当前位置:首页 >> 数学 >> 2012年北京市西城区高三一模数学(理)试题Word版带答案

2012年北京市西城区高三一模数学(理)试题Word版带答案


北京市西城区 2012 年高三一模试卷(理科) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | (A) (0,1) (B) (0,1]

1 ? 1} ,则 ?U A ? ( x



(C) (??, 0]

? (1, ??)

(D) (??, 0) ? [1, ??)

2.执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的 值为( ( A) 2 ) (B) 5 (C) 11 (D) 23

? x ? y ? 0, ? 3.若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 2 x ? y 的最大值为( ?0 ? x ? 3, ?
(A) 9 (B) 3 (C) 0 (D) ?3



4.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为 12 3 cm3 . 其三视图中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( (A) 4 3 cm2 (B) 2 3 cm2 (C) 8cm 2 )

(D) 4cm2 )

5.已知函数 f ( x) ? sin 4 ? x ? cos4 ? x 的最小正周期是 π ,那么正数 ? ? ( (A) 2 (B) 1 (C)

1 2

(D)

1 4


6.若 a ? log2 3 , b ? log3 2 , c ? log4 6 ,则下列结论正确的是( (A) b ? a ? c (B) a ? b ? c (C) c ? b ? a (D) b ? c ? a

7.设等比数列 {an } 的各项均为正数,公比为 q ,前 n 项和为 Sn .若对 ?n ? N ,有 S2n ? 3Sn ,则 q 的取值范
*

围是(

) (B) (0, 2) (C) [1, 2) (D) (0, 2)

(A) (0,1]

8.已知集合 A ? {x | x ? a0 ? a1 ? 3 ? a2 ? 32 ? a3 ? 33},其中 ak ?{0,1, 2} (k ? 0,1, 2,3) ,且 a3 ? 0 .则 A 中 所有元素之和等于( (A) 3240 ) (C) 2997 (D) 2889 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 某年级 120 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒 (B) 3120

14) , [14 , 15) , 与 18 秒之间.将测试结果分成 5 组: [13 , [15 , 16) , [16 , 17 ) , [17 , 18] ,得到如图所示的频率分
布直方图.如果从左到右的 5 个小矩形的面积之比为

2012 西城高三一模数学理科

第 1 页 共 9 页

1: 3 : 7 : 6 : 3 ,那么成绩在 [16,18] 的学生人数是_____.
B
10. ( x ? 2) 的展开式中, x 的系数是_____. (用数字作答)
6
3

11. 如图, AC 为⊙ O 的直径, OB ? AC ,弦 BN 交 AC 于点 M .若 OC ? 3 , OM ? 1 ,则 MN ? _____.

C

M O N

A

π 12. 在极坐标系中,极点到直线 l : ? sin(? ? ) ? 2 的距离是_____. 4
1

13.

? 0? x ? c , ?x 2 , 已 知 函 数 f ( x) ? ? 其 中 c ? 0 . 那 么 f ( x ) 的 零 点 是 _____ ; 若 f ( x ) 的 值 域 是 2 ? ? x ? x, ? 2 ? x ? 0,

1 [? , 2],则 c 的取值范围是_____. 4
14. 在直角坐标系 xOy 中, 动点 A ,B 分别在射线 y ?

3 且△ OAB x ( x ? 0) 和 y ? ? 3x ( x ? 0) 上运动, 3

的面积为 1 .则点 A , B 的横坐标之积为_____;△ OAB 周长的最小值是_____. 三、解答题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,已知 sin( A ? B) ? sin B ? sin( A ? B) . (Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 | BC | ? 7 , AB ? AC ? 20 ,求 | AB ? AC | .

??? ?

??? ? ??? ?

16.(本小题满分 13 分) 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获胜,比赛结束) ,假设 两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (Ⅰ)求甲以 4 比 1 获胜的概率; (Ⅱ)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率; (Ⅲ)求比赛局数的分布列.

2012 西城高三一模数学理科

第 2 页 共 9 页

17. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为 菱形, ?DAB ? ?DBF ? 60? ,且 FA ? FC . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDEF ; (Ⅱ)求证: FC ∥平面 EAD ; (Ⅲ)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值.
A D B C E F

18.(本小题满分 13 分)
ax 已知函数 f ( x) ? e ? ( ? a ? 1) ,其中 a ? ?1 .

a x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间.

2012 西城高三一模数学理科

第 3 页 共 9 页

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,定点 M (2,0) ,椭圆短轴的端点是 B1 , B2 ,且 2 a b 3

MB1 ? MB2 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 M 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 A , B 两点.试问 x 轴上是否存在定点 P , 使 PM 平分 ?APB ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

20.(本小题满分 13 分) 对于数列 An : a1 , a2 ,?, an (ai ? N, i ? 1, 2,?, n) ,定义“ T 变换” : T 将数列 An 变换成数 列 Bn : b1 , b2 ,?, bn , 其中 bi ? | ai ? ai ?1 | (i ? 1, 2,?, n ?1) , 且 bn ? | an ? a1 | , 这种 “ T 变换”记作 Bn ? T ( An ) . 继续对数列 Bn 进行“ T 变换” ,得到数列 Cn ,?,依此类推,当得到的数列各项均为 0 时变换结束. (Ⅰ)试问 A3 : 4, 2,8 和 A4 :1, 4, 2,9 经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“ T 变换” 得到的各数列;若不能,说明理由; (Ⅱ)求 A3 : a1 , a2 , a3 经过有限次“ T 变换”后能够结束的充要条件; (Ⅲ)证明: A4 : a1 , a2 , a3 , a4 一定能经过有限次“ T 变换”后结束.

2012 西城高三一模数学理科

第 4 页 共 9 页

北京市西城区 2012 年高三一模试卷 数学(理科)参考答案及评分标准 2012.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. C; 2. D; 3. A; 4.A; 5. B; 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 54 ; 10. ?160 ; 11. 1 ; 12. 2 ; 13. ?1 和 0 , (0, 4] ; 注:13 题、14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:原式可化为 sin B ? sin( A ? B) ? sin( A ? B) ? 2 cos Asin B . 因为 B ? (0, π) , 所以 sin B ? 0 , 所以 cos A ? ??????3 分 6. D; 7. A; 8. D .

14.

3 , 2(1 ? 2) . 2

1 . 2

??????5 分

π . ??????6 分 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)解:由余弦定理,得 | BC |2 ?| AB |2 ? | AC |2 ? 2| AB || AC | ? cos A .??????8 分
因为 A ? (0, π) , 所以 A ? 因为 | BC |? 7 , AB ? AC ? | AB || AC | ? cos A ? 20 , 所以 | AB |2 ? | AC |2 ? 89 . ???10 分 因为 | AB ? AC |2 ? | AB |2 ? | AC |2 ? 2 AB ? AC ? 129 , 所以 | AB ? AC | ? 129 . 16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A ,则 P( A) ? C4 ( ) ( )
3 3

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??????12 分 ??????13 分

??? ? ??? ?

1 . ??????1 分 2

1 2

1 2

4 ?3

1 1 ? .??????4 分 2 8
??????6 分 ??????7 分 ??????8 分

(Ⅱ)解:记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B .

1 5 ?3 1 5 ? , 2 2 32 5 3 1 3 1 6 ?3 1 ? 乙以 4 比 3 获胜的概率为 P2 ? C6 ( ) ( ) , 2 2 2 32 5 所以 P ( B ) ? P . 1?P 2 ? 16
因为,乙以 4 比 2 获胜的概率为 P 1 ? C5 ( ) ( )
3 3

1 2

(Ⅲ)解:设比赛的局数为 X ,则 X 的可能取值为 4,5,6,7 .

1 4 1 P ( X ? 4) ? 2C4 , 4( ) ? 2 8 1 3 1 4 ?3 1 1 P( X ? 5) ? 2C3 ? , 4( ) ( ) 2 2 2 4 1 3 1 5? 2 1 5 P( X ? 6) ? 2C3 ? ? , 5( ) ( ) 2 2 2 16
2012 西城高三一模数学理科 第 5 页 共 9 页

??????9 分 ??????10 分 ??????11 分

1 3 1 6 ?3 1 5 P( X ? 7) ? 2C3 ? ? . 6( ) ( ) 2 2 2 16
比赛局数的分布列为:

??????12 分

X
P

4 1 8

5 1 4

6 5 16

7 5 16
??????13 分

17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:设 AC 与 BD 相交于点 O ,连结 FO . 因为 四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD , 且 O 为 AC 中点. ??????1 分

又 FA ? FC ,所以 AC ? FO . ???3 分 因为 FO ? BD ? O , 所以 AC ? 平面 BDEF . ??????4 分 (Ⅱ)证明:因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD // BC , DE // BF , 所以 平面 FBC //平面 EAD . 又 FC ? 平面 FBC ,所以 FC // 平面 EAD . ??????8 分 (Ⅲ)解:因为四边形 BDEF 为菱形,且 ?DBF ? 60? ,所以△ DBF 为等边三角形. 因为 O 为 BD 中点,所以 FO ? BD ,故 FO ? 平面 ABCD . 由 OA, OB, OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ??????9 分 设 AB ? 2 .因为四边形 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60? ,则 BD ? 2 ,所以 OB ? 1 , ??????7 分

OA ? OF ? 3 .
所以 O(0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0),C(? 3,0,0), F (0,0, 3) . 所以 CF ? ( 3,0, 3) , CB ? ( 3,1,0) .

??? ?

??? ?

??? ? ? ?n ? CF ? 0, 设平面 BFC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ??? ? n ? CB ? 0. ? ?
所以 ?

? 3x ? 3z ? 0, ? 3 x ? y ? 0.

取 x ? 1 ,得 n ? (1,? 3,?1) .

??????12 分

易知平面 AFC 的法向量为 v ? (0,1, 0) . 由二面角 A ? FC ? B 是锐角,得 cos? n, v ? ?
2012 西城高三一模数学理科 第 6 页 共 9 页

??????13 分

n?v n v

?

15 . 5

所以二面角 A ? FC ? B 的余弦值为 18.(本小题满分 13 分)

15 . 5
1 x 1 ). x2

??????14 分

x x (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ( x ) ? e ? ( ? 2) , f ?( x) ? e ? ( ? 2 ?

1 x

??????2 分

由于 f (1) ? 3e , f ?(1) ? 2e , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 2ex ? y ? e ? 0 .
ax (Ⅱ)解: f ?( x) ? ae

??????4 分 ??????6 分

( x ? 1)[(a ? 1) x ? 1] ,x ? 0. x2

① 当 a ? ?1 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 .

f ( x) 的单调递减区间为 (??, ?1) ;单调递增区间为 (?1, 0) , (0, ??) .?????8 分
1 . a ?1 1 1 , ??) ;单调递增区间为 (?1, 0) , (0, ) ② 当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 (??, ?1) , ( a ?1 a ?1
当 a ? ?1 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 ,或 x ? ??????10 分 ③ 当 a ? 0 时, f ( x ) 为常值函数,不存在单调区间. ④ 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递减区间为 (?1, 0) , (0, ??????11 分

1 1 ) ;单调递增区间为 (??, ?1) , ( , ??) . a ?1 a ?1
??????13 分

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由

b 2 5 a 2 ? b2 b2 ? . ? e2 ? ? 1 ? , 得 2 2 a 3 9 a a

??????2 分

依题意△ MB1B2 是等腰直角三角形,从而 b ? 2 ,故 a ? 3 .

??????4 分

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的方程是 9 4
(Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 x ? my ? 2 . 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立, 消去 x 得 (4m ? 9) y ? 16my ? 20 ? 0 .
2 2

??????5 分

??????7 分 ??????8 分

?16m ?20 , y1 y2 ? . 2 4m ? 9 4m 2 ? 9 若 PF 平分 ?APB ,则直线 PA , PB 的倾斜角互补,
所以 y1 ? y2 ? 所以 k PA ? k PB ? 0 . ??????9 分

2012 西城高三一模数学理科

第 7 页 共 9 页

设 P (a, 0) ,则有

y1 y ? 2 ? 0 .将 x1 ? my1 ? 2 , x2 ? my2 ? 2 代入上式, x1 ? a x2 ? a

整理得

2my1 y2 ? (2 ? a)( y1 ? y2 ) ? 0 ,所以 2my1 y2 ? (2 ? a)( y1 ? y2 ) ? 0 .?????12 分 (my1 ? 2 ? a)(my2 ? 2 ? a)

?16m ?20 , y1 y2 ? 代入上式,整理得 (?2a ? 9) ? m ? 0 . ???13 分 2 4m ? 9 4m 2 ? 9 9 由于上式对任意实数 m 都成立,所以 a ? . 2 9 综上,存在定点 P ( , 0) ,使 PM 平分 ?APB . ??????14 分 2
将 y1 ? y2 ? 20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:数列 A3 : 4, 2,8 不能结束,各数列依次为 2,6, 4 ; 4, 2, 2 ; 2,0, 2 ; 2, 2,0 ; 0, 2, 2 ;

2,0, 2 ;?.从而以下重复出现,不会出现所有项均为 0 的情形.

??????2 分

数列 A4 :1, 4, 2,9 能结束,各数列依次为 3, 2,7,8 ; 1,5,1,5 ; 4, 4, 4, 4 ; 0,0,0,0 . ??????3 分 (Ⅱ)解: A3 经过有限次“ T 变换”后能够结束的充要条件是 a1 ? a2 ? a3 .??????4 分 若 a1 ? a2 ? a3 ,则经过一次“ T 变换”就得到数列 0,0,0 ,从而结束. ?????5 分 当数列 A3 经过有限次“ T 变换”后能够结束时,先证命题“若数列 T ( A3 ) 为常数列,则 A3 为常数列” . 当 a1 ? a2 ? a3 时,数列 T ( A3 ) : a1 ? a2 , a2 ? a3 , a1 ? a3 . 由数列 T ( A3 ) 为常数列得 a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? a1 ? a3 ,解得 a1 ? a2 ? a3 ,从而数列 A3 也 为常数列. 其它情形同理,得证. 在数列 A3 经过有限次“ T 变换”后结束时,得到数列 0,0,0 (常数列),由以上命题,它变换之前的数列 也为常数列,可知数列 A3 也为常数列. ??????8 分

所以,数列 A3 经过有限次“ T 变换”后能够结束的充要条件是 a1 ? a2 ? a3 . (Ⅲ)证明:先证明引理: “数列 T ( An ) 的最大项一定不大于数列 An 的最大项,其中 n ? 3 ” . 证明:记数列 An 中最大项为 max( An ) ,则 0 ? ai ? max( An ) . 令 Bn ? T ( An ) , bi ? a p ? aq ,其中 ap ? aq .

2012 西城高三一模数学理科

第 8 页 共 9 页

因为 aq ? 0 ,

所以 bi ? ap ? max( An ) ,故 max( Bn ) ? max( An ) ,证毕.??????9 分

现将数列 A4 分为两类. 第一类是没有为 0 的项,或者为 0 的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻) ,此时由引理可知,

max( B4 ) ? max( A4 ) ?1.
第二类是含有为 0 的项,且与最大项相邻,此时 max( B4 ) ? max( A4 ) . 下面证明第二类数列 A4 经过有限次“ T 变换” ,一定可以得到第一类数列. 不妨令数列 A4 的第一项为 0 ,第二项 a 最大( a ? 0 ). (其它情形同理) ① 当数列 A4 中只有一项为 0 时, 若 A4 : 0, a, b, c ( a ? b, a ? c, bc ? 0 ),则 T ( A4 ) : a, a ? b,| b ? c |, c ,此数列各项均不为 0 或含有 0 项但与最大项不相邻,为第一类数列; 若 A4 : 0, a, a, b (a ? b, b ? 0) ,则 T ( A4 ) : a,0, a ? b, b ; T (T ( A4 )) : a, a ? b,| a ? 2b |, a ? b 此数列各项均不为 0 或含有 0 项但与最大项不相邻,为第一类数列; 若 A4 : 0, a, b, a ( a ? b, b ? 0 ),则 T ( A4 ) : a, a ? b, a ? b, b ,此数列各项均不为 0 ,为第一类数列; 若 A4 : 0, a, a, a ,则 T ( A4 ) : a,0,0, a ; T (T ( A4 )) : a,0, a,0 ; T (T (T ( A4 ))) : a, a, a, a , 此数列各项均不为 0 ,为第一类数列. ② 当数列 A4 中有两项为 0 时,若 A4 : 0, a,0, b ( a ? b ? 0 ),则 T ( A4 ) : a, a, b, b ,此数列 各项均不为 0 ,为第一类数列; 若 A4 : 0, a, b,0 ( a ? b ? 0 ),则 T ( A) : a, a ? b, b, 0 , T (T ( A)) : b,| a ? 2b |, b, a ,此数列 各项均不为 0 或含有 0 项但与最大项不相邻,为第一类数列. ③ 当数列 A4 中有三项为 0 时,只能是 A4 : 0, a,0,0 ,则 T ( A) : a, a, 0, 0 ,

T (T ( A)) : 0, a, 0, a , T (T (T ( A))) : a, a, a, a ,此数列各项均不为 0 ,为第一类数列.
总之,第二类数列 A4 至多经过 3 次“ T 变换” ,就会得到第一类数列,即至多连续经历 3 次“ T 变换” , 数列的最大项又开始减少.又因为各数列的最大项是非负整数, 故经过有限次“ T 变换”后,数列的最大项一定会为 0 ,此时数列的各项均为 0 ,从而结 束.
2012 西城高三一模数学理科 第 9 页 共 9 页

??????13 分


更多相关文档:

2012年北京市西城区高三二模数学(理)试题Word版带答案

2012年北京市西城区高三二模数学(理)试题Word版带答案_数学_高中教育_教育专区。2012年北京市西城区高三二模数学(理)试题Word版带答案 ...

2017年北京市西城区高三一模理科数学试题(word版含答案)

2017年北京市西城区高三一模理科数学试题(word版答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2017年4月10日考试的北京市西城区高三一模理科数学试题(word版含官方...

2012年北京市丰台区高三一模数学(理)试题Word版带答案

2012年北京市丰台区高三一模数学(理)试题Word版带答案_数学_高中教育_教育专区。2012年北京市丰台区高三一模数学(理)试题Word版带答案 ...

2012年北京市石景山区高三一模数学(理)试题Word版带答案

2012年北京市石景山区高三一模数学(理)试题Word版带答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2012年北京市石景山区高三一模数学(理)试题Word版带答案 ...

2015年北京市西城区高三一模数学(理)试题Word版带解析

2015年北京市西城区高三一模数学(理)试题Word版带解析_数学_高中教育_教育专区。2015年北京市西城区高三一模数学(理)试题Word版带解析 ...

2012年北京市东城区高三一模数学(理)试题Word版带答案

2012年北京市东城区高三一模数学(理)试题Word版带答案_数学_高中教育_教育专区。2012年北京市东城区高三一模数学(理)试题Word版带答案 ...

2012届北京市西城区高三期末数学理科试题(WORD精校版)

2012北京市西城区高三期末数学理科试题(WORD精校版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市西城区 2011 — 2012年度第一学期期末试卷 高三数学(理科)第Ⅰ...

2012年北京市朝阳区高三一模数学(理)试题Word版带答案

2012年北京市朝阳区高三一模数学(理)试题Word版带答案_数学_高中教育_教育专区。2012年北京市朝阳区高三一模数学(理)试题Word版带答案 ...

北京西城区2015届高三一模数学理试题(Word版含答案)

北京西城区2015届高三一模数学理试题(Word版答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京西城区2015届高三一模数学理试题(Word版答案)北京...

2016年北京市西城区高三一模考试数学理试题 Word版含答案

2016年北京市西城区高三一模考试数学理试题 Word版答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016年北京市西城区高三一模考试数学理试题 Word版答案 ...
更多相关标签:
2017北京市西城区一模 | 2016北京市西城区一模 | 2017西城区高三一模 | 2017年西城区高三一模 | 2017北京市高三一模 | 北京市海淀区高三一模 | 北京市西城区 | 北京市西城区邮编 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com