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数学-扬州市2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题


扬州市 2013—2014 学年度第一学期高二数学期中测试卷
2013.11 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上) ........ 1. 命题“ 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 2 ”的逆否命题为 ▲ ▲ ▲ ” .

1 2. 命题“ ?x ?R, sin x≤ ”的否定是“
3

. “ x ? 2 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的
2

条件. (填“充分不必要”“必要不 ,

充分”“充分必要”“既不充分又不必要” , , ) 4.已知一个球的表面积为 36? cm2 ,则这个球的体积为 ▲

cm3 .

5. 已 知 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 则 抛 物 线 的 标 准 方 程 为 , ▲ . x2 y 2 6. 已知双曲线 则该双曲线的渐近线方程为 ▲ . ? ? 1 的右焦点为 ( 13, 0) , 9 a

x2 y 2 7. 过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点, a b
若 ?F1 PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为 ▲ .

8.设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列命题: ① 若 ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n ;② 若 ? ∥ ? ,m ? ? ,n∥ ? ,则 m ? n ; ③ 若 ? ? ? ,m ? ? ,n ? ? ,则 m ? n; ④ 若 ? ? ? ,m ? ? ,n∥ ? ,则 m ∥ n . 上面命题中,所有真命题的序号为 ▲ . ... 9.已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的对角线 AC1 的长为 6 ,且 AC1 与底面所成角的余弦值 为
3 ,则该正四棱柱的体积为 3

▲ .

(第 9 题)

(第 10 题)

10.如图 AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于 A, B 点)直线 PA 垂直于圆所在的平面, 点 M 为线段 PB 的中点,有以下四个命题: (1)PA//平面 MOB; (2)MO//平面 PAC (3)OC ? 平面 PAB; (4) BC ? PC 其中正确的命题是 ▲ . 11.已知点错误!未找到引用源。在抛物线错误!未找到引用源。上,那么点错误!未找到 引用源。到点错误!未找到引用源。的距离与点错误!未找到引用源。到抛物线焦点的
1

距离之和取最小值时,点错误!未找到引用源。的坐标为 12.已知命题 p : “ ?x ? R, ?m ? R, 4 ? 2
x x ?1



.

? m ? 0 ”,若命题 ?p 是假命题,则实数 m

的取值范围是

▲ .

13.如图,有一圆柱形的开口容器(下表面密封) ,其轴截面是边长为 2 的正方形,P 是 BC 中点,现有一只蚂蚁位于外壁 A 处,内壁 P 处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的 最短路程为 ▲ . 14.如图,已知过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A(-a,0)作直线 1 交 y 轴于点 P, a2 b2
??? ? ??? ?
▲ .

交椭圆于点 Q,若△AOP 是等腰三角形,且 PQ ? 2 QA ,则椭圆的离心率为

(第 13 题)

二、解答题(本大题共 6 题,共 90 分) 15.(本小题满分 14 分) 已知 p :| x ? 3|? 2, q : ( x ? m ? 1)( x ? m ? 1) ? 0 ,若 ?p 是 ?q 充分而不必要条件,求实数

m 的取值范围.
16. (本小题满分 14 分)

x2 y2 设命题 p :方程 ? ? 1 表示双曲线, a?6 a?7
命题 q :圆 x ? ( y ? 1) ? 9 与圆 ( x ? a) ? ( y ? 1) ? 16 相交.
2 2 2 2

若“ ?p 且 q ”为真命题,求实数 a 的取值范围. 17.(本小题满分 15 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A1 AB=AC,点 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,点 F 在 AC1 上, 且 AC1=4AF. (1)求证:平面 ADF⊥平面 BCC1B1; (2)求证:EF //平面 ABB1A1. F C B E
2

C1 B1

A

D

18. (本小题满分 15 分) 如图在直角梯形 ABCD 中,AD=3,AB=4,BC= 上任一点到 A、B 两点距离之和为常数. (1)建立适当的坐标系,求曲线 DE 的方程; (2) C 点作一条与曲线 DE 相交且以 C 为中点的弦, 过 求出弦 所在直线的方程. ,曲线 DE

19. (本小题满分 16 分) 如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD ? 平面 BCE,BE ? EC. (1) 求证:平面 AEC ? 平面 ABE; (2) 点 F 在 BE 上,若 DE//平面 ACF,求
A

BF 的值。 BE
D

B F E

C

20. (本小题满分 16 分) 如图,点 A(? a,0) ,B( 与 y 轴交于点 C(0,1) . (1)求椭圆的方程; (2)过点 C 任意作一条直线 PQ 与椭圆相交于 P,Q,求 PQ 的取值范围.
x2 y 2 2 4 , )是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上的两点,直线 AB 3 3 a b

y

P B C

A Q

O

x

3

2013—2014 学年度第一学期高二数学期中测试卷答案 一、填空题 1、若a ? 1 ? b ? 2, 则a ? b 6、 y ? ? 2、?x ? R, sin x ? 1 3、 必要不充分 4、36? 5、x ? 8 y
2

2 x 3

7、

3 3

8、②③ 9、2

10、 、 (2)(4) 11、 ( ,?1)

1 4

12、

?? ?,1?

13、 ? ? 9
2

14、

2 5 5

二、解答题 15.(本小题满分 14 分) 已知 p :| x ? 3|? 2, q : ( x ? m ? 1)( x ? m ? 1) ? 0 ,若 ?p 是 ?q 充分而不必要条件,求实数

m 的取值范围.
解:由题意 p: ? 2 ? x ? 3 ? 2 ∴ 1 ? x ? 5 …… (3分) q: m ? 1 ? x ? m ? 1…… (8 分)

∴ ?p : x ? 1或x ? 5 ……. (5 分)

∴ ?q : x ? m ? 1或x ? m ? 1…… (10 分) 又∵ ?p 是 ?q 充分而不必要条件∴ ? ∴ 2 ? m ? 4 …… (14分) 16.(本小题 14 分) 设命题 p :方程
2

?m ? 1 ? 1 且等号不同时成立 ?m ? 1 ? 5

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线, a?6 a?7
2 2 2

命题 q :圆 x ? ( y ? 1) ? 9 与圆 ( x ? a) ? ( y ? 1) ? 16 相交. 若“ ?p 且 q ”为真命题,求实数 a 的取值范围. 解:若 p 真,即方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线, a?6 a?7
???????????????5 分
2 2

则 ? a ? 6 ?? a ? 7 ? ? 0 ,??6 ? a ? 7 .
2

若 q 真,即圆 x 2 ? ? y ? 1? ? 9 与圆 ? x ? a ? ? ? y ? 1? ? 16 相交, 则 1 ? a 2 ? 4 ? 7,??3 5 ? a ? 3 5 . 若“ ? p 且 q ”为真命题,则 p 假 q 真, ????????????????10 分

4

?a ? ?6或a ? 7 ? ?? ,即 ?3 5 ? a ? ?6 , ??3 5 ? a ? 3 5 ?

? 符合条件的实数 a 的取值范围是 ?3 5 ? a ? ?6 . ????????????14 分
17.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A1 AB=AC,点 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,点 F 在 AC1 上, 且 AC1=4AF. (1)求证:平面 ADF⊥平面 BCC1B1; (2)求证:EF //平面 ABB1A1. 证明:(1) 因为直三棱柱 ABC-A1B1C1,所以 CC1?平面 ABC, 而 AD?平面 ABC, 所以 CC1?AD. ?????? 2 分 A B E D F C C1 B1

又 AB=AC,D 为 BC 中点,所以 AD?BC,?????? 4 分 因为 BC?CC1=C,BC?平面 BCC1B1,CC1?平面 BCC1B1, 所以 AD?平面 BCC1B1,

A1 因为 AD?平面 ADF,所以平面 ADF⊥平面 BCC1B1. ?????? 7 分 (2) 连结 CF 延长交 AA1 于点 G,连结 GB. 因为 AC1=4AF,AA1//CC1,所以 CF=3FG,?????? 9 分 G F 又因为 D 为 BC 中点,点 E 为 BD 中点,所以 CE=3EB,?????? 11 分 所以 EF//GB,而 EF?平面 ABBA1,GB ?平面 ABBA1, 所以 EF //平面 ABBA1. ?????? 14 分 , A B E B1

?????? 6 分

C1

C D

18. (15 分) 如图在直角梯形 ABCD 中, AD=3,AB=4 ,BC= 曲线 DE 上任一点到 A、B 两点距离之和为常数. (1)建立适当的坐标系,求曲线 DE 的方程;

(2) C 点作一条与曲线 DE 相交且以 C 为中点的弦, 过 求出弦 所在直线的方程.

x2 y2 1 ? 解:⑴a= (|AD|+|BD|)=4,可求出曲线 DE 的方程为 =1, (-2≤x 16 12 2
≤4,0≤y≤2 3 ) ??????7 分 ) ,与 x 轴的交点 N(4,0) ,C(2, )为

(2)椭圆弧 DE 与 y 轴的交点 M(0,

M,N 的中点,所以弦 MN 即为所求,其所在直线方程为 y ? ?

3 x ? 2 3 .??15 分 2

5

19.如图,四边形 ABCD 是矩形,平面 ABCD ? 平面 BCE,BE ? EC. (1) 求证:平面 AEC ? 平面 ABE; (2) 点 F 在 BE 上,若 DE//平面 ACF,求
A

BF 的值。 BE
D

B F E

C

解: (1)证明:因为 ABCD 为矩形,所以 AB⊥BC. 因为平面 ABCD⊥平面 BCE, 平面 ABCD∩平面 BCE=BC,AB?平面 ABCD, 所以 AB⊥平面 BCE. ?????? 3 分
B F E (第 19 题) C A O D

因为 CE?平面 BCE,所以 CE⊥AB. 因为 CE⊥BE,AB?平面 ABE,BE?平面 ABE,AB∩BE=B, 所以 CE⊥平面 ABE. 因为 CE?平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 ABE. (2)连结 BD 交 AC 于点 O,连结 OF.

?????????? 6 分 ?????????? 8 分

因为 DE∥平面 ACF,DE?平面 BDE,平面 ACF∩平面 BDE=OF, 所以 DE//OF. 又因为矩形 ABCD 中,O 为 BD 中点, BM 1 所以 F 为 BE 中点,即 = . BF 2 ?????????? 16 分 ?????????? 13 分

20. (本小题满分 16 分) 如图,点 A(? a,0) ,B( 与 y 轴交于点 C(0,1) . (1)求椭圆的方程;
x2 y 2 2 4 , )是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上的两点,直线 AB 3 3 a b

6

(2)过点 C 任意作一条直线 PQ 与椭圆相交于 P,Q,求 PQ 的取值范围.
y

P B C

A Q

O

x

解: (1)由 B(

2 4 1 , ) ,C(0,1) ,得直线 BC 方程为 y ? x ? 1 .???? 2 分 3 3 2

令 y = 0,得 x = ?2,∴a = 2.
4 16 2 4 将 B( , )代入椭圆方程,得 9 ? 92 ? 1 .∴b2 = 2. 4 b 3 3

???? 3 分

椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2

???? 5 分 ???? 6 分

(2)① 当 PQ 与 x 轴垂直时,PQ = 2 2 ; ② 当 PQ 与 x 轴不垂直时,不妨设直线 PQ:y = kx ? 1(k≥0) , 2 2 2 2 代入椭圆方程 x ? 2y ? 4 = 0,得 x ? 2(kx ? 1) ? 4 = 0. 即 (2k2 ? 1) x2 ? 4kx ? 2 = 0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1,2 ?
2 8k 2 ? 2 .PQ = 2k 2 ? 1

???? 8 分

?2k ? 8k 2 ? 2 . 2k 2 ? 1
1? k2 ? 2 8k 2 ? 2 . 2k 2 ? 1

则 | x1 ? x2 | =

???? 10 分

PQ 2 ?

8(1 ? k 2 )(4k 2 ? 1) 4k 4 ? 5k 2 ? 1 k2 ? 8? 4 ? 8 ? (1 ? 4 ) (2k 2 ? 1)2 4k ? 4k 2 ? 1 4k ? 4k 2 ? 1

= 8 ? (1 ?

1 ). 1 4k 2 ? 2 ? 4 k
1 1 2 时取等号, ≥ 2 4k 2 ? 2 ? 4 ,在 k = 2 2 k k

???? 12 分

∵ 4k 2 ?

???? 14 分 ???? 15 分

∴PQ2 = 8 ? (1 ?

1 ) ?(8,9].则 PQ? (2 2,3] . 1 4k 2 ? 2 ? 4 k

由①,②得 PQ 的取值范围是 [2 2,3] .

???? 16 分

7


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