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河南省南阳市2014届高三数学第三次模拟联考试题 文(含解析)新人教A版


河南省南阳市 2014 届高三数学第三次模拟联考试题 文(含解析)新人教 A 版
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设全集 U 是实数集 R ,集合 M ={x | x ? 2 x} , N={x | log 2 ( x ? 1) ? 0} ,则 (CU

M) ? N 为(
2



A. {x |1 ? x ? 2}

B. {x |1 ? x ? 2}

C. {x |1 ? x ? 2}

D. {x |1 ? x ? 2}

2.设复数 z 满足 ( z ? 1)i ? ?3 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z 的实部是( A.1 B.2 C.3 D.4



3.等差数列 {an } 中,如果 a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 {an } 前 9 项的和为( ) A.297 B.144 C.99 D.66

4.下列命题中正确命题的个数是(
2


2

(1)命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” ;
1

(2)设回归直线方程 y ? 1 ? 2 x 中, x 增加 1 个单位时, y 一定增加 2 个单位; (3)若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题;
2 (4)对命题 p : ?x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ;
2

?

A.1

B.2

C.3

D.4

5.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是变长为 2 的正三角形,侧视图是有一条直角边为 2 的 直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为( )

6.一个算法的程序框图如图,则其输出结果是( A.0 B.



2 2

C.

2 ?1 2

D.

2 ?1

2

7.若函数 f ( x) ? 2sin ? x (? ? 0) 的图像在 (0, 2? ) 上恰有一个极大值和一个极小值,则 ? 的取值范围是 ( )

A. ( ,1]

3 4

B. (1, ]

5 4

C. ( , ]

3 4 4 5

D. ( , ]

3 5 4 4

8.已知抛物线 y ? 4 3 x 的准线与双曲线
2

x2 y2 ? ? 1 两条渐近线分别交于 A,B 两点,且 | AB |? 2 ,则双 a 2 b2

曲线的离心率 e 为(



3

A.2

B.

4 3

C. 2

D.

2 3 3

9.已知 ? , ? ? [? A. ? ? ?

? ?

, ] 且 ? sin ? ? ? sin ? ? 0 ,则下面结论正确的是( 2 2
B. ? ? ? ? 0 C. ? ? ? D. ? ? ?
2 2



10.已知 ?ABC 的重心为 G,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 aGA ? bGB ? 为( A. ) B.

??? ?

??? ?

? 3 ??? cGC ? 0 ,则角 A 3

? 6

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【答案】A 【解析】

4

11.已知函数 f ( x) ? ? 范围是( A. (1, 2014) )

?sin ? x(0 ? x ? 1) ,若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a ? b ? c 的取值 ? log 2014 x( x ? 1)

B. (1, 2015)

C. (2, 2015)

D. [2, 2015]

12.动圆 C 经过点 F (1,0) ,并且与直线 x ? ?1 相切,若动圆 C 与直线 y ? x ? 2 2 ? 1 总有公共点,则圆 C 的面积( ) B.有最小值 2? C.有最小值 3? D.有最小值 4?

A.有最大值 8?

设圆心为 (a, b) ,半径为 r , r ?| CF |?| a ? 1| ,即 (a ? 1) ? b ? (a ? 1) ,即 a ?
2 2 2

1 2 b , 4

5

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 13.设实数 x,y 满足约束条件 ? 8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ? abx ? y ( a ? 0, b ? 0 )的最大值为 8, ? x ? 0, y ? 0 ?
则 a ? b 的最小值为 .

14.设 a ? 0.5 2 , b ? 0.9 4 , c ? log 5 0.3 ,则 a, b, c 的大小关系是 【答案】 b ? a ? c 【解析】

1

1

.

6

16.在三棱锥 S ? ABC 中, AB ? BC , AB ? BC ?

2 , SA ? SC ? 2 ,二面角 S ? AC ? B 的余弦值是
.

?

3 ,若 S , A, B, C 都在同一球面上,则该球的表面积是 3

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)在等差数列 {an } 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 的各项均为正数,
7

b1 ? 1 ,公比为 q,且 b2 ? S2 ? 12 , q ?
(1)求 an 与 bn ; (2)设数列 {cn } 满足 cn ?

S2 . b2

1 ,求 {cn } 的前 n 项和 Tn . Sn

18.(本小题满分 12 分)某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动,他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间, 按年龄分组:第 1 组 [25,30) ,第 2 组 [30,35) ,第 3 组 [35, 40) ,第 4 组 [40, 45) ,第 5 组 [45,50) ,得 到的频率分布直方图如图所示,下表是年龄的频率分布表.

8

(1)求正整数 a, b, N 的值; (2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1,2,3 组的人数分别是多 少? (3)在(2)的条件下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的概率.

9

19.(本小题满分 12 分)如图所示,ABCD 是正方形, PA ? 平面 ABCD,E,F 是 AC,PC 的中点. (1)求证: AC ? DF ; (2)若 PA ? 2, AB ? 1 ,求三棱锥 C ? PED 的体积.

10

1 1 1 1 故 VC ? PED ? VP ?CED ? ? SVCED ? PA ? ? ? 2 ? ?????????12 分 3 3 4 6
考点:1.中位线;2.线面垂直的判断与性质;3.三棱锥的体积;4.等体积转换. 20.(本小题满分 12 分)已知圆 C1 : x ? y ?
2 2

4 ,直线 l : y ? x ? m(m ? 0) 与圆 C1 相切,且交椭圆 5

C2 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 于 A1 , B1 两点,c 是椭圆的半焦距, c ? 3b . a 2 b2

(1)求 m 的值;

11

(2)O 为坐标原点,若 OA1 ? OB1 ,求椭圆 C2 的方程; (3)在(2)的条件下,设椭圆 C2 的左右顶点分别为 A,B,动点 S ( x0 , y0 ) ? C2 ( y0 ? 0) ,直线 AS , BS 与 直线 x ?

????

????

34 分别交于 M,N 两点,求线段 MN 的长度的最小值. 15

x1 ? x 2 ?

? 4 10 a 2 8a 2 ? 5a 2 b 2 2 10 2 10 40b 2 ? 25a 2 b 2 , x x ? ; y y ? ( x ? )( x ? ) ? 1 2 1 2 1 2 5 5 5(b 2 ? a 2 ) 5(b 2 ? a 2 ) 25(a 2 ? b 2 )

12

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (2 ? a) ln x ? (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; (2)当 a ? 0 时,讨论 f ( x) 的单调性;

1 ? 2ax(a ? 0) . x

(3)若对任意的 a ? (?3, ?2) , x1 , x2 ? [1,3] ,恒有 (m ? ln 3)a ? 2ln 3 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 成立,求实数 m 的取值范围.




13

∴ f ? x ? 在 ? 0, ? 上是减函数,在 ?

? ?

1? 2?

?1 ? , ?? ? 上是增函数. ?2 ?

?????? 3 分

14

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时用 2B 铅笔在答 题卡上把所选的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) (选修 4-1:几何证明选讲)如图,直线 AB 过圆心 O,交 ? O 于 F(不与 B 重合) , 直线 l 与 ? O 相切于 C,交 AB 于 E,且与 AF 垂直,垂足为 G,连结 AC. 求证: (1) ?BAC ? ?CAG ; (2) AC ? AE ? AF .
2

试题解析: : (1)连结 BC ,∵ AB 是直径,

15

23.(本小题满分 10 分) (选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 4 cos ? ,直线 l 的参数方程为 ?
2

? x ? t cos ? (t 为参数, ? y ? 1 ? t sin ?

0 ? ? ? ? ).
(1)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (2)若直线 l 经过点 (1, 0) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长.

线;???????. 5 分

16

24.(本小题满分 10 分) (选修 4-5:不等式选讲) 设 f ( x) ?| x ? a |, a ? R . (1)当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围; (2)若对任意 x ? R , f ( x ? a) ? f ( x ? a) ? 1 ? 2a 恒成立,求实数 a 的最小值.

17

18


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