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11班试卷变式训练


试卷变式训练
1 函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R, f ' ( x) ? 2 ,则 f(x)>2x+4 的解 集为 (A) (-1,1) (B) (-1,+ ? ) (C) ? ,-1) (D) ? ,+ ? ) ((-

2 定义在 R 上的可导函数 f (x) ,满足 f (x) ? f ' ( x)

对于任意的 x 恒成立则( ) (A) f (2) ? e2 f (0), f (2011 ? e2011 f (0) ) (C) f (2) ? e2 f (0), f (2011 ? e2011 f (0) ) (B) f (2) ? e2 f (0), f (2011 ? e2011 f (0) ) (D) f (2) ? e2 f (0), f (2011 ? e2011 f (0) )

3 直线 l : Ax ? By ? C ? 0( A, B不全为 ), 两点P ( x1 y1 ), p2 ( x2 , y2 )满足(Ax1 ? By1 ? C 0 1 )( ( Ax2 ? By2 ? C) ? 0 ,且 Ax1 ? By1 ? C ? Ax 2 ? By 2 ? C 则( ) (A)直线 l 与直线 P P2 不相交 (B)直线 l 与线段 P P2 的延长线相交 1 1 (C)直线 l 与线段 P P 的延长线相交 (D)直线 l 与线段 P P 相交 2 1 2 1 4 O 是平面上一点, A, B, C 是平面上不共线三点,动点 P 满足

??? ??? ? ? ??? ???? ? OP ? OA ? ? AB ? AC ,

?

?

? ? ?0, ? , ? 2?

? 1?

当? ?

1 时, AP ? 2 ,求 PA ? (PB ? PC )的最小值______________. 2

2 5 已知 A,B 为抛物线 C: y ? 4 x 上的两个不同点,F 为焦点,若 FA ? ?4FB ,则直线 AB 的斜

率为(

)

(A) ?

2 3

(B) ?

3 2

(C) ?

3 4

(D) ?

4 3

6 如图,已知椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,椭圆的左、右焦点 F1 , F2 .双曲线的方程为 8 4

x2 y 2 ? ? 1 。设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 4 4
A、B 和 C、D .(Ⅰ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,证明 k1·2 ? 1 ; k
(Ⅱ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB · CD 恒成立?若存在,求 ? 的值;若不 存在,请说明理由.

【解析】 (Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为

c 2 ? ,得 a ? 2c ,又 2a ? 2c ? 4( 2 ?1) , a 2

所以可解得 a ? 2 2 , c ? 2 ,所以 b ? a ? c ? 4 ,所以椭圆的方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 ;所 8 4

以椭圆的焦点坐标为( ?2 ,0) ,因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以 该双曲线的标准方程为

x2 y 2 ? ?1。 4 4

本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系, 是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。是一个开放性问题,考

查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,

7 如图,过抛物线 y = 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、N
2

两点,自 M、N 向准线 L 作垂线,垂足分别为 M1、N1 (Ⅰ)求证:FM1⊥FN1: (Ⅱ)记△FMM1、 、△FM1N1、△FN N1 的面积分别为 S1 , S 2 , S3 ,试判断 S 2 =4S1S3 是否成立,并证明你的结论。
2

(1) 证法 1:由抛物线的定义得

MF ? MM1 , NF ? NN1 ,

??MFM1 ? ?MM1F , ?NFN1 ? ?NN1F
如图,设准线 l 与 x 的交点为 F 1

2分

Q MM1 // NN1 // FF1

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??F1FM1 ? ?MM1F , ?F1FN1 ? ?NN1F
而 ?F FM1 ? ?MFM1 ? ?F FN1 ? ?N1FN ? 1800 1 1 即 2?F FM1 ? 2?F FN1 ? 1800 1 1

??F1FM1 ? ?F1FN1 ? 900
故 FM1 ? FN1 证法 2:依题意,焦点为 F (

p p , 0), 准线 l 的方程为 x ? ? 2 2 p ,则有 2

设点 M,N 的坐标分别为 M x1 , y1 ), N x2 , y2 ), 直线 MN 的方程为 x ? my ? ( (

M 1 (?

p p , y1 ), N1 (? , y2 ), FM 1 ? (? p, y1 ), FN1 ? (? p, y2 ) 2 2
得 y ? 2mpy ? p ? 0
2 2

p ? ? x ? my ? 由? 2 ? y 2 ? 2 px ?

于是, y1 ? y2 ? 2mp , y1 y2 ? ? p2

????? ???? ? ? FM1 ? FN1 ? p2 ? y1 y2 ? p2 ? p2 ? 0 ,故 FM1 ? FN1
2 (Ⅱ) S2 ? 4S1S3 成立,证明如下:

证法 1:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由抛物线的定义得

p p ,| NN1 |?| NF |? x2 ? ,于是 2 2 1 1 p S1 ? ? | MM 1 | ? | F1M 1 |? ( x1 ? ) | y1 | 2 2 2 1 1 S2 ? ? | M 1 N 2 | ? | FF1 |? p | y1 ? y2 | 2 2 1 1 p S3 ? ? | NN1 | ? | F1 N1 |? ( x2 ? ) | y2 | 2 2 2 1 1 p 1 p 2 ? S2 ? 4S1S3 ? ( p | y1 ? y2 |) 2 ? 4 ? ( x1 ? ) | y1 | ? ( x2 ? ) | y2 | 2 2 2 2 2 | MM 1 |?| MF |? x1 ?
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?

1 2 p p2 p [( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ] | y1 y2 | 4 2 4

p ? ? x1 ? my1 ? 2 ? y1 ? y2 ? 2mp ? 将? 与? 代入上式化简可得 2 ? x ? my ? p , ? y1 y2 ? ? p 2 ? 2 ? 2

p2 (m2 p2 ? p2 ) ? p2 (m2 p2 ? p2 ) ,此式恒成立。
2 故 S2 ? 4S1S3 成立。

证法 2:如图,设直线 MN M 的倾角为 ? , | MF |? r ,| NF |? r2 1 则由抛物线的定义得 | MM1 |?| MF |? r ,| NN1 |?| NF |? r3 1

? MM1 // NN1 // FF1 , ? ?FMM1 ? ? , ?FNN1 ? ? ? ?
于是 S1 ?

1 2 1 1 r1 sin ? , S3 ? r22 sin(? ? ? ) ? r22 sin ? 2 2 2

在 ?FMM1 和 ?FNN1 中,由余弦定理可得

| FM1 |2 ? 2r12 ? 2r12 cos ? ? 2r12 (1 ? cos ? ),| FN1 |2 ? 2r22 ? 2r22 cos ? ? 2r22 (1 ? cos ? )
1 | FM 1 | ? | FN1 | 2 1 1 2 ? S2 ? | FM 1 |2 ? | FN1 |2 ? ? 4r12 ? r22 ? (1 ? cos ? )(1 ? cos ? ) ? r12 r22 sin 2 ? ? 4 S1S3 4 4
由(I)的结论,得 S 2 ?
2 即 S2 ? 4S1S3 ,得证。

2 8 已知 a ? 0 ,函数 f ? x ? ? ln x ? ax , x ? 0 . f ? x ? 的图象连续不断) (

(Ⅰ 求 f ? x ? 的单调区间; ) (Ⅱ 当 a ? )

1 ?3? 时,证明:存在 x0 ? ? 2, ??? ,使 f ? x0 ? ? f ? ? . 8 ?2?

(Ⅲ 若存在属于区间 ?1,3? 的 ? , ? ,且 ? ? ? ? 1,使 f )

?? ? ? f ? ? ? ,证明:

l n? 3 5

l n 2 ?a?

3



l n 2

【解】(Ⅰ f ? ? x ? ? )

1 1 ? 2ax 2 ? 2ax ? ,x ? 0. x x

令 f ? ? x ? ? 0 ,则 x ?

2a . 2a

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化情况如下表:

x

? 2a ? ? 0, ? 2a ? ? ? ?

2a 2a
0
极大值

f ? ? x?

?
单调递增

? 2a ? , ?? ? ? ? 2a ? ? ? ?
单调递减

f ? x?

所以 f ? x ? 的单调增区间是 ? 0, (Ⅱ 当 a ? )

? ? ?

? 2a ? 2a ? , ?? ? . ? ,单调减区间是 ? ? 2a ? 2a ? ? ? ?

1 1 2 时, f ? x ? ? ln x ? x , 8 8

由(Ⅰ )知, f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 单调递增,在 ? 2,??? 单调递减. 令 g ? x? ? f ? x? ? f ?

?3? ?. ?2? ?3? ? ,因而 g ? 2? ? 0 . ?2?

由于 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 单调递增,则 f ? 2 ? ? f ?

取 x? ?

3 41 ? 9e2 e ? 2 ,则 g ? x? ? ? ?0, 2 32

所以存在 x0 ? ? 2, x?? ,使 g ? x0 ? ? 0 ,即存在 x0 ? ? 2, ??? ,使 f ? x0 ? ? f ?

?3? ?. ?2?

(Ⅲ 由 f )

?? ? ? f ? ? ? 及 f ? x ? 的单调性知 ? ?

2a ??. 2a

从而 f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 上的最小值为 f

?? ? .又由 ? ? ? ? 1, ? , ? ??1,3? ,则

1? ? ? 2 ? ? ? 3.
所以 ?

? f ? 2 ? ? f ?? ? ? f ?1? , ? ? f ? 2 ? ? f ? ? ? ? f ? 3? , ?

即?

? ln 2 ? 4a ? ?a, ?ln 2 ? 4a ? ln 3 ? 9a.
ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? . 5 3

所以

1 1 f ( x) ? ln( ? ax) ? x 2 ? ax 2 2 9 已知函数 ( a 为常数, a ? 0 ).
1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 (2)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [ , ? ?) 上是增函数; 2 1 (3)若对任意的 a ? (1, 2) ,总存在 x0 ? [ , 1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m(1 ? a2 ) 成立,求 .. .. 2
(1)若 x ? 实数 m 的取值范围.


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