? 是增函数, 所以 ? ? x ? ? ? ?1? ? 0 , 即 f ? x ? ? g ( x), 故当 x ? 1
11

时, f ? x ? ? g ( x) .
?1 ? 综上所述,所求 a 的取值范围为 ? ,?? ? 。 ?2 ?

(Ⅲ)解法一:由(Ⅱ)知当 a ?

1 时,有 f ? x ? ? g ( x) ? x ? 1? 。 2

1 令 a ? , 有 f ?x ? ? 2

1? 1? ? x ? ? ? ln x 2? x?

1? 1? 且当 x ? 1 时, ? x ? ? ? ln x 。 2? x?

令x?

k ?1 ,有 k

ln

k ?1 1 k ?1 k 1? 1 1 ? ? ( ? ) ? ?(1 ? ) ? (1 ? ) k 2 k k ?1 2 ? k k ?1 ? ?

1?1 1 ? ? ln(k ? 1) ? ln k ? ? ? ?, k ? 1,2,3,.....,n , 2 ? k k ?1?

将上述 n 个不等式依次相加,得

ln?n ? 1? ?

1 ?1 1 1? 1 ? ? ? ?? ? ? ? , 2 ?2 3 n ? 2?n ? 1?

1 1 1 n 整理得 1 ? ? ? ? ? ? ln?n ? 1? ? 2 3 n 2?n ? 1?

解法二:用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,左边 ? 1 ,右边 ? ln 2 ?
1 ? 1, 不等式成立. 4

②假设当 n ? k 时,不等式成立,就是
1? 1 1 1 k ? ? ? ? ? ln?k ? 1? ? 2 3 k 2?k ? 1?

k ?2 1 1 1 1 k 1 ? ln?k ? 1? ? ? ln?k ? 1? ? ? 那么 1 ? ? ? ? ? ? 2?k ? 1? 2 3 k k ?1 2?k ? 1? k ? 1

由(Ⅱ)知,当 a ?

1 时,有 f ?x? ? ln x?x ? 1? 。 2
12

1? 1? 1 令 a ? , 有 f ?x ? ? ? x ? ? ? ln x?x ? 1? 。 2? x? 2

令x?

k?2 1 ? k ? 2 k ?1 ? k ?2 ,得 ? ? ? ln?k ? 2? ? ln?k ? 1?. ? ? ln k ?1 2 ? k ?1 k ? 2 ? k ?1

? ln?k ? 1? ?

k ?2 k ?1 ? ln?k ? 2? ? . 2?k ? 1? 2(k ? 2)

1 1 1 1 k ?1 。 ? ln?k ? 2? ? ? 1? ? ?? ? ? 2 3 k k ?1 2?k ? 2?

这就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立 根据①和②,可知不等式对任何 n ? N ? 都成立。

22. 是定值.理由如下,如图所示,连接 BC.

︵ ∵CD 为定长,虽 CD 滑动,但CD的度数不变 ∴∠P=∠ACB-∠PBC=90°-∠PBC,为定值. ∵∠PCD=∠PBA ∴△PCD∽△PBA PC 1 = PB 3 ∴

∴∠PBC 为定值,

PC CD 2 1 = = = . PB BA 6 3

在 Rt△PBC 中,cos∠P=

∴sin∠P=

1 2 2 1 ? ( )2 ? 3 3

23.(I)由题意知曲线 C 的普通方程为: x ? y ? 1 ? 0 曲线 P 的普通方程为: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0

? ?x ? 2? ? y 2 ? 1
2

13

(II)曲线 P 的圆心 ?2,0? 到直线 C : x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?
? AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2

2 2

24. (I) x ? 1 ? x ? 5 ? 10 ①当 x ? ?1 时, ? 2 x ? 4 ? 10 ,? x ? ?3 ②当 ? 1 ? x ? 5 时, 6 ? 10 ,不成立。 ③当 x ? 5 时, 2 x ? 4 ? 10,? x ? 7 综上可知: x ? ?? ?,?3?? ?7,??? (II)? f ?x? ? x ?1 ? x ? 5 ? x ?1? x ? 5 ? 6
4 1 ? ? 2 ? 6,? ? 1 t t
?x ? 7 ? x ? ?3

?t ? ?? ?,0? ? ?1,???

14


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