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广东省韶关市五校联考2014-2015学年高二数学上学期12月月考试卷 理(含解析)


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广东省韶关市五校联考 2014-2015 学年高二上学期 12 月月考数学试卷 (理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1. (5 分)已知集合 M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则 M∩N=() A. (﹣2,1) B. (﹣1,1) C. (1,3) D. (﹣2,3) 2. (5 分)下列函数中是偶函数,且在(0,2)内单调递增的是() 2 x A. y=x ﹣2x B. y=cosx+1 C. y=lg|x|+2 D. y=2

3. (5 分)若向量 A. (5,7)

=(1,2) ,

=(4,5) ,则

=() D. (﹣5,﹣7)

B. (﹣3,﹣3)

C. (3,3)

4. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是()

A. ﹣1

B.

C.

D. 4

5. (5 分)已知几何体的三视图如图,则该几何体的体积为()

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. B. 4 C. D.

6. (5 分)给出下面结论: 2 2 ①命题 p:“? x∈R,x ﹣3x+2≥0”的否定为?p:“? x∈R,x ﹣3x+2<0”; ②命题:“? x∈R,使得 sinx+cosx=1.5; ③若?p 是 q 的必要条件,则 p 是?q 的充分条件; ④“M>N”是“㏒ aM>㏒ aN”的充分不必要条件. 其中正确结论的个数为() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

7. (5 分)若 A. B. C.

=() D.

8. (5 分) 若数列{an}满足 知正项数列 A. 2

=0, n∈N , p 为非零常数, 则称数列{an}为“梦想数列”. 已
99

*

为“梦想数列”,且 b1b2b3?b99=2 ,则 b8+b92 的最小值是() B. 4 C. 6 D. 8

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. (5 分)直线 l1:kx+y﹣3=0 和 l2:x+(2k+3)y﹣2=0 互相垂直,则 k=. 10. (5 分)某学校为了解学生数学课程的学习情况,在 1000 名学生中随机抽取 200 名,并统 计这 200 名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图) .根据频率分布 直方图可估记名学生在该次数学考试中成绩不低于 60 分的学生数是.

11. (5 分)若实数 x,y 满足

,则 x+y 的最大值为.

12. (5 分)若正数 x,y 满足 x+y=1,且 + ≥4 对任意 x,y∈(0,1)恒成立,则正数 a 的 取值范围是.

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13. (5 分)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )的图象如图所示,则 f(2)=.

14. (5 分)定义函数 f(x)={x?{x}},其中{x}表示不小于 x 的最小整数,如{1.5}=2,{﹣ * 2.5}=﹣2.当 x∈(0,n],n∈N 时,函数 f(x)的值域为 An,记集合 An 中元素的个数为 an, 则 =.

三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,b= ,求△ABC 的面积.
2 2

asinB﹣bcosA=0.

16. (12 分) 已知命题 p: 实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0 (其中 a≠0) , 命题 q: 实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

≤0.

17. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= AD,E、F 分别为 PC、BD 的中点.

(1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:面 PAB⊥平面 PDC.

18. (14 分)某开发商用 9000 万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层 建筑面积为 2000 平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米 4000 元,从第二层开 始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 100 元. (1)若该写字楼共 x 层,总开发费用为 y 万元,求函数 y=f(x)的表达式; (总开发费用= 总建筑费用+购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低,该写字楼应建为多少层?

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 19. (14 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =4,直线 l1 过定点 A(1,0) . (1)若 l1 与圆相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 与圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M,又 l1 与 l2:x+2y+2=0 的交点为 N,判 断 AM?AN 是否为定值,若是,则求出定值;若不是,请说明理由.
2 2

20. (14 分)已知数列{an}满足 an+1+an=4n+3. (1)若数列{an}是等差数列,求 a1 的值; (2)当 a1=2 时,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (3)若对任意 n∈N ,都有
*

≥4 成立,求 a1 的取值范围.

广东省韶关市五校联考 2014-2015 学年高二上学期 12 月月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1. (5 分)已知集合 M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则 M∩N=() A. (﹣2,1) B. (﹣1,1) C. (1,3) D. (﹣2,3) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算即可得到结论. 解答: 解:M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1}, 则 M∩N={x|﹣1<x<1}, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)下列函数中是偶函数,且在(0,2)内单调递增的是() 2 x A. y=x ﹣2x B. y=cosx+1 C. y=lg|x|+2 D. y=2 考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的定义,偶函数图象关于 y 轴对称的特点,以及对数函数,余弦函数的 单调性即可找出正确选项. 2 解答: 解:y=x ﹣2x 不是偶函数,所以不符合条件; y=cosx+1,在(0,π )内是减函数,所以不符合条件; y=lg|x|+2= ,所以该函数是偶函数,在(0,2)内单调递增,所以该

选项正确; x y=2 的图象不关于 y 轴对称,所以不是偶函数,所以不符合条件. 故选 C. 点评: 考查偶函数的定义,偶函数的图象关于 y 轴对称的特点,以及余弦函数、对数函数 的单调性,指数函数的图象.

3. (5 分)若向量 A. (5,7)

=(1,2) ,

=(4,5) ,则

=() D. (﹣5,﹣7)

B. (﹣3,﹣3)

C. (3,3)

考点: 向量的减法及其几何意义;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的减法运算法则求解即可. 解答: 解:∵向量 ∴ = =(1,2) , =(4,5) ,

=(1,2)﹣(4,5)=(﹣3,﹣3) ;

故选:B. 点评: 本题考查向量的减法运算以及减法的几何意义,基本知识的考查. 4. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是()

A. ﹣1

B.

C.

D. 4

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考点: 循环结构. 专题: 计算题. 分析: 直接利用循环结构,计算循环各个变量的值,当 i=9<9,不满足判断框的条件,退 出循环输出结果即可. 解答: 解:第 1 次判断后循环,S=﹣1,i=2, 第 2 次判断后循环,S= ,i=3, 第 3 次判断后循环,S= ,i=4, 第 4 次判断后循环,S=4,i=5, 第 5 次判断后循环,S=﹣1,i=6, 第 6 次判断后循环,S= ,i=7, 第 7 次判断后循环,S= ,i=8, 第 8 次判断后循环,S=4,i=9, 第 9 次判断不满足 9<8,推出循环,输出 4. 故选 D.

点评: 本题考查循环框图的作用,正确计算循环变量的数值,是解题的关键,考查计算能 力. 5. (5 分)已知几何体的三视图如图,则该几何体的体积为()

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A.

B. 4

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 根据已知的三视图可判断出该几何体是一个正四棱锥,且可得底面棱长为 2,侧面高 为 ,由此求出底面面积和棱锥的高,代入棱锥体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知可得该几何体是一个底面棱长为 2 侧面高为 的正四棱锥 则棱锥的高 h= ∴棱锥的高 V= Sh= ×2×2× = =

故选 C 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知分析出几何体的形状是解答的 关键. 6. (5 分)给出下面结论: 2 2 ①命题 p:“? x∈R,x ﹣3x+2≥0”的否定为?p:“? x∈R,x ﹣3x+2<0”; ②命题:“? x∈R,使得 sinx+cosx=1.5; ③若?p 是 q 的必要条件,则 p 是?q 的充分条件; ④“M>N”是“㏒ aM>㏒ aN”的充分不必要条件. 其中正确结论的个数为() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 推理和证明. 分析: 根据存在性命题的否定方法,可判断①;根据正弦型函数的图象和性质,可判断②; 根据充要条件的定义和四种命题的关系, 可判断③; 根据对数函数的图象和性质和充要条件的 定义,可判断④. 2 2 解答: 解:对于①,命题 p:“? x∈R,x ﹣3x+2≥0”的否定为?p:“? x∈R,x ﹣3x+2 <0”,正确;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 对于②,由 sinx+cosx= sin(x+ )∈[﹣ , ],可得命题:“? x∈R,使得

sinx+cosx=1.5,错误; 对于③,若?p 是 q 的必要条件,则 q? ¬p 为真,则 p? ¬q 为真,故 p 是?q 的充分条件,正 确; 对于④,“M>N>0”是“㏒ aM>㏒ aN”的充要条件,故“M>N”是“㏒ aM>㏒ aN”的充分不 必要条件,正确, 故正确的结论为 3 个, 故选:B 点评: 本题以命题的真假判断为载体,考查了特称命题的否定,三角函数的图象和性质, 充要条件等知识点,难度中档.

7. (5 分)若 A. B. C.

=() D.

考点: 二倍角的余弦;诱导公式的作用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式把要求的式子化为﹣cos( 步化为 2 解答: 解:∵ =2 ) ,再利用二倍角的余弦公式进一

﹣1,把已知条件代入运算求得结果. =﹣cos[π ﹣ ﹣1=2× ﹣1=﹣ , ]=﹣cos( )

故选:C. 点评: 本题主要考查二倍角的余弦公式,诱导公式的应用,属于基础题. 8. (5 分) 若数列{an}满足 知正项数列 A. 2 =0, n∈N , p 为非零常数, 则称数列{an}为“梦想数列”. 已
99 *

为“梦想数列”,且 b1b2b3?b99=2 ,则 b8+b92 的最小值是() B. 4 C. 6 D. 8

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: 由新定义得到数列{bn}为等比数列,然后由等比数列的性质得到 b50=2,再利用基本 不等式求得 b8+b92 的最小值. 解答: 解:依题意可得 bn+1=qbn,则数列{bn}为等比数列. 又 则 b50=2. ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴ ,

当且仅当 b8=b92,即该数列为常数列时取等号. 故选:B. 点评: 本题是新定义题,考查了等比数列的性质,训练了利用基本不等式求最值,是中档 题. 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 9. (5 分)直线 l1:kx+y﹣3=0 和 l2:x+(2k+3)y﹣2=0 互相垂直,则 k=﹣1. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 直接利用两条直线的垂直的充要条件求解即可. 解答: 解:直线 l1:kx+y﹣3=0 和 l2:x+(2k+3)y﹣2=0 互相垂直, 所以 k+2k+3=0,解得 k=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查两条直线垂直充要条件的应用,基本知识的考查. 10. (5 分)某学校为了解学生数学课程的学习情况,在 1000 名学生中随机抽取 200 名,并统 计这 200 名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如图) .根据频率分布 直方图可估记名学生在该次数学考试中成绩不低于 60 分的学生数是 800.

考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据直方图,计算出成绩不低于 60 分的各组小矩形的面积,求出它们的和即为成绩 不低于 60 分的学生的频率,再结合频率的计算公式,可算出在该次数学考试中成绩不低于 60 分的学生数. 解答: 解:成绩不低于 60 分的学生所在的组分别为 [60,70)[70,80)[80,90) ,[90,100],共四组 它们对应小矩形的面积分别是 S1=10×0.024=0.24,S2=10×0.028=0.28 S3=10×0.020=0.20,S4=10×0.008=0.08 ∴成绩不低于 60 分的学生的频率为:S1+S2+S3+S4=0.8 ∵该校共有 1000 名学生, ∴设次数学考试中成绩不低于 60 分的学生数是 n,得 故答案为:800 =0.8,解之得 n=800

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点评: 本题给出频率颁布直方图,求指定小组的频数,着重考查了频率计算公式和频率分 布直方图的理解等知识,属于基础题.

11. (5 分)若实数 x,y 满足

,则 x+y 的最大值为 2.5.

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域,令 z=x+y,可化为 y=﹣x+z,z 相当于直线 y=﹣x+z 的纵截 距,由几何意义可得. 解答: 解:由题意作出其平面区域,

令 z=x+y,可化为 y=﹣x+z,z 相当于直线 y=﹣x+z 的纵截距, 故过点 A(1,1.5)时有最大值, 最大值为 1+1.5=2.5, 故答案为:2.5. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 12. (5 分)若正数 x,y 满足 x+y=1,且 + ≥4 对任意 x,y∈(0,1)恒成立,则正数 a 的 取值范围是[1,+∞) . 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式的性质可得 + =(x+y) =1+a+ 立,可得 ≥1+a+2 =1+a+2 ,由于 + ≥4 对任意 x,y∈(0,1)恒成

,解出即可.

解答: 解:∵正数 x,y 满足 x+y=1, ∴ + = (x+y) =1+a+ ≥1+a+2 =1+a+2 , 当且仅当 y= x 时取等号.

∵ + ≥4 对任意 x,y∈(0,1)恒成立, ∴ 化为 , ,即 ≥0

解得 a≥1. ∴正数 a 的取值范围是[1,+∞) . 故答案为:[1,+∞) . 点评: 本题考查了基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法、一元二次不等式的解 法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

13. (5 分)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )的图象如图所示,则 f(2)=﹣



考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据周期求出 ω ,再根据五点法作图求得 φ ,可得函数的解析式,从而求得 f(2) 的值. 解答: 解:根据函数 f(x)=sin(ω x+φ )的图象可得 ?T= ? 再根据五点法作图可得 ×1+φ = , =3﹣1,ω = .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴φ =﹣ ,∴f(x)=sin( ﹣ . )=sin x﹣ ) , =﹣ ,

∴f(2)=sin( 故答案为:﹣

=﹣sin

点评: 本题主要考查利用 y=Asin(ω x+φ )的图象特征,由函数 y=Asin(ω x+φ )的部分 图象求解析式,属于中档题. 14. (5 分)定义函数 f(x)={x?{x}},其中{x}表示不小于 x 的最小整数,如{1.5}=2,{﹣ * 2.5}=﹣2.当 x∈(0,n],n∈N 时,函数 f(x)的值域为 An,记集合 An 中元素的个数为 an, 则 = .

考点: 数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据{x}的定义、f(x)={x?{x}},依次求出数列{an}的前 5 项,再归纳出 an=an﹣1+n, 利用累加法求出 an,再利用裂项相消法求出 的值.

解答: 解:由题意易知:当 n=1 时,因为 x∈(0,1],所以{x}=1,所以{x{x}}=1,所以 A1={1},a1=1; 当 n=2 时,因为 x∈(1,2],所以{x}=2,所以{x{x}}∈(2,4],所以 A2={1,3,4},a2=3; 当 n=3 时,因为 x∈(2,3],所以{x}=3,所以{x{x}}={3x}∈(6,9],所以 A3={1,3,4,7, 8,9},a3=6; 当 n=4 时,因为 x∈(3,4],所以{x}=4,所以{x{x}}={4x}∈(12,16], 所以 A4={1,3,4,7,8,9,13,14,15,16},a4=10; 当 n=5 时,因为 x∈(4,5],所以{x}=5,所以{x{x}}={5x}∈(20,25], 所以 A5={1,3,4,7,8,9,13,14,15,16,21,22,23,24,25},a5=15, 由此类推:an=an﹣1+n,所以 an﹣an﹣1=n, 即 a2﹣a1=2,a3﹣a2=3,a4﹣a3=4,?,an﹣an﹣1=n, 以上 n﹣1 个式子相加得,an﹣a1= ,

解得

,所以



则 故答案为: .



点评: 本题考查新定义的应用,归纳推理,累加法求数列的通项公式,以及裂项相消法求 数列的和,难度较大. 三、解答题(共 6 小题,满分 80 分) 15. (12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且

asinB﹣bcosA=0.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,b= ,求△ABC 的面积. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,由 sinB 不为 0 求出 tanA 的值,即可确定出 A 的 度数; (2)由余弦定理列出关系式,把 a,b,cosA 的值代入求出 c 的值,利用三角形面积公式即可 求出三角形 ABC 面积. 解答: 解: (1)已知等式 asinB﹣bcosA=0,利用正弦定理化简得: sinAsinB﹣ sinBcosA=0, ∵sinB≠0,∴tanA= ,

则 A=30°; 2 2 2 2 (2)由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 1=3+c ﹣3c, 解得:c=1 或 c=2, 当 c=1 时,S△ABC= bcsinA= × 当 c=2 时,S△ABC= bcsinA= × ×1× = ×2× = ; .

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
2 2

16. (12 分) 已知命题 p: 实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0 (其中 a≠0) , 命题 q: 实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

≤0.

考点: 复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)若 a=1,求出命题 p,q 的等价条件,利用 p∧q 为真,则 p,q 为真,即可求实 数 x 的取值范围; (2)求出命题 p 的等价条件,利用 p 是 q 的必要不充分条件,即可求实数 a 的取值范围. 2 解答: 解: (1)若 a=1,不等式为 x ﹣4x+3<0,即 1<x<3,即 p:1<x<3, 若 ≤0,则 2<x≤3,即 q:2<x≤3,

若 p∧q 为真,则 p,q 同时为真, 即 ,解得 2<x<3,

则实数 x 的取值范围是 2<x<3; 2 2 (2)∵x ﹣4ax+3a <0, ∴(x﹣a) (x﹣3a)<0, 若 a>0,则不等式的解为 a<x<3a, 若 a<0,则不等式的解为 3a<x<a,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵q:2<x≤3, ∴若 p 是 q 的必要不充分条件, 则 a>0,且 ,

即 1<a≤2, 则实数 a 的取值范围是 1<a≤2. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,以及不等式的求解,利用不等式的解法 时解决本题的关键. 17. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= AD,E、F 分别为 PC、BD 的中点.

(1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:面 PAB⊥平面 PDC.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 AC,则 F 是 AC 的中点,E 为 PC 的中点,证明 EF∥PA,留言在线与平面 平行的判定定理证明 EF∥平面 PAD; (2)先证明 CD⊥PA,然后证明 PA⊥PD.利用直线与平面垂直的判定定理证明 PA⊥平面 PCD, 最后根据面面垂直的判定定理即可得到面 PAB⊥面 PDC. 解答: 证明: (1)连接 AC,由正方形性质可知,AC 与 BD 相交于 BD 的中点 F,F 也为 AC 中 点,E 为 PC 中点. 所以在△CPA 中,EF∥PA, 又 PA? 平面 PAD,EF?平面 PAD, 所以 EF∥平面 PAD; (2)平面 PAD⊥平面 ABCD 平面 PAD∩面 ABCD=AD? CD⊥平面 PAD? CD⊥PA 正方形 ABCD 中 CD⊥ADPA? 平面 PADCD? 平面 ABCD 又 ,所以 PA +PD =AD
2 2 2

所以△PAD 是等腰直角三角形,且 因为 CD∩PD=D,且 CD、PD? 面 PDC 所以 PA⊥面 PDC 又 PA? 面 PAB, 所以面 PAB⊥面 PDC.

,即 PA⊥PD.

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点评: 本题考查直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定的应用,考查逻辑推理能 力. 18. (14 分)某开发商用 9000 万元在市区购买一块土地建一幢写字楼,规划要求写字楼每层 建筑面积为 2000 平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米 4000 元,从第二层开 始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 100 元. (1)若该写字楼共 x 层,总开发费用为 y 万元,求函数 y=f(x)的表达式; (总开发费用= 总建筑费用+购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米开发费用最低,该写字楼应建为多少层? 考点: 数列的应用;函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)由已知,确定写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项,20 为公 差的等差数列,从而可得函数表达式; (2)由(1) ,求出写字楼每平方米平均开发费用,利用基本不等式,即可求得每平方米平均 开发最低费用. 解答: 解: (1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为:4000×2000=8000000(元) =800(万元) , 从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多:100×2000=200000(元)=20(万元) , 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项,20 为公差的等差数列(2 分) 所以函数表达式为: ;?(6 分) (2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为: ?(10 分) = 当且仅当 ,即 x=30 时等号成立. (元)?(12 分)

答:该写字楼建为 30 层时,每平方米平均开发费用最低. ?(14 分) 点评: 本题考查等差数列模型的构建,考查基本不等式的运用,考查利用数学知识解决实 际问题的能力,属于中档题. 19. (14 分)已知圆 C: (x﹣3) +(y﹣4) =4,直线 l1 过定点 A(1,0) . (1)若 l1 与圆相切,求 l1 的方程;
2 2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)若 l1 与圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M,又 l1 与 l2:x+2y+2=0 的交点为 N,判 断 AM?AN 是否为定值,若是,则求出定值;若不是,请说明理由.

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题. 分析: (1)由直线 l1 与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,求得直线方程,注意分类 讨论; (2)分别联立相应方程,求得 M,N 的坐标,再求 AM?AN. 解答: 解: (1)①若直线 l1 的斜率不存在,即直线 x=1,符合题意. (2 分) ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k=0. 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 即 解之得 .

所求直线方程是 x=1,3x﹣4y﹣3=0. (5 分) (2)直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线方程为 kx﹣y﹣k=0 由 得 ;

又直线 CM 与 l1 垂直,





∴AM?AN=

为定值. (10 分)

点评: 本题主要考查椭圆标准方程,简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,圆的简单性 质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想. 20. (14 分)已知数列{an}满足 an+1+an=4n+3. (1)若数列{an}是等差数列,求 a1 的值; (2)当 a1=2 时,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (3)若对任意 n∈N ,都有
*

≥4 成立,求 a1 的取值范围.
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考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)a3﹣a1=4,运用等差数列求解:2d=4,d=2,运用 2a1+d=7,求出 a1 即可. (2)得出 an+2﹣an=4,可判断奇数项和偶数项,分别构成等差数列,公差为 4,首项分别为 2, 5. 当 n 为偶数时,S=(a1+a2)+a3+a4+?+an﹣1+an 当 n 是奇数时,S=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+?+(an﹣1+an) 运用整体求解即可. 2 2 (3)当 n 为奇数时,an=a1+2n﹣2,an+1=2n+5﹣a1,得出 2a1 ﹣14a1≥﹣8n +4n﹣17,构造函数 最值求解, 2 2 当 n 为偶数时,an=2n+3﹣a1,an+1=2n+a1,得出 2a1 ﹣6a1≥﹣8n +4n+3,构造函数最值求解, 解答: 解: (1)∵an+1+an=4n+3. ∴a2+a1=7,a3+a2=11, ∴a3﹣a1=4, ∵数列{an}是等差数列, ∴2d=4,d=2, ∴2a1+d=7,a1= .

(2)当 a1=2 时,an+1+an=4n+3.an+2+an+1=4(n+1)+3=4n+7, ∴an+2﹣an=4,a2+a1=7,a2=5,a3=6, ∴可判断奇数项和偶数项,分别构成等差数列,公差为 4,首项分别为 2,5. ∴数列{an}的前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+a4+?+an﹣1+an, ∵an+1+an=4n+3. ∴当 n 为偶数时,S=(a1+a2)+a3+a4+?+an﹣1+an =7+15+23+?+(4n﹣1)= =n
2



当 n 是奇数时,S=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+?+(an﹣1+an) =2+11+19+27+?+(4n﹣1)=2+ =n + n﹣ . (3)∵判断奇数项和偶数项,分别构成等差数列,公差为 4,首项分别为 2,5. ∴当 n 为奇数时,an=a1+2n﹣2,an+1=2n+5﹣a1, ∵
2 2

×(11+4n﹣1)=

≥4,
2

∴2a1 ﹣14a1≥﹣8n +4n﹣17, 2 令 f(n)=﹣8n +4n﹣17, f(n)最大值=f(1)=﹣21 2 ∴2a1 ﹣14a1+21≥0

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴a1≥ 或 a1≤ ,

当 n 为偶数时,an=2n+3﹣a1,an+1=2n+a1, ∵
2

≥4,
2

∴2a1 ﹣6a1≥﹣8n +4n+3, 2 令 g(n)=﹣8n +4n+3 ∴g(n)最大值=g(2)=﹣21, 2 ∴2a1 ﹣6a1+21≥0, △=36﹣168<0, ∴a1∈R, 综上:对任意 n∈N ,都有
*

≥4 成立,a1 的取值范围为:a1≥

或 a1≤



点评: 本题综合考察数列与函数,等式,知识的结合,分类思想的运用,整体思想的运用, 属于难题.

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