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高中数学试题及答案


高中数学试题 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1、已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} 数为

, B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A}

;,则 B 中所含元素的个 ( )

( A) 3

(B) 6

(C ) ?

( D) ??

2、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的 视力情况有较大差异,而男女生视力 情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 3、设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论 中正确的是 (A) f ( x) g ( x) 是偶函数 (C) | f ( x) | g ( x) 是奇函数 ( (B) f ( x) | g ( x) | 是奇函数 (D) | f ( x) g ( x) | 是奇函数 )

4、直线 L 过点 P(-1,2),且与以 A(-2,-3),B(4,0)为端点的线段相交,则 L 的斜率的 取值范围是 ( )

? 2 ? A.?- ,5? ? 5 ?
2? ? C.?-∞,- ?∪[5,+∞) 5? ?

? 2 ? B.?- ,0?∪(0,5] ? 5 ? ? 2 π ? ?π ? D.?- , ?∪? ,5? ? 5 2? ?2 ?

a , a ,..., an ,输出 A, B ,则 5、如果执行右边的程序框图,输入正整数 N ( N ? 2) 和实数 1 2
( )

( A) A ? B 为 a1 , a2 ,..., an 的和
A? B ( B ) 2 为 a1 , a2 ,..., an 的算术平均数

(C ) A 和 B 分别是 a1 , a2 ,..., an 中最大的数和最小的数 ( D) A 和 B 分别是 a1 , a2 ,..., an 中最小的数和最大的数
6、设等差数列 则 m? A.3

?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 ,
( ) C.5 D.6

B.4

1

7.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4=0 交于 M,N 两点,且 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,则实 数 k+m= ( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ) A. 16 ? 8? C. 16 ? 16? B. 8 ? 8? D. 8 ? 16?

(第 8 题)

(第 9 题)

9、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将 一个球放在容器口, 再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体 积为 ( )

500? cm3 A. 3

866? cm3 3 B.

1372? cm3 3 C.

D.

2048? cm3 3

10、如图的矩形长为 5、宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆 数为 138 颗,则我们可以估计出阴影部分的面积为( )

23 A. 5

23 B. 50

C. 10

D.不能估计

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? f ( x ) ? ?ln( x ? 1), x ? 0 ,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是( 11、已知函数
A. (??, 0] B. (??,1] C. [?2,1] D. [?2, 0]



12、阅读下列一段材料,然后解答问题:对于任意实数 x,符号[x]表示“不超过 x 的最大 整数” ,在数轴上,当 x 是整数,[x]就是 x,当 x 不是整数时,[x]是点 x 左侧的第一个整 数点,这个函数叫做“取整函数” ,也叫高斯(Gauss)函数如[-2]=-2,[-1.5]=- 2,[2.5]=2,



[ log 2
A、0

1 1 ] ? [ log 2 ]+[ log 2 1]+[ log 2 3]+[ log 2 4] 4 3 的值为
B、-2 C、-1 D、l
2

(

)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分。 (13)已知向量 a, b 夹角为 45 ,且
?

a ? 1, 2a ? b ? 10

;则

b ? _____

(14) 设

x, y 满足约束条件:

? x, y ? 0 ? ? x ? y ? ?1 ? x? y ?3 ?

;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为

(15)已知 A , B , C 为圆 O 上的三点,若 ___________.

AO ?

1 ( AB ? AC ) 2 ,则 AB 与 AC 的夹角为

(16)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 三个内角 A , B , C 的对边,

(2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C , 且a ? 2, 则 ?ABC 面积的最大值为_____________.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 8 分)高一军训时,某同学射击一次,命中 10 环,9 环,8 环的概率分 别为 0.13,0.28,0.31. (1)求射击一次,命中 10 环或 9 环的概率; (2)求射击一次,至少命中 8 环的概率; (3)求射击一次,命中环数小于 9 环的概率.

3

18、 (本小题满分 8 分)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边,

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0
(1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。

4

19、 (本小题满分 8 分) 已知数列 其中 ? 为常数. (Ⅰ)证明:

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,a1 ? 1 ,an ? 0 ,anan?1 ? ?Sn ?1,

an?2 ? an ? ? ;

(Ⅱ)是否存在 ? ,使得

?an ? 为等差数列?并说明理由.

5

20、 (本小题满分 8 分)定义在实数集 R 上的函数 y= f(x)是偶函数,当 x≥0 时,

( f x) ? ?4x2 ? 8x ? 3 .
(Ⅰ)求 f(x)在 R 上的表达式; (Ⅱ)求 y=f(x)的最大值,并写出 f(x)在 R 上的单调递增区间(不必证明).

6

21、 (本小题满分 10 分)已知圆 C 的圆心在直线 y=x+1 上,且过点 A(1,3)与直线 x+2y-7=0 相切. (1)求圆 C 的方程. (2)设直线 l:ax-y-2=0(a>0)与圆 C 相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围.

7

22、 (本小题满分 10 分)已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD, ∠ADB=60°,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1). AC AD (Ⅰ)求证:不论λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; A (Ⅱ)当λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD?
E C B F D

8

答案 一、选择题:DCBCC 二.填空题:13. 17. 解

CBAAA

DC 14.

3 2

[?3,3]

15.

90 ?

16.

3

设事件“射击一次, 命中 i 环”为事件 Ai(0≤i≤10, 且 i∈N), 且 Ai 两两互斥. 由

题意知 P(A10)=0.13,P(A9)=0.28,P(A8)=0.31. (1)记“射击一次, 命中 10 环或 9 环”的事件为 A, 那么 P(A)=P(A10)+P(A9)=0.13+0.28 =0.41. (2)记“射击一次,至少命中 8 环”的事件为 B,那么 P(B)=P(A10)+P(A9)+P(A8)=0.13+ 0.28+0.31=0.72. (3)记“射击一次, 命中环 数小于 9 环”的事件为 C, 则 C 与 A 是对立事件, ∴P(C)=1-P(A) =1-0.41=0.59 . 18.(1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
1 S ? bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2 (2)

1 2

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
解得: b ? c ? 2 19.解: (Ⅰ)由题设, 两式相减得 由于

an an?1 ? ? Sn ?1, an?1an?2 ? ? Sn?1 ?1 .

an?1 (an?2 ? an ) ? ?an?1 .

an?1 ? 0 ,所以 an?1 ? an ? ? . a3 ? ? ? 1 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 令 故

2a2 ? a1 ? a3 ,解得 ? ? 4 . an?2 ? an ? 4 ,由此可得

?a2n?1? 是首项为1 ,公差为 4 的等差数列, a2n?1 ? 4n ? 3 ;
9

?a2n ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列, a2n ? 4n ?1 .
所以

an ? 2n ? 1, an?1 ? an ? 2 .

?a ? 因此存在 ? ? 4 ,使得 n 为等差数列.
20.解: (Ⅰ)设 x<0,则- x>0,

f (? x) ? ?4(? x)2 ? 8(? x) ? 3 ? ?4x2 ? 8x ? 3
∵f(x)是偶函数, ∴x<0 时, f ( x) ? ?4x ? 8x ? 3
2
2 ? ?? 4 x ? 8 x ? 3, ( x ? 0) f ( x) ? ? 2 ? ?? 4 x ? 8 x ? 3, ( x ? 0) ∴ (2)f(x)=-4x2-8x-3=-4(x-1)2+1 f(x)最大值是 1 f(x)单调增区间为(-∞,-1) , (0,1)

∴f(-x)=f(x)

21.【解析】(1)设圆心坐标为(a,a+1),则由题意得, = 解得:a=0,所以圆心坐标为(0,1),半径 r= , = ,所以圆 C 的方程为 x2+(y-1)2=5.

(2)把直线 ax-y-2=0,即 y=ax-2 代入圆的方程,消去 y 整理,得(a2 +1)x2-6ax+4=0.由于直线 ax-y -2=0 交圆 C 于 A,B 两点, 故Δ =3 6a2-16(a2+1)>0. 即 5a2-4>0,由于 a>0,解得 a> .

所以实数 a 的取值范围是( ,+∞). 22、证明: (Ⅰ)∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD, ∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B, ∴CD⊥平面 ABC. 又? AE ? AF ? ? (0 ? ? ? 1), AC AD ∴不论λ 为何值 ,恒有 EF∥CD,∴EF⊥平面 ABC,EF ? 平面 BEF, ∴不论λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面 BEF⊥平面 ACD, ∴BE⊥平面 ACD,∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, ∴ BD ?

2, AB ? 2 tan60? ? 6,
7 AC 7

2 ? AC ? AB2 ? BC 2 ? 7 , 由 AB =AE·AC 得 AE ? 6 ,? ? ? AE ? 6 ,

故当 ? ?

6 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7
10

11


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