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【优化方案】2014届高考数学3.4 数列求和 随堂检测(含答案解析)


已知{an}为递增的等比数列,且{a1,a3,a5} {-10,-6,-2,0,1,3,4,16}. (1)求数列{an}的通项公式; + (2)是否存在等差数列{bn},使得 a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=2n 1-n-2 对一切 n * ∈N 都成立?若存在,求出 bn;若不存在,说明理由. 解:(1)因为{an}是递增的等比数列, 所以数列{an}的公比 q 是正数. 又{a1,a3,a5} {-10,-6,-2,0,1,3,4,16}, 所以 a1=1,a3=4,a5=16, a3 - - 从而 q2= =4,q=2,an=a1qn 1=2n 1, a1 - 所以数列{an}的通项公式为 an=2n 1. (2)假设存在满足条件的等差数列{bn},其公差为 d.则当 n=1 时,a1b1=1, 又∵a1=1,∴b1=1;当 n=2 时,a1b2+a2b1=4,b2+2b1=4, b2=2.则 d=b2-b1=1, ∴bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n. + 以下证明当 bn=n 时,1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1=2n 1-n-2 对一切 n∈N*都成立. a 设 Sn=a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1, - - 即 Sn=1×n+2×(n-1)+22×(n-2)+23×(n-3)+…+2n 2×2+2n 1×1,① 2 3 n-1 n 2Sn=2×n+2 ×(n-1)+2 ×(n-2)+…+2 ×2+2 ×1,② - ②-①得 Sn=-n+2+22+23+…+2n 1+2n n 2?1-2 ? n+1 =-n+ =2 -n-2, 1-2 + 所以存在等差数列{bn},bn=n,使得 a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1=2n 1-n-2 对一 切 n∈N*都成立.


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