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雷劈数的补充材料(个人发现精华版)


雷劈数的补充材料(个人发现精华版)
本来发现 7777 的平方和 7272 的平方是雷劈数,才发现雷劈数好多呀~~~~~

雷劈数,或名卡布列克数,定义为:若正整数 X(在 n 进位下)的平方可以分割 为二个数字,而这二个数字相加后恰等于 X,那么 X 就是(n 进位下的)卡布列 克数。例如 55^2=3025,而 30+25=55。 发现 印度数学

家卡普列加(Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905 - 1986) 在一次旅行中,遇到猛烈的暴风雨,他看到路边一块牌子被劈成了两半: 一半上写着 30,另一半写着 25。这时,卡布列克忽然发现 30+25=55, 55^2=3025,把劈成两半的数加起来,再平方,正好是原来的数字。从此他 就专门搜集这类数字。 按照第一个发现者的名字, 这种怪数被命名为“卡普列加数”或“雷劈 数”,也叫“分和累乘再现数”。 卡氏数可以指平方后的数,亦可指平方前的数,常常不加区分。 雷劈数求法 人们容易找到其他的数也具有这样的性质。例如,易知 2025 具有该性 质:20+25=45,45^2=2025。 求雷劈数的方法很多,从初等数学到高等数学,应有尽有。以下是两种 最简单的办法(以两位数+两位数为例): 方法一(藤村幸三郎) 设该数的前两位为 x,后两位为 y,根据定义,有 (x + y)^2 = 100x + y 即 x^2 + 2(y - 50)x + y^2 - y = 0。 该方程的判别式 D=4(2500 - 99y)必须是完全平方数,而 y 本身也必须 是平方数的尾数,故可求得 y 等于 1 或 25,从而求得四个结果 2025,3025, 9801 和 0001(舍去)。 方法二(浅野英夫)

同样设该数的前两位为 x,后两位为 y。于是有 (x + y)^2 = 100x + y = x + y + 99x (x + y)(x + y - 1) = 99x 从而看出 x + y 与 x + y - 1 中有一个是 9 的倍数,另一个是 11 的倍 数(当然依照位数不同,也可能是别的因数),从而找出候补者 44,55 和 99。下略。 用以上方法,亦可找到其他位数的雷劈数,如 7777^2 = 60481729;6048 + 1729 = 7777。目前最小的雷劈数是 81 雷劈数的一些简单性质 一般而言,考察雷劈数时,不考虑分割后的一部分全部为 0 的情况(如 10+0)。亦不考虑由 0 开始的数字(如 0+1)。 最小的奇雷劈数是 9^2 = 81。 最小的偶雷劈数是 2728^2 = 744/1984。 如果 M^2 是雷劈数,那么(10...0 - M)^2 也是雷劈数。 证明: 设 M^2 是雷劈数,可以分割成 x 和 y 两部分,且 M=x+y,y 为 n 位数, 则 M^2=10^n*x+y(雷劈数定义) 而 (10^n-M)^2 =10^(2n)-2M*10^n+M^2 =10^(2n)-2M*10^n+10^n*x+y =10^(2n)-2M*10^n+10^n*(M-y)+y =10^n*(10^n-M-y)+y 同样满足雷劈数方程。 在二进制下,所有的完全数都是卡布列克数。 12 位以下雷劈数列表 以下用 x|y 表示一个平方数 N 可以分割为 x 和 y 两部分, + y)^2 = N。 (x y 是一位数:10x + y = (x + y)^2 N=0|0, 10|0, 0|1, 8|1 有意义的数只有 9^2 = 81。 y 是两位数:100x + y = (x + y)^2 0^2 = 0|00, 100^2 = 100|00 45^2 = 20|25, 55^2 = 30|25 99^2 = 98|01, 1^2 = 0|01

其中有意义的数是 45^2=2025, 55^2=3025。 0|0...0, 0|0...1, 10...0|0...0 这三种属于平凡解,下略。 根据上节的性质,雷劈数必然成对存在;但 9..98|0...01 是比较特殊 的一类,与其成对的 0|0...1 属于平凡解。 y 是三位数:1000x + y = (x + y)^2 297^2 = 88|209 703^2 = 494|209 999^2 = 998|001 y 是四位数:10000x + y = (x + y)^2 2223^2 = 494|1729 7777^2 = 6048|1729 2728^2 = 744|1984 7272^2 = 5288|1984 4950^2 = 2450|2500 5050^2 = 2550|2500 9999^2 = 9998|0001 y 是五位数:100000x + y = (x + y)^2 95121^2 = 90480|04641 4879^2 = 238|04641 82656^2 = 68320|14336 17344^2 = 3008|14336 77778^2 = 60494|17284 22222^2 = 4938|17284 99999^2 = 99998|00001 y 是六位数:1000000x + y = (x + y)^2 994708^2 = 989444|005264, 5292^2 = 28|005264 961038^2 = 923594|037444, 38962^2 = 1518|037444 857143^2 = 734694|122449, 142857^2 = 20408|122449 851851^2 = 725650|126201, 148149^2 = 21948|126201 818181^2 = 669420|148761, 181819^2 = 33058|148761 812890^2 791505^2 681318^2 670033^2 648648^2 = = = = = 660790|152100, 626480|165025, 464194|217124, 448944|221089, 420744|227904, 187110^2 208495^2 318682^2 329967^2 351352^2 = = = = = 35010|152100 43470|165025 101558|217124 108878|221089 123448|227904

643357^2 = 413908|229449, 356643^2 = 127194|229449 609687^2 = 371718|237969, 390313^2 = 152344|237969 538461^2 = 289940|248521, 461539^2 = 213018|248521

533170^2 = 284270|248900, 466830^2 = 217930|248900 500500^2 = 250500|250000, 499500^2 = 249500|250000 999999^2 = 999998|000001


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