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高三数学培优补差辅导专题讲座-解析几何单元易错题分析与练习


解析几何单元易错题练习
一.考试内容: 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二.考试要求: (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线

的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用. 【注意】圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,高考中主要出 现三种类型的试题:①考查圆锥曲线的概念与性质;②求曲线方程和轨迹;③关 于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三.基础知识: (一)椭圆及其标准方程 1. 椭圆的定义:椭圆的定义中,平面内动点与两定点 F1 、 F2 的距离的和大 于| F1 F2 |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于| F1 F2 |,则这样的点不存在; 若距离之和等于| F1 F2 |,则动点的轨迹是线段 F1 F2 . x2 y2 y2 x2 + 2 = 1 ( a > b >0) 2 + 2 = 1 ( a > b >0). , a2 b a b 3.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果 x 2 项 的分母大于 y 2 项的分母,则椭圆的焦点在 x 轴上,反之,焦点在 y 轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运 用待定系数法求解. (二)椭圆的简单几何性质 x2 y2 1. 椭圆的几何性质:设椭圆方程为 2 + 2 = 1 ( a > b >0). a b ⑴ 范围: -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线 x= ± a 和 y= ± b 所围成的矩 形里. ⑵ 对称性:分别关于 x 轴、y 轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对 称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点:有四个 A1 (-a,0) A2 (a,0) B1 (0,-b) B2 (0,b). 、 、 线段 A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b, a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交 点,称为椭圆的顶点. c ⑷ 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 e = 叫做椭圆的离心率.它的值表示 a 椭圆的扁平程度.0<e<1.e 越接近于 1 时,椭圆越扁;反之,e 越接近于 0 时, 椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 ⑴ 定义:平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是 c 常数 e = (e<1=时,这个动点的轨迹是椭圆. a 2.椭圆的标准方程:

x2 y2 + = 1 ( a > b >0)的准线有两条,它 a2 b2 a2 y2 x2 们的方程为 x = ± .对于椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b >0)的准线方程,只要把 x c a b 2 a 换成 y 就可以了,即 y = ± . c 3.椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. x2 y2 设 F1 (-c,0) F2 (c,0)分别为椭圆 2 + 2 = 1( a > b >0)的左、右两 , a b 焦点,M(x,y)是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为 MF1 = a + ex , ⑵ 准线:根据椭圆的对称性,

MF2 = a ? ex .
椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. c 椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 a 2 = b 2 + c 2 、 e = 两个关系,因此确定椭 a 圆的标准方程只需两个独立条件. 4.椭圆的参数方程 ? x = a cos θ x2 y2 椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b >0)的参数方程为 ? (θ为参数). a b ? y = b sin θ 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角θ与直线 OP b 的倾斜角α不同: tan α = tan θ ; a x2 y2 ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 2 + 2 = 1 与三角恒等式 cos 2 θ + sin 2 θ = 1 a b 相 比 较 而 得 到 , 所 以 椭 圆 的 参 数 方 程 的 实 质 是 三 角 代 换 . 92. 椭 圆 ? x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y = b sin θ 5.椭圆的的内外部 2 2 x0 y0 x2 y2 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的内部 ? 2 + 2 < 1 . a b a b 2 2 2 x y2 x y (2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的外部 ? 0 + 0 > 1 . a b a2 b2 6. 椭圆的切线方程 xx y y x2 y2 (1)椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 + 02 = 1 . a b a b 2 2 x y (2) 过椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y + 2 = 1. a2 b x2 y2 ( 3 ) 椭 圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 2 A a +B b =c (三)双曲线及其标准方程

1. 双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(小于| F1 F2 |)的动点 M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件 2a <| F1 F2 |,这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| F1 F2 |,则动点的轨迹是两条射线;若 2a>| F1 F2 |,则无轨迹. 若 MF1 < MF2 时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 MF1 >

MF2 时,轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应
为“差的绝对值”. x2 y2 y2 x2 ? 2 = 1 和 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0).这里 a2 b a b 2 2 2 b = c ? a ,其中| F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中 的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是: 如果 x 2 项的系数是正数, 则焦点在 x 轴上; 2 如果 y 项的系数是正数,则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此 不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设 出标准方程后,运用待定系数法求解. (四)双曲线的简单几何性质 x2 y2 c 1.双曲线 2 ? 2 = 1 的实轴长为 2a,虚轴长为 2b,离心率 e = >1,离心率 e a a b 越大,双曲线的开口越大. x2 y2 b x2 y2 2. 双曲线 2 ? 2 = 1 的渐近线方程为 y = ± x 或表示为 2 ? 2 = 0 .若已知双 a a b a b m 曲线的渐近线方程是 y = ± x ,即 mx ± ny = 0 ,那么双曲线的方程具有以下形 n 2 2 2 2 式: m x ? n y = k ,其中 k 是一个不为零的常数. 3.双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一 x2 y2 个大于 1 的常数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 2 ? 2 = 1 ,它 a b 2 a a2 的焦点坐标是 (-c, 和 0) (c, , 0) 与它们对应的准线方程分别是 x = ? 和 x = . c c x2 y2 双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的焦半径公式 a b a2 a2 PF1 =| e( x + ) | , PF2 =| e( ? x) | . c c 4.双曲线的内外部 x2 y2 x2 y2 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的内部 ? 0 ? 0 > 1 . a b a2 b2 x2 y2 x2 y2 (2)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的外部 ? 0 ? 0 < 1 . a b a2 b2 5.双曲线的方程与渐近线方程的关系 x2 y2 x2 y2 b (1)若双曲线方程为 2 ? 2 = 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 = 0 ? y = ± x . a b a b a 2. 双曲线的标准方程:

x y x2 y2 ± = 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 = λ . a b a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 = 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 = λ ( λ > 0 ,焦点在 x a b a b 轴上, λ < 0 ,焦点在 y 轴上). 6. 双曲线的切线方程 xx y y x2 y 2 (1)双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 = 1 . a b a b 2 2 x y (2)过双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程 a b x0 x y0 y 是 2 ? 2 = 1. a b x2 y 2 ( 3 ) 双 曲 线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 2 A a ?B b =c . (五)抛物线的标准方程和几何性质 1.抛物线的定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的 轨迹叫抛物线。这个定点 F 叫抛物线的焦点,这条定直线 l 叫抛物线的准线。 需强调的是,点 F 不在直线 l 上,否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线,而不是 抛物线。 2.抛物线的方程有四种类型: y 2 = 2 px 、 y 2 = ?2 px 、 x 2 = 2 py 、 x 2 = ?2 py .

(2)若渐近线方程为 y = ± x ?

b a

对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的 该项即为一次项;一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向; 一次项前面是负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向。 3.抛物线的几何性质,以标准方程 y2=2px 为例 (1)范围:x≥0; (2)对称轴:对称轴为 y=0,由方程和图像均可以看出; (3)顶点:O(0,0) ,注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心) ; (4)离心率:e=1,由于 e 是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的; p (5)准线方程 x = ? ; 2 (6)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1) F 为抛物线的焦点,对于四 , 种抛物线的焦半径公式分别为(p>0) : p p y 2 = 2 px : PF = x1 + ; y 2 = ?2 px : PF = ? x1 + 2 2 p p x 2 = 2 py : PF = y1 + ; x 2 = ?2 py : PF = ? y1 + 2 2 (7)焦点弦长公式:对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出 弦长公式。设过抛物线 y2=2px(p>O)的焦点 F 的弦为 AB,A(x1,y1) B , (x2,y2) AB 的倾斜角为α,则有①|AB|=x 1 +x 2 +p ,

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法, 对于其它的弦, 只能用 “弦长公式” 来求。 (8)直线与抛物线的关系:直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程: 2 x +bx+c=0,当 a≠0 时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别 式法即可;但如果 a=0,则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此 时,直线和抛物线相交,但只有一个公共点。 2 y 4.抛物线 y 2 = 2 px 上的动点可设为 P ( o , y o ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt )或 P ( xo , yo ) ,其中 2p 2 yo = 2 pxo .
b 2 4ac ? b2 5.二次函数 y = ax + bx + c = a( x + ) + (a ≠ 0) 的图象是抛物线: (1)顶 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 + 1 点坐标为 (? , ); (2)焦点的坐标为 (? , ); (3)准线方程 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 是y= . 4a 6.抛物线的内外部 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的内部 ? y 2 < 2 px( p > 0) .
2

点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的外部 ? y 2 > 2 px( p > 0) . (2)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px( p > 0) 的内部 ? y 2 < ?2 px( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px( p > 0) 的外部 ? y 2 > ?2 px( p > 0) . (3)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > 2 py ( p > 0) . (4) 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = ?2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > ?2 py ( p > 0) . 7. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y 2 = 2 px 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y = p ( x + x0 ) . ( 2 ) 过 抛 物 线 y 2 = 2 px 外 一 点 P ( x0 , y0 ) 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是
y0 y = p(x + x0 ) .(3)抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 pB 2 = 2 AC . (六).两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y ) = 0 , f 2 ( x, y ) = 0 的交点的曲线系方程是 f1 ( x, y) + λ f2 ( x, y) = 0 ( λ 为参数). x2 y2 (2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 2 + 2 = 1 , 其 中 k < max{a 2 , b 2 } . 当 a ?k b ?k 2 2 k > min{a , b } 时,表示椭圆; 当 min{a 2 , b 2 } < k < max{a 2 , b 2 } 时,表示双曲线.

(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB = ( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) 2 或

AB = (1 + k 2 )( x2 ? x1 ) 2 =| x1 ? x2 | 1 + tan 2 α =| y1 ? y2 | 1 + co t 2 α ( 弦 端 点

? y = kx + b A ( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,由方程 ? 消去 y 得到 ax 2 + bx + c = 0 , ? > 0 , α 为 ?F( x , y) = 0 直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). (八).圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) = 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y ) = 0 . (2)曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 Ax + By + C = 0 成轴对称的曲线是 2 A( Ax + By + C ) 2 B ( Ax + By + C ) F (x ? ,y? ) = 0. 2 2 A +B A2 + B 2 四.基本方法和数学思想
2 2 1.椭圆焦半径公式:设 P(x0,y0)为椭圆 x 2 + y 2 = 1 (a>b>0)上任一点,焦点为

a

b

F1(-c,0),F2(c,0),则 PF1 = a + ex0 , PF2 = a ? ex0 (e 为离心率) ; 2.双曲线焦半径公式:设 P(x0,y0)为双曲线 x 2 ? y 2 = 1 (a>0,b>0)上任一点,
a b
2 2

焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则: (1)当 P 点在右支上时, PF1 = a + ex0 , PF2 = ? a + ex0 ; (2)当 P 点在左支上时, PF1 = ? a ? ex0 , PF2 = a ? ex0 ; e 为离心率) ( ; 另:双曲线 x 2 ? y 2 = 1 (a>0,b>0)的渐进线方程为 x 2 ? y 2 = 0 ;
a b a b
2 2 2 2

3.抛物线焦半径公式:设 P(x0,y0)为抛物线 y2=2px(p>0)上任意一点,F 为焦点, p p 则 PF = x0 + ;y2=2px(p<0)上任意一点,F 为焦点, PF = ? x0 + ; 2 2 4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题;

; 5.共渐进线 y = ± x 的双曲线标准方程为 x 2 ? y 2 = λ (λ 为参数, λ ≠0)
a b

b a

2

2

6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式, 一般地,若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB, A、B 两点分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2),则弦长 AB = 1 + k 2 ? x2 ? x1 = (1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
= 1+ 1 ? y 2 ? y1 = k2 (1 + 1 ) ? [( y1 + y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] ,这里体现了解析几何“设而不 k2
2

求”的解题思想;
7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为 2 b ,焦准距为 p= b ,抛物线的通径为 2p,
a
2 2
2

c

焦准距为 p; 双曲线 x 2 ? y 2 = 1 (a>0,b>0)的焦点到渐进线的距离为 b;
a b

8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 Ax2+Bx2=1; 9.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为 AB,A(x1,y1) B(x2,y2),则有 、
2 如下结论: 1) AB =x1+x2+p;(2)y1y2=-p2,x1x2= p ; (

4

2 2 10.过椭圆 x 2 + y 2 = 1 (a>b>0)左焦点的焦点弦为 AB,则 AB = 2a + e( x1 + x 2 ) ,

a

b

过右焦点的弦 AB = 2a ? e( x1 + x 2 ) ;
2 y0 11.对于 y =2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为( ,y0),以简化计算; 2p

2

12.处理椭圆、 双曲线、 抛物线的弦中点问题常用代点相减法, A(x1, 1)、 2,y2) 设 y B(x
2 2 为椭圆 x 2 + y 2 = 1 (a>b>0)上不同的两点,M(x0,y0)是 AB 的中点,则

a

b

KABKOM= ? b 2 ;对于双曲线 x 2 ? y 2 = 1 (a>0,b>0) ,类似可得:KAB.KOM= b 2 ;
a
a b

2

2

2

2

a

对于 y2=2px(p≠0)抛物线有 KAB= 2 p

y1 + y 2

13.求轨迹的常用方法: (1)直接法:直接通过建立 x、y 之间的关系,构成 F(x,y)=0,是求轨迹的最 基本的方法; (2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先 根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程 即可; (3)代入法(相关点法或转移法) :若动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1)的变 化而变化,并且 Q(x1,y1)又在某已知曲线上,则可先用 x、y 的代数式表示 x1、 y1,再将 x1、y1 带入已知曲线得要求的轨迹方程; (4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的 定义直接写出方程; (5)参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点 可用时,可考虑将 x、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参 数得普通方程。 求过点(2,1)且与两坐标所围成的三角形面积为 4 的直线方程。 x y 错解: 错解:设所求直线方程为 + = 1 。 a b 2 1 ∵(2,1)在直线上,∴ + = 1 , ① a b 1 又 ab=4 ,即 ab = 8 , ② 2 由①、②得 a = 4,b = 2。故所求直线方程为 x + 2 y = 4 。 剖析: 剖析:本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法 中,由于对截距概念模糊不清,误将直线在 x 轴和 y 轴上的截距作距离使用 而掉入“陷阱” 。 1 1 事实上,直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 a b ,而不是 ab。 2 2 故所求直线方程应为:
x + 2 y = 4,或( 2 +1)x - 2( 2 -1)y – 4 = 0,或( 2 - 1)x - 2( 2 +1)

例题 1

y +4 = 0。 例题 2 求过点 A(-4,2)且与 x 轴的交点到(1,0)的距离是 5 的直线方程。 2 错解: ,则与 x 轴的交点为(-4- , 错解:设直线斜率为 k,其方程为 y – 2 = k(x + 4) k 0) , ∴ ?4?
1 2 ? 1 = 5 ,解得 k = - 。故所求直线的方程为 x + 5y – 6 = 0 。 5 k

剖析: 剖析:题中仅考虑了斜率存在的情况,忽视了斜率不存在的情况,即经过 A 且 垂直于 x 轴的直线,落入“陷阱” 。其实 x = - 4 也符合题意。 例题 3 求过点(1,1)且横、纵截距相等的直线方程。 x y 错解: 错解:设所求方程为 + = 1 ,将(1,1)代入得 a = 2, a a 从而得所求直线方程为 x + y – 2 = 0。 x y 剖析: 剖析:上述错解所设方程为 + = 1 ,其中不含横、纵截距为 0 的特殊情形,事 a a 实上,横、纵截距为 0 且过点(1,1)的直线 y = x 也符合条件。 例题 4 已知圆的方程为 x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ,一定点为 A(1,2) ,要使过 A 点作圆的切线有两条,求 a 的取值范围。
a 2 4 ? 3a 2 2 错解: 。 错解:将圆的方程配方得: ( x + ) + ( y + 1 ) = 2 4

∵其圆心坐标为 C(-

4 ? 3a 2 a ,-1) ,半径 r = 。 2 4

当点 A 在圆外时,过点 A 可作圆的两条切线,则 AC > r 。

a 4 ? 3a 2 即 (1 + ) 2 + (2 + 1) 2 > 。即 a2 + a + 9 > 0,解得 a∈R。 2 4
剖析: 剖析:本题的“陷阱”是方程 x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0 表示圆的充要条件,上述 解法仅由条件得出 AC > r ,即 a2 + a + 9 > 0,却忽视了 a 的另一制 约条件 4 – 3 a2 > 0。 事实上,由 a2 + a + 9 > 0 及 4 – 3 a2 > 0 可得 a 的取值范围是 2 2 3, 3) 。 (? 3 3 例题 5 已知直线 L:y = x + b 与曲线 C:y = 1 ? x 2 有两个公共点,求实线 b

的取值范围。

? y = x + b, ? 错解: 消去 x 得:2y2 - 2by + b2 – 1 = 0。 错解:由 ? ? y = 1? x2 ?

( * )

∵ L 与曲线 C 有两个公共点, ∴ ? = 4b2 – 8 ( b2 -1 ) > 0,解得- 2 <b < 2 剖析: 剖析:上述解法忽视了方程 y = 1 ? x 2 中 y ≥ 0 ,- 1 ≤ x ≤ 1 这一限制条 件,得出了错误的结论。 事实上,曲线 C 和直线 L 有两个公共点等价于方程(*)有两个不等的非负 实根。 ? ? ? = 4b 2 - 8(b 2 - 1) > 0 ? - 2b ? >0 解得 1≤ b ≤ 2 。 ? y 1 + y2 = 2 ? 2 ? y y = b ?1 ≥ 0 1 2 ? 2 ? 例题 6 等腰三角形顶点是 A(4,2) ,底边的一个端点是 B(3,5) ,求另一个 端点 C 的轨迹方程。 错解: ,依题意有: 错解:设另一个端点的坐标为( x ,y )

AC = AB ,即: ( x ? 4) 2 + ( y ? 2) 2 = (4 ? 3) 2 + (2 ? 5) 2
∴ (x - 4)2 + (y - 2) 2 = 10 即为 C 点的轨迹方程。 这是以 A(4,2)为圆心、以为半径的圆。 剖析: 剖析:因为 A、B、C 三点为三角形三个顶点,所以 A、B、C 三点不共线,即 B、 C 不能重合, 且不能为圆 A 一直径的两个端点, 这正是解题后没有对轨迹 进行检验,出现增解,造成的解题错误。 ?x+3 x≠3 ? 2 ≠4 ? 事实上,C 点的坐标须满足 ? ,且 ? , y+5 ?y ≠ 5 ? ≠2 ? 2 2 故端点 C 的轨迹方程应为(x - 4) + ( y-2 )2 = 10 ( x ≠ 3,y ≠ 5;x ≠ 5,y ≠ - 1)。 它表示以(4,2)为圆心,以 10 为半径的圆,除去(3,5) 5,-1)两点。 ( 例题 7 求 z = 3 x + 5 y 的最大值和最小值,使式中的 x ,y 满足约束条件:

? 5x + 3y ≤ 15 ? ? y ≤ x +1 ? x ? 5y ≤ 3 ?
错解: 错解:作出可行域如图 1 所示,过原点作直线 L0:3 x + 5 y = 0 。 由于经过 B 点且与 L0 平行的直线与原点的距离最近,

? x ? 5y = 3 ? 故 z = 3 x + 5 y 在 B 点取得最小值。解方程组 ? ,得 B 点坐标 ?5 x + 3 y = 15 ?

为(3,0) ,∴ z 最小=3 × 3+5 × 0=9。 由于经过 A 点且与 L0 平行的直线与原点的距离最大, 故 z = 3x + 5y 在 A 点取得最大值。 ? y = x +1 3 5 解方程组 ? ,得 A 点坐标为( , ) 。 2 2 ?5 x + 3 y = 15 ∴ z 最大=3 ×
3 5 +5 × = 17 。 2 2
Y

剖析: 上述解法中, 受课本例题的影响, 剖析: 误认为在对过原点的直线 L0 的平行移 动中,与原点距离最大的直线所经过的 可行域上的点,即为目标函数 Z 取得最 大值的点。反之,即为 Z 取得最小值的 点,并把这一认识移到不同情况中加以 X 应用,由此造成了解题失误。 事实上,过原点作直线 L0:3x + 5y = 0,由于使 z = 3x + 5y > 0 的区域为 直线 L0 的 右上方,而使 z = 3x + 5y < 0 的 区域为 L0 的 左下方。由图知:z = 3x + 5y 应在 A 点取得最大值,在 C 点取得最小值。 ? y = x +1 解方程组 ? ,得 C(-2,-1) 。 ?x ? 5 y = 3 ∴ z 最小=3 × (-2)+5 × (-1)= -11。 例题 8 已 知 正 方 形 ABCD 对 角 线 AC 所 在 直 线 方 程 为 y = x . 抛 物 线

f ( x) = x 2 + bx + c 过 B,D 两点

(1)若正方形中心 M 为(2,2)时,求点 N(b,c)的轨迹方程。 (2)求证方程 f ( x) = x 的两实根 x1 , x 2 满足 | x1 ? x 2 |> 2 解答: (1)设 B (2 + s, 2 ? s ), D (2 ? s, 2 + s ), s ≠ 0

? 2 + s = (2 ? S ) 2 + b(2 ? S ) + c 因为 B,D 在抛物线上 所以 ? 两式相减得 2 ?2 ? S = (2 + S ) + b(2 + S ) + c
2 s = ?8s ? 2 sb

则 b = ?5 代入(1)
∴c = 8 ? s2 < 8

得 2 + s = s 2 ? 4 s + 4 ? 10 + 5s + c

故点 N (b, c) 的方程 x = ?5( y < 8) 是一条射线。 (2)设 B (t + s, t ? s ), D (t ? s, t + s ) s ≠ 0

? t + s = (t ? s ) 2 + b(t ? s ) + c LL (1) 同上 ? 2 ?t ? s = (t + s ) + b(t + s ) + c LL (2)
(1)-(2)得 t = ?
b +1 LL (3) 2

(1)+(2)得 s 2 + (b ? 1)t + t 2 + c = 0LL (4) (3)代入(4)消去 t 得 s 2 = 得 (b ? 1) 2 ? 4c > 4
x1 + x2 = 1 ? b

b 2 ? 1 (b + 1) 2 ? ?c > 0 2 4

又 f ( x) = x 即 x 2 + (b ? 1) x + c = 0 的 两 根 x1 , x2 满 足

x1 ? x2 = c

∴| x1 ? x2 |2 = ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = (b ? 1) 2 ? 4c > 4

故 | x1 ? x2 |> 2 。 易错原因:审题不清,忽略所求轨迹方程的范围。 1 例题 9 已知双曲线两焦点 F1 , F2 , 其中 F1 为 y = ? ( x + 1) 2 + 1 的焦点, 两点 A (-3,2) 4 ( ( B (1,2)都在双曲线上, 1)求点 F1 的坐标; 2)求点 F2 的轨迹方程,并画出轨迹 的草图; 3)若直线 y = x + t 与 F2 的轨迹方程有且只有一个公共点,求实数 t 的 ( 取值范围。
1 解答: 1)由 y = ? ( x + 1) 2 + 1 得: ( x + 1) 2 = ?4( y ? 1) ,故 F1 (?1, 0) ( 4

(2)设点 F2 ( x, y ) ,则又双曲线的定义得 || AF1 | ? | AF2 ||=|| BF1 | ? | BF2 ||≠ 0 又Q| AF2 |=| AF1 |= 2 2
∴| AF2 |=| BF 2 | 或 | F2 A | + | F2 B |=| AF1 | + | BF1 |= 4 2

∴ 点 F2 的轨迹是以 A, B 为焦点的椭圆 ∴ x + 1 = 0 除去点 (?1, 0), (?1, 4) 或
(?1, 0), (?1, 4) ( x + 1) 2 ( y ? 2) 2 + = 1 除去点 8 4

图略。

y = x+t ? ? (3)联列: ? ( x + 1) 2 ( y ? 2) 消去 y 得 + =1 ? 4 ? 8

( x + 1) 2 + 2( x + t ? 2) 2 = 8 当
=0

整理得: 3 x 2 + (4t ? 6) x + 2t 2 ? 8t + 1 = 0 t = 3± 2 3 从 图 可 知 :





t ∈ (?∞,3 ? 2 3) ∪ (3 + 2 3, +∞) ,

又因为轨迹除去点 (?1, 0), (?1, 4) 所以当直线过点 (?1, 0), (?1, 4) 时也 只有一个交点,即 t = 1 或 5
∴ t ∈ (?∞, 3 ? 2 3) ∪ (3 + 2 3, +∞) ∪ {1,5}

易错原因: 1)非标准方程求焦点坐标时计算易错; 2)求点 F2 的轨迹时易少 ( ( 一种情况; 3)对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。 ( 例题 10 已知圆 O1 : x 2 + y 2 = 1 ,圆 O2 : x 2 + y 2 ? 10 x + 9 = 0 都内切于动圆,试 求动圆圆心的轨迹方程。 错解:圆 O2: x 2 + y 2 ? 10 x + 9 = 0 ,即为 ( x ? 5) 2 + y 2 = 16 所以圆 O2 的圆心为 O2 (5,0) ,半径 r2 = 4 , 而圆 O1 : x 2 + y 2 = 1 的圆心为 O1 (0,0) ,半径 r1 = 1 , 设所求动圆圆心 M 的坐标为(x,y),半径为 r 则 r =| O1 M | +1 且 r =| O2 M | +4 ,所以 | O1 M | ? | O2 M |= 3 即 x 2 + y 2 ? ( x ? 5) 2 + y 2 = 3 ,化简得 16 x 2 ? 80 x ? 9 y 2 + 64 = 0
5 (x ? )2 2 2 ? y = 1 为所求动圆圆心的轨迹方程。 即 9 4 4

剖析: 上述解法将 | O1 M | ? | O2 M | =3 看成 || O1 M | ? | O2 M ||= 3 ,误认为动圆圆心的 轨迹为双曲线,这是双曲线的概念不清所致。 事实上,O1 M | ? | O2 M |= 3 表示动点 M 到定点 O1 及 O2 的距离差为一常数 3。 |
5 (x ? )2 2 2 ? y = 1( x ≥ 4) 且 | O1O2 |= 5 > 3 ,点 M 的轨迹为双曲线右支,方程为 9 4 4 例题 11 点 P 与定点 F(2,0)的距离和它到直线 x=8 的距离比是 1:3,求动点 5 P 与定点 P1 ( ,3) 距离的最值。 4

错解:设动点 P(x,y)到直线 x=8 的距离为 d,则 即

| PF | 1 = , d 3

( x ? 2) 2 + y 2 1 = | x?8| 3

5 (x ? )2 2 4 + y =1 两边平方、整理得 (1 ) 9 9 ( )2 4 2 5 2 2 2 9 由此式可得: ( x ? ) = (1 ? y ) × ( ) 2 4 9 4

5 2 9 因为 | PP1 |= ( x ? ) 2 + ( y ? 3) 2 = (1 ? y 2 ) × ( ) 2 + ( y ? 3) 2 4 9 4 1 1377 = ? ( y + 24) 2 + 8 16
所以 | PP1 | max = 剖析

1377 3 = 153 16 4

由上述解题过程知,动点 P(x,y)在一椭圆上,由椭圆性质知,椭圆上点的横 3 3 纵坐标都是有限制的, 上述错解在于忽视了 ? 2≤y≤ 2 这一取值范 2 2 围,由以上解题过程知, | P1 P | 的最值可由二次函数在区间上的单调性给 予解决 即:当 y = ?
3 3 2 时, | PP1 | max = 3 + 2 2 2

例题 12

已知双曲线

x2 y2 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率 e= 3 , 过点 A( 0,?b ) 2 3 a b
3 ,直线 y=kx+m (k ≠ 0, m ≠ 0) 与该双曲 2

和 B(a,0)的直线与原点的距离为

线交于不同两点 C、D,且 C、D 两点都在以 A 为圆心的同一圆上,求 m 的取值范围。 2 ? 2 4 ?b? e = 1+ ? ? = ? 3 ?a? ? 错解 由已知,有 ? 解之得: a 2 = 3, b 2 = 1 ab 3 ? ? a2 + b2 = 2 ? 所以双曲线方程为
x2 ? y2 = 1 3

把直线 y=kx+m 代入双曲线方程, 并整理得:1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx ? 3m 2 ? 3 = 0 ( 所以 ? = m 2 + 1 ? 3k 2 > 0 (1) 设 CD 中点为 P ( x0 , y 0 ) ,则 AP ⊥ CD,且易知: x0 =
3km m , y0 = 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

所以 k AP

m +1 2 1 = 1 ? 3k =? ? 3k 2 = 4m + 1 3km k 2 1 ? 3k

(2)

将(2)式代入(1)式得 m 2 ? 4m > 0 解得 m>4 或 m < 0 故所求 m 的范围是 m ∈ (?∞,0) U (4,+∞) 剖析 上述错解,在于在减元过程中,忽视了元素之间的制约关系, 4m + 1 将k2 = 代入(1) 式时,m 受 k 的制约。 3 1 1 因为 k 2 > 0 所以 m > ? 故所求 m 的范围应为 m>4 或 ? < m < 0 4 4 例题 13 椭圆中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e =
3 3 ,已知点 P( 0, ) 2 2

到椭圆上的点最远距离是 7 ,求这个椭圆的方程。 错解
x2 y2 设所求椭圆方程为 2 + 2 = 1(a > b > 0) a b b = a a2 ? c2 1 = 1? e2 = 所以 a=2b 2 2, a x2 y2 + 2 =1 4b 2 b

因为

于是椭圆方程为

3 设椭圆上点 M(x,y)到点 P (0, ) 的距离为 d, 2 3 2 y2 9 1 2 则: d = x + ( y ? ) = 4b (1 ? 2 ) + y 2 ? 3 y + = ?3( y + ) 2 + 4b 2 + 3 2 4 2 b
2 2

1 所以当 y = ? 时,有 d 2 max = 4b 2 + 3 = 7, b = 1 2

所以所求椭圆方程为

x2 + y2 = 1 4

剖析

由椭圆方程

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 得 ? b ≤ y ≤ b a 2 b2
1 2

由(1)式知 d 2 是 y 的二次函数,其对称轴为 y = ?

上述错解在于没有就对称轴在区间 [?b, b] 内或外进行分类,
1 其正解应对 f(y)= ? 3( y + ) 2 + 4b 2 + 3 的最值情况进行讨论: 2 1 1 (1)当 ? b ≤ ? ,即 b ≥ 时 2 2 1 x2 d 2 max = f (? ) = 4b 2 + 3 =7 ? b = 1 ,方程为 + y2 = 1 2 4

(2)当 ?
d 2 max

1 1 < ?b , 即 b < 时, 2 2 3 1 1 = f (?b) = 7 ? b = 7 ? > ,与 b < 矛盾。 2 2 2

x2 综上所述,所求椭圆方程为 + y2 = 1 4

例题 15

已知双曲线 x 2 ?

y2 = 1 ,问过点 A(1,1)能否作直线 l ,使 l 与双曲线交 2

于 P、Q 两点,并且 A 为线段 PQ 的中点?若存在,求出直线 l 的方程, 若不存在,说明理由。 错解 设符合题意的直线 l 存在,并设 P( x1 , x 2 ) 、 Q( x 2 , y 2 )

? 2 y1 2 = 1 (1) ? x1 ? ? 2 则? 2 ? 2 y2 x2 ? = 1 ( 2) ? ? 2

(1) ? (2) 得 ( x1 ? x 2 )( x1 + x 2 ) =

1 ( y1 ? y 2 )( y1 + y 2 ) (3) 2

? x + x 2 = 2 (4) 因为 A(1,1)为线段 PQ 的中点,所以 ? 1 ? y1 + y 2 = 2 (5)
将(4)、(5)代入(3)得 x1 ? x 2 = 若 x1 ≠ x 2 ,则直线 l 的斜率 k =
1 ( y1 ? y 2 ) 2

y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

所以符合题设条件的直线 l 存在。其方程为 2 x ? y ? 1 = 0 剖析 在(3)式成立的前提下,由(4)、(5)两式可推出(6)式,但由(6)式 不能推出(4)(5)两式,故应对所求直线进行检验,上述错解没有做到这一点,故 是错误的。
? y = 2x ?1 ? 应在上述解题的基础上,再由 ? 2 y 2 得 2x 2 ? 4x + 3 = 0 =1 ?x ? ? 2

根据 ? = ?8 < 0 ,说明所求直线不存在。 例题 15 已知椭圆 C :
( x ? 1) 2 y 2 + = 1 ,F 为它的右焦点,直线 l 过原点交椭圆 C 4 3

于 A、B 两点。求 | FA | ? | FB | 是否存在最大值或最小值?若不存在,说 明理由。 错解 设 A、B 两点坐标分别为 ( x A , y A ) 、 ( x B , y B ) c 1 a2 因为 a 2 = 4, b 2 = 3 , 所以 c = a 2 ? b 2 = 1 , e = = , =4 a 2 c 又椭圆中心为(1,0),右准线方程为 x=5, 所以
1 1 (5 ? x A ) 同理 | FB |= (5 ? x B ) 2 2 ,

| FA | 1 = 5 ? xA 2

即 | FA |=

1 所以 | FA | ? | FB | = [25 ? 5( x A + x B ) + x A x B ] (1) 4

设直线 l 的方程为 y=kx,代入椭圆方程得 (3 + 4k 2 ) x 2 ? 6 x ? 9 = 0
6 ?9 , x A xB = 2 3 + 4k 3 + 4k 2 1 39 代入(1)式得 | FA | ? | FB | = (25 ? ) 4 3 + 4k 2 25 所以 3 ≤| FA | ? | FB |< ,所以 | FA | ?FB |有最小值 3,无最大值。 4 剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线,当 l 的斜率不存在时, 5 5 25 有 | FA | ? | FB | = × = 2 2 4

所以 x A + x B =

所以 | FA | ?FB 有最小值为 3,最大值为 25/4

课后练习题 1、圆 x2 + 2x + y2 + 4y –3 = 0 上到直线 x + y + 1 = 0 的距离等于 2 的点共有 ( ) A、1 个 B、 2 个 C、 3 个 D、 4 个 分析: 分析:这里直线和圆相交,很多同学受思维定势的影响,错误地认为圆在此直线 的两侧各有两点到直线的距离为 2 ,导致错选( D ) 。 事实上,已知圆的方程为: (x +1)2 + (y+2) 2 = 8,这是一个 以(-1,-2)为圆心,以 2 2 为 半径的圆,圆的圆心到直线 x + y + 1 = 0 的距离 为 d= ?1? 2 +1 2 = 2,
A O Y

C X

B x+y=1

这样只需画出(x +1)2 + (y+2) 2 = 8

和直线 x + y + 1 = 0 以及和 x + y + 1 = 0 的距离为 2 的平行直线即可。 如图 2 所示,图中三个点 A、B、C 为所求,故应选(C) 。 2、过定点(1,2)作两直线与圆 x 2 + y 2 + kx + 2 y + k 2 ? 15 = 0 相切,则 k 的取值 范围是 A k>2 B -3<k<2 解 答:D C k<-3 或 k>2 D 以上皆不对

易错原因:忽略题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑 D 2 + E 2 ? 4 F > 0
x2 y2 3、设双曲线 2 ? 2 = 1(a > b > 0) 的半焦距为 C,直线 L 过 (a, 0), (0, b) 两点,已 a b

知原点到直线 L 的距离为
2 3 C 3

3 C ,则双曲线的离心率为 4

A 2

B 2或

2

D

2 3 3

解 答:D 易错原因:忽略条件 a > b > 0 对离心率范围的限制。
4、 已知二面角 α ? l ? β 的平面角为 θ , ⊥ α , ⊥ β , , 为垂足, PA=4, PA PB A B 且 PB=5,设 A、B 到二面角的棱 l 的距离为别为 x, y ,当 θ 变化时,点 ( x, y ) 的

轨迹是下列图形中的



A 答: D

B

C

D

易错原因:只注意寻找 x, y 的关系式,而未考虑实际问题中 x, y 的范围。
5、若曲线 y = x 2 ? 4 与直线 y = k ( x ? 2) +3 有两个不同的公共点,则实数 k 的

取值范围是
A
0 ≤ k ≤1

B 0≤k ≤

3 4

C ?1 < k ≤

3 4

D ?1 < k ≤ 0



答:C

易错原因:将曲线 y = x 2 ? 4 转化为 x 2 ? y 2 = 4 时不考虑纵坐标的范围;另外 没有看清过点(2,-3)且与渐近线 y = x 平行的直线与双曲线的位置关系。
6、已知圆 ( x ? 3) 2 +y 2 =4 和 直线 y=mx 的交点分别为 P、Q 两点,O 为坐标原

点, 则︱OP︱·︱OQ︱=(
A 1+m 2 B

)

5 C 5 D 10 1+ m2 正确答案: C 错因:学生不能结合初中学过的切割线定︱OP︱·︱OQ︱等 于切线长的平方来解题。 x2 y2 7、双曲线 - =1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在直线方程是( 9 4



A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在 正确答案:D 错因:学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存 在性。 1 8、 已知 α 是三角形的一个内角, sin α +cos α = 则方程 x 2 sin α -y 2 cos α =1 且 5 表示( ) A 焦点在 x 轴上的双曲线 B 焦点在 y 轴上的双曲线 C 焦点在 x 轴上的椭圆 D 焦点在 y 轴上的椭圆 1 正确答案:D 错因:学生不能由 sin α +cos α = 判断角 α 为钝角。 5 9、过抛物线的焦点 F 作互相垂直的两条直线,分别交准线于 P、Q 两点,又过 P、 Q 分别作抛物线对称轴 OF 的平行线交抛物线于 M﹑N 两点,则 M﹑N﹑F 三点

A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规 律 正确答案:B 错因:学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。 ) 10、已知实数 x,y 满足 3x2+2y2=6x,则 x2+y2 的最大值是( 9 A、 B、4 C 、5 D、2 2 正确答案:B 错误原因:忽视了条件中 x 的取值范围而导致出错。
11、 过点(0,1)作直线, 使它与抛物线 y 2 = 4 x 仅有一个公共点, 这样的直线有 ( )

A.1 条 B.2 条 正确答案:C

C. 3 条

D. 0 条

? y 2 = 4x 2 错解:设直线的方程为 y = kx + 1 ,联立 ? ,得 (kx + 1) = 4 x , ? y = kx + 1
即: k 2 x 2 + (2k ? 4) x + 1 = 0 ,再由Δ=0,得 k=1,得答案 A. 剖析:本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将 斜率 k=0 的情形丢掉了,故本题应有三解,即直线有三条。 12、已知动点 P(x,y)满足 5 ( x ? 1)2 + ( y ? 2) 2 =| 3 x + 4 y ? 11| ,则 P 点的轨迹是 ( ) A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆 正确答案:A 错因:利用圆锥曲线的定义解题,忽视了(1,2)点就在直线 3x+4y-11=0 上。
13、在直角坐标系中,方程 ( x + y ? 1) 3 + 2 x ? x 2 ? y = 0 所表示的曲线为(

(

)



A.一条直线和一个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.一条线段和半个圆 正确答案:D 错因:忽视定义取值。
14 、 设 F1 和 F2 为 双 曲 线 x2 ? y2 = 1 的 两 个 焦 点 , 点 在 双 曲 线 上 且 满 足 4

∠F1 PF2 = 90 o ,则

?F1 PF2 的面积是(
A.1 B.

) 。

5 2

C.

2

D. 5

正解:A 正解:

x2 ? y 2 = 1 a = 2, C = 5 ∴|| PF1 | ? | PF2 ||= 4 4

?| PF1 | 2 ?2 | PF1 || PF2 | + | PF2 | 2 = 16 ①

又Q ∠F1 PF2 = 90 o ∴ | PF1 | 2 + | PF2 | 2 = (2 5 ) 2 ② 联立①②解得∴| PF1 || PF2 |= 2
∴ S ?F1PF2 = 1

误解: 误解:未将∴|| PF1 | ? | PF2 ||= 4 两边平方,再与②联立,直接求出 | PF1 || PF2 | 。
15、已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y = ±

b x, (a > 0, b > 0) ,若双 a

,使 a | y 0 |> b | x0 | ,那双曲线的交点( 曲线上有一点 M( x0 , y 0 )
A.在 x 轴上 B.在 y 轴上 C.当 a > b 时在 x 轴上 D.当 a < b 时在 y 轴上

) 。

正解: 正解:B。 由 a y0 > b x0 得

y0 b > ,可设 x0 > 0, y0 > 0 ,此时 OM 的斜率大于渐 x0 a

近线的斜率,由图像的性质,可知焦点在 y 轴上。所以选 B。 误解: 误解:设双曲线方程为
x2 y2 ? 2 = λ ,化简得: b 2 x 2 ? a 2 y 2 = λ a 2b 2 , 2 a b

2 2 2 代入 ( x0 , y0 ) , b 2 x0 ? λ a 2b 2 = a 2 y0 > b 2 x0 ,∴ λ > 0 ,∴ 焦点在 x 轴上。这

个方法没错,但 λ 确定有误,应 λ < 0 ,∴ 焦点在 y 轴上。 误解: 误解:选 B,没有分组。
16、与圆 x 2 + ( y + 5) 2 = 3 相切,且纵截距和横截距相等的直线共有( A 、2 条 B、3 条 答案:C 错解:A 错因:忽略过原点的圆 C 的两条切线 C 、4 条 D 、6 条



17、 若双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的右支上一点 P a,b) ( 直线 y=x 的距离为 2 , a+b 的 则

值是(

) 1 A、 ? 2 答案:B 错解:C

B、

1 2

C、 ±

1 2

D、 ± 2

错因:没有挖掘出隐含条件 a > b
18、双曲线
x2 y2 ? = 1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在的直线方程为( 9 4



A、 8 x ? 9 y = 7

B、 8 x + 9 y = 25

C、 4 x ? 9 y = 6

D、不存在

答案:D 错解:A 错因:没有检验出 8 x ? 9 y = 7 与双曲线无交点。
4x ? 9 的图象的对称中心,且和抛物线 y2=8x 有且只有一个公共 x?2 点的直线的条数共有( ) A、1 条 B、2 条 C 、3 条 D、不存在 正确答案: B) ( 错误原因 :解本题时极易忽视中心(2,4)在抛物线上,切线只有 1 条,又易 忽视平行于抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。
19、过函数 y=-

20、双曲线

x2 y2 ? = 1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 8.5,则点 P 到点( ? 5,0 )的距 16 9 设双曲线的两个焦点分别为 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,

离_______。 错解

由双曲线定义知 || PF1 | ? | PF2 ||= 8 所以 | PF1 |= 16.5 或 | PF1 |= 0.5 剖析 由题意知,双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为 1, 所以 PF1 = 0.5 不合题意,事实上,在求解此类问题时,应灵活运用双曲线定义, 分析出点 P 的存在情况,然后再求解。如本题中,因左顶点到右焦点的距离为
9>8.5,故点 P 只能在右支上,所求 PF1 = 16.5 21、 一双曲线与椭圆

x2 y2 + = 1 有共同焦点, 并且与其中一个交点的纵坐标为 4, 27 36 则这个双曲线的方程为_____。 x2 y2 x2 y2 + =4 ,设双曲线的方程为 ? + =1 正解:5 4 k ? 27 36 ? k (27 < k < 36 ) x 2 42 15 42 又由题意知 + = 1∴ x 2 = 15 ∴ ? + = 1 ∴ k = 32 27 36 k ? 27 36 ? k x2 y2 故所求双曲线方程为 ? + =1 5 4 误解: 误解:不注意焦点在 y 轴上,出现错误。
22、过双曲线 x2-
y2 = 1 的右焦点作直线交双曲线于 A、B 两点,且 AB = 4 ,则 2

这样的直线有___________条。错解:2 错因:设 y = k ( x ? 3 ) 代入椭圆的方程算出有两条,当 k 不存在,即直线 AB ⊥ x 轴时,|AB|=4,忽视此种情况。正解:3

23、一动点到定直线 x=3 的距离是它到定点 F(4,0)的距离的比是

1 ,则动 2

点轨道方程为 。 8 (x ? )2 2 3 ? y =1 答案: 4 4 9 3 错解:由题意有动点的轨迹是双曲线,又 F(4,0) ,所以 c=4,又准线 x=3, a2 x2 y2 2 2 所以 = 3, a = 12, b = 4 ,故双曲线方程为 ? =1 c 12 4 错因:没有明确曲线的中心位置,而套用标准方程。
24、经过双曲线 x 2 ?

y2 = 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 30° 的弦 AB,则 ?F1 AB 的周 3

长为



答案:设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 其中

x1 > 0, x 2 < 0, a = 1, e = 2, 则 AF1 = ex1 + a = 2 x1 + 1, BF1 = ?(2 x 2 + 1) ,
所以 AF1 + BF1 = 2( x1 ? x 2 ) ,将弦 AB 的方程 y = 程,
1 13 整理得 8 x 2 + 4 x ? 13 = 0, 所以x1 + x 2 = ? , x1 x 2 = ? , 则 AB = 3 , 2 8
可求得 x1 ? x 2 =

3 ( x ? 2) 代入双曲线方 3

3 3 ,故答案为 3 + 3 3 2

错解:10 错因:作图错误,没有考虑倾斜角为 30° 的直线与渐近线的关系,而误将 直线作成与右支有两交点。

25、如果不论实数 b 取何值,直线 y = kx + b 与双曲线 x 2 ? 2 y 2 = 1 总有公共点,
那么 k 的取值范围为 答案: (? 。

2 2 ) , 2 2 2 2 , ] 2 2

错解: [?

错因:没考虑 b=0 时,直线不能与渐近线平行。 x2 y2 16 =1上有一点 P 到左准线的距离为 ,则 P 到右焦点的距离 26、双曲线 9 16 5

。 错解:设 F1 、F2 分别为由双曲线的左、右焦点,则由双曲线的方程为 x2 y2 5 =1,易求得 a=3,c=5,从而离心率 e= ,再由第二定义,易求|PF1|=ed1 9 16 3 5 16 16 × = = , 于 是 又 由 第 一 定 义 3 5 3 y 16 PF2 ? PF1 = 2a = 6 ,得|PF2|= 6 ± 。 3 剖析:以上出现两解的原因是考虑到 P 可能在不同的 P 两支上。 而事实上 P 若在右支上,则其到 F1 的最短距离应为右 F1 F2 16 顶点 A2 到 F1 的距离| A2 F1|=a+c=8,而 < 8 ,故点 3 16 34 = P 只能在左支,于是|PF2|= 6 + 。 3 3 小结:一般地,若|PF1| ≥ a+c,则 P 可能在两支上, 若|PF1| < a+c,则 P 只能在一支上。 3 27、已知双曲线的一条准线方程为 x=2,其相应的焦点为(8,0),离心率为 ,求双 2 曲线的方程。 错解:由 a2 = 2, c = 8, 得 : a 2 = 16,∴ b 2 = 48 ,于是可求得双曲线的方程为 c



x

x2 y2 ? = 1。 16 48 点评:看起来问题已经解决,然而离心率这个条件似乎多余,而根据求得的方程 3 又得不到离心率为2 。错误是显然的,那么问题在哪里呢?其实问题就在 于此方程并不是标准方程,而我们把它当作了标准方程。正确的做法是利 用双曲线的第二定义来求出方程(下略) 。由此看来,判断准方程的类型是 个关键。
28、过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y 2 = 4 x 仅有一个公共点,这样的直线有 A.1 条 B.2 条 C. 3 条 D. 0 条

? y 2 = 4x 2 错解:设直线的方程为 y = kx + 1 ,联立 ? ,得 (kx + 1) = 4 x , ? y = kx + 1
即: k 2 x 2 + (2k ? 4) x + 1 = 0 ,再由Δ=0,得 k=1,得答案 A. 剖析:本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外 又将斜率 k=0 的情形丢掉了,故本题应有三解,即直线有三条。 小结:直线与抛物线只有一解时,并不一定相切,当直线与抛物线的对称轴平行 时,也只有一解。

29、已知曲线 C: y = 范围。 错解:曲线 C: y = 得:

20 ? x 2 与直线 L: y = ? x + m 仅有一个公共点,求 m 的 2
? y = ?x + m 20 ? x 2 可化为 x 2 + 4 y 2 = 20(1) ,联立 ? 2 , 2 2 ? x + 4 y = 20

5 x 2 ? 8mx + 4m 2 ? 20 = 0 ,由Δ=0,得 m = ±5 。

y

分析:方程(1)与原方程并不等价,应加上

y ∈ [0,+∞ ) 。
故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分。 (如 图) ,结合图形易求得 m 的范围为
m = 5或 ? 2 5 < m < 2 5 。
o

x

解题回顾:在将方程变形时应时时注意范围的变化,这样才不会出错。 3 30、设双曲线的渐近线为: y = ± x ,求其离心率。 2 3 b 3 错解:由双曲线的渐近线为: y = ± x ,可得: = ,从而 2 a 2
e= c b2 13 = 1+ 2 = a 2 a

3 剖析:由双曲线的渐近线为 y = ± x 是不能确定焦点的位置在 x 轴上的,当 2 b 2 c b2 13 故本题应有两解, e = = 1 + 2 = 即: 焦点的位置在 y 轴上时, = , a 3 a 2 a



13 。 3
y2 = 1 ,过 P(1,1)能否作一条直线 L 与双曲线交于 A、B 两 2

31、已知双曲线 x 2 ?

点,且 P 为 AB 中点。 错解: 1)过点 P 且与 x 轴垂直的直线显然不符合要求。 (
y2 (2)设过 P 的直线方程为 y ? 1 = k ( x ? 1) ,代入 x ? = 1 并整理得: 2
2

(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) 2 ? 2 = 0

2k (1 ? k ) 2k (1 ? k ) ,又∵ x1 + x 2 = 2 ∴ =2 2 2?k 2?k2 解之得:k=2,故直线方程为:y=2x-1,即直线是存在的。 剖析:本题的问题在于没有考虑隐含条件“Δ>0” ,当 k=2 时代入方程可知 Δ<0,故这样的直线不存在。 解题反思:使用一元二次方程的根与系数的关系必需要注意检验根的判别式 ? ≥ 0 是否成立。

∴ x1 + x 2 =

32、直线 L: y = k ( x ? 5) 与圆 O: x 2 + y 2 = 16 相交于 A、B 两点,当 k 变动时,

弦 AB 的中点 M 的轨迹方程。 错解:易知直线恒过定点 P(5,0) ,再由 OM ⊥ AP ,得:
OP = OM
2 2

+ MP

2

∴ x 2 + y 2 + ( x ? 5) 2 + y 2 = 25 ,整理得:
5? 25 ? 2 ?x? ? + y = 2? 4 ?
2

剖析:求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点 M 应在圆内, 16 故易求得轨迹为圆内的部分,此时 0 ≤ x < 。 5
33、设点 P(x,y)在椭圆 4 x 2 + y 2 = 4 上,求 x + y 的最大、最小值。

错解:因 4 x 2 + y 2 = 4 ∴ 4 x 2 ≤ 4 ,得: ? 1 ≤ x ≤ 1 ,同理得: ? 2 ≤ y ≤ 2 , 故?3 ≤ x + y ≤ 3 ∴最大、最小值分别为 3,-3.

剖析: 本题中 x、 除了分别满足以上条件外, y 还受制约条件 4 x 2 + y 2 = 4 的约束。 当 x=1 时,y 此时取不到最大值 2,故 x+y 的最大值不为 3。 其实本题只需令
x = cos θ , y = 2 sin θ ,则 x + y = cos θ + 2 sin θ = 5 sin(θ + ψ ) ,故其最大值

为 5 ,最小值为 ? 5 。


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