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【广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之立体几何专题复习(一) ]


立体几何专题复习(一)
1.如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD ,AB=4,BC=CD=2, E 1 、F 分别是棱 AD 、AA 1 、AB 的中点. (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值. 解析:解法一: (1)在直四棱柱 ABCD

-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1 B1 的中点 F1 , 连接 A1 D ,C1 F1 ,CF1 ,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD , // 所以 CD= A1 F1 ,A1 F1 CD 为平行四边形,所以 CF1 //A1 D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1 //A1 D, E1 所以 CF1 //EE1 ,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 , A 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . (2)因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1 ⊥平面 ABCD , 所以 CC1 ⊥BO,所以 OB⊥平面 CC1 F, 过 O 在平面 CC1 F 内作 OP⊥C1 F,垂足为 P,连接 BP,则∠ OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一个 平面角, 在△BCF 为正三角形中, OB ? 3 , 在 Rt△CC1 F 中, △OPF∽△CC1 F, ∵ E F D A1 D1 F1 P O B C1 B1 AA 1 =2, E、 A1 D1 C1 B1 D E A F B

E1

C

C

OP OF ? CC1 C1 F

∴ OP ?

1 2 ?2
2 2

?2 ?

2 , 2

w .w .w .k . s . 5 . u . c . o . m

2 1 14 OP 7 ?3 ? ? 2 ? 在 Rt△OPF 中, BP ? OP ? OB ? , cos ?OPB ? , 2 2 BP 7 14 2
2 2

所以二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为

7 . 7

2.如图,已知四棱锥 P-ABCD ,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD , ?ABC ? 60? , E,F 分别是 BC, PC 的中点. (1)证明:AE⊥PD; (2)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 的余弦值.

6 ,求二面角 E—AF—C 2

8 、如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形

ABCD 是 矩 形 , E 、 F 分 别 是 AB 、 PD 的 中 点 . 若 P A? A D ? 3 , CD ? 6 .
(Ⅰ)求证: AF // 平面 PCE ; (Ⅱ) 求点 F 到平面 PCE 的距离; (Ⅲ)求直线 FC 平面 PCE 所成角的正弦值. 8、解法一: (I )取 PC 的中点 G,连结 EG,FG,又由 F 为 PD 中点,

1 CD . …2 分 2 1 又由已知有 AE // CD,? FG // AE . = = 2 ∴四边形 AEGF 是平行四边形. ? AF // EG . …4 分
则 F G //

又AF

平面 PCE,EG ? 平面PCE. ? AF // 平面PCE …………5 分

(II )? PA ? 平面ABCD,

? 平面PAD ? 平面ABCD. 由ABCD是矩形有CD ? AD. ? CD ? 平面PAD. ? AF ? CD 又PA ? AD ? 3, F是PD的中点, ? AF ? PD. ? PD ? CD ? D, ? AF ? 平面PCD. 由EG // AF ,

? EG ? 平面PCD. ?平面PCD内, 过F作FH ? PC于H , 由于平面PCD ? 平面PCE ? PC, 则FH的长就是点F到平面PCE的距离.
…………3 分

由已知可得

P D ? 3 2 , PF ?

3 2 , PC ? 2 6 . 2

由于CD ? 平面PAD, ? ?CPD ? 30?. 1 3 ? FH ? PF ? 2. 2 4
? 点F到平面 PCE 的距离为 3 2. 4
…………5 分

. (III )由(II )知 ?FCH为直线FC与平面PCE所成的角

在Rt?CDF中, CD ? 6 , FD ? ? FC ? CD 2 ? FD 2 ? ? sin FCH ? FH 21 ? FC 14 42 . 2

3 2, 2

?直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值为
解法二:如图建立空间直角坐标系 A ? xyz

21 . 14

…………4 分

(II )设平面 PCE 的法向量为 n ? ( x, y, z ), EP ? (?

6 6 ,0,3), EC ? ( ,3,0). 2 2

? ?n ? EP ? 0, ? ? ?n ? EC ? 0.

? 6 x ? 3 z ? 0, ?? ? 2 即? ? 6 x ? 3 y ? 0. ? 2 ?

取y ? ?1, 得n ? ( 6, ? 1,1).
3 3 又 PF ? (0, ,? ), 2 2 故点F到平面PCE的距离为

d?

PF ? n |n|

?

|?

3 3 ? | 2 2 ? 3 2. 4 2 2

…………5 分

(III ) FC ? ( 6 ,

3 3 ,? ), 2 2

| cos ? FC,n ?|?

| FC ? n | | FC | ? | n |

?

3 21 2 ?2 2

?

21 . ………2 分 14

?直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值为

21 . 14

…………4 分

教师寄语:苦尽甘来,十年寒窗苦读效三皇五帝逐群雄; 师生同喜,一朝金榜题名成八斗奇才傲天下。
0 1、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC, ?BCA ? 90 ,

AP=AC, 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 BC//平面 ADE (Ⅰ)求证:DE⊥平面 PAC ; (Ⅱ)当二面角 A ? DE ? P 为直二面角时,求多面体 ABCED 与 PAED 的体积比。 17 解: (Ⅰ)? BC//平面 ADE, BC ? 平面 PBC, 平面 PBC ? 平面 ADE=DE
ks5u

? BC//ED
∵PA⊥底面 ABC,BC ? 底面 ABC ∴PA⊥BC. 又 ?BCA ? 90 ,∴AC⊥BC. ∵PA ? AC=A, ∴BC⊥平面 PAC. ∴DE⊥平面 PAC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, DE⊥平面 PAC,
?

…………2 分 ks5u ………3 分

…………5 分 …………6 分

又∵AE ? 平面 PAC,PE ? 平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A ? DE ? P 的平面角, ∴ ?AEP ? 90 ,即 AE⊥PC,
?

…………8 分 …………9 分

∵AP=AC, ∴E 是 PC 的中点,ED 是 ? PBC 的中位线。………10 分

?

V A? BCED S BCED 3 ? ? V A? PDE S PED 1

………12 分


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