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函数的和、差、积、商的导数


沛县汉城国际学校

高二数学组选修 1-1 导学单

时间 : 12 月 20 日

备课人:

张允力

审核人:封心杰

3.2.2 函数的和、差、积、商的导数 【学习要求】 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用

导数公式和导数运算法则求函数的导数. 【学法指导】 应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题.要透彻理 解函数求导法则的结构内涵,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,达到巩固知识、 提升能力的目的. 课前预习 函数的和、差、积、商的求导法则 两个函数的和的导数 两个函数的差的导数 两个函数的积的导数 两个函数的商的导数 设两个函数分别为 f(x)和 g(x) [f(x)+g(x)]′=_________________ [f(x)-g(x)]′=________________ [f(x)· g(x)]′=___________________ f?x? [ ]′=___________________ g?x?

学生活动 活动一 导数的运算法则 例 1 求下列函数的导数: (1)y=3x-lg x; (2)y=(x2+1)(x-1); (3)y= x5+ x7+ x9 . x

跟踪训练 1 求下列函数的导数: (1)f(x)=x· tan x; x (2)f(x)=2-2sin2 ; 2 (3)f(x)= x-1 ; x+1 (4)f(x)= sin x . 1+sin x

活动二 例2

导数的应用

(1)曲线 y=xex+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为________________.

(2)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3-10x+3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切 1

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张允力

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线斜率为 2,则点 P 的坐标为________.

(3)已知某运动着的物体的运动方程为 s(t)=

t-1 +2t2(位移单位:m,时间单位:s),求 t=3 s 时物体的瞬时速度. t2

π ? sin x 1 跟踪训练 2 (1)曲线 y= - 在点 M? ?4,0?处的切线的斜率为________. sin x+cos x 2

1 a (2)设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,其中 a>0,曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=1,确定 b、c 的值. 3 2

课堂检测 1.设 y=-2exsin x,则 y′=_______________.

x 2.曲线 y= 在点(-1,-1)处的切线方程为______________. x+2 3.已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)=4,则 a 的值是________. 1 4.已知 f(x)= x3+3xf′(0),则 f′(1)=________. 3 5.已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线 y=x-3 相切,求 a、b、c 的值.

课堂小结 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分析出函数解析 式的结构特征,根据导数运算法则,联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形,转化为较 易求导的结构形式,再求导数,进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.

自我检测 1.下列结论不正确的是________.(填序号) ①若 y=3,则 y′=0; ②若 f(x)=3x+1,则 f′(1)=3; 2

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③若 y=- x+x,则 y′=-

+1; 2 x

1

④若 y=sin x+cos x,则 y′=cos x+sin x.

2.已知 f(x)=x3+3x+ln 3,则 f′(x)=__________.

3.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)=________.

x+1 4.设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=________. x-1 5.已知 a 为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),且 f′(-1)=0,则 a=________.

6.若某物体做 s=(1-t)2 的直线运动,则其在 t=1.2 s 时的瞬时速度为________.

7.求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-1); (2)y=( x-2)2; x x (3)y=x-sin cos . 2 2

8.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切 线的斜率为________.

9.曲线 y=x(x-1)(x-2)…(x-6)在原点处的切线方程为__________.

1 10.若函数 f(x)= x3-f′(-1)· x2+x+5,则 f′(1)=________. 3

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11.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的表达式.

b 12.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求 此定值.

13.已知曲线 C1:y=x2 与曲线 C2:y=-(x-2)2,直线 l 与 C1 和 C2 都相切,求直线 l 的方程.

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