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《空间几何体的结构、三视图和直观图》教案


空间几何体的结构、三视图和直观图
适用学科 适用区域
数学 新课标

适用年级 课时时长(分钟)

高二 60

柱、锥、台、球的结构特征

知 识 点

简单组合体的结构特征 三视图 直观图 1.柱、锥、台、球及简单几何体的直观图、三视图是考查的热点。主要考查

由几何体判断三视图,以及由三视图还原几何体,多与面积、体积的计算 相结合,重在考查空间几何体的认识及空间想象能力 2.高考中多以选择题、填空题为主,有时也在解答题中涉及三视图问题

考情分析

教学重点 教学难点

柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质 柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质

教学过程
一、复习预习
教师引导学生复习上节内容,并引入本节课程内容

二、知识讲解
考点/易错点 1 多 面 体 空间几何体的结构特征

①棱柱的侧棱都平行且相等,上下底面是平行且全等的多边形. ②棱锥的底面是任意多形,侧面是有一个公共顶点的三角形. ③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上下底面是平 行且相似的多边形. ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到. ②圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到. ③圆台可以由直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到,也 可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到. ④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到. 三视图与直观图

旋 转 体

考点/易错点 2 三视图

空间几何体的三视图是用正投影得到的,它包括正视图、侧 视图、俯视图,其画法规则是:长对正,高平齐,宽相等. 空间几何体的直观图常用斜二测画法规则来画,基本步骤是:
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①画几何体的底面 直观图

在已知图形在取互相垂直的 x 轴、 y 轴,两

轴相交于点 O,画直观图时,把它们画成对应的 x? 轴、 y? 轴,两 轴相交于点 O? ,且使∠ x?oy? ? 450 (或1350 ) ,已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中长度保持不变,平行于 y 轴的线 段,长度 变为原来的一半. ②画几何体的高 在 已知图形中过点 O 作 z 轴垂直于平面 xOy ,

在直观图中对应的 z ? 轴、也垂直于平面 x?O?y? ,已知图形中平行 于 z 轴的线段,在直观图中仍平行于 z ? 轴且长度不变.

三、例题精析
【例题 1】
【题干】如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱

称为它的腰,以下 4 个命题中,假命题是(

).

A.等腰四棱锥的腰与底面所成的 角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
【答案】B 【解析】如图,等腰四棱锥的侧棱均相等,其侧棱在底面的射影也相等,则其

腰与底面所成角相等, 即 A 正确; 底面四边形必有一个外接圆, 即 C 正确;在高线上可以找到一个点 O,使得该点到四棱锥各 个顶点的距离相等,这个点即为外接球的球心,即 D 正确;但 四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补 (若为正四棱锥 则成立).故仅命题 B 为假命题.选 B. 【例题 2】
【题干】在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视

图可以为(

).

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【答案】D

[来源:Z#xx#k.Com]

【解析】 由几何体的正视图和俯视图可知, 该几何体应为一个半圆锥和一个有

一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体,故其侧 视图应为 D. 【例题 3】
【题干】 已知正三角形 ABC 的边长为 a, 那么△ABC 的平面直观图△A′B′C′

的面积为( 3 A. 4 a2
【答案】 D

). 3 B. 8 a2 6 C. 8 a2 6 D. 16 a2

【解析】如图①②所示的实际图形和直观图.

1 3 由斜二测画法可知,A′B′=AB=a,O′C′=2OC= 4 a, 在图②中作 C′D′⊥A′B′于 D′, 2 6 则 C′D′= 2 O′C′= 8 a. 1 1 6 6 ∴S△A′B′C′=2A′B′· C′D′=2×a× 8 a= 16 a2. 【例题 4】
【题干】一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下 列几何
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体中的________(填入所有可能的几何体前的编号). ①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.
【答案】①②③⑤ 【解析】①三棱锥的正视图是三角形;②当四棱锥的底面是四边形放置时,其

正视图是三角形;③把三棱柱某一侧面当作底面放置,其底面正对着我们的视线 时,它的正视图是三角形;④对于四棱柱,不论怎样放置,其正视图都不可能是 三角形; ⑤当圆锥的底面水平放置时,其正视图是三角形;⑥圆柱不论怎样放置,其 正视图也不可能是三角形.

四、课堂运用
【基础】 1.以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( A.球的三视图总是三个全等的圆 B.正方体的三视图总是三个全等的正方形 C.水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解析 画几何体的三视图要考虑视角,但对于球无论选择怎样的视角,其三

).

视图总是三个全等的圆. 答案 A )

2. 下列四个几何体中,几何体只有正视图和侧视图相同的是(

A.①② C.①④

B.①③ D.②④

解析 由几何体分析知②④中正视图和侧视图相同. 答案 :D 3.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如下图所示,则该几何体的侧视 图为( ).

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解析

被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线,它们

在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合,另一条为体对角线,它在右 侧面上的投影与右侧面的对角线重合,对照各图,只有选项 D 符合. 答案 D

【巩固】 1. 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )

解析

由正视图可排除 A,C;由侧视图可判断该几何体的直观图是 B.

答案 B 2.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分 别如图所示,则该几何体的俯视图为________.

解析

由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几

何体的直观图如图所示,所以该几何体的俯视图为③.
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答案



3.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三 视图,则这个多面体最长的一条棱的长为________.

解析

(构造法)由正视图和俯视图可知几何体是

正方体切割后的一部分(四棱锥 C1- ABCD),还原 在正方体中,如图所示.多面体最长的一条棱即 为正方体的体对角线,如图即 AC1.由正方体棱长 AB=2 知最长棱 AC1 的长为 2 3. 答案 2 3

【点评】 构造正方体,本题就很容易得出结论,此种方法在立体几何问题中 较为常见,把抽象问题转化为直观问题解决. 【拔高】 1.正四棱锥的高为 3,侧棱长为 7,求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高 ) 为多少?

解析

如图所示,正四棱锥 S-ABCD 中,

高 OS= 3,侧棱 SA=SB=SC=SD= 7, 在 Rt△SOA 中, OA= SA2-OS2=2,∴AC=4. ∴AB=BC=CD=DA=2 2. 作 OE⊥AB 于 E,则 E 为 AB 中点. 连接 SE,则 SE 即为斜高, 1 在 Rt△SOE 中,∵OE=2BC= 2,SO= 3,
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∴SE= 5,即侧面上的斜高为 5. 2. 已知,如图一个空间几何体的三视图.

(1)该空间几何体是如何构成的? (2)画出该几何体的直观图; (3)求该几何体的表面积和体积. 解析 (1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为 2,高为 1 的长方

体,上半部分是一个底面各边长为 2,高为 1 的正四棱锥. (2)按照斜二测画法可以得到其直观图,如图.

(3)由题意可知,该几何体是由长方体 ABCD-A′B′C′D′与正四棱锥 P-A′B′C′D′构成的简单几何体. 由图易得:AB=AD=2,AA′=1,PO′=1,取 A′B′中点 Q,连接 PQ, 从而 PQ= PO′2+O′Q2= 12+12= 2,所以该几何体表面积 1 S=2(A′B′+B′C′+C′D′+D′A′)PQ+(A′B′+B′C′+C′D′+D′A′)AA′+AB· AD= 4 2+12. 1 16 体积 V=2× 2× 1+3× 2× 2× 1= 3 .

课程小结
1 .三视图的长度特征:“长对正,宽相等,高平齐”,即正视图和侧视图一 样高,正视 图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面 相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法.
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2.(1)正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱 柱叫做正棱柱. 反之, 正棱柱的底面是正多边形, 侧棱垂直于底面, 侧面是矩形. ( 2)正棱锥:底面是正多边形,顶点在 底面的射影是底面正多边形的中心的 棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来,正棱锥 的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.

课后作业
【基础】 1. 设四面体的六条棱的长分别为 1, 1, 1, 1, 2 和 a 且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是( (A) (0, 2) )

(B) (0, 3) (C) (1, 2) (D) (1, 3)

答案

A

2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平 面四边形的面积等于( 2 A. 4 a2 解析 ). B.2 2a2 2 C. 2 a2 2 2 D. 3 a2

根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则,可以得出一个平面图形

2 的面积 S 与它的直观图的面积 S′之间的关系是 S′= 4 S,本题中直观图的面积为 a2 a ,所以原平面四边形的面积等于 =2 2a2.故选 B. 2 4
2

答案

B

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1 3. 如下图, 某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形, 且体积为2, 则该几何体的俯视图可能是( ).

解析

当俯视图为 A 中正方形时,几何体为边长为 1 的正方体,体积为 1;

1 π 当俯视图为 B 中圆时,几何体为底面半径为2,高为 1 的圆柱,体积为4;当俯 视图为 C 中三角形时,几何体为三棱柱,且底面为直角边长为 1 的等腰直角三 1 角形,高为 1,体积为2. 答案 C

【巩固】 1.利用斜二测画法得到的: ①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的个数是________. 解析 由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一般的平行四边形;③

错误, 等腰梯形的直观图不可能是平行四边形; 而菱形的直观图也不一定是菱形, ④也错误. 答案 1

2. 用单位正方体块搭一个几何体,使它的正视图和俯视图如图所示,则它的 体积的最大值为________,最小值为________.

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解析 由俯视图及正视图可得,如图所示,由图示可得体积的最大值为 14, 体积的最小值为 9.

答案 14

9

3. 如果一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图中△ABC 是边长为 2 的正 三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为________.

解析 根据三视图的信息可以知道相应的空间几何体是一个正六棱锥, 结合数 据可知其底面正六边形的边长为 1,棱锥的高为 h= 3.由于三视图中“宽相等”, 那么侧视图中的三角形的底边边长与俯视图中正六边形的高相等, 可得其长度为 1 3 3,则该几何体的侧视图的面积为 S=2× 3× 3=2. 3 答案 2 【拔高】 1.如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图, 它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm). (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;

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解析 (1)如图.

(2)所求多面体的体积 1 ?1 ? 2× 2?× ?2× V=V 长方体-V 正三棱锥=4× 4× 6-3× 2 ? ? 284 = 3 (cm3). 2.一个正方体内接于高为 40 cm,底面半径为 30 cm 的圆锥中,求正方体的 棱长. 解析 x cm, 如图所示,过正方体的体对角线作圆锥的轴截面,设正方体的棱长为

2 2 x 40-x 2 则 OC= 2 x,∴ 30 = 40 , 解得 x=120(3-2 2), ∴正方体的棱长为 120(3-2 2) cm.

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