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2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:8.4 直线与圆锥曲线的位置关系


§8.4

直线与圆锥曲线的位置关系

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 相交 、_____ 相离 三种 相切 、______ 1.直线与圆锥曲线的位置关系:_____
情况.一般通过它们的方程来研究: 设直线 l: Ax+ By+ C= 0,二次曲线 C: f(x, y)=0.联立方程
? ?Ax+ By+ C=0 组? ,消去 y(或 x)得到一个关于 x(或 y)的方程 ? ?f? x, y?= 0

ax2+ bx+ c=0(或 ay2+ by+ c= 0).

(1)当a≠0时, ①Δ>0,则方程有两个不同的解,直线与圆锥曲线有两个公共 相交 ; 点,直线与圆锥曲线_______ ② Δ = 0 ,则方程有两个相同的解,直线与圆锥曲线有一个公 相切 ; 共点,直线与圆锥曲线_______ ③Δ<0,则方程无解,直线与圆锥曲线无公共点,直线与圆锥 相离 . 曲线______ (2)当a=0时, 方程为一次方程,若b≠0,方程有一个解,直线与圆锥曲线有 相交. 一个公共点,直线与圆锥曲线______

2.弦长公式:设弦 AB 的端点坐标为 (x1, y1), (x2, y2),直线 AB 的斜率为 k,则 |AB|= ?x2- x1?2+? y2- y1?2= 1+k2|x2- x1|

1 1+ 2|y2-y1| 2 2 k = 1+k · ?x1+ x2? - 4x1x2= ______________
= 1 1+ 2· ? y1+ y2? 2- 4y1y2. k

思考探究 直线与圆锥曲线只有一个公共点的几何意义是什么?

提示:对于封闭的圆锥曲线(如圆、椭圆),直线与圆锥曲线只
有一个公共点时,它们是相切.对于非封闭曲线(双曲线、抛

物线)直线与圆锥曲线只有一个公共点,它们可能是相切,也
可能是相交.平行于双曲线的渐近线,平行于抛物线的对称轴 的直线,它们分别与双曲线、抛物线只有一个公共点.

课前热身 1.(教材改编)直线y=kx与双曲线x2-y2=4没有公共点,则k 的取值范围为( )

A.(-1,1)
C.(-1,+∞)

B.[-1,1]
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

答案:D

2.已知抛物线 y2= 2px(p>0)的经过焦点的弦 AB 的两端点坐标 y1 y2 分别为 A(x1, y1), B(x2, y2),则 的值一定等于 ( x1x2 A. 4 C. p 2 B.- 4 D.-p2 )

答案:B

x 2 y2 3.以椭圆 + = 1 内的点 M(1,1)为中点的弦所在直线的方程 16 4 是( ) B.x-4y+ 3= 0 D. x+ 4y- 5=0

A. 4x- y- 3=0 C. 4x+ y- 5=0

答案:D

4.已知抛物线x2=-12y的切线l垂直于直线x+y=0,则l的方 程为________. 答案:y=x+3
2 y 5.过双曲线 x2- =1 的右焦点作直线 l,交双曲线于 A、B 两 2

点,若|AB|=4,则这样的直线的条数为________.

答案:3

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 直线与圆锥曲线的位置关系

判断它们的位置关系或者利用它们的位置关系, 方程的思想 与数形结合思想要结合起来.

例1

已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2),求过点P(1,2)

的直线l 的斜率的取值范围,使l 与C 分别有一个交点,两个交
点,没有交点. 【思路分析】 将直线方程与双曲线方程联立,组成方程组, 消去y,利用一元二次方程根的判别式求解.

【解】 (1)当 l 垂直 x 轴时,此时直线与双曲线相切. (2)当 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y-2= k(x-1)代入 双曲线 C 的方程中,并整理得 (2-k2)x2+ 2(k2- 2k)x-k2+ 4k-6=0, (*) 当 k2= 2,即 k= ± 2时, (*)为一次方程,显然只有一解; 当 k2≠ 2 时, Δ= 4(k2- 2k)2- 4(2- k2)(- k2+ 4k- 6)= 48- 32k. 3 令 Δ= 0,可解得 k= ; 2 3 令 Δ>0,即 48- 32k>0,此时 k< ; 2

3 令 Δ<0,即 48- 32k<0,此时 k> . 2 3 ∴当 k= ± 2或 k= 或 k 不存在时, l 与 C 只有一个公共点; 2 3 当 k<- 2或- 2<k< 2或 2<k< 时, l 与 C 有两个交点; 2 3 当 k> 时, l 与 C 没有交点. 2

3 【领悟归纳】 当 k= 或 k 不存在时, l 是切线, 当 k=± 2时, 2 l 是平行渐近线的直线.

考点2 直线与圆锥曲线相交时的中点弦 类型:(1)求中点弦所在直线方程问题;(2)求弦中点的轨迹方 程问题;(3)弦长为定值时,弦的中点坐标问题,其解法有代 点相减法,设而不求法,参数法,待定系数法及中心对称变换 法等,最常用的是代点相减法和设而不求的方法.

例2 若抛物线 y=2x2 上的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线
1 l: y=x+ m 对称,且 x1x2=- ,求实数 m 的值. 2
设直线AB的方程并 与抛物线的方程联立 求AB中点坐标并 代入直线 l的方程 解关于 m的方程

【思路分析】

【解】 法一:如图所示, ∵ A、 B 两点关于直线 l 对称, ∴ AB⊥ l,且 AB 中点 M(x0, y0)在直线 l 上. 可设 lAB: y=-x+ n, ? ?y=- x+ n, 2 由? 得 2 x + x- n= 0, 2 ? ?y= 2x , 1 n 1 ∴ x1+x2=- , x1x2=- .由 x1x2=- ,得 n=1. 2 2 2 x1+x2 1 1 5 又 x0= =- , y0=- x0+ n= + 1= , 2 4 4 4 1 5 即点 M 为 (- , ), 4 4 5 1 3 由点 M 在直线 l 上,得 =- + m,∴m= . 4 4 2

法二:∵ A、 B 两点在抛物线 y=2x2 上, 2 ? y = 2 x ? 1 1, ∴? ∴ y1- y2= 2(x1+ x2)(x1-x2). 2 ?y2= 2x2, ? 设 AB 中点 M(x0, y0),则 x1+x2= 2x0 代入可得, y1 - y2 kAB= = 4x0. x 1 -x 2 1 又 AB⊥ l,∴ kAB=- 1,从而 x0=- . 4 1 又点 M 在 l 上,∴ y0=x0+ m= m- , 4 1 1 即 M(- ,m- ), 4 4

1 1 ∴ AB 的方程是 y- (m- )=- (x+ ), 4 4 1 即 y=- x+ m- ,代入 y= 2x2, 2 1 m- 2 1 1 2 得 2x +x-(m- )= 0,∴ x1x2=- =- , 2 2 2 3 ∴ m= . 2

【思维总结】

设参数,再消参数,可简化运算.

跟踪训练 1.在本例中,设AB与l的交点为M,求过M的弦的中点Q的轨 迹方程.
3 1 5 解:由以上解答可知,当 m= 时,M(- , ),过 M 与抛物线 2 4 4 y=2x2 相交的弦所在直线 l′斜率一定存在. 设 l′与抛物线的交点为 C、D. C(x3, y3),D(x4,y4), CD 的中点 Q 为(x, y)且 x3≠ x4. ∴ y3= 2x2 3,① y4=2x2 4,② ①-②得 y3- y4=2(x3+ x4)(x3-x4).

又∵x3+ x4=2x, y3 - y4 ∴ y3- y4= 4x(x3-x4),∴ kCD= = 4x. x3-x4 5 y- 4 4y-5 4y-5 又∵kCD= kQM= = ,∴ = 4x, 1 4x+ 1 4x+ 1 x+ 4 5 ∴ y= 4x +x+ 就是点 Q 的轨迹方程. 4
2

考点 3

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

求圆锥曲线的弦长问题的一般思路是:将直线方程代入圆锥曲 线方程,消去 y(或 x)后,得到关于 x(或 y)的一元二次方程 ax2 + bx+ c= 0(或 ay2+ by+ c= 0),再由弦长公式 |AB|= 1+k2|x1 - x2|= 1 1+ 2|y1- y2|,求出其弦长.在求 |x1- x2|时,可直接 k

b2-4ac 利用公式 |x1- x2|= 求得. |a|

例3

已知 △ ABC的顶点A , B 在椭圆 x2 + 3y2 = 4 上,C 在直

线l :y =x+2上,且AB∥ l. 当 ∠ABC= 90°且斜边 AC的长最大 时,求AB所在直线的方程. 【思路分析】 用弦长表示|AB|,用点到直线的距离公式表示 |BC|,求|AC|2.

【解】 设 AB 所在直线的方程为 y=x+m. 2 2 ? ?x +3y = 4 由? ,得 4x2+ 6mx+ 3m2-4=0. ? ?y= x+ m 因为 A, B 在椭圆上,所以 Δ=- 12m2+ 64>0, 4 3 4 3 解得- <m< . 3 3 设 A, B 两点的坐标分别为 (x1, y1), (x2,y2). 3m2- 4 3m 则 x1+ x2=- , x1x2= , 2 4 32- 6m2 所以 |AB|= 2|x1-x2|= . 2

又因为 BC 的长等于点(0, m)到直线 l 的距离, |2- m| 即 |BC|= . 2 所以 |AC|2= |AB|2+ |BC|2=- m2-2m+ 10 =-(m+ 1)2+11(- 4 3 4 3 <m< ). 3 3

所以当 m=- 1 时, AC 边最长. 此时 AB 所在直线的方程为 y=x-1.

【思维总结】 本题关键是直线y=x+m与椭圆相交的弦长 |AB|及|BC|用m表示出来,成为m的函数,易忽略的是丢掉m

的范围.

跟踪训练 2.若椭圆x2+3y2=4,AB∥l,本例中条件变为当AB过坐标原 点时,求AB的长及△ABC的面积.
解:因为 AB∥ l,且 AB 边通过点 (0,0),所以 AB 所在直线的方 程为 y= x,设 A, B 两点的坐标分别为(x1,y1), (x2, y2).
? ?x +3y = 4 由? ,得 x= ± 1,所以 |AB|= 2|x1- x2|= 2 2. ?y= x ?
2 2

又因为 AB 边上的高 h 等于原点到直线 l 的距离, 1 所以 h= 2, S△ ABC= |AB|· h= 2. 2

方法感悟
方法技巧 1.要注意数形结合思想的应用,做题时,最好先画出草图,

注意观察、分析图形的特征,将数与形结合起来.
2.弦的中点与弦所在直线的斜率有关系时,常考虑代点相减 法(点差法):把弦的两个端点坐标代入圆锥曲线方程,作差整理 可得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的等量关系. 3.解决直线与圆锥曲线相交时弦长的问题的主要方法是:将 直线方程代入圆锥曲线方程,利用两点间的距离公式、弦长公 式及根与系数的关系求解.

失误防范 1.用方程法研究直线与曲线的位置关系时,注意二次方程中 二次项系数为0的讨论.

2.研究曲线的切线时,直线与圆锥曲线只有一个公共点,未
必一定相切,还有其他情况. 3.求相交弦的弦长时,需注意弦是否过焦点,注意焦半径和 曲线的第二定义的应用.

考向瞭望把脉高考
命题预测
直线与圆锥曲线的综合考查,主要涉及曲线方程的求法、位置 关系的判定及应用、弦长问题、最值问题、定点定值的探索问 题等.考查的知识点多,能力要求高,尤其是运算变形能 力.同时着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力,是 高考中区分度较大的题目.注重对方程思想等价转化、分类讨 论、数形结合思想的考查,题目以解答题较多,难度较大.有

时有选择题、填空题.

2012年的高考中,各省市考题都对这部分进行了考查,如重庆、

上海卷等对直线与椭圆中的定值、最值及求点到直线的距离、
两直线的垂直的证明等综合进行考查.大纲全国卷等则对抛物

线、直线、圆的综合考查.可以看出,这部分知识在高考中占
有重要位置.

预测2014年高考,命题者仍会在此巧做文章,命制出精彩的试
题,这就要求我们在复习时注重基础,并给予高度重视.

规范解答
(本题满分 14 分 )(2011· 高考山东卷 )在平面直角坐标系 x2 2 xOy 中,已知椭圆 C: + y = 1.如图所示,斜率为 k(k>0)且不 3 过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 E, 射线 OE 交椭圆 C 于点 G,交直线 x=- 3 于点 D(- 3,m). (1)求 m2+ k2 的最小值; (2)若 |OG|2= |OD|· |OE|, ①求证:直线 l 过定点; ②试问点 B,G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时△ ABG 的 外接圆方程;若不能,请说明理由.



【解】 (1)设直线 l 的方程为 y= kx+ t(k>0). 由题意知 t>0. y= kx+ t, ? ? 2 2 2 2 由方程组?x 得 (3 k + 1) x + 6 ktx + 3 t - 3=0. 2 + y = 1, ? ?3 由题意知 Δ>0,所以 3k2+ 1>t2.(2 分 ) 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 6kt 由根与系数的关系,得 x1+x2=- 2 , 3k + 1 2t 所以 y1+ y2= 2 . 3k + 1

3kt t 因为 E 为线段 AB 的中点,所以 xE=- 2 ,y = , 3k + 1 E 3k2+ 1 yE 1 此时 kOE= =- . xE 3k 1 所以 OE 所在直线的方程为 y=- x.(4 分 ) 3k 1 由题意知 D(- 3, m)在直线 OE 上,所以 m= , k 即 mk= 1,所以 m2+k2≥ 2mk= 2, 当且仅当 m= k= 1 时上式等号成立. 此时由 Δ>0,得 0<t<2. 因此当 m= k= 1 且 0<t<2 时, m2+k2 取最小值 2.(6 分 )

(2)①证明:由 (1)知 OD 所在直线的方程为 y=- 将其代入椭圆 C 的方程,并由 k>0, 3k 1 ? ?.(7 分 ) , 解得 G?- ? 3k2+ 1 3k2+ 1? ? 3kt t ? 1? ? ? 又 E -3k2+ 1,3k2+ 1 , D?- 3,k ?, ? ? 由距离公式及 t>0,得 2 1 3 k 9 k +1 ? ?2 ? ? 2 2 - |OG| = ? ? +? 3k2+1? =3k2+1, 2 3k + 1? ? ? ? |OD|=
2 1 9 k +1 2 2 ? ? ?- 3? + ?k ? = , k

1 x, 3k

2 3 kt t t 9 k +1 ? ? 2 ? ? 2 - 2 |OE|= + 2 = . ? 3k + 1? ?3k + 1? 3k2+ 1 由 |OG|2= |OD|· |OE|,得 t= k. 因此直线 l 的方程为 y= k(x+1). 所以直线 l 恒过定点 (- 1,0). (9 分 ) 3k 1 ? ?, , ②由①得 G?- ? 3k2+ 1 3k2+ 1? ? 若点 B, G 关于 x 轴对称, 3k 1 ? ?. - ,- 则 B? ? 2 2 3k + 1 3k + 1 ? ? 将点 B 的坐标代入 y=k(x+1),

整理得 3k2- 1= k 3k2+ 1, 1 即 6k4-7k2+1=0,解得 k2= 或 k2= 1.(11 分 ) 6

1 又因为 3k - 1>0,即 k > ,所以 k2=1,所以 k= 1. 3 3 1? 3 1? ? ? 此时 B -2,-2 , G -2,2 关于 x 轴对称. ? ? ? ? 由 (1)得 x1= 0, y1= 1,所以 A(0,1). 由于△ ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上,可设△ ABG 的外接圆 的圆心为 (d,0), 3 ?2 1 1 2 ? d + 因此 d + 1= ? 2 ? +4,解得 d=-2, 5 2 故△ ABG 的外接圆的半径为 d +1= .(13 分 ) 2
2 2

1 ?2 5 2 ? 所以△ ABG 的外接圆的方程为 x+2 + y = .(14 分 ) ? ? 4

【名师点评】 本题考查直线与椭圆的位置关系,圆的方程的
求法,中点坐标公式,直线过定点等解析几何的有关知识,以 及利用基本不等式求最值的方法.考查学生的推理论证及运算 求解能力,难度较大,综合性较强.解决这类问题必须夯实基 础知识,灵活运用基础知识,完成难点转化.

知能演练轻松闯关

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