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浙江省2015届高三第一次五校联考数学(文)试题 Word版含答案


2014 学年浙江省第一次五校联考

数学(文科)试题卷
命题学校:宁波效实中学
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部分 3 至 4 页.满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式:
柱体的体积公式 V=Sh 锥

体的体积公式 V= 台体的体积公式 V ?
1 3

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 Sh
h ( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

1 3

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积 其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径

球的表面积公式 S=4πR2 球的体积公式 V=
4 3

πR 3

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为 R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 ,则 A
x 2

?

?

?

?

CR B ? (



A.

?x x ? 0?

B.

?x 2 ? x ? 4? C. ?x 0 ? x ? 2或x ? 4?

D. x 0 ? x ? 2或x ? 4 ) D. 4 )

?

?

2. 在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 3, a6 ? ?2 ,则 a3 ? a4 ? A. 1 B. 2 C. 3

a8 等于(

3. 设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是( A. 若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C. 若 l //? , m ? ? ,则 l //m B. 若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D. 若 l //? , m//? ,则 l //m

4. 设 a , b 是实数,则“ a ? b ? 1 ”是“ a ? A. 充分不必要条件 C. 充要条件

1 1 ? b ? ”的( a b



B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 )

5. 已知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? (
-1-

A. ?1

B. 1

C. ?5

D. 5

6. 已知函数 f ( x ) ? cos ? ? x ?

? ?

??

? ( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 4?


g ( x) ? sin ? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象(
A. 向左平移

3? 个单位长度 4 3? 个单位长度 8

B. 向右平移

3? 个单位长度 4 3? 个单位长度 8

C. 向左平移

D. 向右平移

? y ? ?2 x, ? 7. 设实数 x, y 满足 ? y ? x, 则 z ? y ? 4 | x | 的取值范围是( ? y ? x ? 4, ?
A. ?? 8,?6? B. [?8,4] C. [?8,0] D. ?? 6,0?



8. 如图, 在正四棱锥 S ? ABCD 中, E , M , N 分别是 BC, CD, SC 的 中点,动点 P 在线段 MN 上运动时,下列四个结论:① EP ? AC ; ② EP / / BD ;③ EP // 面SBD ;④ EP ? 面SAC .中恒成立的为 ( )

S

N

A
B
B. ③④ C. ①② D. ②③④

D

E

.

C

M

A. ①③

(第 8 题图)

9. 设 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 恒 不 为 零 的 函 数 , 对 任 意 实 数 x, y? R, 都 有

f?x ? ? f? ?y ?
值范围是( A. ? , 2 ? ?2 ?

?f


? x ? ,若 y a1 ? , an ? f ? n? ? n ? N? ? ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 的取

1 2

?1

?

B. ? , 2 ? ?2 ?

?1

?

C. ? ,1? ?2 ?

?1 ?

D. ? ,1? ?2 ?

?1 ?

? x 2 ? 2 x, x ? 0, ?2x?2 ?1, x ? 0, ? g ( x) ? ? 1 10 已知函数 f ( x ) ? ? 则函数 f [ g ( x)] 的所有零点之 , x ? 0. x ? 2, x ? 0, ? ? ?x
和是( )

-2-

A. ?

1 ? 3 2

B.

1 ? 3 2

C. ? 1 ?

3 2

D. 1 ?

3 2

非选择题部分 (共 100 分)
二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 11. 函数 f ( x) ? 12. 已知 sin(? ?

1 的定义域为 log2 ( x ? 2)





?

1 ? ) ? , ? ? ? ? ,则 cos ? ? 4 3 2





13. 已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的 体积为 ▲ .

14. 已知偶函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称, 且 x ??0,1? 时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f ? ?

? 3? ?= ? 2?





15. 设 a1 ,a2 ,???,an ,??? 是按先后顺序排列的一列向量,若 a1 ? (?2014,13) , 且 an ? an?1 ? (1,1) ,则其中模最小的一个向量的序号 n ?
2 2





16. 设 a, b ?R,关于 x 的方程 ( x ? ax ? 1)(x ? bx ? 1) ? 0 的四个实根构成以 q 为公比的等 比数列, 若 q ? [ , 2] , 则 ab 的取值范围是

1 3




C

D V

17. 已知正四棱锥 V ? ABCD 可绕着 AB 任意旋转,

CD / / 平面? .若 AB ? 2 , VA ? 5 ,则正四棱锥

A

V ? ABCD 在面 ? 内的投影面积的取值范围是





B

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分)锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知

cos ? B ? A ? ? 2sin 2

C . 2

-3-

(Ⅰ)求 sin A sin B 的值; (Ⅱ)若 a ? 3, b ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

-4-

19. (本题满分 14 分)如图所示,正方形 ABCD 所在的平面与等腰 ?ABE 所在的平面 互相垂直,其中顶 ?BAE ? 120 , AE ? AB ? 4 , F 为线段 AE 的中点. (Ⅰ )若 H 是线段 BD 上的中点,求证: FH // 平面 CDE ; (Ⅱ )若 H 是线段 BD 上的一个动点,设直线 FH 与平面 ABCD 所成角的大小为 ? ,求 tan ? 的最大值. D H C

A F E
(第 19 题图 )

B

20. (本题满分 15 分)已知数列

?an? 的前 n 项和 Sn 满足 (t ?1)Sn ? t (an ? 2),

(t为常数, t ? 0且t ? 1) .

?an? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? Sn ? 1 ,且数列 ?bn ? 为等比数列.
(Ⅰ)求数列 ① 求 t 的值; ② 若 cn ? ? ?an ? ? log3 ? ?bn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 和 Tn .

21. (本题满分 14 分)设向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? 3 cos 2? ) , b = (m,

? , m, ? 为实数. ? (Ⅰ)若 ? ? ,且 a ? b, 求 m 的取值范围; 12 ? (Ⅱ)若 a ? 2b, 求 的取值范围. m

m ? sin ? cos ? ) , 其中 2

22. (本题满分 15 分) 已知函数 f ? x ? ? ? x x ? a ? 1 ? x ? R ? . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求使 f ? x ? ? x 成立的 x 的值; (Ⅱ)当 a ? ? 0,3? ,求函数 y ? f ? x ? 在 x ??1, 2? 上的最大值; (Ⅲ)对于给定的正数 a ,有一个最大的正数 M ? a ? , 使x?? ? 0, M ? a ? ? ? 时,都有 f ? x ? ? 2 , 试求出这个正数 M ? a ? ,并求它的取值范围.

-5-

2014 学年浙江省第一次五校联考

数学(文科)答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容制订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的题答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内 容与难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. (1)C (2)C (3)B (4)A (5)D (6)D (7)B (8)A (9)C (10)B 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分. (11) x x ? 2 且x ? 3

?

?

(12)

2 ?4 6

(13)

160 3
(17)

(14) ?

1 2

(15)

1001,1002

(16) [ 4,

112 ] 9

[ 3,4]

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18) 解: (Ⅰ)由条件 cos

? B ? A? ? 1 ? cos C ? 1 ? cos ? B ? A? ,

? cos B cos A ? sin B sin A ? 1 ? cos B cos A ? sin B sin A ,
即 sin A sin B

?

1 ,????7 分 2
,又 sin A sin B

(Ⅱ)

sin A a 3 ? ? sin B b 2

?

3 3 1 ,解得: sin A ? , ,sin B ? 2 2 3

因为是锐角三角形,? cos A ?

1 6 , ,cos B ? 2 3

-6-

sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ?

3 2? 3 6

1 1 3 2? 3 3 2? 3 ????14 分 S? ? ab sin C ? ? 3 ? 2 ? ? 2 2 6 2
(19)(Ⅰ)方法 1:连接 AC

ABCD 是正方形,? H 是 AC 的中点,有 F 是 AE 的中点,


? FH 是?ACE的中位线

? FH CE, 而FH ? 面CDE,CE ? 面CED,从而FH 面CDE. ????6 分 E FH 面 方 法 2 : 取 AD 的 中 点 G , 通 过 证 明 面G F H 面 C D,从而
(Ⅱ)

CD E .) (略

面ABCE ? 面ABE,它们交线为AB,而DA ? AB, ?DA ? 面ABE ,
D H C

作 FI ? AB 垂足为 I ,有 FI ? AD ,得 FI ? 面ABCD ,

??FHI是直线FH与平面ABCD所成的角

FI=AFsin60 ? 3, ? tan ?FHI ?
5 2 当 IH ? BD时,IH取到最小值 2
从而 (tan ?FHI ) max ?

FI 3 ? . IH IH
F E

A

B

(第 19 题图 )

6 ????14 分 5

(20)解: (Ⅰ)由 (t ? 1)Sn 即数列

? t (an ? 2) ,及 (t ?1)Sn?1 ? t (an?1 ? 2) ,作差得 an?1 ? tan ,

?an ? 成等比, an ? a1t n?1 ,∵ a1 ? 2t ,故 an ? 2t n ????5 分
?bn? 为等比数列,∴ b22 ? b1b3
?1)2 ? (2t ?1)(2t ? 2t 2 ? 2t 3 ?1)
故t 整理得 6t
3

(Ⅱ)①∵数列 代入得 (2t ? 2t 解得 t

2

? 2t 2

?

1 或 t ? 0 (舍) 3

?

1 3
显然数列

当t

?

1 1 时, bn ? Sn ? 1 ? ? n 3 3
2n 3n

?bn? 为等比数列????10 分

② cn ? ? ?an ? ? log 3 ? ?bn ? ?

-7-

∴ Tn

?

2 4 6 ? ? ? 31 32 33

? ?

2n 3n



1 2 4 6 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 3 3 3

?

2n 作差得 3n?1

2 2 2 2 Tn ? ? 2 ? 3 ? 3 3 3 3
故 Tn

2 2n 1 2n 2n ? 3 ? n?1 ? 1 ? n ? n?1 ? 1 ? n?1 n 3 3 3 3 3

?

3 2n ? 3 ????15 分 ? 2 2 ? 3n
3? ? ? m 1? 时, a ? ? ? ? 2, ? 2 ? ? , b ? ? m, ? ? 12 2? ? ? 2 4? 3 ?? m 1 ? ?? ? ? ? 0 2 ?? 2 4 ?

(21)解: (Ⅰ) ? ?

?



a ? b, ?

2 ? ? ? 2? m ? ? ?? ?

?

整理得:方程 当m ? ? 当m ? ?

5 3 ?m 1? 2 ? ? ? ? ? m? ? m ? ? 0 对一切 ? ? R 均有解. 4 8 ? 2 4?

1 时,得 ? ? ?2 ,符合; 2 1 时, 2

3? 3 2 1 3 ? 2m ? 1 ?? 5 ? ? m2 ? 4 ? ?? m ? ? ? ? m ? m ? ? 0 8? 2 2 8 ? 4 ?? 4

解得: ?

1 10 1 10 1 ? ?m?? ? , 且m ? ? 6 6 6 6 2

综上: ?

1 10 1 10 ????7 分 ? ?m?? ? 6 6 6 6
? ?
2

(Ⅱ)由题意只需 ?

? +2=2m

? ?? ? 3 cos 2? ? m ? sin 2?

由 ? ? 2m ? 2 消去 ? 得:

? 2m ? 2 ?

2

? m ? sin 2? ? 3 cos 2? ,? 4m 2 ? 9m ? 4 ? 2sin(2? ?

?
3

) ? ? ?2, 2? ,

? 4m2 ? 9m ? 4 ? 2 1 解不等式组 ? 2 ,得: ? m ? 2 4 ?4m ? 9m ? 4 ? ?2
? 2m ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?6,1? ????14 分 m m m (22)解: (Ⅰ) x ? 1 ????3 分 ?

?

-8-

(Ⅱ)当 f ? x ? ? ?

?? x 2 ? ax ? 1 ? 2 ? ? x ? ax ? 1

? x ? a ? ,作出示意图,注意到几个关键点的值: ? x ? a?

a a2 f ( x) ? 2 f (0) ? f (a)=1, f ( ) ? 1 ? , 最大值在 f (1), f ? 2? , f ? a ? 中取. 2 4
当 0 ? a ? 1时, f ? x ? 在?1,2?上递减,故f ? x ?max ? f ?1? ? a ; 当 1 ? a ? 2时, f ? x ? 在?1, a?上递增, ?a,2?上递减,故f ? x?max ? f ? a ? ? 1 ;

a ? a? ?a ? 当2 ? a ? 3时, f ? x ? 在 ?1, ? 上递减, , 2? 上递增,且x= 是函数的对称轴, ? 2 ? 2? ?2 ? a? ?a ? ? 由于 ? 2 ? ? ? ? ? 1? ? 3 ? a ? 0, 表明:f ? x ?max ? f ? 2 ? ? 5 ? 2a 2? ?2 ? ?
(0 ? a ? 1) ?a ? (1 ? a ? 2) ????9 分 综上: f ? x ? ? ? 1 ?5 ? 2a (2 ? a ? 3) ?
(Ⅲ)

当x ?? 0, ??? 时, f ( x)max ? 1 ,故问题只需在给定区间内 f ? x ? ? ?2恒成立 ,

由 f ( ) ? 1?

a 2

a2 4

,分两种情况讨论:

当1 ?

a2 ? ?2 时, M ? a ? 是方程 x2 ? ax ? 1 ? ?2 的较小根 4

a ? a 2 ? 12 6 即 a ? 2 3 时, M ? a ? ? ? ? 0, 3 ? ? 2 2 a ? a ? 12

?

当1 ?

a2 ? ?2 时, M ? a ? 是方程 ? x2 ? ax ? 1 ? ?2 的较大根 4

即 0 ? a ? 2 3 时, M ? a ? ?

a ? a 2 ? 12 ? 2

?

3, 3 ? 6

?
? ?

? a ? a 2 ? 12 a?2 3 ? ? 2 综上 M ? a ? ? ? ? a ? a 2 ? 12 0?a?2 3 ? ? 2

?

?

?

?

, 且M ? a ? ? 0, 3 ? 6 . ????15 分

-9-


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