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初中数学知识体系


人教版初中数学知识体系
第一章 有理数
1.1 正数和负数 正数:大于零的数叫做正数。 负数:在正数前面加上负号的数叫做负数。 0 既不是正数也不是负数 正、负数表示两种相反意义的量 (1)相反意义的量是成对出现的,单独的一个量不能成为相反意义 的量。 (2)具有相反意义的量必须是同类量 (3)用正、负数表示相反意义的量时一定要说明数量和单位 (4)0 不再仅仅表示没有,在不同的实际问题中,它具有不同的意 义。 1.2 有理数 1.2.1 一、有理数的有关概念 (1)整数的概念:正整数,0 负整数统称为整数。 (2)分数的概念:正分数、负分数统称为分数。 (3)有理数的概念:整数和分数统称为有理数。 特别注意: (1)有限小数与无限小数都可以化为分数。 (2)无限不循环小数不能化为分数, 所以既不是分数也不是有理数。

(3)有时为了需要,整数可以看成分母是 1 的分数,这时的分数包 括整数。 (4)分数都可以表示成 n/m 的形式。 二、有理数的分类 1、按整数与分数的关系分类。 2、按正数、负数与 0 的关系分类 注意: (1)在进行数的分类时,先确定分类标准,分类的标准不同,其结 果不同,注意做到不重复,不遗漏。 (2)不管是哪种分类,有理数最终都分为正整数、0、负整数、正分 数、负分数五类。 (3)正有理数与正数的区别:正有理数均为正数,但正数不一定都 为正有理数。 三、数集 1、概念:把一些数放在一起,就叫做数集如:所有正整数组成正整 数集合;所有负整数组成负整数集合;所有有理数组成有理数集合。 2、数集的两种表示形式。 一种用圆圈表示,一种用大括号表示。 (1)在圆圈所表示的数集中填数时,数与数之间适当分开,可以不 加标点符号,也可以加。 (2)在用大括号表示数集中填数字时, 数与数之间必须用逗号隔开。 (3)因为数集中填入的只是几个符合条件的数,只是一部分,所以

通常加省略号。 1.2.2 数轴 一、数轴 概念:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 注意: (1) 、数轴有三要素——原点、正方向和单位长度,数轴的三 要素缺一不可,只具备其中两个要素或者一个要素的直线不是数轴。 (2)、数轴是一条直线,可以向两端无线延伸。 (3)一般取向右微正方向,数轴的原点的选定,正方向的取向,单 位长度大小的确定,都是根据实际需要规定的,单位长度根据具体情 况可长可短,但同一数轴的单位长度必须一致。 二、数轴的画法 1、画一条直线 2、在直线的适当位置选取一点为原点 3、确定正方向 4、选取适当的长度为单位长度 三、有理数和数轴上的点的关系 (1)正有理数可以用数轴上原点右边的点表示。 (2)负有理数可以用数轴上原点右边的点表示。 (3)0 用原点表示。 (4)原点左边的点表示负数,右边的点表示正数。 注意: (1)所有的有理数都可以用数轴上的点表示,不能说数轴上的 所有的点都表示有理数。

(2)分数也可以用数轴上的点表示。 1.2.3 相反数 一、相反数的概念 像 3 与-3,-0.桉树 5 和 5 这样只有符号不同的两个数, 我们说其中 一个数是另一个数的相反数;0 的相反数是 0. (1)相反数是成对出现的,单独的一个数不能说是相反数。 (2)只有 0 的相反数是它本身,除 0 外互为相反数的两个数都是一 正一负。 二、相反数的意义 任何一个数都有相反数,而且只有一个相反数,正数的相反数一定 是负数;负数的相反数一定是正数;0 的相反数仍是 0. 几何意义: 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距 离相等且位于原点的两侧;反之,位于原点两侧且到原点距离相等的 点所表示的两个数互为相反数。 代数意义:两个数除了符号不同外其余都相同。 三、相反数的表示方法 根据相反数的意义,只改变原数的符号即可得到原数的相反数,就 是说只要在原数前面加“-”号。 1.2.4 绝对值 一、绝对值的概念 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值,记作|a|.读 作 a 的绝对值。

(1)一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点与原点的距离, 由于距离总是正数或 0,所以一个数的绝对值是正数或零,即是一个 非负数,这是绝对值的一个重要性质——非负性。 (2)在数轴上,表示这个数的点离原点的距离越远,绝对值越大; 反之离原点距离越近,绝对值越小。 (3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的。 二、绝对值的求法 (1)在数轴上找到表示这个数 a 的点,这个点与原点的距离就是这 个数 a 的绝对值。 (2)一个正数在数轴上对应的点与原点的距离恰好等于这个数的本 身,所以一个整数的绝对值是它本身。 (3)一个负数在数轴上对应的点与原点的距离是这个数的相反数, 所以一个负数的绝对值是它的相反数。 (4)表示 0 的点就是原点,原点与原点的距离是 0。 (5)对于字母或者代数式来说,必须先了解其说对应的符号,如果 不能确定符号,则应该分类讨论。 三、绝对值的性质 (1)、任何数都有绝对值,且只有一个,并且任何数的绝对值都是 非负数。 (2)绝对值是它本身的数是非负数,绝对值是它相反数的数是非正 数。0 是绝对值最小的数。 (3)绝对值是正数的有两个,它们互为相反数。

(4)互为相反数的两个数绝对值相等;反之绝对值相等的两个数可 能相等,也可能互为相反数。 四、有理数的比较大小 (1)、利用数轴比较有理数的大小:在数轴上表示有理数,它们从 左到右的顺序就是从小到大的顺序。 (2)、利用数的性质比较异号两数及与 0 的大小:正数大于 0,0 大 于负数,正数大于一切负数。 (3)、利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数,绝对值大的小。 1.3.1 有理数的加法 一、有理数的加法 把两个有理数合并成为一个有理数的运算,叫做有理数的加法。 二、有理数加法法则 (1) 、同号两数相加:同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相 加。 (2) 、异号两数相加:绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大 的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的 两个数相加得 0. (3) 、一个数同 0 相加:一个数同 0 相加,仍得这个数。 (4) 、有理数的加法运算律:a、加法交换律,b、加法结合律 1.3.2 有理数的减法 一、有理数的减法法则 (1)、把减法转化成加法再计算。

(2)、注意符号的变化。 (3)、减法没有交换律。 (4)、0 减去任何数得这个数的相反数。 二、有理数加减混合运算 (1) 、运用减法法则将有理数混合运算中的减法化为加法。 (2) 、运用加法法则等进行运算。 1.4.1 有理数的乘法 一、有理数的乘法法则 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数和 0 相 乘,都得 0. 二、倒数的概念。 乘积为 1 的两个数互为倒数,其中一个数叫另一个的倒数。 (1)、倒数是它本身的数只有 1 和-1。 (2)、0 没有倒数。 (3)、倒数是相互的。 三、多个有理数的乘方 (1)、几个不为 0 的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数; 负因数个数是奇数时,积是负数,积的绝对值是各因数绝对值的积。 (2)几个数相乘,如果其中有一个因数为 0,积等于 0;反之,若几 个数的积为 0,则至少有一个因数为 0. 四、有理数的乘法运算律 (1)、乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变。

(2)、乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后 两个数相乘,积相等。 (3)乘法分配律:一个数同的和相等,等于把这个数分别同这两个 数相乘,再把积相加。 1.4.2 有理数的除法 一、有理数除法法则。 (1)、除以一个不为 0 的数等于乘以这个数的倒数。 (2)、两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。 二、有理数的乘除混合运算。 有理数的除法可以转化成为乘法, 所以有理数的乘除混合运算可以 统一成为乘法运算,步骤为: (1)、将所有的除法为乘法。 (2)、确定积的符号。 (3)、运用乘法运算律,简化运算,求出最后结果。 三、有理数的加减乘除混合运算。 (1)、必须按运算顺序进行运算。 (2)、混合运算中,分配律既可正用,也可逆用。 1.5.1 乘方 一、有理数乘方的意义。 求 N 个相同因数的积的运算叫做有理数的乘方,乘方的结果叫做 幂。在 a 的 n 次方中,a 叫做底数,n 叫做指数。 二、有理数乘方的运算及符号法则

乘方的符号法则: (1)、负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。 (2)、正数的任何次幂都是正数,0 的人物非 0 次幂都是 0. (3)、乘方的运算要理解乘方底数和指数的意义。 三、有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序: (1)、先乘方,再乘除,最后加减。 (2)、同级运算,从左到右进行。 (3)、如有括号,先算括号内的运算,按照小括号,中括号,大括 号一次进行。 (4)、乘方次数打时,可借助计算器进行计算。 1.5.2 科学记数法 一、科学记数法的意义 把一个大于10的数表示成 a?10^n 的形式(其中 a 是整数数位只 有一位的数,a 是正整数) ,像这样的记数法叫做科学记数法。其中1 ≤a<10. 二、把科学记数法形式的数转化成为原数 (1)、把科学记数法 a?10^n 中的指数加上1就得到原数的整数位 数,从而确定原数。 (2)、科学记数法 a?10^n 中的 n 是多少,就把 a 中的小数点向右 移动多少位,不够的添0,。 1.5.3 近似数

一、准确数和近似数 (1)、准确数是生活中可以用自然数表示的人物或物体的个数等。 (2)、在实际问题中有的量不可能或者没有必要用准确数表示,而 用有理数近似的表示出来,这个数就是这个量的近似数。 二、有效数字 一个近似数,从左边第一个非0数字起到末位数字为止,所有的数字 都是这个数的有效数字。 三、近似数精确度的表示 精确度是精确程度,有两种形式:一是精确到那一位,二是保留几 个有效数字。 第二章 整式 第二章 整式的加减 一.知识框架

二.知识概念 1.单项式:在代数式中,若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含 有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式. 2.单项式的系数与次数:单项式中不为零的数字因数,叫单项式的 数字系数,简称单项式的系数;系数不为零时,单项式中所有字母指 数的和,叫单项式的次数.

3.多项式:几个单项式的和叫多项式. 4.多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的 项数,每个单项式叫多项式的项;多项式里,次数最高项的次数叫多 项式的次数。

第三章 一元一次方程 一. 知识框架

二.知识概念 1.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数 是 1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次 方程. 2.一元一次方程的标准形式: ax+b=0(x 是未知数,a、b 是已知数,且 a≠0). 3.一元一次方程解法的一般步骤: 整理方程 ?? 去分 母 ?? 去括号 ?? 移项 ?? 合并同类项 ?? 系数 化为 1 ?? (检验方程的解). 4.列一元一次方程解应用题:

(1)读题分析法:???? 多用于“和,差,倍,分问题” 仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如: “大,小, 多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----” , 利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最 后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程. (2)画图分析法: ???? 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔 细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的 含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布 列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看 做已知量) ,填入有关的代数式是获得方程的基础. 11.列方程解应用题的常用公式: (1) 行程问题: 距离=速度? 时间 (2)工程问题:
工时 ? 工作量 工效 速度 ? 距离 时间 时间 ? 距离 速度



工作量=工效?工时

工效 ?

工作量 工时


比率 ? 部分 全体 全体 ? 部分 ; 比率

(3) 比率问题: 部分=全体? 比率 (4)顺逆流问题:

顺流速度=静水速度+水流速度,逆流

速度=静水速度-水流速度; (5)商品价格问题: 成本,
利润率 ?

售价=定价?折?

1 10

,利润=售价-

售价 ? 成本 ? 100% ; 成本
2

(6) 周长、 面积、 体积问题: 圆=2πR, 圆=πR , 长方形=2(a+b), C S C S 长方形=ab, C 正方形=4a,

S 正方形=a , 环形=π(R -r ),V 长方体=abc , 正方体=a , 圆柱=πR h , S V V V 圆锥= 1 πR h.
3
2

2

2

2

3

2

第四章 图形的认识初步 知识框架

第五章 相交线与平行线 一、知识结构图 相交线 相交线 垂线 同位角、内错角、同旁内角 平行线 平行线及其判定 平行线的判定 平行线的性质

平行线的性质 命题、定理 平移 二、知识定义 邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共 边的两个角是邻补角。 对顶角:一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线,像这样 的两个角互为对顶角。 垂线:两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条 的垂线。 平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 同位角、内错角、同旁内角: 同位角: 与∠5 像这样具有相同位置关系的一对角叫 ∠1 做同位角。 内错角:∠2 与∠6 像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角:∠2 与∠5 像这样的一对角叫做同旁内角。 命题:判断一件事情的语句叫命题。 平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这 种移动叫做平移平移变换,简称平移。 对应点:平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移 动后得到的,这样的两个点叫做对应点。

三、定理与性质 对顶角的性质:对顶角相等。

垂线的性质: 性质 1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。 平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直 线也互相平行。 平行线的性质: 性质 1:两直线平行,同位角相等。 性质 2:两直线平行,内错角相等。 性质 3:两直线平行,同旁内角互补。 平行线的判定: 判定 1:同位角相等,两直线平行。 判定 2:内错角相等,两直线平行。 判定 3:同旁内角相等,两直线平行。

第六章 实数 算术平方根:一般地,如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么 正数 x 叫做 a 的算术平方根,记作 a 。0 的算术平方 根为 0;从定义可知,只有当 a≥0 时,a 才有算术平方 根。 平方根:一般地,如果一个数 x 的平方根等于 a,即 x2=a,那么数 x 就叫做 a 的平方根。 正数有两个平方根 (一正一负)它们互为相反数;0 只有一个平方根,

就是它本身;负数没有平方根。
? ? 自然数(0, 1, 2, 3?) 数的立方根是正数;0 的立方 ? 整数? ? 负整数(?1, ? 2, ? 3?) ? ? ? ? 1 2 ? 根 ? 有理数? (整数、 有限小数、 无限循环小数) ? 正分数( 2 , 3 ?) ? ?分数(小数)? ? 实数? 1 2 ? ?负分数(? , ? ?) 是 0;负数的立方根是负数。 ? ? 2 3 ? ? ? 数 ? a 的相反数是-a,一个 ? 无理数 ?正有理数 (无限不循环小数 ) ? ? ? ?负有理数 正 实数的绝对值是它本身,

正 ?

一个负数的绝对值是它的相反数,0 的绝对值是 0
a ? b ? ab?a ? 0, b ? 0? a a ? (a ? 0, b ? 0) b b

第七章 一、知识结构图

平面直角坐标系

有序数对 平面直角坐标系 平面直角坐标系

用坐标表示地理位置 坐标方法的简单应用 用坐标表示平移 二、知识定义 有序数对:有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对叫做有序数对,记做 (a,b) 平面直角坐标系:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成 平面直角坐标系。

横轴、纵轴、原点:水平的数轴称为 x 轴或横轴;竖直的数轴称为 y 轴或纵轴;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 坐标:对于平面内任一点 P,过 P 分别向 x 轴,y 轴作垂线,垂足分 别在 x 轴,y 轴上,对应的数 a,b 分别叫点 P 的横坐标和纵坐标。 象限:两条坐标轴把平面分成四个部分,右上部分叫第一象限,按逆 时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在 任何一个象限内。

第八章

二元一次方程组

一、知识结构图 实际问题 设未知数,列方程

数学问题 (二元或三元一次方程)



代入法
数学问题的解 (二元或三元一次方程组的解)

实际问题的答案
二、知识定义

二元一次方程:含有两个未知数,并且未知数的指数都是 1,像这样 的方程叫做二元一次方程,一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。 二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元 一次方程组。 二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的未知数 的值叫做二元一次方程组的解。

二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解 叫做二元一次方程组。 消元:将未知数的个数由多化少,逐一解决的想法,叫做消元思想。 代入消元:将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来,再代 入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种 方法叫做代入消元法,简称代入法。 加减消元法:当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个 方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,这种方法叫做加 减消元法,简称加减法。 第九章 一、知识结构图 不等式与不等式组

实际问题 (包含不等关系)

设未知数,列不等式(组)

数学问题 (一元一次不等式(组))

解 不 等 式 组 检验

实际问题的答案

数学问题的解 (不等式(组)的解决)

二、知识定义

不等式:一般地,用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系 的式子叫做不等式。 不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。 不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式 的解集。 一元一次不等式:不等式的左、右两边都是整式,只有一个未知数, 并且未知数的最高次数是 1, 像这样的不等式, 叫做一元一次不等式。 一元一次不等式组:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式 合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。 一元一次不等式组的解集: 一元一次不等式组中各个不等式的解集的 公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。 三、定理与性质 不等式的性质: 不等式的基本性质 1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或 式子),不等号的方向不变。 不等式的基本性质 2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数, 不等号的方向不变。 不等式的基本性质 3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数, 不等号的方向改变 第十章 一、知识结构图 数据的收集、整理与描述

全面调查
二、知识定义

收 集 数 据

整 理 数 据

描 述 数 据

分 析 数 据

得 出 结 论

全面调查:考察全体对象的调查方式叫做全面调查。

抽样调查

抽样调查:调查部分数据,根据部分来估计总体的调查方式称为抽样 调查。 总体:要考察的全体对象称为总体。 个体:组成总体的每一个考察对象称为个体。 样本:被抽取的所有个体组成一个样本。 样本容量:样本中个体的数目称为样本容量。 频数:一般地,我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 频率:频数与数据总数的比为频率。 组数和组距:在统计数据时,把数据按照一定的范围分成若干各组, 分成组的个数称为组数,每一组两个端点的差叫做组距。 第十一章 三角形 一、知识结构图 边 与三角形有关的线段 高 中线 角平分线 三角形的内角和 三角形的外角和 多边形的内角和 多边形的外角和

二、知识定义 三角形: 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫 做三角形。 三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三 边。

高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间 的线段叫做三角形的高。 中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形 的中线。 角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角 的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形的稳定性:三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫三角 形的稳定性。 多边形: 在平面内, 由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 多边形的内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 多边形的外角: 多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边 形的外角。 多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形 的对角线。 正多边形:在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正 多边形。 平面镶嵌:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫 做用多边形覆盖平面。 三、公式与性质 三角形的内角和:三角形的内角和为 180° 三角形外角的性质: 性质 1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质 2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式:n 边形的内角和等于(n-2) ?180°

多边形的外角和:多边形的内角和为 360°。 多边形对角线的条数: (1)从 n 边形的一个顶点出发可以引(n-3) 条对角线,把多边形分词(n-2)个三角形。n 边形共有 线。 第十二章 全等三角形 1. 2. 全等三角形的性质:全等三角形对应边相等、对应角相等。 全等三角形的判定:三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等
n(n - 3) 条对角 2

(SAS) 、两角和它们的夹边(ASA) 、两角和其中一角的对边对应 相等(AAS) 、斜边和直角边相等的两直角三角形(HL) 。 3. 角平分线的性质:角平分线平分这个角,角平分线上的点到角

两边的距离相等 4. 角平分线推论: 角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平

分线上。 5. 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法

步骤:①、确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、 对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关 系) ,②、回顾三角形判定,搞清我们还需要什么,③、正确地书 写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 第十三章 轴对称 1.如果一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合, 那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。 2.轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3.角平分线上的点到角两边距离相等。 4.线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 5.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 6.轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤:找到关键点,画出 关键点的对应点,按照原图顺序依次连接各点。 8.点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x,-y) 点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x,y) 点(x,y)关于原点轴对称的点的坐标为(-x,-y) 9.等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等,(等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合, 简称为“三线合一”。 10.等腰三角形的判定:等角对等边。 11.等边三角形的三个内角相等,等于 60°, 12.等边三角形的判定: 三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角 形 有两个角是 60°的三角形是等边三角形。

13.直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
第十四章 一次函数

1.画函数图象的一般步骤:一、列表(一次函数只用列出两个点即

可,其他函数一般需要列出 5 个以上的点,所列点是自变量与其对应 的函数值) ,二、描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标, 相应函数的值为纵坐标,描出表格中的个点,一般画一次函数只用两 点) ,三、连线(依次用平滑曲线连接各点) 。 2.根据题意写出函数解析式:关键找到函数与自变量之间的等量关 系,列出等式,既函数解析式。 3.若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b(k≠0)的形式,则 称 y 是 x 的一次函数(x 为自变量,y 为因变量)。特别地,当 b=0 时, (1) 称 y 是 x 的正比例函数。
?b. ? 0 ? k ? 0? b ? 0 ?b ? 0 ?
(2) (3)

?1? ?2? ?3?

(1) (2) (3)

?b. ? 0 ? k ? 0? b ? 0 ?b ? 0 ?

?1? ?2? ?3?

4.正比列函数一般式:y=kx(k≠0) ,其图象是经过原点(0,0)的一 条直线。 5.正比列函数 y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线,当 k>0 时,直线 y=kx 经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大,当 k<0 时, 直线 y=kx 经过第二、 四象限,y 随 x 的增大而减小, 在一次函数 y=kx+b 中: 小。 6.已知两点坐标求函数解析式(待定系数法求函数解析式) : 把两点带入函数一般式列出方程组 求出待定系数 把待定系数值再带入函数一般式,得到函数解析式 当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大; 当 k<0 时,y 随 x 的增大而减

7.会从函数图象上找到一元一次方程的解(既与 x 轴的交点坐标横 坐标值) ,一元一次不等式的解集,二元一次方程组的解(既两函数 直线交点坐标值) 第十五章 整式的乘除与因式分解

1.同底数幂的乘法 m n m? n ※同底数幂的乘法法则: a ? a ? a (m,n都是正数)是幂的运算中最 基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点: ①法则使用的前提条件是:幂的底数相同而且是相乘时,底数a可以 是一个具体的数字式字母,也可以是一个单项或多项式; ②指数是1时,不要误以为没有指数; ③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆,对乘法,只要底数相 同指数就可以相加;而对于加法,不仅底数相同,还要求指数相同才 能相加; m n p m? n ? p ④当三个或三个以上同底数幂相乘时, 法则可推广为 a ? a ? a ? a (其中m、n、p均为正数); m? n m n ⑤公式还可以逆用: a ? a ? a (m、n均为正整数) 2.幂的乘方与积的乘方 ※1. 幂的乘方法则: (a ) ? a (m,n都是正数)是幂的乘法法则为基 础推导出来的,但两者不能混淆.
m n mn

※2. (a ) ? (a ) ? a (m, n都为正数) . ※3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底, 但可 以利用乘方法则化成同底, 如将(-a)3化成-a3
m n n m mn

? a n (当n为偶数时), 一般地, (?a) n ? ? n ?? a (当n为奇数时).

※4.底数有时形式不同,但可以化成相同。 ※5.要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的,不要误以为(a+b) n =an+bn(a、b均不为零)。 ※6.积的乘方法则:积的乘方,等于把积每一个因式分别乘方,再 把所得的幂相乘,即 (ab) ? a b (n为正整数)。 ※7.幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。 3. 整式的乘法 ※(1). 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分
n n n

别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为

积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点: ①积的系数等于各因式系数积,先确定符号,再计算绝对值。这时容 易出现的错误的是,将系数相乘与指数相加混淆; ②相同字母相乘,运用同底数的乘法法则; ③只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数作为积的一个 因式; ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用; ⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。 ※(2).单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式,是通过乘法对加法的分配律,把它转化为单项式 乘以单项式,即单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每

一项,再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点: ①单项式与多项式相乘,积是一个多项式,其项数与多项式的项数相 同; ②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号; ③在混合运算时,要注意运算顺序。 ※(3) .多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘, 先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式 的每一项,再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点: ①多项式与多项式相乘要防止漏项,检查的方法是:在没有合并 同类项之前,积的项数应等于原两个多项式项数的积; ②多项式相乘的结果应注意合并同类项; ③对含有同一个字母的一次项系数是 1 的两个一次二项式相乘
( x ? a)(x ? b) ? x 2 ? (a ? b) x ? ab ,其二次项系数为 1,一次项系数等于两

个因式中常数项的和,常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项 系数不为 1 的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得
(mx? a)(nx ? b) ? mnx2 ? (mb? ma) x ? ab

4.平方差公式 ¤1.平方差公式:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,
2 2 ※即 (a ? b)(a ? b) ? a ? b 。 ¤其结构特征是:

①公式左边是两个二项式相乘,两个二项式中第一项相同,第二项互 为相反数; ②公式右边是两项的平方差,即相同项的平方与相反项的平方之差。 5.完全平方公式 ¤1. 完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和, 加上(或减去)它们的积的2倍, ¤即 (a ? b) ? a ? 2ab ? b ; ¤口决:首平方,尾平方,2倍乘积在中央; ¤2.结构特征: ①公式左边是二项式的完全平方; ②公式右边共有三项,是二项式中二项的平方和,再加上或减去这两 项乘积的2倍。 ¤3.在运用完全平方公式时,要注意公式右边中间项的符号,
2 2 2

以及避免出现 (a ? b) ? a ? b 这样的错误。 添括号法则:添正不变号,添负各项变号,去括号法则同样 6. 同底数幂的除法 ※1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 a m ? a n ? a m?n (a≠0,m、n都是正数,且m>n). ※2. 在应用时需要注意以下几点: ①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所 以法则中a≠0.
2 2 2

②任何不等于0的数的0次幂等于1,即 a ? 1(a ? 0) ,如 100 ? 1 ,(-2.50=1),则00无意义. ③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的
0

倒数,即 时,a-p的值一定是正的; 当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的, 如 ④运算要注意运算顺序. 7.整式的除法 ¤1.单项式除法单项式
(-2) -2 ? 1 1 ( ?2) ? 3 ? ? 4, 8

a?p ?

1 a p ( a≠0,p是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0

单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于 只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式;
¤2.多项式除以单项式

多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得

的商相加,其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式,
所得商的项数与原多项式的项数相同,另外还要特别注意符号。 8. 分解因式 ※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个 多项式分解因式. ※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系: (1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

分解因式的一般方法:
1. 提公共因式法 ※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式 提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式 的方法叫做提公因式法. 如: ab ? ac ? a(b ? c) ※2. 概念内涵: (1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式; (3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:
ma ? mb? mc ? m(a ? b ? c)

※3. 易错点点评: (1)注意项的符号与幂指数是否搞错;

(2)公因式是否提“干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1, 不漏掉.

2. 运用公式法
※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这 种分解因式的方法叫做运用公式法. ※2. 主要公式: (1)平方差公式: a 2 ? b 2 ? (a ? b)(a ? b) (2)完全平方公式: a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2
a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2

¤3. 易错点点评: 因式分解要分解到底.如 x 4 ? y 4 ? ( x 2 ? y 2 )(x 2 ? y 2 ) 就没有分解到 底. ※4. 运用公式法: (1)平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式; ②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的 平方; ③二项是异号. (2)完全平方公式: ①应是三项式; ②其中两项同号,且各为一整式的平方;

③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的 2 倍.

3. 因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法 来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式 分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能 再分解为止.

4. 分组分解法:
※1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: am ? an ? bm ? bn ? a(m ? n) ? b(m ? n) ? (a ? b)(m ? n) ※2. 概念内涵: 分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因 式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解 因式. ※3. 注意: 分组时要注意符号的变化.

5. 十字相乘法:
※1.对于二次三项式 ax2 ? bx ? c ,将 a 和 c 分别分解成两个因数的乘
a1 c1 c2

积, a ? a1 ? a2 , c ? c1 ? c2 , 且满足 b ? a1c2 ? a2 c1 ,往往写成 的形式,将二次三项式进行分解.

a2

如: ax2 ? bx ? c ? (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ※2. 二次三项式 x2 ? px ? q 的分解:
p ? a?b q ? ab
1 1 a b

x 2 ? px ? q ? ( x ? a)(x ? b)

※3. 规律内涵: (1)理解:把 x2 ? px ? q 分解因式时,如果常数项 q 是正数,那么把 它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数 p 的符号 相同. (2)如果常数项 q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中 绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同,对于分解的 两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数 p. ※4. 易错点点评: (1)十字相乘法在对系数分解时易出错; (2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检 验分解的是否正确.

第十六章 16.1.1 从分数到分式

分式

1.分式的定义:如果 A、B 表示两个整式,并且 B 中含有字母,那么 式子
A A 叫做分式。分式 中,A 是分子,B 是分母。 B B

分式的分母表示除数, 由于除数不能为 0, 所以分式的分母不能为 0, 即当 B≠0 时,分式
A 才有意义。 B

(分式有意义的条件是分母不为零,分式值为零的条件分子为零且

分母不为零) 16.1.2 分式的基本性质 1.分式的基本性质: 分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整 式,分式的值不变。用式子表示如下:
A A?C ? B B?C A A?C ? B B ?C

(C≠0) 其中 A,B,C 是整式

2.分式的约分:利用分式的基本性质。 16.2.1 分式的乘除 1.分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积 作为分母。 分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后, 与被除式相乘。
a c ac a c a d ad ? ? ; ? ? ? ? b d bd b d b c bc

上述法则可以用式子表示:
( )n ? n b b

?a ? 0? a n a

一般地,当 n 为正整数时

这就是说,分式乘方法则: 分式乘方要把分子、分母分别乘方 16.2.2 分式的加减 分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。 异分母的分式相加减,先通分,变为同分母分式,然后再加减。上述 法则可用以下式子表示:

a b a ? b a c ad bc ad ? bc ? ? , ? ? ? ? c c c b d bd bd bd

混合运算:运算顺序和以前一样。 能用运算率简算的可用运算率简算。 16.2.3 整数指数幂 . 任何一个不等于零的数的零次幂等于 1, 即 a 0 ? 1(a ? 0) ;当 n 为正 整数时, a ? n ?
1 an

( a ? 0)

正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n 是整数) (1)同底数的幂的乘法: a m ? a n ? a m? n ; (2)幂的乘方: (a m ) n ? a mn ; (3)积的乘方: (ab) n ? a n b n ; (4)同底数的幂的除法: a m ? a n ? a m?n ( a≠0); (5)商的乘方: ( ) n ? 16.3 分式方程 1. 分式方程定义:含分式,并且分母中含未知数的方程——分式方 程。 解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分 母) ,把分式方程转化为整式方程。 解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为 0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。 解分式方程的步骤 : (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程; (3)解整式方程;(4)验根.
a b an ();(b≠0) bn

增根应满足两个条件:一是其值应使最简公分母为 0,二是其值应 是去分母后所的整式方程的根。 分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分 母的值不为 0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不 是原分式方程的解。 列方程应用题的步骤是什么? (1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5) 答. 应用题有几种类型; 基本公式是什么?基本上有五种: (1)行程问题: 基本公式:路程=速度?时间而行程问题中又分相遇问题、追及问 题. (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法. (3)工 程问题 基本公式:工作量=工时?工效. (4)顺水逆水问题 =v 静水+v 水. v 逆水=v 静水-v 水. v 顺水

8.科学记数法:把一个数表示成 a ?10n 的形式(其中1 ? a ? 10 ,n 是整 数)的记数方法叫做科学记数法. 用科学记数法表示绝对值大于 10 的 n 位整数时, 其中 10 的指数是 n ? 1 用科学记数法表示绝对值小于 1 的正小数时,其中 10 的指数是第一个 非 0 数字前面 0 的个数(包括小数点前面的一个 0)

第十七章
17.1.1 反比例函数的意义

反比例函数

1.定义:形如 y= (k 为常数,k≠0)的函数称为反比例函数。其 他形式 xy=k y ? kx?1 y ? k
1 x

k x

17.1.2 反比例函数的图象和性质 1.图像:反比例函数的图像属于双曲线。 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称 轴:直线 y=x 和 y=-x。对称中心是:原点。 2.性质:当 k>0 时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象 限内 y 值随 x 值的增大而减小; 当 k<0 时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象 限内 y 值随 x 值的增大而增大。 3.|k|的几何意义:表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂 线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 4.反比例函数双曲线,待定只需一个点,正 k 落在一三限,x 增大 y 在减,图象上面任意点,矩形面积都不变,对称轴是角分线 x、y 的 顺序可交换。 1、反比例函数的概念 一般地,函数 y ? (k 是常数,k ? 0)叫做反比例函数。反比例函数 的解析式也可以写成 y ? kx ?1 的形式。自变量 x 的取值范围是 x ? 0 的 一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第
k x

一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数 中自变量 x ? 0,函数 y ? 0,所以,它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点, 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质 反比 k y ? ( k ? 0) 例函 x 数 k 的符 k>0 k<0 号 y y

图像

O

x x

O

性质

①x 的取值范围是 x ? 0, y 的取值范围是 y ? 0; ②当 k>0 时,函数图像的两个分支 分别 在第一、三象限。在每个象限内,y 随 x 的增大而减小。

①x 的取值范围是 x ? 0, y 的取值范围是 y ? 0; ②当 k<0 时, 函数图像的两个分支 分别 在第二、四象限。在每个象限内, y 随 x 的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 y ?
k 中,只 x

有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标, 即可求出 k 的值,从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图,过反比例函数 y ? (k ? 0) 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂 线 PM,PN,则所得的矩形 PMON 的面积 S=PM ? PN= y ? x ? xy 。
?y? k ,? xy ? k , S ? k 。 x
k x

第十八章
18.1 勾股定理

勾股定理

1.勾股定理:命题 1:如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜 边长为 c,那么 a2+b2=c2。 18.2 勾股定理的逆定理 1.勾股定理逆定理:如果三角形三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2。 ,那么 这个三角形是直角三角形。就是说,用三角形全等可以证明勾股定理 的逆命题是正确的,它是一个定理,我们把这个定理叫勾股定理的逆 命题 2.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一 个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 (例:勾股定理与勾股 定理逆定理) 3.直角三角形的性质
1 、直角三 ? CD= AB=BD=A(1) 2 角形的两个锐角互余。可表示如下:∠C=90° ? ∠A+∠B=90°

可表示如下:

(2) 、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下:
1 ? BC= AB 2

∠C=90° (3) 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° D D 为 AB 的中点

4、摄影定理 在直角三角形中, 斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中

项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° CD ? AD ? BD
2

?

AC2 ? AD ? AB
2

CD⊥AB BC ? BD ? AB 5、常用关系式 由三角形面积公式可得:AB ? CD=AC ? BC

6、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形 是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a,b,c 有关系 2 a ? b 2 ? c 2 ,那么这个三角形是直角三角形。 7、命题、定理、证明 1、命题的概念 判断一件事情的语句,叫做命题。 理解:命题的定义包括两层含义: (1)命题必须是个完整的句子; (2)这个句子必须对某件事情做出判断。 2、命题的分类(按正确、错误与否分) 真命题(正确的命题) 命题 假命题(错误的命题) 所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。 所谓错误的命题就是: 如果题设成立, 不能证明结论总是成立的命题。 3、公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。 4、定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 5、证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

6、证明的一般步骤 (1)根据题意,画出图形。 (2)根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。 (3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。 8、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 (1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。 (2)要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一 半。 三角形中位线定理的作用: 位置关系:可以证明两条直线平行。 数量关系:可以证明线段的倍分关系。 常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有: 结论 1: 三条中位线组成一个三角形, 其周长为原三角形周长的一半。 结论 2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论 3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论 4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶 角相等。 9 数学口诀. 平方差公式:平方差公式有两项, 符号相反切记牢, 首加尾乘首减尾, 莫与完全公式相混淆。 完全平方公式:完全平方有三项, 首尾符号是同乡, 首平方、 尾平方, 首尾二倍放中央;首±尾括号带平方,尾项符号随中央。

第十九章
19.1.1 平行四边形的性质

四边形

1.平行四边形定义: 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相 等。平行四边形的对角线互相平分。 19.1.2 平行四边形的判定

3.平行四边形的判定 1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形; 3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
A D

C

三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

19.2.1 矩形 矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的性质: AC=BD 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形判定定理: 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.对角 线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 19.2.2 菱形 菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质:菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并 且每一条对角线平分一组对角。 菱形的判定定理: 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.对角线 互相垂直的平行四边形是菱形。 矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等。

3.四条边相等的四边形是菱形。S 菱形=1/2?ab (a、b 为两条对角线) 19.2.3 正方形 正方形定义:一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。 正方形的性质:四条边都相等,四个角都是直角。 正方形既是矩形, 又是菱形。 正方形判定定理: 1.邻边相等的矩形是正方形。 是直角的菱形是正方形。 2.有一个角

19.3 梯形 梯形的定义: 一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 直角梯形的定义:有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义:两腰相等的梯形。 等腰梯形的性质:等腰梯形同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两 条对角线相等。 等腰梯形判定定理:同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 解梯形问题常用的辅助线:如图

19.4 课题学习 重心 线段的重心就是线段的中点。 平行四边形的重心是它的两条对角线

的交点。 三角形的三条中线交于疑点, 这一点就是三角形的重心。 宽 和长的比是
5 -1 (约为 0.618)的矩形叫做黄金矩形。 2

第二十章
20.1.1 平均数

数据的分析

1.加权平均数:加权平均数的计算公式。 权的理解:反映了某个数 据在整个数据中的重要程度。 学会权没有直接给出数量, 而是以比的或百分比的形式出现及频 数分布表求加权平均数的方法。 20.1.2 中位数和众数 1.中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如 果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数 (median);如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这 组数据的中位数。 2.众 数 :一 组数据 中 出 现次 数最多 的 数 据就 是这组 数 据 的众 数 (mode) 。 20.2.1 极差 4.极差: 一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差 (range)。 20.2.2 方差 1.方差:方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小, 就越稳定。 2. 平均数:平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响,这是一

个优势,中位数的计算很少不受极端值的影响。 20.3 课题学习 体质健康测试中的数据分析 7.数据的收集与整理的步骤: 1.收集数据 2.整理数据 3.描述数据 4. 分析数据 5.撰写调查报告 6.交流

1.解统计学的几个基本概念 总体、个体、样本、样本容量是统计学中特有的规定,准确把握 教材,明确所考查的对象是解决有关总体、个体、样本、样本容量问 题的关键。 2.平均数 当给出的一组数据,都在某一常数 a 上下波动时,一般选用简化 平均数公式 ,其中 a 是取接近于这组数据平均数中比较“整”

的数;?当所给一组数据中有重复多次出现的数据, 常选用加权平均数 公式。 3.众数与中位数 平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数 的大小与每一个数据都有关, 任何一个数的波动都会引起平均数的波 动,当一组数据中有个数据太高或太低,用平均数来描述整体趋势则 不合适,用中位数或众数则较合适。中位数与数据排列有关,个别数 据的波动对中位数没影响;当一组数据中不少数据多次重复出现时, 可用众数来描述。 4.极差

用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的 变化范围,用这种方法得到的差称为极差,极差=最大值-最小值。 5.方差与标准差 用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到的结果表示 一组数据偏离平均值的情况,这个结果叫方差,计算公式是 s2= [(x1- )2+(x2- )2+?+(xn- )2]; 方差是反映一组数据的波动大小的一个量, 其值越大, 波动越大, 也越不稳定或不整齐。 2 平均数、与中位数、众数的区别于联系。联系:平均数、

中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势, 其中以平均数的应用最 为广泛。 区别:A 平均数的大小与这组数据里每个数据均有关 中位数仅与数据的

系,任一数据的变动都会引起平均数的变动。B

排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响。当一组数据中的 个别数据变动较大时,可用它来描述其集中趋势。C 众数主要研

究个数据出现的频数,其大小只与这组数据中的某些数据有关,当一 组数据中有不少数据多次重复出现时,我们往往关心众数。其中众数 的学习是重点。 3 极差,方差和标准差。 方差是重难点,它是描述一组数

据的离散程度即稳定性的非常重要的量,离散程度小就越稳定,离散 程度大就不稳定,也可称为起伏大。极差、方差、标准差虽然都能反

映数据的离散特征,但是,对两组数据来说,极差大的那一组方差不 一定大;反过来,方差大的,极差也不一定大。

第二十一章 二次根式
21.1 二次根式 1.二次根式:式子 (a≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次 根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如 不是最 , ,5

简二次根式,因被开方数中含有 4 是可开得尽方的因数,又如 , , ..........都不是最简二次根式,而 都是最简二次根式。 ,

3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开 方数相同, 这几个二次根式就叫做同类二次根式。 如 是同类二次根式,因为 数均为 2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不 含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。如 a+ 与 a, 与 + ,互为有理化因式。 与 , =2 , =3 ,它们与 , , 就

的被开方

二次根式的性质: 1. (a≥0)是一个非负数, 即 ≥0; )2=a(a≥0); =|a|=

2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数, ( 即: 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即

4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积, 即 = ? (a≥0,b≥0)。

5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式 的算术平方根,即 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘, 把被开方数相乘, 根指数不变, 即 ( ≥0, ≥0)。 说明:(1)法则中 、 可以是单项式,也可以是多项式,要注 意它们的取值范围, 、 都是非负数; (2) ≥0, ≥0); (3)等式 ( ≥0, ≥0)可以推广为 ( = (a≥0,b>0)。

( ≥0, ≥0, ≥0, ≥0)。 ( ≥0, ≥0)也可以倒过来使用,即

( ≥0, ≥0)。也称“积的算术平方根”。它与二次 根式的乘法结合,可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法

两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,即 0, >0)。

( ≥

说明:(1)法则中 、 可以是单项式,也可以是多项式,要注 意它们的取值范围, ≥0, 在分母中,因此 >0; (2) >0, ≠0); ( ≥0, >0)可以推广为 ( ≥0,

(3)等式

( ≥0, >0)也可以倒过来使用,即

( ≥0, >0)。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结 合,可以对一些二次根式进行化简。

3. 最简二次根式 一个二次根式如果满足下列两个条件: (1)被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式; (2)被开方数中不含分母。 这样的二次根式叫做最简二次根式。 说明: (1)这两个条件必须同时满足,才是最简二次根式; (2) 被开方数若是多项式, 需利用因式分解法把它们化成乘积式, 再进行化简; (3)二次根式化简到最后,二次根式不能出现在分母中,即分母 中要不含二次根式。

21.3 二次根式的加减

1. 同类二次根式 (1)定义:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数 相同,这几个二次根式叫同类二次根式。 注:判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是先把二次根 式准确地化成最简二次根式,再观察它们的被开方数是否相同。 (2)合并同类二次根式:合并同类二次根式的方法与合并同类 项的方法类似,系数相加减,二次根号及被开方数不变。 2. 二次根式的加减 (1)二次根式的加减,先把各个二次根式化成最简二次根式, 再将同类二次根式分别合并。 (2)二次根式的加减法与多项式的加减法类似,首先是化简, 在化简的基础上去括号再合并同类二次根式, 同类二次根式相当于同 类项。 一般地,二次根式的加减法可分以下三个步骤进行: i)将每一个二次根式都化简成最简二次根式 ii)判断哪些二次根式是同类二次根式,把同类二次根式结合成 一组 iii)合并同类二次根式 3. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则 的综合应用,在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点:

(1)观察式子的结构,选择合理的运算顺序,二次根式的混合 运算与实数的运算顺序一样,先乘方,后乘除,最后加减,有括号先 算括号内的。 (2)在运算过程中,每个根式可以看作是一个“单项式”,多 个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”。 (3)观察式中二次根式的特点,合理使用运算律和运算性质, 在实数和整式中的运算律和运算性质, 在二次根式的运算中都可以应 用。 4. 分母有理化 (1)我们在前面的学习中研究了分母形如 母有理化 综合起来,常见的有理化因式有:① ② 的有理化因式为 的有理化因式为 ,③ ,⑤ 的有理化因式为 , 形式的分式的分

的有理化因式为

,④

的有理化因式为

(2)分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式, 将分母中的根号去掉的过程,混合运算中进行二次根式的除法运算, 一般都是通过分母有理化而进行的。

第二十二章 一元二次方程
22.1 一元二次方程

在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)且未知 数次数最高次数是 2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一 元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如 果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二 次方程. (4)将方程化为一般形式:ax^+bx+c=0 时,应满足(a ≠0) 22.2 降次——解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两 个一元一次方程。一元二次方程有四种解法: 1、直接开平方法: 用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程,其解为 x=± m. 直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果. 2、配方法 通过配成完全平方式的方法,得到一元二次方程的根的方法。这种解 一元二次方程的方法称为配方法,配方的依据是完全平方公式。 1.转化: 将此一元二次方程化为 ax^2+bx+c=0 的形式(即一元二 次方程的一般形式) 2.系数化 1: 将二次项系数化为 1 3.移项: 将常数项移到等号右侧 4.配方: 等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方

5.变形: 将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.开方: 左右同时开平方 7.求解: 整理即可得到原方程的根 3、公式法 公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac 的值,当 b2-4ac≥0 时,把各项系数 a, b, c 的值代入求根公式 x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分 解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得 到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是 原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 22.3 实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和 发展 从列方程解应用题的方法来讲, 列出一元二次方程解应用题与列 出一元一次方程解应用题是非常相似的, 由于一元一次方程未知数是 一次,因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决.如果未知数出 现二次,用算术方法就很困难了,正由于未知数是二次的,所以可以 用一元二次方程解决有关面积问题,经过两次增长的平均增长率问 题,数学问题中涉及积的一些问题,经营决策问题等等.

第二十三章 旋转

23.1 图形的旋转 1. 图形的旋转 (1)定义:在平面内,将一个圆形绕一个定点沿某个方向(顺 时针或逆时针)转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点 叫做旋转中心,转动的角称为旋转角。 (2)生活中的旋转现象大致有两大类:一类是物体的旋转运动, 如时钟的时针、分针、秒针的转动,风车的转动等;另一类则是由某 一基本图形通过旋转而形成的图案, 如香港特别行政区区旗上的紫荆 花图案。 (3)图形的旋转不改变图形的大小和形状,旋转是由旋转中心 和旋转角所决定,旋转中心可以在图形上也可以在图形外。 (4)会找对应点,对应线段和对应角。 2. 旋转的基本特征: (1)图形在旋转时,图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样 大小的角度。 (2)图形在旋转时,对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相 等,对应角相等; (3)图形在旋转时,图形的大小和形状都没有发生改变。 3. 几点说明: (1)在理解旋转特征时,首先要对照图形,找出旋转中心、旋转 方向、对应点、旋转角。 (2) 旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的

夹角。 (3)旋转中心的确定分两种情况,即在图形上或在图形外,若在 图形上,哪一点旋转过程中位置没有改变,哪一点就是旋转中心;若 在图形外,对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。

23.2 中心对称 中心对称:把一个图形绕着某一点旋转 180°,假如它能够与另一个 图形重合,那么这刘遇图形关于这个点对称或中心对称。 中心对称的性质:①关于中心对称的刘遇图形,对应点所连线段都经 过对称中心,而且被对称中心所平分。②关于中心对称的刘遇图形是 全等形。 中心对称图形:把一个图形绕着某一个点旋转 180°,如果旋转后的 图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。 对称点的坐标规律:①关于 x 轴对称:横坐标不变,纵坐标互为相反 数,②关于 y 轴对称:横坐标互为相反数,纵坐标不变,③关于原点 对称:横坐标、纵坐标都互为相反数。

23.3 课题学习 图案设计 灵活运用平移、旋转、轴对称等变换进行图案设计. 图案设计就是通过图形变换(平移、旋转、轴对称或几种的组合)

把基本图形组成具有一定意义的新图形, 图案设计时不仅要看是否正 确使用了图形变换,还要看图案是否很好的体现了设计意图.

第二十四章 圆
24.1 圆 定义: (1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫 做圆。 (2)平面上一条线段,绕它的一端旋转 360°,留下的轨 迹叫圆。 圆心:(1)如定义(1)中,该定点为圆心 (2)如定义(2)中,绕的那一端的端点为圆心。 (3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。 (4) 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二 分点为圆心。 注:圆心一般用字母 O 表示 直径:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。 直径一般用字母 d 表示。 半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。半 径一般用字母 r 表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形,每条直径所 在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中:直径是半径的 2 倍, 半径是直径的二分之一.d=2r 或 r=二分之 d。 圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。

圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母 C 表 示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率, 它是一个无限不循环小数(无理数),用字母π表示。计算时, 通常取它的近似值,π≈3.14。 直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 圆的面积公式:圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2,用 字母 S 表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相 等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角 相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角 相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。 周长计算公式 1.、已知直径:C=πd 2、已知半径:C=2πr 3、已知周长:D=c\π 4、圆周长的一半:1\2 周长(曲线) 5、半圆的长:1\2 周长+直径

面积计算公式: 1、已知半径:S=πr 平方 2、已知直径:S=π(d\2)平方 3、已知周长:S=π(c\2π)平方

24.2 点、直线、圆和圆的位置关系 1. 点和圆的位置关系 ① 点在圆内 ? 点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上 ? 点到圆心的距离等于半径 ③ 点在圆外 ? 点到圆心的距离大于半径 2. 过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3. 外接圆和外心 经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接 圆。 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的 外心。 4. 直线和圆的位置关系 相交:直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交,这条直线叫 做圆的割线。 相切:直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切,这条直线叫 做圆的切线,这个点叫做切点。

相离:直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。 5. 直线和圆位置关系的性质和判定 如果⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么 ① 直线 l 和⊙O 相交 ? d ? r ; ② 直线 l 和⊙O 相切 ? d ? r ; ③ 直线 l 和⊙O 相离 ? d ? r 。 圆和圆 定义: 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时, 叫做这 两个圆的外离。 两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外, 每个圆上的点都在 另一个圆的外部,叫做两个圆的外切。 两个圆有两个交点,叫做两个圆的相交。 两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外, 每个圆上的点都在 另一个圆的内部,叫做两个圆的内切。 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时, 叫做这 两个圆的内含。 原理: 圆心距和半径的数量关系: 两圆外离<=> d>R+r 两圆外切<=> d=R+r 两圆相交<=> R-r<d<R+r(R>=r) 两圆内切<=> d=R-r(R>r) 两圆内含<=> d<R-r(R>r)

24.3 正多边形和圆 1、正多边形的概念:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多 边形。

2、正多边形与圆的关系: (1)将一个圆 n(n≥3)等分(可以借助量角器),依次连结各等分 点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。 (2)这个圆是这个正多边形的外接圆。

3、正多边形的有关概念: (1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。 (2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。 (3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距 离。 (4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心 角。

4、正多边形性质: (1)任何正多边形都有一个外接圆。 (2)正多边形都是轴对称图形,当边数是偶数时,它又是中心对 称图形,正 n 边形的对称轴有 n 条。

(3)边数相同的正多边形相似。

重点:正多边形的有关计算。

知识讲解 1、正多边形定义:各边相等,各角也相等的多边形叫正多边形。 例如:正三角形、正四边形(正方形)、正六边形等等。如果一个 正多边形有 n 条边,那么,这个多边形叫正 n 边形。 再如:矩形不是正多边形,因为它只具有各角相等,而各边不一 定相等;菱形不是正多边形,因为,它只具有各边相等,而各角不一 定相等。

2、正多边形与圆的关系。 正多边形与圆有密切关系,把圆分成 n(n≥3)等份,依次连结分 点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形。 相邻分点间的弧相等,则所对的弦(正多边形的边)相等,相邻两 弦所夹的角(多边形的每个内角)都相等,从而得出,所连的多边形满 足了所有边都相等, 所有内角都相等, 从而这个多边形就是正多边形。 如:将圆 6 等分,即 =EF=FA。 ,则 AB=BC=CD=DE

观察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F 所对的弧可以发现都是相 等的弧,所以,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F。 所以,将一个圆 6 等分,依次连结各分点所得到的是⊙O 的内接 正六边形。

3、正多边形的有关计算。 (1)首先要明确与正多边形计算的有关概念:即正多边形的中心 O,正多边形的半径 Rn——就是其外接圆的半径,正多边形的边心距 rn,正多边形的中心角αn,正多边形的边长 an。 (2)正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形, 等腰三角形的顶角就是正 n 边形的中心角都等于 ;如果再作出正

n 边形各边的边心距,这些边心距又把这 n 个等腰三角形分成了 2n 个全等的直角三角形。

如图:是一个正 n 边形 ABCD??根据以上讲解,我们来分析 Rt ΔAOM 的基本元素:

斜边 OA——正 n 边形的半径 Rn; 一条直角边 OM——正 n 边形的边心距 rn; 一条直角边 AM——正 n 边形的边长 an 的一半即 AM= an; 锐角∠AOM——正 n 边形的中心角αn 的一半即∠AOM= 锐角∠OAM——正 n 边形内角的一半即∠OAM= 2)?180°]; 可以看到在这个直角三角形中的各元素恰好反映了正 n 边形的 各元素。 因此,就可以把正 n 边形的有关计算归纳为解直角三角形的问 题。 [(n- ;

4、正多边形的有关作图。 (1)使用量角器来等分圆。 由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等, 因此作相等的圆心 角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆; 根据同圆中相等弧所对的 弦相等,依次连接各分点就可画出相应的正 n 边形。 (2)用尺规来等分圆。 对于一些特殊的正 n 边形,还可以用圆规和直尺作出图形。 ①正四、八边形。

在⊙O 中,用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成 4 等份, 从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB 的平分线 交 于 E) 就可作出正八边形、 正十六边形等, 边数逐次倍增的正多

边形。 ②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知,正六边形的边长与其半径相等,所以,在⊙ O 中,任画一条直径 AB,分别以 A、B 为圆心,以⊙O 的半径为半径 画弧与⊙O 相交于 C、D 和 E、F,则 A、C、E、B、F、D 是⊙O 的 6 等 分点。 显然,A、E、F(或 C、B、D)是⊙O 的 3 等分点。 同样,在图(3)中平分每条边所对的弧,就可把⊙O12 等分??。

5、正多边形的对称性。 正多边形都是轴对称图形,一个正 n 边形共有 n 条对称轴,每条

对称轴都通过正 n 边形的中心,如果正多边形有偶数条边,那么,它 又是中心对称图形,它的中心就是对称中心。 如:正三角形、正方形。

24.4 弧长和扇形面积 知识点 1、弧长公式 因为 360°的圆心角所对的弧长就是圆周长 C=2 R,所以 1°的 圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为 R 的圆中,n°的圆 ,

心角所对的弧长 l 的计算公式:

说明:(1)在弧长公式中,n 表示 1°的圆心角的倍数,n 和 180 都不带单位“度”,例如,圆的半径 R=10,计算 20°的圆心角所对 的弧长 l 时,不要错写成 。

(2)在弧长公式中,已知 l,n,R 中的任意两个量,都可以求出 第三个量。

知识点 2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为 R,圆心角为 n°的扇形面 积, 显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分, 因为圆心角是 360° 的扇形面积等于圆面积 ,所以圆心角为 1°的扇形面积是 。 ,由

此得圆心角为 n°的扇形面积的计算公式是

又因为扇形的弧长

,扇形面积 。

,所以又

得到扇形面积的另一个计算公式:

知识点 3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆) 组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从 图中可以看出,只要把扇形 OAmB 的面积和△AOB 的面积计算出来, 就可以得到弓形 AmB 的面积。

当弓形所含的弧是劣弧时,如图 1 所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图 2 所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图 3 所示, 例:如图所示,⊙O 的半径为 2,∠ABC=45°,则图中阴影部分 的面积是 ( )(结果用 表示)

分析: 由图可知

由圆周角定理可知∠ABC= ∠

AOC,所以∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC 是直角三角形,所以 , 所以 注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 (2)扇形与弓形的联系与区别 弧长 圆面积 扇形面积

图 示

面 积

知识点 4、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为 l, 底面圆的半径为 r,那么这个扇形的半径为 l,扇形的弧长为 2 ,圆 锥的侧面积 ,圆锥的全面积

说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 (2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆 锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点 5、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的 高和圆柱底面圆的周长,若圆柱的底面半径为 r,高为 h,则圆柱的 侧面积 ,圆柱的全面积

知识小结: 圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱

图形

图形的形成过 程

由一个直角三角形旋

由一个矩形旋转得到的,如

转得到的, Rt△SOA 矩形 ABCD 绕直线 AB 旋转一 如 绕直线 SO 旋转一周。 周。

图形的组成 侧面展开图的 特征 面积计算方法

一个底面和一个侧面 扇形

两个底面和一个侧面 矩形

第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率 1.随机试验与样本空间 具有下列三个特性的试验称为随机试验: (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; ?

(2) 每次试验的可能结果不止一个,但事先知道每次试验所有 可能的结果; (3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现. 试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间,用 ? 表示,其 中的每一个结果用 e 表示, e 称为样本空间中的样本点,记作 ? ? {e} . 2.随机事件 在随机试验中,把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量 重复试验中却呈现某 种规律性的事情称为随机事件(简称事件). 通 常把必然事件(记作 ? )与不可能事件(记作 ? ) 看作特殊的随机事件.

3.事件的关系及运算 (1) 包含:若事件 A 发生,一定导致事件 B 发生,那么,称事件
B 包含事件 A ,记作 A ? B (或 B ? A ).

(2) 相等:若两事件 A 与 B 相互包含,即 A ? B 且 B ? A ,那么, 称事件 A 与 B 相等,记作 A ? B . (3) 和事件: “事件 A 与事件 B 中至少有一个发生”这一事件称 为 A 与 B 的和事件, 记作 A ? B ; 个事件 A1, A2, ?, An 中至少有一 “n 事件发生” 这一事件称为 A1, A2, ?, An 的和, 记作 A1 ? A2 ??? An (简 记为 i ?1

?A

n

i

) .

(4) 积事件: “事件 A 与事件 B 同时发生”这一事件称为 A 与 B 的积事件,记作 A ? B (简记为 AB ); 个事件 A1, A2, ?, An 同时发 “n 生”这一事件称为 A1, A2, ?, An 的积事件,记作 A1 ? A2 ??? An (简 记为 A1 A2 ? An 或 i ?1

?A

n

i

).

(5) 互不相容:若事件 A 和 B 不能同时发生,即 AB ? ? ,那么称 事件 A 与 B 互不相容(或互斥),若 n 个事件 A1, A2, ?, An 中任意两 个事件不能同时发生,即 Ai Aj ? ? (1≤i<j≤几),那么,称事件
A1, A2, ?, An 互不相容.

(6) 对立事件:若事件 A 和 B 互不相容、且它们中必有一事件发 生,即 AB ? ? 且 A ? B ? ? ,那么,称 A 与 B 是对立的.事件 A 的对立 事件(或逆事件)记作 A . (7) 差事件:若事件 A 发生且事件 B 不发生,那么,称这个事件 为事件 A 与 B 的差事件,记作 A ? B (或 AB ) .

(8) 交换律:对任意两个事件A和 B 有
A ? B ? B ? A , AB ? BA .

(9) 结合律:对任意事件 A,B,C 有
A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? C , A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? C .

(10) 分配律:对任意事件 A,B,C 有
A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) , A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) .

(11) 德 ?摩根(De Morgan)法则:对任意事件 A 和 B 有
A? B ? A? B , A? B ? A? B .

4.频率与概率的定义 (1) 频率的定义 设随机事件 A 在 n 次重复试验中发生了 nA 次,则比值 nA /n 称为 随机事件 A 发生的频率,记作 fn ( A) ,即 (2) 概率的统计定义 在进行大量重复试验中,随机事件 A 发生的频率具有稳定性,即 当试验次数 n 很大时, 频率 fn ( A) 在一个稳定的值 p (0< p <1)附近摆动, 规定事件 A 发生的频率的稳定值 p 为概率,即 P( A) ? p . (3) 古典概率的定义 具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型: (i) 试验的样本空间 ? 是个有限集,不妨记作 ? ? {e1, e2 ,?, en } ; (ii) 在每次试验中,每个样本点 ei ( i ? 1, 2,?, n )出现的概率相 同,即
P({e1}) ? P({e2}) ? ? ? P({en}) .
f n ( A) ? nA n .

在古典概型中,规定事件 A 的概率为

P( A) ?

A中所含样本点的个数 nA ? ?中所含样本点的个数 n .

(4) 几何概率的定义 如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平 面或空间中的区域),且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能 性,那么规定事件A的概率为
P( A) ? A的长度(或面积、体积) 样本空间的的长度(或面积、体积) ?

(5) 概率的公理化定义 设随机试验的样本空间为 ? ,随机事件 A 是 ? 的子集, P( A) 是实 值函数,若满足下列三条公理: 公理 1 (非负性) 对于任一随机事件A,有 P( A) ≥0; 公理 2 (规范性) 对于必然事件 ? ,有 P(?) ? 1 ; 公理 3 (可列可加性) 对于两两互不相容的事件 A1, A2, ?, An ,? , 有
P(? Ai ) ? ? P( Ai )
i ?1 i ?1 ? ?



则称 P( A) 为随机事件A的概率. 5.概率的性质 由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质 (1) P(? ) ? 0 . (2) (有限可加性) 设 n 个事件 A1, A2, ?, An 两两互不相容,则有
P( A1 ? A2 ?? ? An ) ? ? P( Ai )
i ?1 n



(3) 对于任意一个事件 A:
P( A) ? 1 ? P( A) .

(4) 若事件 A,B 满足 A ? B ,则有
P( B ? A) ? P( B) ? P( A) ,
P( A) ? P( B) .

(5) 对于任意一个事件 A,有 P( A) ? 1 . (6) (加法公式) 对于任意两个事件 A,B,有
P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) .

对于任意 n 个事件 A1, A2, ?, An ,有
P(? Ai ) ? ? P( Ai ) ?
i ?1 i ?1 n n

1?i ? j ? n

?

P( Ai Aj ) ?

1?i ? j ? k ? n

?

P( Ai Aj Ak ) ?? ? (?1)n?1 P( A ? An ) 1

.

6.条件概率与乘法公式 设 A 与 B 是两个事件. 在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率 称为条件概率,记作 P( A | B) .当 P( B) ? 0 ,规定
P( A | B) ? P( AB ) P( B) .

在同一条件下,条件概率具有概率的一切性质. 乘法公式:对于任意两个事件 A 与 B,当 P( A) ? 0 , P( B) ? 0 时,有
P( AB) ? P( A) P( B | A) ? P( B) P( A | B) .

7.随机事件的相互独立性 如果事件 A 与 B 满足
P( AB) ? P( A) P( B) ,

那么,称事件 A 与 B 相互独立. 关于事件 A,月的独立性有下列两条性质: (1) 如果 P( A) ? 0 ,那么,事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件 是 P( B | A) ? P( B) ;如果 P( B) ? 0 ,那么,事件 A 与 B 相互独立的充分必 要条件是 P( A | B) ? P( A) .

这条性质的直观意义是“事件 A 与 B 发生与否互不影响” . (2) 下列四个命题是等价的: (i) 事件 A 与 B 相互独立; (ii) 事件 A 与 B 相互独立; (iii) 事件 A 与 B 相互独立; (iv) 事件 A 与 B 相互独立. 对于任意 n 个事件 A1, A2, ?, An 相互独立性定义如下:对任意一个
k ? 2,?, n ,任意的 1 ? i1 ? ? ? ik ? n ,若事件 A1, A2, ?, An 总满足

P( Ai1 ? Aik ) ? P( Ai1 )?P( Aik ) ,

n 则称事件 A1, A2, ?, An 相互独立.这里实际上包含了 2 ? n ? 1 个等式.

8.贝努里概型与二项概率 设在每次试验中,随机事件A发生的概率 P( A) ? p(0 ? p ? 1) ,则在 n 次重复独立试验中. ,事件A恰发生 k 次的概率为
?n? Pn (k ) ? ? ? p k (1 ? p)n?k , k ? 0,1,?, n ?k ? ,

称这组概率为二项概率. 9.全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式:如果事件 A1, A2, ?, An 两两互不相容,且 i ?1
P( Ai ) ? 0 , i ? 1, 2,?, n ,则
P( Ak | B) ? P( Ak ) P( B | Ak )
n

?A ??
i

n



? P( A ) P( B | A )
i ?1 i i

, k ? 1, 2,?, n



25.2 用列举法求概率 1、当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发 生的可能性相等时, 可以用被关注的结果在全部试验结果中所占的比 分析出事件中该结果发生的概率,此时可采用列举法. 2、 列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法. 但 有时一一列举出的情况数目很大, 此时需要考虑如何去排除不合理的 情况,尽可能减少列举的问题可能解的数目. 3、 利用列表法或树形图法求概率的关键是: ①注意各种情况出 现的可能性务必相同;②其中某一事件发生的概率
? 某一事件发生的次数 ; ③在考查各种情况出现的次数和某一事件发生的 各种情况出现的次数

次数时不能重复也不能遗漏; 4、 用列表法或树形图法求得的概率是理论概率, 而实验估计值 是频率,它通常受到实验次数的影响而产生波动,因此两者不一定一 致,实验次数较多时,频率稳定于概率,但并不完全等于概率。

25.3 用频率估计概率 在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个随机事件出 现的频率应该稳定于该事件发生的概率。 事件发生的频率与概率既有 区别又有联系:事件发生的频率不一定相同,是个变数,而事件发生 的概率是个常数; 但它们之间又有密切的联系, 随着试验次数的增加, 频率越来越稳定于概率。

在具体操作过程中,大家往往发现:虽然多次试验结果的频率 逐渐稳定于概率,但可能无论做多少次试验,两者之间存在着一定的 偏差。应该注意:这种偏差的存在是经常的,并且是正常的。另外, 由于受到某些因素的影响,通过试验得到的估计结果往往不太理想, 甚至有可能出现极端情况, 此时我们应正确地看待这样的结果并尝试 着对结果进行合理的解释。 对试验结果的频率与理论概率的偏差的理 解也是形成随机观念的一个重要环节。 在实际应用中,当试验次数越大时,出现极端情况的可能性就 越小。因此,我们常常通过做大量重复试验来获得事件发生的频率, 并用它作为概率的估计值。 试验次数越多, 得到的估计结果就越可靠。

第二十六章
26.1 二次函数及其图像

二次函数

二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次 的多项式函数。二次函数可以表示为 f(x)=ax^2+bx+c(a 不为 0)。其 图像是一条主轴平行于 y 轴的抛物线。

一般的,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系: 一般式

y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c 为常数),顶点坐标为(-b/2a, -(4ac-b∧2)/4a) ; 顶点式 y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k 为常数)或 y=a(x-h)∧2+k(a ≠0,a、h、k 为常数),顶点坐标为(-m,k)对称轴为 x=-m,顶 点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同, 有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与 x 轴有交点 A (x1,0) B 和 (x2, 0)的抛物线] ; 重要概念:a,b,c 为常数,a≠0,且 a 决定函数的开口方 向,a>0 时,开口方向向上,a<0 时,开口方向向下。a 的绝对值 还可以决定开口大小,a 的绝对值越大开口就越小,a 的绝对值越 小开口就越大。 牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)

y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2 -x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。 由此可引导 出交点式的系数 a=y1/(x1*x2) (y1 为截距)

求根公式 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 求根公式 x 是自变量,y 是 x 的二次函数 x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a (即一元二次方程求根公式) (如右图) 求根的方法还有因式分解法和配方法 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=2x 的平方 的图像, 可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像 如果所画图形准确无误, 那么二次函数将是由一般式平移得到的。 注意:草图要有 1 本身图像,旁边注明函数。 2 画出对称轴,并注明 X=什么 3 与 X 轴交点坐标,与 Y 轴交点坐标,顶点坐标。抛物线的 性质

轴对称 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地,当 b=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴(即直线 x=0) 顶点 2.抛物线有一个顶点 P,坐标为 P ( -b/2a ,4ac-b^2;)/4a ) 当-b/2a=0 时,P 在 y 轴上;当Δ= b^2;-4ac=0 时,P 在 x 轴上。 开口 3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。 当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物线的开口越小。 决定对称轴位置的因素 4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。 当 a 与 b 同号时(即 ab>0) ,对称轴在 y 轴左; 因为若对 称轴在左边则对称轴小于 0, 也就是- b/2a<0,所以 b/2a 要大于 0, 所以 a、b 要同号 当 a 与 b 异号时(即 ab<0) ,对称轴在 y 轴右。因为对称轴 在右边则对称轴要大于 0,也就是- b/2a>0, 所以 b/2a 要小于 0, 所以 a、b 要异号 可简单记忆为左同右异,即当 a 与 b 同号时(即 ab>0) ,对

称轴在 y 轴左;当 a 与 b 异号时 (即 ab< 0 ) ,对称轴在 y 轴右。 事实上,b 有其自身的几何意义:抛物线与 y 轴的交点处的 该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的 斜率 k 的值。可通过对二次函数求导得到。 决定抛物线与 y 轴交点的因素 5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。 抛物线与 y 轴交于(0,c) 抛物线与 x 轴交点个数 6.抛物线与 x 轴交点个数

Δ = b^2-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点。 Δ = b^2-4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点。
_______

Δ = b^2-4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点。X 的取值是虚
数( x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上 虚数 i,整个式子除以 2a) 当 a>0 时,函数在 x= -b/2a 处取得最小值 f(-b/2a)=4ac-b&sup2;/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在 {x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是 {y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变 当 b=0 时,抛物线的对称轴是 y 轴,这时,函数是偶函数,

解析式变形为 y=ax^2+c(a≠0) 特殊值的形式 7.特殊值的形式 ①当 x=1时 y=a+b+c ②当 x=-1 时 y=a-b+c ③当 x=2 时 y=4a+2b+c ④当 x=-2 时 y=4a-2b+c 二次函数的性质 8.定义域:R 值域: (对应解析式,且只讨论 a 大于 0 的情况,a 小于 0 的 情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a, 正无穷) ;②[t,正无穷) 奇偶性:当 b=0 时为偶函数,当 b≠0 时为非奇非偶函数 。 周期性:无 解析式: ①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下; ⑶极值点: (-b/2a,(4ac-b^2)/4a) ; ⑷Δ=b^2-4ac, Δ>0,图象与 x 轴交于两点:

([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0) ; Δ=0,图象与 x 轴交于一点: (-b/2a,0) ; Δ<0,图象与 x 轴无交点; ②y=a(x-h)^2+k[顶点式] 此时, 对应极值点为 (h, , k) 其中 h=-b/2a, k=(4ac-b^2)/4a; ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0) 对称轴 X=(X1+X2)/2 当 a>0 且 X≧(X1+X2)/2 时,Y 随 X 的 增大而增大,当 a>0 且 X≦(X1+X2)/2 时 Y 随 X 的增大而减小 此时,x1、x2 即为函数与 X 轴的两个交点,将 X、Y 代入即 可求出解析式(一般与一元二次方程连 用) 。 交点式是 Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个 x 轴交点和另一个点 坐标设交点式。两交点 X 值就是相应 X1 X2 值。

26.2 用函数观点看一元二次方程 1. 如果抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 与 x 轴有公共点,公共点的横坐标是 x 0 ,
x b ? ? 的一 那么当 x ? x0 时,函数的值是 0,因此 x ? x0 就是方程 a2?x c 0

个根。 2. 二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种:没有公共点,有一 个公共点,有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况:没

有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根。

26.3 实际问题与二次函数 在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等 问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

第二十七章
27.1 图形的相似 概述

相似

如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形 相似。 (相似的符号:∽) 判定 如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这 两个多边形相似。 相似比 相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为 1 时,相似的 两个图形全等。 性质 相似多边形的对应角相等,对应边的比相等。相似多边形的 周长比等于相似比。 相似多边形的面积比等于相似比的平方。

27.2 相似三角形 判定 1.两个三角形的两个角对应相等 2.两边对应成比例,且夹角相等 3.三边对应成比例 4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交, 所构成的三角形与原三角形相似。 例题 ∵∠A=∠A'; ∠B=∠B'

∴△ABC∽△A'B'C' 性质 1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平 分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。 2.相似三角形周长的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方

27.3 位似 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线 交于一点,对应边互相平行,那么这两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比。

性质 位似图形的对应点和位似中心在同一直线上,它们到位似中 心的距离之比等于相似比。 位似多边形的对应边平行或共线。 位似可以将一个图形放大或缩小。 位似图形的中心可以在任意的一点,不过位似图形也会随着位似 中心的位变而位变。 根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位 似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对 称。 注意 1、位似是一种具有位置关系的相似,所以两个图形是位似图 形,必定是相似图形,而相似图形不一定是位似图形; 2、两个位似图形的位似中心只有一个;

3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似 中心的一侧; 4、位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形 是否位似; 5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角 形与原三角形位似。

第二十八章
28.1 锐角三角函数

锐角三角函数

锐角角 A 的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot) 以及正割(sec) (余割 csc)都叫做角 A 的锐角三角函数。 , 正弦(sin)等于对边比斜边, 余弦(cos)等于邻边比斜边 正切(tan)等于对边比邻边; 余切(cot)等于邻边比对边 正割(sec)等于斜边比邻边 余割 (csc)等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 互余角的三角函数间的关系。 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 同角三角函数间的关系

平方关系: sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ?积的关系: sinα=tanα?cosα cosα=cotα?sinα tanα=sinα?secα cotα=cosα?cscα secα=tanα?cscα cscα=secα?cotα ?倒数关系: tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 直角三角形 ABC 中, 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边, 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 三角函数值 (1)特殊角三角函数值

(2)0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。 (3)锐角三角函数值的变化情况 (i)锐角三角函数值都是正值 (ii)当角度在 0°~90°间变化时, 正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) (iii)当角度在 0°≤α≤90°间变化时, 0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 当角度在 0°<α<90°间变化时, tanα>0, cotα>0. 特殊的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 0 1/2 √2/2 √3/2 1 ← sinα 1 √3/2 √2/2 1/2 0 ← cosα 0 √3/3 1 √3 None ← tanα None √3 1 √3/3 0 ← cotα

28.2 解直角三角形 勾股定理,只适用于直角三角形(外国叫“毕达哥拉斯定理” ) a^2+b^2=c^2, 其中 a 和 b 分别为直角三角形两直角边,c 为

斜边。 勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比 如:3,4,5。他们分别是 3,4 和 5 的倍数。 常见的勾股弦数有:3,4,5;6,8,10;等等. 直角三角形的特征 ⑴直角三角形两个锐角互余; ⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; ⑶直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的一半; ⑷勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的

A
平方,即: 在 Rt△ABC 中,若∠C=90°,则 a +b =c ; ⑸勾股定理的逆定理: 如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的 平方和,则这个三角形是直角三角形,即:在△ABC 中,若 a2+b2=c2, 则∠C=90°; ⑹射影定理:AC2=AD ?AB,BC2=BD ?AB,CD2=DA ?DB. A 锐角三角函数的定义: 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,
2 2 2

D C B

b C a

c B

∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,

a b a b 则 sinA= ,cosA= ,tanA= ,cotA= c c b a
特殊角的三角函数值: (并会观察其三角函数值随 ? 的变化情况)
?

sin ?

cos ?

tan ?

cot ?

1. 30 °

1 错误!未 2 找到引用 源。

3 2

3 3

3

45 ° 60 °

2 2 3 2

2 2 1 2

1

1

3

3 3

解直角三角形(Rt△ABC,∠C=90°) ⑴三边之间的关系:a2+b2=c2. ⑵两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°. . ⑶边角之间的关系:sinA=
?A 的对边 a ?A 的邻边 b = ,cosA= = . 斜边 c 斜边 c

tanA=

?A 的对边 a ?A 的邻边 b = ,cotA= = . ?A 的邻边 b ?A 的对边 a

⑷解直角三角形中常见类型: ①已知一边一锐角. ②已知两边. ③解直角三角形的应用.

第二十九章
29.1 投影

投影与视图

一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上

得到的影子叫做物体的投影 (projection) 照射光线叫做投影线, , 投影所在的平面叫做投影面。 有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯光的 一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影(parallel projection). 由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影 (center projection)。投影线垂直于投影面产生的投影叫 做正投影。 投影线平行于投影面产生的投影叫做平行投影。 物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。

29.2 三视图 三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的 图形。 将人的视线规定为平行投影线,然后正对着物体看过去,将 所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体 有六个视图:从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图—— 能反映物体的前面形状,从物体的上面向下面投射所得的视图称 俯视图——能反映物体的上面形状,从物体的左面向右面投射所 得的视图称左视图——能反映物体的左面形状, 还有其它三个视图不是很常用。三视图就是主视图、俯视图、 左视图的总称。

特点:一个视图只能反映物体的一个方位的形状,不能完整反 映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行 投射的结果,另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助,基本能 完整的表达物体的结构。 主视、俯视 长对正

物体的投影 主视、左视 高平齐 左视、俯视 宽相等 在许多情况下,只用一个投影不加任何注解,是不能完整清 晰地表达和确定形体的形状和结构的。如图所示,三个形体在同 一个方向的投影完全相同,但三个形体的空间结构却不相同。可 见只用一个方向的投影来表达形体形状是不行的。一般必须将形 体向几个方向投影,才能完整清晰地表达出形体的形状和结构。 一个视图只能反映物体的一个方位的形状,不能完整反映 物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投 射的结果,另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助,基本能完 整的表达物体的结构。 画法:根据各形体的投影规律,逐个画出形体的三视图。画 形体的顺序:一般先实(实形体)后空(挖去的形体) ;先大(大 形体)后小(小形体) ;先画轮廓,后画细节。画每个

形体时,要三个视图联系起来画,并从反映形体特征的视图画 起,再按投影规律画出其他两个视图。对称图形、半圆和大于半 圆的圆弧要画出对称中心线,回转体一定要画出轴线。对称中心 线和轴线用细点划线画出。


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