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广东省深圳市宝安区2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

广东省深圳市宝安区 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知命题 p:? x∈R,使 tanx=1,则下列关于命题¬p 的描述中正确的是() A. ? x∈R,使 tanx≠1 B. ? x?R,使 tanx≠1 C. ? x∈R,使 tanx≠1 D. ? x?R,使 tanx≠1 2. (5 分)在下列函数中,最小值是 2 的是() A. B.

C.

D. y=5 +5

x

﹣x

3. (5 分)等差数列{an}中,S10=120,那么 a5+a6 的值是() A. 12 B. 24 C. 36

D. 48

4. (5 分)空间直角坐标系 O﹣xyz 中,已知点 B 是点 A(3,7,﹣4)在 xOz 平面上的射影, 则
2

等于() B. 25 C. 5 D. 13

A. (9,0,16)

5. (5 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.若 A= 为 A. 1 ,则 a 的值为() B. 2 C.

,b=1,△ABC 的面积

D.

6. (5 分)抛物线 x =4y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2

7. (5 分)已知 x、y 满足条件

则 2x+4y 的最小值为()

A. ﹣6

B. 6

C. ﹣12

D. 12

8. (5 分)设定点 F1(0,﹣3) 、F2(0,3)动点 P 满足条件|PF1|﹣a= P 的轨迹是() A. 椭圆

|PF2|(a>0)则点

B. 线段

C. 不存在

D. 椭圆或线段

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二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. (5 分)函数 y= 的定义域为.

10. (5 分) 一个总体分为甲、 乙两层, 用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本. 已 知乙层中每个个体被抽到的概率都为 ,则总体中的个体数为.

11. (5 分)椭圆

的离心率为

,则双曲线

的离心率为.

12. (5 分)在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,已知 O(0,0,0) ,A(1,2,3) ,B(2,1,2) , P(1,1,2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,当 ? 取最小值时,点 Q 的坐标是.

13. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,对任意 x,y∈R,都有 f(x)?f(y) =f(x+y) ,若 a1= ,an=f(n) (n∈N ) ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=.
*

14. (5 分)对于问题:“已知关于 x 的不等式 ax +bx+c>0 的解集为(﹣1,2) ,解关于 x 的 2 2 不等式 ax ﹣bx+c>0”,给出如下一种解法:解:由 ax +bx+c>0 的解集为(﹣1,2) ,得 a 2 2 (﹣x) +b(﹣x)+c>0 的解集为(﹣2,1) ,即关于 x 的不等式 ax ﹣bx+c>0 的解集为(﹣ 2,1) .参考上述解法,若关于 x 的不等式 ,则关于 x 的不等式 的解集为 的解集为.

2

三、解答题.本大题共 6 小题,满分 80 分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (12 分)已知 f(x)= (x>1) .

(1)求不等式 f(x)>2x+1 的解集; (2)求函数 f(x)的最小值. 16. (12 分)一个多面体的三视图和直观图如图所示,其中 M,N 分别是 AB,SA 的中点. (1)求直线 NB 与 MC 所成的角; (2)求平面 SAD 与平面 SMC 所成锐二面角的余弦值.

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17. (14 分)已知函数 f(x)=

,数列{an}满足 a1=1,an+1=f(

) ,n∈N .

*

(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+?﹣a2na2n+1,求满足 Tn≤﹣60 的最小正整数 n 的值. 18. (14 分)已知抛物线 C 的方程为 y =4x,点 M(4,0) ,过点 M 且垂直于 x 轴的直线 l 交抛 物线于 A、B 两点.设 P 是抛物线上异于 A、B 的任意一点,PQ⊥y 轴于点 Q,直线 PA、PB 的 斜率分别为 k1,k2. (1)求 的最小值; |为定值,并求出该定值.
2

(2)求证:|

19. (14 分)已知数列{an}中,a1=2,a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1,其中(n≥2, * n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 任意 n∈N ,都有 bn+1>bn 成立.
2 *

为非零整数,n∈N ) ,试确定 λ 的值,使得对

*

20. (14 分)在△ABC 中,已知 AB=2,AC=1,且 cos2A+2sin

=1.

(1)求角 A 的大小和 BC 边的长; (2)若点 P 在△ABC 内运动(包括边界) ,且点 P 到三边的距离之和为 d,设点 P 到 BC,CA 的距离分别为 x,y,试用 x,y 表示 d,并求 d 的取值范围.

广东省深圳市宝安区 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知命题 p:? x∈R,使 tanx=1,则下列关于命题¬p 的描述中正确的是() A. ? x∈R,使 tanx≠1 B. ? x?R,使 tanx≠1 C. ? x∈R,使 tanx≠1 D. ? x?R,使 tanx≠1 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据命题“? x∈R,使 tanx=1”是特称命题,其否定为全称命题,将“? ”改为 “? ”,“=“改为“≤≠”即可得答案. 解答: 解:∵命题“? x∈R,使 tanx=1”是特称命题 ∴命题的否定为:? x∈R,使 tanx≠1. 故选 C. 点评: 本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题.这里注意全称命题的否定为特 称命题,反过来特称命题的否定是全称命题. 2. (5 分)在下列函数中,最小值是 2 的是() A. B.

C.

D. y=5 +5

x

﹣x

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先检验基本不等式的三个条件:一正,二定,三相等的条件是否满足,然后在利用 基本不等式即可求解最小值 解答: 解:A:当 x<0 时, B:令 t= ≥ ,y=t+ 在 ≤﹣2,最小值不是 2,错误

考点: 空间两点间的距离公式. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据点 B 是点 A(3,7,﹣4)在 xOz 平面上的射影,得到 B 在坐标平面 xOz 上,横 标和纵标与 A 相同,而竖标为 0,写出 B 的坐标,利用两点之间的距离公式得到结果. 解答: 解:∵点 B 是点 A(3,7,﹣4)在 xOz 平面上的射影, ∴B 在坐标平面 xOz 上,横标和纵标与 A 相同,而竖标为 0, ∴B 的坐标是(3,0,﹣4, ∴
2

=3 +(﹣4) =25,

2

2

故选:B. 点评: 本题考查空间中的点的坐标,考查两点之间的距离公式,考查正投影的性质,是一 个基础题,本题的运算量比较小,是一个必得分题目.

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5. (5 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边.若 A= 为 A. 1 ,则 a 的值为() B. 2 C.

,b=1,△ABC 的面积

D.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 先利用三角形面积公式求得 c,最后利用余弦定理求得 a. 解答: 解:由已知得: bcsinA= ×1×c×sin60°=
2

? c=2,

则由余弦定理可得:a =4+1﹣2×2×1×cos60°=3? a= 故选 D 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用和三角形面积公式的应用.解题的关键是通过余弦 定理完成了边角问题的互化. 6. (5 分)抛物线 x =4y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据抛物线的方程求得准线的方程,进而利用点 A 的纵坐标求得点 A 到准线的距 离,进而根据抛物线的定义求得答案. 解答: 解:依题意可知抛物线的准线方程为 y=﹣1, ∴点 A 到准线的距离为 4+1=5, 根据抛物线的定义可知点 A 与抛物线焦点的距离就是点 A 与抛物线准线的距离, ∴点 A 与抛物线焦点的距离为 5, 故选:D 点评: 本题主要考查了抛物线的定义的运用.考查了学生对抛物线基础知识的掌握.属基 础题.
2

7. (5 分)已知 x、y 满足条件

则 2x+4y 的最小值为()

A. ﹣6 考点: 专题: 分析: 解答:

B. 6

C. ﹣12

D. 12

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 先画出满足条件的平面区域,通过读图得到答案. 解:画出满足条件的平面区域,如图示:

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, 令 z=2x+4y,得 y=﹣ x+ , 显然图象过(3,﹣3)时,z 最小, Z 最小值=﹣6, 故选:A. 点评: 本题考查了简单的线性规划问题,考查了数形结合思想,是一道基础题.

8. (5 分)设定点 F1(0,﹣3) 、F2(0,3)动点 P 满足条件|PF1|﹣a= P 的轨迹是() A. 椭圆

|PF2|(a>0)则点

B. 线段

C. 不存在

D. 椭圆或线段

考点: 椭圆的定义. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 将不等式|PF1|﹣a= 利用椭圆的定义进行判断. 解答: 解:由题意得,|PF1|﹣a= 所以|PF1|+|PF2|=a+ ≥2 =6 |PF2|(a>0) , |PF2|移项后,利用基本不等式求出“|PF1|+|PF2|”的范围,

当且仅当 a= 时取等号,此时 a=3,则|PF1|+|PF2|≥6, 因为定点 F1(0,﹣3) 、F2(0,3) ,所以|F1F2|=6, 当|PF1|+|PF2|=6 时,点 P 的轨迹是线段 F1F2; 当|PF1|+|PF2|>6 时,点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的椭圆, 故选:D. 点评: 本题考查椭圆的定义,以及基本不等式的应用,属于基础题. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. (5 分)函数 y= 的定义域为(﹣∞,1]∪∪∪
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解答: 解:由题意得椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率 e=



所以 所以 .

=



所以双曲线的离心率

=



故答案为:



点评: 解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系,区分椭圆的离心率 与双曲线的离心率的表达形式有何不同,离心率一直是 2015 届高考考查的重点. 12. (5 分)在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,已知 O(0,0,0) ,A(1,2,3) ,B(2,1,2) , P(1,1,2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,当 ? 取最小值时,点 Q 的坐标是( , , ) .

考点: 空间向量运算的坐标表示. 专题: 空间向量及应用. 分析: 根据题意,设出点 Q 的坐标,求出 坐标. 解答: 解:根据题意,点 Q 在直线 OP 上运动, 设 Q(t,t,2t) , ∵ ? =(t﹣1,t﹣2,2t﹣3)?(t﹣2,t﹣1,2t﹣2) =(1,1,2) ; ? 的表达式,计算 ? 取最小值时点 Q 的

=(t﹣1) (t﹣2)+(t﹣2) (t﹣1)+(2t﹣3) (2t﹣2) 2 =6t ﹣16t+10, ∴当 t= = 时, ? 取得最小值.

此时点 Q 的坐标是( , , ) . 故答案为: ( , , ) . 点评: 本题考查了空间向量的共线问题以及数量积的应用问题,是基础题目. 13. (5 分)设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,对任意 x,y∈R,都有 f(x)?f(y) =f(x+y) ,若 a1= ,an=f(n) (n∈N ) ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=1﹣
*



-7-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 数列的求和. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 根据函数的关系式,求出数列{an}的通项公式,判断数列是等比数列,求出它的前 n 项和 Sn. 解答: 解:令 y=x,f(x)?f(x)=f(2x) , 2 ∴f(2x)= ,x∈R; 又 a1= ,an=f(n) (n∈N ) , ∴a1=f(1)= , an=f(n)= =
n *



∴数列{an}是首项为 a1= ,公比 q= 的等比数列,

其前 n 项和为 Sn=

=



故答案为:1﹣



点评: 本题考查了函数的性质与应用问题,也考查了等比数列的定义与通项公式、前 n 项 和公式的应用问题,是综合性题目. 14. (5 分)对于问题:“已知关于 x 的不等式 ax +bx+c>0 的解集为(﹣1,2) ,解关于 x 的 2 2 不等式 ax ﹣bx+c>0”,给出如下一种解法:解:由 ax +bx+c>0 的解集为(﹣1,2) ,得 a 2 2 (﹣x) +b(﹣x)+c>0 的解集为(﹣2,1) ,即关于 x 的不等式 ax ﹣bx+c>0 的解集为(﹣ 2,1) .参考上述解法,若关于 x 的不等式 ,则关于 x 的不等式 (1,2) . 考点: 归纳推理;一元二次不等式的应用. 专题: 探究型. 2 2 分析: 观察发现 ax +bx+c>0 将 x 换成﹣x 得 a(﹣x) +b(﹣x)+c>0,则解集也相应变 化,﹣x∈(﹣1,2) ,则 x∈(﹣2,1) 不等式 ∈
2 2

的解集为 的解集为(﹣3,﹣1)∪

将 x 换成 得不等式 ,分析可得答案.

,故

解答: 解:由 ax +bx+c>0 的解集为(﹣1,2) ,得 a(﹣x) +b(﹣x)+c>0 的解集为(﹣ 2,1) , 发现﹣x∈(﹣1,2) ,则 x∈(﹣2,1)

2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 若关于 x 的不等式 则关于 x 的不等式 则 ∈ 的解集为 ,

可看成前者不等式中的 x 用 代入可得, ,则 x∈(﹣3,﹣1)∪(1,2) ,

故答案为(﹣3,﹣1)∪(1,2) . 点评: 本题考查了类比推理,通过已知条件发现规律,属于基础题. 三、解答题.本大题共 6 小题,满分 80 分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (12 分)已知 f(x)= (x>1) .

(1)求不等式 f(x)>2x+1 的解集; (2)求函数 f(x)的最小值. 考点: 基本不等式在最值问题中的应用;其他不等式的解法. 专题: 综合题;不等式的解法及应用. 分析: (1)由 f(x)>2x+1 得: ,结合 x>1,即可求不等式 f(x)>2x+1

的解集; (2)换元,利用基本不等式求函数 f(x)的最小值. 解答: 解: (1)由 f(x)>2x+1 得: 整理得:x ﹣x﹣1<0,?(3 分) 解得: ,?(5 分) ?(6 分)
2



又∵x>1,所以不等式的解集为:

(2)设 x﹣1=t,∵x>1,∴t>0,且 x=t+1.?(7 分) ∴ ?(11 分)

当且仅当 t=1 即 x=2 时取“=”号,故 f(x)的最小值为 4.?(12 分) 点评: 本题考查解不等式,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于 中档题. 16. (12 分)一个多面体的三视图和直观图如图所示,其中 M,N 分别是 AB,SA 的中点. (1)求直线 NB 与 MC 所成的角; (2)求平面 SAD 与平面 SMC 所成锐二面角的余弦值.

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考点: 用空间向量求平面间的夹角;异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: (1) 以 D 为原点, DA 为 x 轴, DC 为 y 轴, DS 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 由
0

?

=0,

利用向量法求出直线 NB 与 MC 所成的角为 90 . (2)求出平面 SAD 的一个法向量和平面 SMC 的法向量,由此利用向量法能求出平面 SAD 与平 面 SMC 所成角的余弦值. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)如图,以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DS 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,B(1,1,0) , C(0,1,0) ,S(0,0,2) ,?(1 分) M(1, ,0) ,N( ∴ ∴ ∴ =(1,﹣ ,0) , ? ⊥ ) =(﹣ ) ,?(3 分)

=1×(﹣ )+(﹣ )×(﹣1)+0×1=0, ,∴直线 NB 与 MC 所成的角为 90 .?(6 分) =(0,1,0) ,?(5 分)
0

(2)解:由题意平面 SAD 的一个法向量是 设平面 SMC 的法向量为 =(a,b,c) , 又 =(1, ,﹣2) , =(0,1,﹣2) ,





令 c=1,则 b=2,a=1,故取 =(1,2,1) ,?(8 分)

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于是 cos<

,n>=

=

=



故平面 SAD 与平面 SMC 所成角的余弦值为

.?(12 分)

点评: 本题考查线线角的求法,二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间中 线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用,是中档题. 17. (14 分)已知函数 f(x)= ,数列{an}满足 a1=1,an+1=f( ) ,n∈N .
*

(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+?﹣a2na2n+1,求满足 Tn≤﹣60 的最小正整数 n 的值. 考点: 数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意化简已知的 an+1=f( ) ,求出数列{an}的递推公式,根据等差数列的定

义即可证明数列{an}是等差数列,再由等差数列的通项公式求出 an; (2)由 (1)和等差数列的性质判断出数列{an}中偶数项也构成等差数列,并求出公差和首项, 利用等差数列的前 n 项公式化简 Tn,由条件列出不等式求出解集,最后求出满足 Tn≤﹣60 的 最小正整数 n 的值. 解答: 解: (1)由题意得,f(x)= ,

所以







所以{an}是以 为公差的等差数列, 又 a1=1,所以 .?(6 分)

(2)由(1)可得,a2、a4、?、a2n、成以 为公差、 为首项的等差数列, ∴Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+?﹣a2na2n+1

- 11 -

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com =a2(a1﹣a3)+a4(a3﹣a5)+?+a2n(a2n﹣1﹣a2n+1) = ?(10 分)

= 由 Tn≤60 得:

= ,

?(12 分)

∴2n +3n﹣135≥0,且 n>0,解得:

2



故 n 的最小值为 8.?(14 分) 点评: 本题考查了等差数列的定义、通项公式、前 n 项和公式的应用,以及数列递推公式 化简,是数列与不等式的综合题,属于中档题. 18. (14 分)已知抛物线 C 的方程为 y =4x,点 M(4,0) ,过点 M 且垂直于 x 轴的直线 l 交抛 物线于 A、B 两点.设 P 是抛物线上异于 A、B 的任意一点,PQ⊥y 轴于点 Q,直线 PA、PB 的 斜率分别为 k1,k2. (1)求 的最小值; |为定值,并求出该定值.
2

(2)求证:|

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设 P(x0,y0) ,则 ,利用两点之间的距离公式可得:

=

,利用二次函数的单调性即可得出.

(2)联立

,解出可得 A(4,4) ,B(4,﹣4) .再利用斜率计算公式即可证明.

解答: 解: (1)设 P(x0,y0) , 则 ,

=

=



∴当

时,即 x0=8 时,







- 12 -

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(2)证明:联立

,得



∴A(4,4) ,B(4,﹣4) . 则 为定值.

点评: 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可 得根与系数的关系、二次函数单调性、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 19. (14 分)已知数列{an}中,a1=2,a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1,其中(n≥2, * n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 任意 n∈N ,都有 bn+1>bn 成立. 考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: (1)本题由条件 Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1,借助项与和关系 Sn﹣Sn﹣1=an,可确定数列为等差数 列,进而求出数列{an}的通项公式 an=n+1. (2)由 an 通项写出 bn 的通项,欲证明数列为递增数列,可借助作差法证明 bn+1﹣bn>0 即可, n﹣1 n﹣1 * 进行整理变形即转化为对(﹣1) λ <2 (n∈N )恒成立的证明.借此讨论 N 的奇数偶数 两种情况就可求出 λ 的范围,再综合 λ 为非零的整数即可确定 λ 的具体取值. * 解答: 解: (1)由已知, (Sn+1﹣Sn)﹣(Sn﹣Sn﹣1)=1(n≥2,n∈N ) , * 即 an+1﹣an=1(n≥2,n∈N ) ,且 a2﹣a1=1. ∴数列{an}是以 a1=2 为首项,公差为 1 的等差数列. ∴an=n+1. (2)∵an=n+1, n n﹣1 n+1 ∴bn=4 +(﹣1) λ ?2 ,要使 bn+1>bn 恒成立, n+1 n n n+2 n﹣1 n+1 ∴bn+1﹣bn=4 ﹣4 +(﹣1) λ ?2 ﹣(﹣1) λ ?2 >0 恒成立, n n﹣1 n+1 ∴3?4 ﹣3λ ?(﹣1) 2 >0 恒成立, n﹣1 n﹣1 ∴(﹣1) λ <2 恒成立.
- 13 *

为非零整数,n∈N ) ,试确定 λ 的值,使得对

*

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (ⅰ)当 n 为奇数时,即 λ <2 恒成立, n﹣1 当且仅当 n=1 时,2 有最小值为 1, ∴λ <1. n﹣1 (ⅱ)当 n 为偶数时,即 λ >﹣2 恒成立, n﹣1 当且仅当 n=2 时,﹣2 有最大值﹣2, ∴λ >﹣2. 即﹣2<λ <1,又 λ 为非零整数,则 λ =﹣1. * 综上所述,存在 λ =﹣1,使得对任意 n∈N ,都有 bn+1>bn. 点评: 本题主要考查了数列的通项公式的求法,并借助数列增减性的证明方法求通项中参 n﹣1 n﹣1 变量的范围,其中在证明(﹣1) λ <2 恒成立这一过程属于难点.学生不易将 n 分为奇 数和偶数进行分情况讨论后取其交集,易出现思路不清.
2 n﹣1

20. (14 分)在△ABC 中,已知 AB=2,AC=1,且 cos2A+2sin

=1.

(1)求角 A 的大小和 BC 边的长; (2)若点 P 在△ABC 内运动(包括边界) ,且点 P 到三边的距离之和为 d,设点 P 到 BC,CA 的距离分别为 x,y,试用 x,y 表示 d,并求 d 的取值范围. 考点: 简单线性规划;二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值;不等式的解法及应用. 分析: (1) 利用同角三角函数的基本关系式化简, 求出 A, 然后利用余弦定理求得 BC 的长; (2)利用三角形的面积相等用 x,y 表示 d,然后利用线性规划知识求得 d 的取值范围. 解答: 解: (1)∵cos2A+2sin ∴1﹣2sin A+2sin ∴sinA= ∴3A=π ,A=
2 2 2

=1,

=1, ,

,即 A= .
2 2 2

由余弦定理得:BC =AC +AB ﹣2AC?AB?cosA=2 +1 ﹣2×2×1×cos ∴BC= ; (2)由(1)知,△ABC 为以 C 为直角的直角三角形, 如图,

2

2

=3,

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设 P 到 AB 的距离为 m, 由等积法可得: . ∴ 化目标函数为 , ; , ,得

由题意得:d 在 P 与 C 点重合时最小,为

当直线 过点 B(0, )时 d 有最大值为 . ∴d 的取值范围为. 点评: 本题考查了二倍角的余弦公式的应用,考查了函数最值的求法,体现了数学转化思 想方法,属有一定难度题目.

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