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綦江中学高2015级高一下半期考试数学试题


綦江中学 2012—2013 学年下期期中考试 高一数学试题
(总分:150 分 考试时间:120 分钟) 命题:何德怀 审题:苏小红 一、选择题(本大题共 10 个小题,每题 5 分,共 50 分。每题只有一个选项是 正确的) 1、若 a,b,c∈R,且 a>b,则下列不等式成立的是( A. ?
1 a 1 b



>B.a2>b2

C . a+c>b+c

D. ac2>b c2

2、不等式 ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 的解集为( A. ? x ?3 ? x ? 1? C. ? x ?1 ? x ? 3? B.



? x x ? 3 或 x ? ?1?

D. ? x x ? ?3 或 x ? 1?
) D.8

3、在等比数列 ?an ? 中,若 an ? 0 且 a3 a7 ? 64 ,则 a5 的值为(
A.2 B.4 C.6

4、不等式 3x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的平面区域为(

)

5、设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 = 35,则 a4 的值为( A.8 B.5 C.6 ) B 2 x + 2? x ? 2 2 x ? 2? x ? 2 D.7



6、下列不等式的推证过程正确的是( A 若 a、b ? R,则
4 x

a b a b ? ?2 ? ?2 b a b a
? -2

C 若 x<0,则 x+

x?

4 =-4 x

D

若 x>0,y>0,则 lgx+lgy ? 2 lg x ? lg y

7、在△ABC 中, ?A ? 60? , AB ? 2 ,且△ABC 的面积 S ?ABC ? 长为( ) A. 3 B.3 C. 7

3 ,则边 BC 的 2

D.7

8、已知等比数列{an}的公比为 q<0,前 n 项和为 Sn,则 S4a5 与 S5a4 的大小 关系是( ) B.S4a5<S5a4 C.S4a5>S5a4 D.以上都不正确

A.S4a5=S5a4

9、已知函数 y ? lg(ax 2 -4ax+3a+6) 的定义域为 R, 则实数 a 的取值范围是( A (0,6) B [0,6) C [0,6] D(-∞,0) U (6,+∞)



10、已知数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 , 且 a1 ? b1 ? 5 , a1 , b1 ? N * .设 cn ? abn ( n ? N * ) ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于 ( ) A.55 B.70 C.85 D.100

二、填空题(本大题共 5 个小题,每题 5 分,共 25 分。) 11、已知在△ABC 中,B=600, a ? 4 ,A=450,则 b=____ 12、求和:若 S ? 2 ? 4 ? 6 ? 8+ ??? ?100, 则S ?
? x ? 1, ? 13、已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

_;

.

14、设等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n+a,等差数列{bn}的前 n 项和 Tn=n2-2n +b,则 a+b=________.

15、若对任意正数 x,y 都有 a≤

x+y x+2 2xy

,则实数 a 的最大值是________.

三、解答题(本大题共 6 题,共 75 分,解答题应写出文字说明、演算步骤或证 明过程.) 16 、(本小题满分 13 分) (1) 解不等式 x2 ? 2 x ? 3 . (2)若 a ? 0 、 b ? 0 、 a ? b ,试比较 2 ? a 3 ? b 3 ? 与 ? a ? b ? ? a 2 ? b 2 ? 的大小

17、(本小题满分 13 分)已知△ABC 中,D 在边 BC 上
BD ? 2, DC ? 1, ?B ? 600 , ?ADC ? 1500.

(1)求 AC 的长;(2)求△ABC 的面积.

18、(本小题满分 13 分)已知等差数列 ?an ?中, a3 ? ?12, a3 , a7 , a10 成等比数列, 求数列 ?an ? 的公差 d .

19、(本小题 12 分) 建造一个容积为 8 m3 ,深为 2 m 的长方体无盖水池,若池底 和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,问如何设计此池底的长与宽各为 多少米时才能使水池的总造价最低,并求出最低的总造价.

20.(本题满分 12 分) 1 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A=4,a=4. (1)若 b+c=6,且 b<c,求 b,c 的值. (2)求△ABC 的面积的最大值

21. (本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N ? ) (1)证明:数列 {an ? 1} 是等比数列,并求{ an }的通项公式; (2)若数列 Cn ?
an ? 1 求:数列 {Cn }的前n项和Sn an ? an ?1

(3)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1)bn (n ? N ? ) , 证明:数列 ?bn ? 是等差数列;

綦江中学 2012—2013 学年下期期中考试 高一数学试题
一、 选择题(每题 5 分):CADDB BACBC

参考答案

二、

填空题(每题 5 分) 12、2550 13、3 14、 -1 15、2
1

11、 2 6

x+y 1 15、解:∵x+2y≥2 2xy,∴2x+2y≥x+2 2xy∴ ≥ ,等号成立的条件是:x=2y. x+2 2xy 2 x+y 1 1 1 又 a≤ 恒成立,∴a≤ .即 a 的最大值为 .答案: 2 2 2 x+2 2xy

三、 解答题 16、(本小题满分 13 分) 解: (1)原不等式化为: x ? 3)( x ? 1) ? 0 ?解集为{x|x>或x<-1} ( (2)?2 ? a3 ? b3 ? ? ? a ? b? ? a2 ? b2 ? ? (a ? b)2 (a ? b)

又? a>0,b>0,a ? b.?(a-b)2 (a ? b) ? 0 ? 2 ? a 3 ? b3 ? ? ? a ? b ? ? a 2 ? b 2 ?
17、(本小题满分 13 分) 解:(1)在△ABC 中,∠BAD=150o-60o=90o,∴AD=2sin60o= 3 . 在△ACD 中,Ac2=( 3 )2+12-2× 3 ×1×cos150o=7,∴AC= 7 . (2)AB=2cos60o=1.S△ABC= 1 ×1×3×sin60o= 3
2
4 3.

18、本题满分13分) (,
2 解: a3、a7、a10成等比 ? a7 ? a3a10 ?

即: 3 ? 4d ) 2 ? a3 (a3 ? 7 d ) ? d (a3 ? 16d ) ? 0 (a 若d=0,数列为常数列,满足题意。 3 若d ? 0,则可解的d= 4 3 ? d ? 0或d= 4

(本小题满分 12 分)

20、 (本题满分 12 分) 解 (1)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 1 ∴16=(b+c)2-2bc-2bc ∴bc=8, ?b+c=6, 又∵b+c=6,b<c,解方程组? ?bc=8, 得 b=2,c=4 或 b=4,c=2(舍). ∴b=2,c=4 (2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 1 32 15 4 15 ? ( S?ABC ) max ? ∴16=b2+c2-2bc ∵b2+c2》2bc ∴ bc ? ? sin A ? 3 4 3 此时 b=c=
16 3

(亦可以由正弦定理算外接圆半径;根据 A 点轨迹求 BC 边上高的最大值来计算) 21. (本题满分 12 分) 证明: (1)? an?1 ? 2an ? 1 所以数列 ?an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首 即 an ? 2n ? 1 (2)?Cn =
1 1 1 ?Sn ? 1- n ?1 2n ? 1 2n+1 ? 1 2 ?1

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1)

(3) 4b1 ?14b2 ?1 ?4bn ?1 ? (an ? 1)bn (n ? N ? )
?4b1 ?b2 ?b3 ???bn ?n ? (2n ?1 ? 1)bn (n ? N ? )

① ②

②-①,得


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