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双曲线的标准方程和几何性质


双曲线
双曲线及其标准方程 1 双曲线的定义: 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(小于| F1 F2 |)的动点 M 的 轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件 2a<| F1 F2 |,这一条件可以用“三角形的两 边之差小于第三边” 加以理解.若 2a=| F1 F2 |, 则动点的轨迹是两条射线; 2a>| F1 F2 |, 若 则无轨迹. 2.双曲线的标准方程判别方法是:如果 x 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y 项 的系数是正数,则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样,通过 比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 双曲线的简单几何性质
2

2

x2 y2 c b2 1.双曲线 2 ? 2 = 1 实轴长为 2a,虚轴长为 2b,离心率 e = = 1 + 2 离心率 e 越大, a a b a
开口越大.

x2 y2 b x2 y2 2.双曲线 2 ? 2 = 1 的渐近线方程为 y = ± x 或表示为 2 ? 2 = 0 .若已知双曲线的 a a b a b m 渐 近 线 方 程 是 y = ± x , 即 mx ± ny = 0 , 那 么 双 曲 线 的 方 程 具 有 以 下 形 式 : n 2 2 2 2 m x ? n y = k ,其中 k 是
一个不为零的常数. 3.双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大于 1 的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线. 焦半径公式 PF =| e(x + 1

a2 a2 )| , PF2 =| e( ? x)| . c c

4.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2 y2 x2 y2 b ? 2 = 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 = 0 ? y = ± x . 2 a b a b a 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y = ± x ? ± = 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 = λ . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 = 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 = λ ( λ > 0 ,焦点在 x 轴上, a b a b λ < 0 ,焦点在 y 轴上).
(1)若双曲线方程为 标准方程 1.双曲线的方程为

x2 y2 ? = 1 ,焦距为 2c ,则 a, b, c 之间的关系是( a2 b2
B. a 2 + c 2 = b 2 C. b 2 + c 2 = a 2



A. a 2 + b 2 = c 2

D.以上均不对 )

2.已知动点 P 到 F1 (5,0) 的距离与它到的距离的差等于 6,则 P 的轨迹方程为( A.

x2 y2 ? =1 9 16

B.

y2 x2 ? =1 9 16

C.

x2 y2 ? = 1 ( x ≤ ?3) 9 16

D.

x2 y2 ? = 1 ( x ≥ 3) 9 16


3.使方程 (3 ? a ) x 2 + (a ? 1) y 2 + a 2 ? 2a ? 3 = 0 表示双曲线的实数 a 的取值范围是(

A. ? 1 < a < 3

B. a < ?1 或 a > 3

C. a > 3

D. a < 3 )

4.双曲线 2 x 2 ? y 2 = k 的焦距是 6,则 k 的值为( A.24 B. ± 6 C. ±

6 5 5

D.3

5.双曲线 3x 2 ? 4 y 2 = 12 的焦点分别是 F1,F2,AB 是过 F1 的弦,且|AB|=5,则 ?ABF2 的 周长是( ) A.3 B.13
2 2

C.18

D.以上均不对

6.方程 (

x y + = 1 和 mx + ny = n ( m, n 是不为零的实数)所表示的曲线草图只可能是 m n ) y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

7.已知平面内有一长为 4 的定线段 AB,O 为 AB 的中点,动点 P 满足,则|PO|的最小值为 ( ) A.1 B.1.5 C.2 D.3 8.双曲线 7 x 2 ? 2 y 2 + 8 = 0 的标准方程是 9.双曲线 3mx 2 ? my 2 = 3 的焦点是(0,2),则 m = 10.设 F1 和 F2 为双曲线 则 ?F1 PF2 的面积是 ,焦点坐标为

x2 ? y 2 = 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足 ∠F1 PF2 = 90 o , 4

双曲线的简单几何性质
1.双曲线

x2 y2 ? = 1 的实轴长和虑轴长分别是( 3 4
B.4, 2 3 C.3,4 D. 2, 3

)

A. 2 3 ,4

2.双曲线

x2 y2 ? = 1 的焦点到它的渐近线的距离等于( a2 b2
B. b C. a D. a a 2 + b 2

)

A. b a 2 + b 2

3.如果双曲线的实半轴长为 2,焦距为 6,那么双曲线的离心率为(

)

A.

3 2

B.

6 2

C.

3 2

D.2

4.双曲线的渐近方程是 y = ± A.

1 x ,焦点在坐标轴一,焦距为 10,其方程为( 2

)

x2 y2 x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 ? = 1 B. ? =1或 ? = 1 C. ? =1 D. ? = ±1 20 5 20 5 20 5 5 20 20 5 x2 y2 5.双曲线 ? = 1 的右准线与渐近线在第一象限的交点和右焦点连线的斜率是( ) 9 16 3 4 3 5 B. ? C. ? D. ? A. ? 4 3 5 3 6.等轴双曲线的一个焦点是 F1(4,0) ,则它的标准方程是 ,渐近线方程 是 7.若双曲线的实轴长,虚轴长,焦距依次成等差数列,则其离心率为
8.若双曲线 为 9.若双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y = 0 ,左焦点坐标为 (? 26 ,0) ,则它的两条准线之 间的距离为 10.写出满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)双曲线的两个焦点是椭圆

x2 y2 ? = 1 上的一点 P 到它的右焦点的距离是 8,则到它的右准线之间的距离 64 36

x2 y2 + = 1 的两个顶点,双曲线的两条准线经过这个椭圆 100 64

的两个焦点: (2)双曲线的渐近线方程为 y = ± x ,两顶点之间的距离为 2: 11.双曲线的其中一条渐近线的斜率为 12.已知双曲线

2 ,求此双曲线的离心率。 7

x2 y2 ? = 1 (1)过右焦点 F2 作一条渐近线的垂线(垂中为 A) ,交另一渐 8 16 近线于 B 点,求证:线段 AB 被双曲线的左准线平分;

(2)过中心 O 作直线分别交双曲线于 C、D 两点,且 ?CDF1 ( F1为左焦点) 的面积为 20, 求直线 CD 的方程。


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