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第七章 直线和圆的方程


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第八章 直线和圆的方程
【知识图解】 中点坐标 点 两点间距离 直线斜率与倾斜角 点斜式 直 线 与 圆 的 方 程 方 程 形 式 斜截式 两点式 截距式 一般式 平行 两条直线位置关系 相交 点与直线位置关系 标准方程 一般方程 圆 位置关系 空间直角坐标系 【方法点拨】 1.掌握直线的倾斜角,斜率以及直线方程的各种形式,能正确地判断两直线

位置关系,并能熟练地利 用距离公式解决有关问题.注意直线方程各种形式应用的条件.了解二元一次不等式表示的平面区域,能 解决一些简单的线性规划问题. 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3.熟练运用待定系数法求圆的方程. 4.处理解析几何问题时,主要表现在两个方面:(1)根据图形的性质,建立与之等价的代数结构;(2)根 据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质. 5.要重视坐标法,学会如何借助于坐标系,用代数方法研究几何问题,体会这种方法所体现的数形结 合思想. 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题;还要注意综合运用三角函数、平面向量 等与本章内容关系比较密切的知识. 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 垂直

直 线

点到直线的距离

方程形式

1

2

第1课
【考点导读】

直线的方程

理解直线倾斜角、斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的几种形式,能根据条 件,求出直线的方程. 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程,属中、 低档题,多以填空题和选择题出现,每年必考. 【基础练习】 1. 直线 xcosα+ 3 y+2=0 的倾斜角范围是 2. 过点 P (2, 3) ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 3.直线 l 经过点(3,-1) ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线 l 的方程为 4.无论 k 取任何实数,直线 ?1 ? 4k ? x ? ? 2 ? 3k ? y ? ? 2 ?14k ? ? 0 必经过一定点 P,则 P 的坐标为 5.已知直线 l 过点 P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为 5 个平方单位,求直线 l 的方程 【范例导析】 例 1.已知两点 A(-1,2) 、B(m,3) (1)求直线 AB 的斜率 k; (2)求直线 AB 的方程; (3)已知实数 m ? ? ?

? ?

? 3 ? 1, 3 ? 1? ,求直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围. 3 ?

例 2.直线 l 过点 P(2,1),且分别交 x 轴、y 轴的正半轴于点 A、B、O 为坐标原点. (1)当△AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线 l 的方程.

2

3

例 3.直线 l 被两条直线 l1:4x+y+3=0 和 l2:3x-5y-5=0 截得的线段中点为 P(-1,2).求直线 l 的方程.

反馈练习: 1.已知下列四个命题①经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示;②经过任意两个不同点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示;③不经过原点的直线都可以用方程

x y + =1 表示;④经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示,其中正确的是 a b
2.设直线 l 的方程为 2x ? ? k ? 3? y ? 2k ? 6 ? 0 ? k ? 3? ,当直线 l 的斜率为-1 时,k 值为__ 直线 l 在 x 轴、y 轴上截距之和等于 0 时,k 值为 3.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? +cos ? =0,则 a,b 满足的关系式为 4.若直线 l:y=kx ? __,当

3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角的取值范围是
1 ,则 c 的值为 c
条 .

5.若直线 4x-3y-12=0 被两坐标轴截得的线段长为

6.过点 P(1,1)作直线 l,与两坐标轴相交所得三角形面积为 10,则直线 l 有 7.若三点 A(2, 2), B(a,0), C (0, b)(ab ? 0) 共线,则
2

1 1 ? 的值等于 a b

8.若直线(m ─1)x─y─2m+1=0 不经过第一象限,则实数 m 的取值范围是 9.已知直线 l 被两直线 l 1 :4x+y+6=0 与 l
2

:3x 一 5y 一 6=0 截得的线段中点为坐标原点,那么直线 l 的

方程是 . 10.已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点为 P(2,3) ,求过两点 Q1(a1,b1) 2(a2,b2) 1 、Q (a ≠a2)的直线方程

3

4

11.在△ABC 中,BC 边上的高所在的直线方程为 x-2y+1=0,∠A 的平分线所在直线方程为 y=0,若点 B 的 坐标为(1,2),求点 A 和点 C 的坐标.

12.一条直线经过点 P(3,2) ,并且分别满足下列条件,求直线方程: (1)倾斜角是直线 x-4y+3=0 的倾斜角的 2 倍; (2)与 x、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,且△AOB 的面积最小(O 为坐标原点)

4

5

第2课
【考点导读】

两条直线的位置关系

1. 掌握两条直线平行与垂直的条件,能根据直线方程判定两条直线的位置关系,会求两条相交直线 的交点,掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式. 2. 高考数学卷重点考察两直线平行与垂直的判定和点到直线的距离公式的运用,有时考察单一知识 点,有时也和函数三角不等式等结合,题目难度中等偏易. 【基础练习】 1.已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的值为 2.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为 3.若三条直线 2 x ? 3 y ? 8 ? 0, x ? y ? 1 ? 0 和 x ? ky ? k ?

1 ? 0 相交于一点,则 k 的值等于 2

4.已知点 P 1 (1,1)、P 2 (5,4)到直线 l 的距离都等于 2.直线 l 的方程 为 . 5.已知 A(7,8) ,B(10,4),C(2,-4),求△ABC 的面积.

【范例导析】 【例 1】已知两条直线 l1 :x+m2y+6=0, l 2 :(m-2)x+3my+2m=0,当 m 为何值时, l1 与 l 2 (1) 相交; (2)平行; (3)重合?

[例 2].已知直线 l 经过点 P(3,1) ,且被两平行直线 l1 :x+y+1=0 和 l 2 :x+y+6=0 截得的线段之长为 5。 求直线 l 的方程。

【例 3】设已知三条直线 l1 : mx ? y ? m ? 0, l2 : x ? my ? m ? m ?1? ? 0, l3 : ? m ? 1? x ? y ? ? m ? 1? ? 0 , 它们围成△ABC,(1)求证:不论 m 为何值,△ABC 有一个顶点为定点.(2)当 m 为何值时,△ABC
5

6

面积有最大值和最小值,并求此最大值与最小值.

反馈练习: 1.已知直线 l 在 x 轴上的截距为 1,且垂直于直线 y ?
1 x ,则 l 的方程是 2

2.若直线 ax ? (1 ? a) y ? 3 与 (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 5 互相垂直,则 a ? 3.若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0 平行,则 a 的值是___ 4.已知 0 ? ? ? ___.

?
2

,且点 (1, cos? ) 到直线 x sin? ? y cos? ? 1的距离等于

1 ,则 ? 等于 4

5.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 sinA·x+ay+c=0 与 bx-sinB·y+sinC=0 的位置关系是 6.已知点 P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ?x2 , y 2 ? ,分别是直线 l 上和直线 l 外一点,若直线 l 的方程是 f ?x, y ? ? 0 ,则方程
f ?x, y ? ? f ?x1 , y1 ? ? f ?x2 , y 2 ? ? 0 表示的图形是

7.点 (2,3) 关于直线 x ? y ? 1 的对称点的坐标是 8. 经过直线 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 与 7 x ? 15y ? 1 ? 0 的交点,且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程是 9.两条直线 ax ? 2ay ? 1 ? 0, 和 ? a ?1? x ? ? a ? 1? y ?1 ? 0 互相垂直,则垂足的坐标为 10.线 l1 过点 A(5,0) , l 2 过点 B (0,1) , l1 ∥ l 2 ,且 l1 与 l 2 之间的距离等于 5,求 l1 与 l 2 的方程。

11.条直线 x ? y ? 1 ? 0, 2 x ? y ? 8 ? 0 和 ax ? 3 y ? 5 ? 0 共有三个不同的交点,求 a 的范围。

12.已知△ABC 的三边方程分别为 AB: 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 ,BC: y ? 2 ? 0 ,CA: 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . 求: (1)AB 边上的高所在直线的方程; (2)∠BAC 的内角平分线所在直线的方程.

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第3课
【考点导读】

圆的方程

1. 掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程;理解圆的标准方 程与一般方程之间的关系,会进行互化。 2. 本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程,利用三角换元或数形结合求最值问题,题型难度 以容易题和中档题为主. 【基础练习】 1.已知点 A(3,-2),B(-5,4),以线段 AB 为直径的圆的方程为 2.过点 A(1,-1) 、B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是 3.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为 4.圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? c ? 0 与 y 轴交于 A、 两点, B 圆心为 P, 若∠APB=120°, 则实数 c 值为_

__

5.如果方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ? 所表示的曲线关于直线 y ? x 对称,那么必有_
【范例导析】 【例1】 设方程 x ? y ? 2(m ? 3) x ? 2(1 ? 4m ) y ? 16m ? 9 ? 0 ,若该方程表示一个圆,求 m 的取值范
2 2 2 4

围及这时圆心的轨迹方程。

变式 1:方程 ax ? ay ? 4(a ?1) x ? 4 y ? 0 表示圆,求实数 a 的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方
2 2

程。

2 2 例 2 求半径为 4,与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆的方程.

7

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【例2】

设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所 有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.

【例 3】在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原

点 O .椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 . a2 9

(1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q , Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长. 使 若存在, 请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

反馈练习: 1.关于 x,y 的方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示一个圆的充要条件是 2.过点 P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐标是 3.若两直线 y=x+2k 与 y=2x+k+1 的交点 P 在圆 x2+y2=4 的内部,则 k 的范围是 4.已知圆心为点(2,-3) ,一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上,则这个圆的方程是 2 5.直线 y=3x+1 与曲线 x +y2=4 相交于 A、B 两点,则 AB 的中点坐标是 6.方程 x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1) 表示的曲线是_
2

7.圆 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 2 关于直线 x ? y ? 0 的对称圆的方程是
2 2

8

9
2 8.如果实数 x、y 满足等式 ? x ? 2 ? ? y ? 3 ,那么 2

y 的最大值是 x

9.已知点 A(?1,1) 和圆 C : ( x ? 5) 2 ? ( y ? 7) 2 ? 4 ,求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的最短路程为 ___ __ 10.求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x─y─3=0 上的圆的方程;

11. 一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ,求此圆的方程

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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12.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2) O 与 x 轴相交于 A,B 两点, 圆 圆内的动点 P 使 PA , , 成等比数列, PA?PB 的取值范围. 求 PO PB

??? ??? ? ?

9

10

第4课
【考点导读】

直线与圆的位置关系

能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系;熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的 综合问题,运用空间直角坐标系刻画点的位置,了解空间中两点间的距离公式及其简单应用. 【基础练习】 1.若直线 4x-3y-2=0 与圆 x2+y2-2ax+4y+a2-12=0 总有两个不同交点,则 a 的取值范围是 2.直线 x-y+4=0 被圆 x2+y2+4x-4y+6=0 截得的弦长等于 3.过点 P(2,1)且与圆 x2+y2-2x+2y+1=0 相切的直线的方程为 . 4..设集合 M ?

?? x, y ? | x

2

? y 2 ? 25? , N ?

?? x, y ? | ? x ? a ?

2

? y 2 ? 9 ,若 M∪N=M,则实数 a 的取值范

?

围是 5.M(2,-3,8)关于坐标平面 xOy 对称点的坐标为 【范例导析】 例 1.已知圆 C: (x-1)2+(y-2)2=25,直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.

例 2.已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 , C: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 , 圆 由两圆外一点 P (a, b) 引两圆切线 PA、 PB, 切点分别为 A、B,满足|PA|=|PB|. (1)求实数 a、b 间满足的等量关系; (2)是否存在以 P 为圆心的圆, 使它与圆 O 相内切并且与圆 C 相外切?若 存在,求出圆 P 的方程;若不存在,说明理由.

10

11

例 3.已知圆 C 与两坐标轴都相切,圆心 C 到直线 y ? ? x 的距离等于 2 . (1)求圆 C 的方程.(2)若直线 l :

x y ? ? 1 (m ? 2, n ? 2) 与圆 C 相切,求证: mn ? 6+4 2. m n

例 4.如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 平行于 x 轴且过点 A(3 3, 2)的入射光线 l1 被直线 l: y= 射光线 l2 交 y 轴于 B 点,圆 C 过点 A 且与 l1, l2 都相切. (1)求 l2 所在直线的方程和圆 C 的方程; (2)设 P,Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点,求 PB+PQ 的 最小值及此时点 P 的坐标.

3 x 反射. 反 3

y l A O B l2 例4 l1 x

反馈练习: 1.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3 )处的切线方程为 2.直线

3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为
2 2

( 0) 3.已知直线 l 过点 ? 2, ,当直线 l 与圆 x ? y ? 2 x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围是
4.设 m>0,则直线 2 (x+y)+1+m=0 与圆 x2+y2=m 的位置关系为 5.圆(x-3) +(y-3) =9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有个数为 6.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x ? y ? 1 逆时针方向运动
2 2
2 2

2? 弧长到达 Q 点,则 Q 的坐标为 3

11

12

7.若圆 x ? y ? mx ?
2 2

1 ? 0 与直线 y ? ?1 相切,且其圆心在 y 轴的左侧,则 m 的值为 4
,过点 P 的最

8.已知 P(3,0)是圆 x2+y2-8x-2y+12=0 内一点则过点 P 的最短弦所在直线方程是 长弦所在直线方程是 9.设 P 为圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为

.

10. 已知与曲线 C:2+y2-2x-2y+1=0 相切的直线 L 交 x 轴、y 轴于 A、 两点, O 为原点, 且|OA|=a, |OB|=b x B (a>2,b>2) (1)求证曲线 C 与直线 L 相切的条件是(a-2)(b-2)=2 (2)求Δ AOB 面积的最小值.

?x ? 0 ? 11.已知平面区域 ? y ? 0 恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 及其内 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
部所覆盖. (1)试求圆 C 的方程. (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B. 满足 CA ? CB ,求直线 l 的方程.

12、 (本题满分 16 分)已知⊙ O : x 2 ? y 2 ? 1和定点 A(2,1) ,由⊙ O 外一点 P (a, b) 向⊙ O 引切线 PQ , 切点为 Q ,且满足 | PQ |?| PA | . (1) 求实数 a、 b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心所作的⊙ P 与⊙ O 有公共点,试求半径取最小值时的⊙ P 方程.

12

13

本章自主检测 一填空:
1.点 P (a, b ), Q (b+1 , a-1) 关于直线 L 对称,则 L 的方程是 2.过点 P(2,1)且被圆 x2+y2-2x+4y=0,截得的弦长最大的直线的方程是 3.如果点(4,a)到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离不大于 3,那么 a 的取值范围是 4.直线 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0, 当 k 变动时,所有直线都过定点 5.直线 x ? 2ay ? 1 ? 0 和直线 (3a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 平行的充要条件是 6.方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(t∈ R)表示圆方程,则 t 的取值范围是 7.点 A 是圆 C: x2 ? y 2 ? ax ? 4 y ? 5 ? 0 上任意一点,A 关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称点也在圆 C 上,则实 数 a 的值为 8.过圆 x2+y2=4 外一点 P(4,2)作圆的两条切线,切点为 A、B,则△ABP 的外接圆方程是 9.M( x0 , y 0 ) 为圆 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 内异于圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a 2 与该圆的位置关 系 (填相切、相交、相离)

10.设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则 a ? 11.已知圆 C 过点 A(4,-1),且与圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 相切于点 B(1,2),则圆 C
2 2

的方程为 12. 若点( x,y)在直线3x ? 4 y ? 25 ? 0上移动,则x
2 2

2

? y 2的最小值为

13.过点 (1, 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2) ? y ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率

k=
14.若圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的 倾斜角的取值范围是 二解答题 15.已知 A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0)求点 D 的坐标,使四边形 ABCD 为等腰梯形.

13

14

16.已知 ?ABC 的顶点 A 为(3,-1) ,AB 边上的中线所在直线方程为 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 , ? B 的平分线 所在直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在直线的方程.

17.已知圆 C1 :x2 ? y 2 ? 2 和圆 C2 , 直线 l 与圆 C1 相切于点 (1,1) ; C2 的圆心在射线 2 x ? y ? 0 ( x ? 0) 圆 上,圆 C2 过原点,且被直线 l 截得的弦长为 4 3 . (Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)求圆 C2 的方程.

18.已知过 A(0,1)和 B (4, a ) 且与 x 轴相切的圆只有一个,求 a 的值及圆的方程.

14

15

19.已知圆 O: x2 ? y 2 ? 2 交 x 轴于 A, 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为 B

2 的椭圆,其左焦点为 F. 2

若 P 是圆 O 上一点,连结 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线于点 Q. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; (Ⅲ)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A、B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关系?若是, 请证明;若不是,请说明理由. Q y P

A

F

O

B

x

第 19 题

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07-第七章_直线和圆的方程

直线和圆 07-- 1 直线的方程〖考纲要求〗理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握由一个点和斜 率导出直线方程的方法;掌握直线方程的点...
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