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15.和差化积


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高考数学母题
[母题]Ⅰ(6-15):和差化积(131)

391

和差化积 [母题]Ⅰ(6-15):(1986 年上海高考试题)下列三角关系式中不正确的是(
? ?? cos 2 2 ? ?

? ? ?? (C)cosα +cosβ =2cos cos 2 2

)

(A)sinα +sinβ =2sin

? ??

? ?? sin 2 2 ? ?? ? ?? (D)cosα -cosβ =2sin sin 2 2

(B)sinα -sinβ =2cos

? ??

[解析]:由 sin(x+y)+sin(x-y)=2sinxcosy,令 x+y=α ,x-y=β
=2sin
? ??
2

? x=

??? ? ?? ??? ? ?? ,y= cos ? sinα +sinβ =2sin 2 2 2 2

cos

? ??
2

.故选(A).

[点评]:由两角和、差的正余弦公式的加减可得积化
和差公式,通过变量代换可得和差化积公式,如右表: 虽然目前实施的课程标准中对积化和差、和差化积 公式不要求记忆,但应掌握其生成过程和基本应用.

[子题](1): (1992 年上海高考试题)求值:cos [解析]:由积化和差公式,cos

5? ? cos = 8 8

.

5? ? 1 5? ? 5? ? 3? ? 1 2 cos = [cos( + )+cos( - )]= (cos +cos )=. 8 8 2 8 8 8 8 4 2 2 4

注:若积中有多个三角函数式,则应灵活结合,使得积中两三角函数式中角的和、差为特殊角或利于解题.

[子题](2): (1987 年上海高考试题)
(A)tan
??? 2

sin ? ? sin ? 等于( cos? ? cos ?

) (C)tanα +tanβ (D)cot
??? 2

(B)-tan

??? 2

[解析]:由和差化积公式:sinα +sinβ =2sin
故选(A).

??? ??? ? ?? ??? ? ?? sin ? ? sin ? cos ,cosα +cosβ =2cos cos =tan . ? 2 2 2 2 2 cos? ? cos ?

注:三角运算的核心是三角变形,而和差化积公式是三角变形中的重要变换.

[子题](3): (1995 年第六届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)已知
与 sinβ 中较大的是 .

? 3? ? 3? <α +β < ,- <α -β < ,则在 cosα 2 2 2 2

? ? ? (? ? ? ) (? ? ? ) ? ? 2 2 ;由 ? <α +β < 3? ,- ? <α -β < 3? ? ? < [解析]:由 cosα -sinβ =cosα +cos( +β )=2cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 ?
2

? (? ? ? ) 2

<π ,-

? ? ? ? (? ? ? ) (? ? ? ) ? ? (? ? ? ) ? 2 ? 2 >0 ? cosα <sinβ ? 较大的是 sinβ . < < ? cos 2 <0,cos 2 2 2 2 2

注:和差化积公式的和差式中的三角函数式均是同名三角函数,若是不同名,则应利用诱导公式化成同名三角函数.

[子题系列]:
1.(2006 年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)化简 log
2

sin

7? 3? +log sin 的结果为 2 8 8

.

392
2.(1993 年全国高考试题)sin20 cos70 +sin10 sin50 的值是(
0 0 0 0

[母题]Ⅰ(6-15):和差化积(131)
) (A)
1 4

(B)

3 2

(C)

1 2

(D)

3 4

3.(2008 年同济大学保送生考试数学试题 ) 设方程 acosx+bsinx+c=0(a ≠0,c>a)在 0<x< π 中有两个相异实根α , β , 求 cos(α +β ). 4.(2005 年全国高中数学联赛江西初赛试题)若对满足α ? β ≠k ? 360 的任何角α ,β ,都有 mcot
? ??
2
0

sin(? ? 300 ) ? sin(? ? 300 ) = cos? ? cos ?

+n,则数组(m,n)=

.
0

5.(1999 年第十届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)适合方程 tan19x = 6.(2010 年清华大学自主招生数学试题)求 sin 10 +sin 50 +sin 70 的值. 7.(2009 年全国高中数学联赛江西初赛试题)cos
?
15
4 0 4 0 4 0

cos 990 ? sin 990 cos 990 ? sin 990

的最小正整数 x=

.

-cos
0

2? 4? 7? -cos +cos = 15 15 15
0 0

. (用数字作答).

8.(2013 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)化简 sin12 sin48 sin54 =

[子题详解]:
1.解:由 sin
0

7? 3? 7? 3? 7? 3? 1 2 sin =- [cos( + )-cos( )]= ? 原式=log 2 8 8 8 8 8 8 2 4
0 0 0

2 =-3. 4

2.解:sin20 cos70 +sin10 sin50 = 3.解:由 ? tan

1 1 1 0 0 0 0 [sin90 +sin(-50 )]- [cos60 -cos(-40 )]= .故选(A). 2 2 4

?a cos? ? b sin ? ? c ? 0 ??? ? ?? ??? ? ?? sin +2bcos sin =0 ? ? a(cosα -cosβ )+b(sinα -sinβ )=0 ? -2asin 2 2 2 2 ?a cos ? ? b sin ? ? c ? 0

??? b a 2 ? b2 = ? cos(α +β )= 2 2 . 2 a a ?b
2 sin

sin(? ? 300 ) ? sin(? ? 300 ) 4.解: = cos? ? cos ?
cos 99 ? sin 99 cos 99 ? sin 99
0 0 0 0

? ??
2

cos 2

? ? ? ? 600
sin
0

? 2 sin
0

???

? ??
2
0

2

=

? ?? 1 3 3 1 cot + ? (m,n)=( , ). 2 2 2 2 2
2 cos 540 sin 450 2 sin 540 cos 450

5.解:由

0

=

? sin 9 ? sin 99 ? sin 9 ? sin 99
0

0

=

sin 9 ? sin 990 sin 9 ? sin 99
0

=-

=-cot54 =tan144 ? tan19x =tan144 ? 19x=

0

0

0

0

180k+144(k∈N) ? x=
4 0 4 0

180k ? 144 9 k ? 11 =9k+7+ ? 最小正整数 k=3 ? 最小正整数 x=36. 19 19
4 0

6.解:sin 10 +sin 50 +sin 70 =( cos 100 +cos 140 )= cos20 )]=
0 2 0 2 0

1 ? cos 200 2 1 ? cos1000 2 1 ? cos1400 2 1 0 0 0 2 0 ) +( ) +( ) = [3-2(cos20 +cos100 +cos140 )+(cos 20 + 4 2 2 2

1 3 1 1 9 5 0 0 0 0 0 0 0 0 [3-2(cos20 +cos100 +cos140 )+ + (cos40 +cos200 +cos280 )]= [ + (cos40 +cos80 4 2 2 4 2 2

9 5 9 0 0 0 + (2cos60 cos20 -cos20 )]= . 8 8 8

7.解:原式=(cos
0 0

?
15

+cos
0

7? 2? 4? 4? ? ? ? ? ? ? ? ? )-(cos +cos )=2cos cos -2cos cos =-4cos sin sin =-2cos sin ; 15 15 15 15 5 5 5 6 5 15 10 10
0 0 0 0 0 0

由 cos18 =sin72 =2in36 cos36 =4sin18 cos18 cos36 ? sin18 cos36 =
0 0

? 1 ? 1 1 = ? 原式=- . ? cos sin 5 4 10 4 2

8.解:由 sin18 cos36 =

1 0 ? sin18 = 4

1 1 1 5 ?1 0 0 0 0 0 0 0 0 ? sin12 sin48 sin54 = (cos36 -cos60 )cos36 = (1+cos72 -cos36 )= . 2 4 8 4


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