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力与运动专题新人教版


专题三│ 专题三│ 曲线运动

专题三曲线运动

专题三│ 专题三│ 主干知识整合
主干知识整合
一 、 平抛运动
平抛运动可分解为水平方向的匀速运动与竖直方向的自由落体 运动,物体所受的合外力为重力, 运动 , 物体所受的合外力为重力 , 故产生的加速度为 g. v0 gt 1.速度 : vx= _____

________, v y= ___________, . 速度: , , v y gt v2+ v2 2 x y v = _____________ , 合速度方向 : tan θ= = . 合速度方向: = vx v0

1 2 gt v0 t 2.位移 : x=___________, y= _____________ . 位移: = , = 2

, 合位移大

y gt 方向: = . 小 : s= x2+ y2, 方向 : tan φ= = = x 2v0
3.下落时间: t= . 下落时间: =

2y g _____________;初速度: v0= x· ; 初速度:

g . 2y

4.以上规律可以推广到类平抛运动 . 以上规律可以推广到类平抛运动.

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二、匀速率圆周运动

s 匀速率圆周运动可用线速度( _____________)、角速度( 1.匀速率圆周运动可用线速度(v=_____________)、角速度(ω= t
φ 1 _____________)、 向心加速度( 等运动量描述, _____________)、周期T、频率f、向心加速度(a= _________)等运动量描述, t f v2 2π 这些运动量存在的关系有: _____________; 这些运动量存在的关系有:T=_____________;ω=_____________ = r 2 T

2π v 2π r ωr T =_____________;a= r __________= _____________ ;v=_____________=__________ _____________; T 4π2 2 ωr 2πfr 4π2f2r 2 r ___________= _____________= ___________=_____________ =_____________=_____________ .匀速率圆 T
周运动是一个角速度、周期、频率、线速率不变;但线速度、向心加速度、 周运动是一个角速度、周期、频率、线速率不变;但线速度、向心加速度、向 心力时时改变的曲线运动. 心力时时改变的曲线运动.

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2.匀速率圆周运动的向心力由物体所受 合外力 _____________提供,两者存在着下列关系: _____________提供,两者存在着下列关系:F合=F向或F合 提供
v2 2 4π2 m mω r __________=_____________=_____________, m 2r =__________=_____________=_____________,但变速 r T

圆周运动一般情况下不满足上述关系. 圆周运动一般情况下不满足上述关系.

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三、竖直平面内的变速圆周运动中的临界条件 1.如图1-3-1所示,轻绳系一小球在竖直平面内做圆周 如图1 所示, 运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动) 运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球
mg 在最高点时所受的重力恰好提供向心力, 在最高点时所受的重力恰好提供向心力,即:______= ______=

v2 gr m ,这时的速度是做圆周运动的最小速度vmin=______. r

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2.如图 1-3-2 所示 , 一轻杆系一小球在竖直平面内做 . - - 所示, 刚好做圆周运动)的条件是小球 圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动 圆周运动 .小球能到达最高点 刚好做圆周运动 的条件是小球 在最高点处 v≥0. ≥ 杆对小球的支持力_________于小球的重力; 于小球的重力; 当 v=0 时 , 杆对小球的支持力 等 = 于小球的重力 当 0<v< gr时, 杆对小球的支持力 时 杆对小球的支持力___________于小球的 于小球的 小 重力; 重力 ; 于零; 当 v= gr时, 杆对小球的支持力 = 时 杆对小球的支持力_________于零; 于零 等

拉 当 v> gr时, 杆对小球提供 时 杆对小球提供_____________力. 力

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3.由重力场与电场组成的复合场中的圆周运动如图1-3-3所示,要求 由重力场与电场组成的复合场中的圆周运动如图1 所示, 小球能在竖直平面内做完整的圆周运动,则在最高点的速度至少为多大? 小球能在竖直平面内做完整的圆周运动,则在最高点的速度至少为多大?
此时小球受重力和电场力, 此时小球受重力和电场力 , 平衡位置 A 偏离 竖直位置 θ 角, 在同一直径上另一点为 B,物体 , 受到的合力为 F= ( mg) 2+( qE)2, 类比重力场中 = ) ) F 运 动 , 相 当 于 等 效 “ 重 力 加 速 度 ” g′ = = ′ m
?qE ? g2+? ?2 ,A 为 “ 最低点 ” ,B 为 “ 最高点” , 最低点” 最高点” m? ?

故 小 球 能在 竖直 平 面内 做 完整 的圆 周 运动 的 条 件 : 小球通过 B 点时的速度 vB≥ g′l. ′

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要点热点探究 ? 探究点一 运动的合成与分解 运动的合成与分解是求解曲线运动的基本方法. 运动的合成与分解是求解曲线运动的基本方法.运动的合成与 分解实质是对描述运动的物理参量(速度、加速度、位移)进行合成 分解实质是对描述运动的物理参量(速度、加速度、位移) 与分解. 与分解. 平抛运动是高考重点考查的典型曲线运动之一, 平抛运动是高考重点考查的典型曲线运动之一,平抛运动是一 个合运动, 个合运动,是水平方向匀速直线运动和竖直方向自由落体运动的合 运动,所以平抛运动的位移为合位移、速度为合速度、 运动,所以平抛运动的位移为合位移、速度为合速度、加速度为合 加速度. 加速度.准确进行运动参量的合成与分解是解决平抛运动问题的关 同时又要注意合运动与分运动的独立性、等时性. 键,同时又要注意合运动与分运动的独立性、等时性.等时性是高 考命题间接给出时间关系的科学依据, 考命题间接给出时间关系的科学依据,所以及时利用等时性特点便 成了一个解题诀窍! 成了一个解题诀窍!

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点处开始运动, 例1一物体在直角坐标系xOy所在的平面内由O点处开始运动, 其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图象如图1 其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图象如图1-3-4所 则对该物体运动过程的描述正确的是( 示,则对该物体运动过程的描述正确的是( )

A.物体在0~3 物体在0 物体在0 B.物体在0~3 物体在3 C.物体在3~4 物体在3 D.物体在3~4

s内做直线运动 s内做直线运动 s内做变加速运动 s内做变加速运动 s内做曲线运动 s内做曲线运动 s内做直线运动 s内做直线运动

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【点拨】 本题为合运动性质的判定问题. 点拨】 本题为合运动性质的判定问题. 解析】 由运动图象可知: s内 D 【解析】 由运动图象可知:0~3 s内,物体在x 方向匀速运动,物体在y方向做初速度为0的匀加速运动, 方向匀速运动, 方向做初速度为0的匀加速运动, 故合运动为匀变速曲线运动,选项A 均错;3s末 故合运动为匀变速曲线运动,选项A、B均错;3s末,加速 度和速度方向如图,由图可知合速度与合加速度方向相反, 度和速度方向如图,由图可知合速度与合加速度方向相反, 故物体做匀减速直线运动,选项C错误、选项D正确. 故物体做匀减速直线运动,选项C错误、选项D正确.

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【点评】 (1)合运动性质决定于合初速度与合加速度 点评】 (1)合运动性质决定于合初速度与合加速度 即合外力)情况: 合加速度恒定,物体做匀变速运动; (即合外力)情况:①合加速度恒定,物体做匀变速运动;合 加速度是变化的,物体做非匀变速运动. 加速度是变化的,物体做非匀变速运动.②合初速度与合加 速度在一条直线上,物体做直线运动; 速度在一条直线上,物体做直线运动;合初速度与合加速度 不在一条直线上,物体做曲线运动.例如,题中3 s后的合 不在一条直线上,物体做曲线运动.例如,题中3 s后的合 运动性质为匀减速直线运动.(2)在运动的分解问题中 在运动的分解问题中, 运动性质为匀减速直线运动.(2)在运动的分解问题中,要 特别注意合运动(合速度、合加速度、合位移的确定) 特别注意合运动(合速度、合加速度、合位移的确定),其判 定方法:实际运动即为合运动. 定方法:实际运动即为合运动.

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? 探究点二 平抛与类平抛运动 1.平抛运动的处理方法是将其分解为水平方向和竖直 方向的两个分运动. 方向的两个分运动. (1)水平方向 做匀速直线运动, 水平方向: (1)水平方向:做匀速直线运动,vx = v0,x =v0t, (2)竖直方向 做自由落体运动, 竖直方向: (2)竖直方向:做自由落体运动,υy = gt,y = gt2 类平抛运动的处理方法与平抛运动类似, 2.类平抛运动的处理方法与平抛运动类似,可将类平 方向(不一定水平)的匀速运动( 抛运动分解为沿初速度v0方向(不一定水平)的匀速运动(vx 和合力方向( = v0,x =v0t)和合力方向(合力大小恒定且与初速度v0方 向垂直)的匀加速运动( 向垂直)的匀加速运动(vy = at,y = at2).注意加速度方 向不一定竖直向下、 向不一定竖直向下、大小也不一定等于g.

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例2如图1-3-5所示,边长为L的正方 如图1 所示, 中有竖直向上的匀强电场. 形ABCD中有竖直向上的匀强电场.一个不 计重力的带电粒子, 计重力的带电粒子,质量为m,电荷量为q, 方向射入, 以初速度v0从A点沿AD方向射入,正好从CD 的中点射出, 的中点射出,而且射出时速度方向与CD成 30°的夹角. θ=30°的夹角. (1)该带电粒子带什么电 该带电粒子带什么电? (1)该带电粒子带什么电? (2)该电场的场强 为多少? (2)该电场的场强E为多少?

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(1)负电 (1) 负电 (2)
2 3mv 0 2

qL

解析】 (1)根据做曲线运动的物体受的合力总是指向 【 解析 】 (1) 根据做曲线运动的物体受的合力总是指向 曲线凹的一侧,故带电粒子受的电场力竖直向下, 曲线凹的一侧 , 故带电粒子受的电场力竖直向下 , 带电粒子 所受电场力方向与场强方向相反, 所以粒子应带负电. 所受电场力方向与场强方向相反 , 所以粒子应带负电 . (2)带电粒子在电场中做类平抛运动 则水平方向: 带电粒子在电场中做类平抛运动, (2) 带电粒子在电场中做类平抛运动 , 则水平方向 : L =

v0t Eq 竖直方向: 竖直方向 : v y =at ,a = m
根据带电粒子离开电场时的运动方向, 根据带电粒子离开电场时的运动方向 , 由图可得 3mv2 vy 0 (90°- = tan (90° - θ )联立解得场强 E = . v0 qL

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【点评】 平抛运动、类平抛运动处理的方法都是采 点评】 平抛运动、 用运动分解的方法,即分解为初速度方向的匀速直线运动 用运动分解的方法, 和垂直初速度方向初速为零的匀加速直线运动. 和垂直初速度方向初速为零的匀加速直线运动.上面的例 题属于类平抛运动的问题, 题属于类平抛运动的问题,下面的变式题则是一道考查平 抛运动的问题. 抛运动的问题.

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[2010·全国卷Ⅰ] [2010·全国卷Ⅰ] 一水平抛出的小球落 全国卷 的斜面上时,其速度方向与斜面垂直, 到一倾角为θ的斜面上时,其速度方向与斜面垂直, 运动轨迹如图1 中虚线所示. 运动轨迹如图1-3-6中虚线所示.小球在竖直方向下 落的距离与在水平方向通过的距离之比为( 落的距离与在水平方向通过的距离之比为( )
A . tan θ B . 2tan θ 1 C. tan θ 1 D. 2tan θ

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如图所示; 如图所示 ; 平抛的末速度与竖直方向 v0 的夹角等于斜面倾角 θ,由图可知 :tan θ= .则下落高度 ,由图可知: = 则下落高度 gt y gt2 gt 1 正确. 与水平射程之比为 = = = , D 正确 . x 2v0t 2v0 2tan θ D

解析】 【 解析 】

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? 探究点三 圆周运动及其相关问题 匀速圆周运动是高考要求的另一个典型曲线运动形式. 匀速圆周运动是高考要求的另一个典型曲线运动形式 . 对 匀速率圆周运动的分析应特别注意以下几点: 匀速率圆周运动的分析应特别注意以下几点:(1)准确理解描述 匀速率圆周运动的参量, 准确进行运动分析, 匀速率圆周运动的参量 , 准确进行运动分析 , 找出其圆心和半 准确进行受力分析, 明确向心力由谁提供; 径 ; (2) 准确进行受力分析 , 明确向心力由谁提供 ; (3) 应用牛 顿第二定律建立动力学方程. 顿第二定律建立动力学方程.

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所示的“S”字形玩具轨道, “S”字形玩具轨道 例 3 如图 1 - 3 - 7 所示的 “S” 字形玩具轨道,该轨道 是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成, 是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成, 将轨道水平方向固定在 竖直平面内, 竖直平面内 , 轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆连接 而成, 圆半径比细管内径大得多, 而成 , 圆半径比细管内径大得多, 轨道底端与水平地面相 弹射装置将一个小球(可视为质点) 切, 弹射装置将一个小球 ( 可视为质点) 从 a 点水平弹射向 b 点并进入轨道, 点水平抛出, 点并进入轨道 ,经过轨道后从 P 点水平抛出 ,已知小球与 0.2, 不计其他机械能损失, 地面 ab 段间的动摩擦因数 μ = 0.2, 不计其他机械能损失, m, m, ab 段长 L =1.25 m,圆的半径 R =0.1 m ,小球质量 m = 0.01 2 kg, kg, kg , 轨道质量 M= 0.22 kg , g =10 m/s , 求 :

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(1)若 m/s, (1)若v0= m/s,小 球从P点抛出后的水平射 程; (2)当 (2)当v0至少为多大 时,小球在最高点时才 能使轨道对地面的压力 为零. 为零. 【点拨】 (1)小球到达P点的速度即为平抛运动的初 点拨】 (1)小球到达 速度;(2)注意挖掘 轨道对地面的压力为零” 注意挖掘“ 速度;(2)注意挖掘“轨道对地面的压力为零”所带来的 有效信息. 有效信息.

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(1) 0.8 m (2) 6 m/s 解析】 【 解析 】 (1)设小球运动到最高点 P 的速度为 v, 设小球运动到最高点 , 根据动能定理有 1 2 1 - ?mgL-4mgR= mv - m v 2 ① - = 0 2 2 解出 v2= v2- 2?gL-8gR ② - 0 点后做平抛运动, 小球离开 P 点后做平抛运动 , 则 x 方向有 x=vt③ = ③ 1 2 y 方向有 4R= gt ④ = 2 解得 x=0.8 m =

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(2)小球在最高点 P 时 , 要使轨道对地面压力为 小球在最高点 零 ,则小球在最高点给轨道的向上的弹力为 Mg,设 , 对小球由牛顿第二定律, 此时小球速度为 vt, 对小球由牛顿第二定律 ,得 v2 t (M+ m)g= m ⑤ + = R 根据动能定理有 1 2 1 - ?mgL-4mgR= mv t - mv 2⑥ - = 0 2 2 联立解得 v0= 6 m/s

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【点评】 (1)对竖直平面内圆周运动临界问题的分析要 点评】 (1)对竖直平面内圆周运动临界问题的分析要 特别注意准确应用本讲中【主干知识整合】 特别注意准确应用本讲中【主干知识整合】中对应的规律和 方法,当然也可能出现涉及与绳子抗拉能力(或杆的支持能力) 方法,当然也可能出现涉及与绳子抗拉能力(或杆的支持能力) 相关的临界问题; 相关的临界问题; (2)水平面内的圆周运动往往和静摩擦力相结合命制临界 (2)水平面内的圆周运动往往和静摩擦力相结合命制临界 问题,要特别注意观察和理解一些相关的情景和设备( 问题,要特别注意观察和理解一些相关的情景和设备(例如火 车拐弯涉及的轮缘与铁轨内外轨的位置关系等) 车拐弯涉及的轮缘与铁轨内外轨的位置关系等),这往往成为 能否迅速准确解题的关键, 能否迅速准确解题的关键,而下面的变式题则给我们提供了 又一新情景. 又一新情景.

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如图1 如图1-3-8所示,有些地区的铁路由于弯多、 所示,有些地区的铁路由于弯多、 弯急,路况复杂,依靠现有车型提速的难度较大, 弯急,路况复杂,依靠现有车型提速的难度较大,铁路部门 通过引进摆式列车来解决转弯半径过小造成的离心问题, 通过引进摆式列车来解决转弯半径过小造成的离心问题,摆 式列车是集电脑、 式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列 当列车转弯时,在电脑控制下,车厢会自动倾斜, 车.当列车转弯时,在电脑控制下,车厢会自动倾斜,使得 与车厢底板垂直, 车厢受到的弹力FN与车厢底板垂直,FN与车厢重力的合力恰 好等于向心力,车厢没有离心侧翻的趋势, 好等于向心力,车厢没有离心侧翻的趋势,当列车行走在直 线上时,车厢又恢复原状,就像玩具“不倒翁”一样. 线上时,车厢又恢复原状,就像玩具“不倒翁”一样.它的 优点是能够在现有线路上运行, 优点是能够在现有线路上运行,无需对线路等设施进行较大 的改造.运行实践表明: 的改造.运行实践表明:摆式列车通过弯道

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的速度可提高20%~40%, 的速度可提高20%~40%,最高可 20% 50%,摆式列车不愧为“ 达50%,摆式列车不愧为“曲线 冲刺能手” 冲刺能手”.假设有一超高速摆 式列车在水平面内行驶, 式列车在水平面内行驶,以360 km/h的速度转弯 转弯半径为2 的速度转弯, km/h的速度转弯,转弯半径为2 km,则质量为50 km,则质量为50 kg 的乘客在拐 弯过程中所受到的火车给他的作 用力约为 ( ) 图1 -3 -8 A. 500 N B.559 N C.707 N D .0

专题三 │ 要点热点探究

B 【 解析 】 根据题意有 v=360 km/h= 100 解析】 = = m/s,所以火车转弯时乘客需要的向心力为 F , mv2 = = 250 N , 火 车 给 他 的 作 用 力 FN = R 正确. ( mg) 2+ F2= 559 N,本题只有选项 B 正确 . ) ,

专题三 │ 教师备用题
教师备用题 平面内运动的轨迹如图所示, 1.一质点在xOy平面内运动的轨迹如图所示, 下列判断正确的是( 下列判断正确的是( ) 方向始终匀速, A.若x方向始终匀速,则y 方向先加速后减速 方向始终匀速, B.若x方向始终匀速,则y 方向先减速后加速 方向始终匀速, C.若y方向始终匀速,则x方向先减速后加速 方向始终匀速, D.若y方向始终匀速,则x方向一直加速

专题三 │ 教师备用题

解析】 B 【解析】 根据做曲线运动的物体受的合力总是 指向曲线凹的一侧, 方向始终匀速, 指向曲线凹的一侧,若x方向始终匀速,则y方向受力先 方向先减速后加速, 同理, 向下后向上, 向下后向上,即y方向先减速后加速,B对、A错;同理, 方向始终匀速, 方向先加速后减速,CD错 若y方向始终匀速,则x方向先加速后减速,CD错.

专题三 │ 教师备用题
点分别水平抛出三个物体, 2.在同一平台上的O点分别水平抛出三个物体,它们 运动的轨迹如图所示, 运动的轨迹如图所示,则三个物体做平抛运动的初速度v1、 v2、v3 的关系和平抛运动的时间t1、t2、t3的关系分别 是( ) A.v1>v2>v3,t1>t2>t3 B . v 1 = v 2 = v 3 , t 1= t 2= t 3 C.v1<v2<v3,t1>t2>t3 D.v1>v2>v3,t1<t2<t3

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C

【解析】 解析】

如图所示, 如图所示,过3做一水平线,到此线 做一水平线,

为止,下落时间相等, 为止,下落时间相等,故有t1>t2>t3;又由水平位移的关 系是x1<x2<x3,由水平分运动是匀速运动x=vt,故 所以C v1<v2<v3.所以C对.

专题三 │ 教师备用题
37° 3.如图所示,将一倾角为 θ=37°板状斜面体竖直固 如图所示, 定在水平地面上, 4kg的 定在水平地面上,另一质量为M=4kg的 “ ”型物体B紧靠在 斜面体上,且能在水平面上自由滑动而不会倾斜, 斜面体上,且能在水平面上自由滑动而不会倾斜,一根质量 1kg的光滑细圆柱体 的竖直面和斜面之间. 为m=1kg的光滑细圆柱体A放在B的竖直面和斜面之间.现用 m/s2水平向右做匀加速 水平外力F0推动B使其以加速度a=4 m/s2水平向右做匀加速 直线运动, 沿斜面向斜向上运动.不计所有摩擦, 直线运动,同时B推动A沿斜面向斜向上运动.不计所有摩擦, 37° 0.6, 37° 0.8, 试求: g=10 m/s2.(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,)试求: (1)圆柱体 的加速度; (1)圆柱体A的加速度; (2)B物体对A的推力F的大小 的大小. 和水平外力F0的大小.

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m/s2; (1)5 m/s2;(2)13.75 N,29.75 N 解析】 (1)由于斜面体固定不动 由于斜面体固定不动, 【解析】 (1)由于斜面体固定不动,故A 的合加速度方向沿斜面向上, 的合加速度方向沿斜面向上,其水平向右 的加速度相同, 的分加速度和B的加速度相同,由图中几何 关系可得 aA== m/s2=5 m/s2

专题三 │ 教师备用题

(2)以 为研究对象,受力如图, (2)以A为研究对象,受力如图, 在沿斜面方向据牛顿第二定律有 Fcos θ-mgsin θ=maA F== N=13.75 N 为研究对象,受力如图, 以B为研究对象,受力如图, 在水平方向据牛顿第二定律有 F0-F′=Ma 又F=F′ 联立解得F0=F+Ma=29.75 N

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4.如图1-2-5所示,在距水平地面高为0.4 m处,水平 如图1 所示,在距水平地面高为0.4 m处 固定一根长直光滑杆, 处固定一定滑轮, 固定一根长直光滑杆,杆上P处固定一定滑轮,滑轮可绕水平 轴无摩擦转动, 点的右边, kg的滑块 轴无摩擦转动,在P点的右边,杆上套一质量m=3 kg的滑块A. m的光滑半圆形竖直轨道固定在地面上 的光滑半圆形竖直轨道固定在地面上, 半径R=0.3 m的光滑半圆形竖直轨道固定在地面上,其圆心O 点的正下方, kg的小球 在P点的正下方,在轨道上套有一质量m=3 kg的小球B.用一 条不可伸长的柔软细绳, 连接起来. 条不可伸长的柔软细绳,通过定滑轮将A、B连接起来.杆和 半圆形轨道在同一竖直面内,滑块和小球均可看作质点, 半圆形轨道在同一竖直面内,滑块和小球均可看作质点,且 施加一个水平向右、 不计滑轮大小的影响. 不计滑轮大小的影响.现给滑块A施加一个水平向右、大小为 N的恒力 的恒力, F=60 N的恒力,求:

专题三 │ 教师备用题

(1)把小球 (1)把小球B从地面沿半圆形 轨道拉到顶点C的过程中力F做的 功; (2)小球 (2)小球B运动到C处时所受 的向心力的大小; 的向心力的大小; (3)小球 (3)小球B被拉到离地多高时 的速度大小相等? 滑块A与小球B的速度大小相等?

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【答案】 答案】 解析】 【解析】 (1)24 J (2)100 N (3)0.225 m (1)对于 的做功过程, (1)对于F的做功过程,有

W=F·(PB-PC) ==m 0.4- m= PB==m=0.5 m PC=PO-R=0.4-0.3 m=0.1 m 60×(0.5- J= 所以W=60×(0.5-0.1) J=24 J (2)由于 处时,已无沿绳的分速度, 的速度为零, (2)由于B球到达C处时,已无沿绳的分速度,所以此时滑块A的速度为零,考虑
两球及绳子组成的系统的能量变化过程,由功能关系 两球及绳子组成的系统的能量变化过程, 代入数据, 代入数据,得v= m/s W=mv2+mgR 由向心力公式F向=m 代入数据, 代入数据,得F向=100 N (3)当绳与轨道相切时两球速度大小相等 当绳与轨道相切时两球速度大小相等, (3)当绳与轨道相切时两球速度大小相等, 由相似三角形知识得= 由相似三角形知识得= 代入数据, 代入数据,得h=0.225 m


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