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江苏省盐城市时杨中学、建湖二中联考2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省盐城市时杨中学、建湖二中联考高二(上) 期中数学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.命题“若 ab=0,则 a=0 或 b=0”的逆否命题是 “真”或“假” ) . ,它是 命题(填

2.不等式

≥0 的解集



3.已知条件 p:x≤1,条件 q:

,则¬p 是 q 的

条件.

4.双曲线



=1 渐近线方程为



5.点 A(3,1)和 B(﹣4,6)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是



6.若椭圆两焦点为 F1(﹣4,0) ,F2(4,0)点 P 在椭圆上,且△PF1F2 的面积的最大值为 12, 则此椭圆的方程是 .

7. 双曲线的离心率为

, 且与椭圆

=1 有公共焦点, 则该双曲线的方程为



8.已知 F1、F2 是椭圆 离心率是 .

+

=1 的左右焦点,弦 AB 过 F1,若△ABF2 的周长为 8,则椭圆的

9.在△ABC 中,BC=AB,∠ABC=120°,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率 为 . 10.已知 p:﹣2≤x≤11,q:1﹣3m≤x≤3+m(m>0) ,若? p 是? q 的必要不充分条件,则实 数 m 的取值范围为 . 11.若关于 x 的方程 9 ﹣(4+a) ? 3 +4=0 有解,则实数 a 的取值范围是 12.命题“? x∈,使 x ﹣2x+m≤0”是假命题,则实数 m 的取值范围为
2 x x

. .

13.设 f(x)=ax +bx,且 1≤f(﹣1)≤2,2≤f(1)≤4,则 f(﹣2)的取值范围用区间 表示为 . 14.若 x,y∈R 且 2x+8y﹣xy=0,则 x+y 的最小值为
+

2



二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15.若双曲线的一条渐近线方程是 y=﹣ x,且过点(2,3) ,求双曲线的标准方程.

16.解关于 x 的不等式 ax ﹣(a+1)x+1<0.

2

17.已知实数 x,y 满足



(1)若 z=2x+y,求 z 的最小值; (2)若 z= ,求 z 的最大值.

18.已知命题 p:函数 y=lg(ax ﹣x+a)的定义域为 R,命题 q:x ﹣2x﹣a>0 在 x∈上恒成 立.如果 p 或 q 为真,p 且 q 为假,试求 a 的取值范围. 19.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过点 C,已知 AB=3 米,AD=2 米. (Ⅰ)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (Ⅱ)当 DN 的长度为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

2

2

20.已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点

,记椭圆的左顶点

为 A. (1)求椭圆的方程; (2)设垂直于 y 轴的直线 l 交椭圆于 B,C 两点,试求△ABC 面积的最大值.

2014-2015 学年江苏省盐城市时杨中学、建湖二中联考高 二(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.命题“若 ab=0,则 a=0 或 b=0”的逆否命题是 若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0 ,它是 真 命题 命题(填“真”或“假” ) . 考点: 四种命题的真假关系. 专题: 规律型. 分析: 将原命题的条件、结论否定,并交换可得: “若 ab=0,则 a=0 或 b=0”的逆否命题, 根据命题的等价性,可知逆否命题为真. 解答: 解:将原命题的条件、结论否定,并交换可得: “若 ab=0,则 a=0 或 b=0”的逆否命 题是若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0 ∵原命题若 ab=0,则 a=0 或 b=0”为真命题 ∴根据命题的等价性,可知逆否命题为真 故答案为:若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0,真命题 点评: 本题的考点是四种命题的真假关系,考查原命题的逆否命题,考查命题的真假判断, 属于基础题.

2. (5 分) (2014 秋? 建湖县校级期中)不等式

≥0 的解集 ( ,1] .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 依题意可得 ①或 ②,分别解之,取并即可.

解答: 解:∵

≥0,



①或



解①得:x∈? ; 解②得: <x≤1, ∴不等式 ≥0 的解集为( ,1].

故答案为: ( ,1]. 点评: 本题考查分式不等式的解法,转化为一次不等式组是关键,属于中档题.

3.已知条件 p:x≤1,条件 q:

,则¬p 是 q 的 充分不必要 条件.

考点: 充要条件. 专题: 阅读型. 分析: 先求出条件 q 满足的条件,然后求出? p,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原 则,判断命题 p 与命题? p 的关系. 解答: 解:条件 q: ,即 x<0 或 x>1

¬p:x>1 ∴¬p? q 为真且 q? ¬p 为假命题, 即? p 是 q 的充分不必要条件 故答案为:充分不必要 点评: 判断充要条件的方法是: ①若 p? q 为真命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p? q 为假命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p? q 为真命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p? q 为假命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题 p 与命题 q 所表示 的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命 题 p 与命题 q 的关系.

4.双曲线



=1 渐近线方程为 y=±

x .

考点: 专题: 分析: 解答: 即得

双曲线的简单性质. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 在双曲线的标准方程中,把 1 换成 0,即得此双曲线的渐近线方程. 解:在双曲线的标准方程中,把 1 换成 0, ﹣ =1 的渐近线方程为 ﹣ =0,化简可得 y=± x.

故答案为:y=± x. 点评: 本题以双曲线为载体,考查双曲线的简单性质,解题的关键是正确运用双曲线的标准 方程. 5.点 A(3,1)和 B(﹣4,6)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是 (﹣7,24) . 考点: 二元一次不等式的几何意义. 专题: 计算题. 分析: 由题意 A(3,1)和 B(﹣4,6)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧可得不等式(7+a) (﹣24+a) <0,解出此不等式的解集即可得到所求的答案 解答: 解:由题意点 A(3,1)和 B(﹣4,6)在直线 3x﹣2y+a=0 的两侧

∴(3×3﹣2×1+a) (3×(﹣4)﹣2×6+a)<0 即(7+a) (﹣24+a)<0 解得﹣7<a<24 故答案为(﹣7,24) 点评: 本题考点二元一次不等式的几何意义,考查了二元一次不等式与区域的关系,解题的 关键是理解二元一次不等式与区域的关系,利用此关系得到参数所满足的不等式,解出取值 范围,本题属于基本题 6.若椭圆两焦点为 F1(﹣4,0) ,F2(4,0)点 P 在椭圆上,且△PF1F2 的面积的最大值为 12, 则此椭圆的方程是 .

考点: 椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先设 P 点坐标为(x,y) ,表示出△PF1F2 的面积,要使三角形面积最大,只需|y|取最 大,因为 P 点在椭圆上,所以当 P 在 y 轴上,此时|y|最大,故可求. 解答: 解:设 P 点坐标为(x,y) ,则 ,

显然当|y|取最大时,三角形面积最大.因为 P 点在椭圆上,所以当 P 在 y 轴上,此时|y|最 大,所以 P 点的坐标为(0,±3) ,所以 b=3.∵a =b +c ,所以 a=5 ∴椭圆方程为 .
2 2 2

故答案为 点评: 本题的考点是椭圆的标准方程, 主要考查待定系数法求椭圆的方程, 关键是利用△PF1F2 的面积取最大值时,只需|y|取最大

7.双曲线的离心率为

,且与椭圆

=1 有公共焦点,则该双曲线的方程为



考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 设双曲线的标准方程为

, (a>0, b>0) ,由已知得

,由此

能求出双曲线的方程.

解答: 解:∵双曲线的离心率为



且与椭圆

=1 有公共焦点, , ,

∴双曲线的焦点坐标为

设双曲线的标准方程为

, (a>0,b>0) ,



,解得 a=2,c=

,b=1,

∴该双曲线的方程为 故答案为: .



点评: 本题考查双曲线方程的求法,是中档题,解题时发认真审题,注意双曲线性质的合理 运用.

8.已知 F1、F2 是椭圆 离心率是 .

+

=1 的左右焦点,弦 AB 过 F1,若△ABF2 的周长为 8,则椭圆的

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据 a =k+2,b =k+1 求得 c 的表达式.再根据椭圆定义知道|AF1|+|AF2|关于 k 的表 达式,再根据三角形 ABF2 的周长求得 k,进而可求得 a,最后根据 e= 求得椭圆的离心率. 解答: 解:由题意知 a =k+2,b =k+1 2 c =k+2﹣(k+1)=1 所以 c=1 根据椭圆定义知道: lAF1l+lAF2l=lBF1l+lBF2l=2 而三角形 ABF2 的周长 =lABl+lAF2l+lBF2l =lAF1l+lAF2l+lBF1l+lBF2l =4 =8 得出 k+2=4 得 K=2
2 2 2 2

∴a= e= =

=2,

故答案为: 点评: 本题主要考查了椭圆性质.要利用好椭圆的第一和第二定义.

9. 在△ABC 中, BC=AB, ∠ABC=120°, 则以 A, B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为



考点: 双曲线的标准方程;双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先求出边 AC 的长,在利用双曲线的定义,求出离心率. 解答: 解:由题意知,AB=2c,又△ABC 中,BC=AB,∠ABC=120°, ∴AC=2 c,∵双曲线以 A,B 为焦点且过点 C,由双曲线的定义知, AC﹣BC=2a,即:2 c﹣2c=2a, ∴ = 故答案为 ,即:双曲线的离心率为 . .

点评: 本题考查双曲线的定义及性质. 10.已知 p:﹣2≤x≤11,q:1﹣3m≤x≤3+m(m>0) ,若? p 是? q 的必要不充分条件,则实 数 m 的取值范围为 ,使 x ﹣2x+m≤0”是假命题,则实数 m 的取值范围为 (1,+∞) . . 考点: 特称命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 写出命题的否命题,据已知命题为假命题,得到否命题为真命题;分离出 m;通过导 函数求出不等式右边对应函数的在范围,求出 m 的范围. 解答: 解:∵命题“? x∈时,满足不等式 x ﹣2x+m≤0 是假命题, 2 ∴命题“? x∈时,满足不等式 x ﹣2x+m>0”是真命题, 2 ∴m>﹣x +2x 在上恒成立, 2 令 f(x)=﹣x +2x,x∈, ∴f(x)max=f(1)=1, ∴m>1. 故答案为: (1,+∞) . 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用、二次函数恒成立问题.解答关键是将问题等价转 化为否命题为真命题即不等式恒成立,进一步将不等式恒成立转化为函数的最值. 13.设 f(x)=ax +bx,且 1≤f(﹣1)≤2,2≤f(1)≤4,则 f(﹣2)的取值范围用区间 表示为 . 考点: 二次函数的性质. 专题: 不等式的解法及应用.
2 2 2

分析: 由条件,可得 f(﹣2)=4a﹣2b=2﹣,由此可得结论. 解答: 解:由 f (x)=ax +bx 得 f(﹣1)=a﹣b ①;f(1)=a+b ② 由①+②得 2a=, 由②﹣①得 2b= 从而 f(﹣2)=4a﹣2b=2﹣=3f(﹣1)+f(1) ∵1≤f(一 1)≤2,3≤f(1)≤4 ∴3×1+3≤3f(﹣1)+f(1)≤3×2+4 ∴6≤3f(﹣1)+f(1)≤10 ∴f (﹣2)的取值范围是:6≤f (﹣2)≤10,即 f(﹣2)的取值范围是 故答案为: . 点评: 本题考查取值范围的确定,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 14.若 x,y∈R 且 2x+8y﹣xy=0,则 x+y 的最小值为 考点: 基本不等式. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 等式 2x+8y﹣xy=0 变形为 到答案. 解答: 解:由题意 2x+8y=xy 即: + =1. ∵x,y∈R ,利用基本不等式:则 x+y=(x+y) ( 当且仅当 ,即 x=2y,
+ + 2

18 .

+ =1,则 x+y=(x+y) (

+ ) ,根据基本不等式即可得

+ )=

+10≥8+10=18.

∵ + =1,∴x=12,y=6 时等号成立, 此时 x+y 的最小值为 18. 故答案为 18. 点评: 本题以等式为载体,主要考查基本不等式的应用问题,题中将等式变形,从而利用 1 的代换是解题的关键,有一定的技巧性,属于基础题目. 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15.若双曲线的一条渐近线方程是 y=﹣ x,且过点(2,3) ,求双曲线的标准方程.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意,双曲线的一条渐近线方程为 y=﹣ x,可设双曲线方程为 9x ﹣16y =λ(λ ≠0) ,又由双曲线过点 P(2,3) ,将点 P 的坐标代入可得λ的值,进而可得答案. 解答: 解:根据题意,双曲线的一条渐近线方程为 y=﹣ x, 设双曲线方程为 9x ﹣16y =λ(λ≠0) ,
2 2 2 2

∵双曲线过点 P(2,3) , ∴36﹣144=λ,即λ=﹣108. ∴所求双曲线方程为 .

点评: 本题考查双曲线的标准方程的求法,需要学生熟练掌握已知渐近线方程时,如何设出 双曲线的标准方程. 16.解关于 x 的不等式 ax ﹣(a+1)x+1<0. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 当 a=0 时,得到一个一元一次不等式,求出不等式的解集即为原不等式的解集;当 a ≠0 时,把原不等式的左边分解因式,然后分 4 种情况考虑:a 小于 0,a 大于 0 小于 1,a 大 于 1 和 a 等于 1 时,分别利用求不等式解集的方法求出原不等式的解集即可. 解答: 解:当 a=0 时,不等式的解为 x>1; 当 a≠0 时,分解因式 a(x﹣ ) (x﹣1)<0 当 a<0 时,原不等式等价于(x﹣ ) (x﹣1)>0, 不等式的解为 x>1 或 x< ; 当 0<a<1 时,1< ,不等式的解为 1<x< ; 当 a>1 时, <1,不等式的解为 <x<1; 当 a=1 时,不等式的解为? . 点评: 此题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论的数学思想,是一道综合题.
2

17.已知实数 x,y 满足



(1)若 z=2x+y,求 z 的最小值; (2)若 z= ,求 z 的最大值.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,进行平移即可得到结论. (2)根据 z 的几何意义即可得到结论. 解答: 解: (1)作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A,

直线 y=﹣2x+z 的截距最小,此时 z 最小, 由 ,解得 ,

即 A(1,2) ,此时 z=2+2=4. (2)z 的几何意义为区域内的点与原点连线的斜率,由图象可得 OA 的斜率最大, 此时 z= .

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键. 18.已知命题 p:函数 y=lg(ax ﹣x+a)的定义域为 R,命题 q:x ﹣2x﹣a>0 在 x∈上恒成 立.如果 p 或 q 为真,p 且 q 为假,试求 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题;简易逻辑. 分析: 首先推出命题 p、q 为真时 a 的取值范围,由果 p 或 q 为真,p 且 q 为假知 p、q 一真 一假,从而得到. 解答: 解:若命题 p 为真,则 ,
2 2

解得,a



若命题 q 为真,则 9﹣6﹣a>0,则 a<3; 由题意可得, p、q 一真一假, 若 p 真 q 假,则 a≥3, 若 p 假 q 真,则 a 则 a≥3 或 a . ,

点评: 本题考查了复合命题的真假性的应用,属于基础题.

19.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过点 C,已知 AB=3 米,AD=2 米. (Ⅰ)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围 内? (Ⅱ)当 DN 的长度为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;函数模型的选择与应用. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)设 DN 的长为 x(x>0)米,则|AN|=(x+2)米,表示出矩形的面积,利用矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,即可求得 DN 的取值范围. (2)化简矩形的面积,利用基本不等式,即可求得结论. 解答: 解: (Ⅰ)设 DN 的长为 x(x>0)米,则|AN|=(x+2)米 ∵ ,∴



由 SAMPN>32 得 又 x>0 得 3x ﹣20x+12>0 解得:0<x< 或 x>6 即 DN 的长取值范围是 (Ⅱ)矩形花坛的面积为
2

当且仅当 3x=

,即 x=2 时,矩形花坛的面积最小为 24 平方米.

点评: 本题考查根据题设关系列出函数关系式,并求出处变量的取值范围;考查利用基本不 等式求最值,解题的关键是确定矩形的面积.

20.已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点

,记椭圆的左顶点

为 A. (1)求椭圆的方程; (2)设垂直于 y 轴的直线 l 交椭圆于 B,C 两点,试求△ABC 面积的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据椭圆 =1(a>b>0)的离心率为 ,且过点 ,建立方

程,求出几何量,从而可得椭圆 C 的方程; (2)设 B(m,n) ,C(﹣m,n) ,则 S△ABC= ×2|m|×|n|=|m|? |n|,利用基本不等式可求△ ABC 面积的最大值 解答: 解: (1)∵椭圆 =1(a>b>0)的离心率为 ,且过点 ,

∴ =

, ,



∴a=1,b=c=

所以椭圆 C 的方程为 x +2y =1; (2)设 B(m,n) ,C(﹣m,n) ,则 S△ABC= ×2|m|×|n|=|m|? |n|, 又 1=m +2n ≥2 从而 S△ABC≤
2 2

2

2

|m|? |n|,所以|m|? |n|≤ ,即△ABC 面积的最大值为 .

,当且仅当|m|=

|n|时取等号…8 分

点评: 本题考查椭圆的性质与方程,考查三角形面积的计算,考查基本不等式的运用,考查 学生分析解决问题的能力,属于中档题.


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