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高中数学必修1


一、基本概念
1、角的概念的推广

y

? 的终边
正角 零角
x

? ? (??,??)
? 的终边 2、角度与弧度的互化

o

负角

? ? 180?

180 1弧度 ? ( )? ?

57.30? ? 57?18, π π 1? ? 180

3.终边相同的角; {? | ? ? ? ? 2k? , k ? Z}

4.弧度制:

(1)1弧度的角: 长度等于半径的弧所对的圆心角.

360 = 2? rad 180 = ? rad
(2)弧长公式:

l ?= r

r O 1rad r

l= ? r

1 1 2 (3)扇形面积公式: S扇 = lr ? ? r 2 2

5. 任意角的三角函数 (1) 定义:
y x y sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? r r x

y

P(x,y)

r
o



x
2 2

r? x ?y

当点P在单位圆上时,r =1 (2) 三角函数值的符号:
y y y

O

x

O

x

O

x

sin ?

cos?

tan ?

6. 同角三角函数的基本关系式 (1) 平方关系:sin ? ? cos ? ? 1 sin ? ? tan ? (2) 商的关系: cos ?
2 2

7. 诱导公式

记忆方法:奇变偶不变,符号看象限

练习1:
1.在(0,2?)内和 ? 765?,终边相同的角为__________

7? 答案: ? 765 = ? 6? + 4

练习2
已知一个扇形的周长是6cm,面积为2cm2, 则这个扇形的圆心角的弧度数为_____________

练习3
1.已知tanα=

? 3 ,求sinα .cosα

2sin ? ? 3cos ? 2.(1)已知 tan ? ? 3求 sin ? ? 4cos ? 1 (2)已知 tan ? ? 3求 2 sin ? ? cos 2 ?

( 3) 已知 tan? ? 3求2 sin ? ? 3cos ?
2 2

练习4
? cos( ? ? )sin (-? -?) 2 1.已知角? 终边上一点P(-4,3),求 的值 11? 9? cos( ? ? )sin( ? ? ) 2 2

二、三角函数的图象与性质
最高点: y
1-

(

?
2

y ? sin x, x ?[0, 2? ]
与x轴的交点: (? ,0)
(2? ,0)
2?

,1)

(0,0)
-1

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

x

作图时 3? ? 的五个 (0,0) ( ,1) (? ,0) ( ,?1) (2? ,0) 2 2 关键点 想一想:如何画y ? Asin(?x ? ? )的图像?

-

3? 最低点: ( ,?1) 2

y ? cos x, x ?[0, 2? ]
与x轴的交点: (0,1) 最高点: 13? ?
-

y

(2? ,1)
5? 3 11? 6

(

2
?
2

,0 )
2? 3

(

2
4? 3

,0 )
3? 2

-1

o
-1 -

? 6

?
3

5? 6

?

7? 6

2?

x

最低点: (? ,?1)

作图时 3? ? ( ? , ? 1 ) ( ,0) ( 2? ,1) ( , 0 ) ( 0 , 1 ) 的五个 2 2 关键点 想一想:如何画y ? A cos(?x ? ? )的图像?

-

y

y ? sin x
1

y

y ? cos x
1
?

y ? tan x
x
3? 2

图像 定义域

y
?

?? 2

0
-1

? 2

?

3? 2

2?

5? 2

x

??

0
-1

? 2

?

3? 2

2? 5?
2

? 2

?
?

3? 2

O

x

x?R

值域
最值 递增区间 递减区间 奇偶性 周期

x?R

? ? x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] x?[?? ? 2k? , 2k? ] (? ? k? , ? k? ), k ? Z 2 2 2 2 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] x?[2k? , ? ? 2k? ] 无 2 2

无最大值 x ? ? ? ? 2k? 时, ymin ? ?1 x ? ? ? 2k? 时, ymin ? ?1 无最小值 2

y ?[?1,1] y ?[?1,1] x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? 2k? 时,ymax ? 1 2

? ? ? x x ? ? k ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

y?R

奇函数
x ? ? ? k? , k ? Z 2 (k? ,0) k ? Z

偶函数
T=2π
x ? k? , k ? Z ( ? ? k? , 0) k ? Z 2
(

奇函数
T=π

T=2π

对称轴
对称中心

k? ,0), k ? Z 2



三角函数图象变换 y=sinx
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平行移动 | ? | 个单位长度 横坐标缩短(?>1)或 伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变 纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变

y=sin(x+?)
y=sin?x y=Asinx

y=sinx y=sinx

y=sinx

y=Asin(?x+ ?)

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法1:按先平移后变周期的顺序变换
y=sinx
向左?>0 (向右?<0)
平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin(?x+?)

横坐标不变

y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法2:按先变周期后平移顺序变换
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

y=sinx

纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0) 平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x ? )? ? sin( ?x ? ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

总结: y ? A sin(? x ? ? ) ? b.
1 A ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 2 1 b ? ? f ?x ?max ? f ? x ?min ? 2 2? 利用 T ? ,求得?

?

(一)和角与差角公式

S? ? ? S? ??

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

C? ? ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

C? ?? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? tan ? ? tan ? T? ? ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? T? ?? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

(二)二倍角公式
C2? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? 2 tan ? T2? tan 2? ? 1 ? tan ?
2

S 2? sin 2? ? 2sin ? cos ?

cos2? =cos 2 ? ? sin ? cos2? =2cos ? ? 1
2 2

cos2? =1-2sin ?
2
2

1 ? cos 2 x ? 2sin x
2

1+cos2x=2cos x

(二)二倍角公式变形
降幂公式

1 ? cos 2 x 1 1 cos x ? ? ? cos 2 x 2 2 2 1 ? cos 2 x 1 1 2 sin x ? ? ? cos 2 x 2 2 2
2

1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? )

2

练习5

1 ? 求函数y ? 2 sin( ? x ? )的最值、单调区间 3 6 以及它的图像是由y ? sin x的图像如何变化得到的?

3 5 练习6.已知? , ? 均为锐角, cos ? ? , cos(? ? ? ) ? ? 5 13
3 解: ? 是锐角,且 cos ? ? 5
2

求 sin ?的值

3 2 4 ?sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ( ) ? 5 5 5 又由? , ? 为锐角得0<? ? ? ? ? , 且 cos (? ? ? ) ? ?
2

? sin? =sin[(? +? )-? ] =sin(? +? )cos? -cos(? +? )sin?
12 3 5 4 56 ? ? ? (? ) ? ? 13 5 13 5 65

5 2 12 ?sin(? ? ? ) ? 1 ? (cos ? ) = 1 ? (? ) ? 13 13

13

练习7
1 3 1.求函数f ( x) ? ? cos 2 x ? 2sin x ? 的值域 2 2

2.求函数y ? 2sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1的值域,并求出该函数 的最小正周期和单调减区间

共线向量基本定理:
向量

b 与非零向量 a 共线当且仅当 有唯一一个实数 ? ,使得 b ? ? a
定理 (1)有关向量共线问题: 的应 (2)证明三点共线的问题: 用: ?

AB ? ? BC(BC ? 0) ? A、B、C三点共线 (3)证明两直线平行的问题:

AB ? ? CD ? AB // CD ? ? ? ? 直线AB // 直线CD ? AB与CD不在同一直线上 ?

平面向量基本定理:
如果 e1、 e2 是同一平面内的两个不共线 向量,那么对于这一平面内的任一向 量 a 有且只有一对实数 ?1、?2 ,使

a ? ?1 e1 ? ?2 e2
其中e , e 叫做表示这一平面内
1 2

所有向量的一组基底.

向量 a

?

一一对应

坐标(x,y)

a ? b ? x1 ? x2且y1 ? y2
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段的终点的坐标减去起点的坐标.

重 已知O、A、B三点不共线, 要 若点 P 在直线 AB 上, 结 则 OP ? mOA ? nOB, O 论 且 m ? n ? 1.

P

B
A

平面向量数量积
?

a ? b ? a ? b ? cos ?
B
b

?

?

?

?
O a

B1

A

作OA ? a, OB ? b ,过点B作BB1

垂直于直线OA,垂足为 B1 ,则 OB1 ? | b | cosθ | b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影. 平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向 上的投影 |b|cos ? 的乘积

?

a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ? a , b非零向量?

?

?1?向量的模(长度公式):
2

?a ? b ? x1x2 ? y1 y2

设a ? ( x, y ),则 a ? x 2 ? y 2 , 或 a ? x 2 ? y 2

?2?两点间的距离公式: 设A?x1 , y1 ?、B?x2 , y2 ?, 则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ?
AB ?

?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

?

a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ? a , b非零向量?

?

(1)垂直:

a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
(2)平行:

a // b ? b ? ? a ? x y ? x y
1 2 2

1

cos? ?

a ?b a .b

?

x1 x2 ? y1 y2 x ?y . x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2

练习8
B

C

练习9
已知 a =(4,3) ,求与 a 垂直的单位向量 b . 解:设所求向量为(x, y), 则 3 3 ? ? ?4 x ? 3 y ? 0 ? x ? x ? ? ? 5 5 ? 2 ?? 或? 2 ? x ? y ? 1 ?y ? ? 4 ? y ? 4 5 ? 5 ?

3 4 3 4 ? b ? ( ,? )或b ? (? , ) 5 5 5 5

练习10 已知a ? (1,2), b ? ?? 3,2 ?, ?1?求 2a ? 4b

?2?若k a ? 2b与2a ? 4b平行, 求k的值?3?若k a ? 2b与
2a ? 4b的夹角为钝角,求实数k的取值范围
(2) ? k a ? 2b ? (k ? 6,2k ? 4)且(k a ? 2b) ∥ (2a ? 4b) ?14 (2k ? 4) ? ?4(k ? 6) ,即32k ? ?32 ? k ? ?1 (3) ? k a ? 2b ? (k ? 6,2k ? 4)且(k a ? 2b)与(2a ? 4b)

(1) ? 2a ? 4b ? (14,?4) ? 2a ? 4b ? 2 53

的夹角为钝角? (k a ? 2b)( ? 2a ? 4b) ? 0且k ? ?1, 50 即14(k ? 6) ? 4(2k ? 4) ? 0且k ? ?1? k ? 且k ? ?1

练习11 已知a ? ?1, sin ? ?, b ? ?1, cos? ?,? ? R.

?1?若a ? b ? ?2,0?, 求 sin ? ? 2 sin ? cos?的值;
2

? 1? ?2?若a ? b ? ? 0, ?,? ? ?? ,2? ?, 求 sin ? ? cos?的值 5sin ? ? ? cos? ? 0 ?sin ? ? ? cos? ?1?? a ? b ? ?2? ,0?? 1? ? sin ? ? 2 sin ? cos? ? ? cos ? 又 ? sin ? ? ? cos ? ?1 ?2?? a ? b ? ? 0, ? 1 5 ? ? ? sin ? ? 2 sin ? cos? ? ?
2 2 2 2 2

2 1 1 sin ? ? cos? ? ?1 ? 2 sin ? cos? ? 5 24 3?25 ? 2 sin ? cos? ? ? 0 ?? ? (? , ) 25 2 49 7 ? sin ? ? cos? ? ? 1 ? 2 sin ? cos? ? ? ?? 25 5

一、知识要点
a b c ? ? ? 2R 1.正弦定理: sin A sin B sin C

C a b

(其中:R为△ABC的外接圆半径)

B c A 2.三角形面积公式: 1 1 1 S?ABC ? bc sin A ? ca sin B ? ab sin C 2 2 2 3.正弦定理的变形: a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C 边化为角 a?b?c ? 2R sin A ? sin B ? sin C a b c 角化为边 sin A ? ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R

sin A : sin B : sin C ? a : b : c

一、知识要点
2 2 2 b ? c ? a 4.余弦定理及其推论: cos A ? 2 2 2 2 bc a ? b ? c ? 2bc cos A c 2 ? a 2 ? b2 cos B ? 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 2ca 2 2 2 2 2 2 a ?b ?c c ? a ? b ? 2ab cos C cos C ? 2ab 5.在△ABC中,常见公式有:A ? B ? C ? ? sin( A ? B ) ? sin C cos( A ? B ) ? ? cos C

角 化 为 边

6.利用余弦定理判断三角形的形状: (1)若A为直角,则a? = b? +c? (2)若A为锐角,则a? < b? +c? (3)若A为钝角,则a? > b? +c?

练习12
1.在?ABC中, AB ? 3 , A ? 450 , C ? 750 , 则BC ? ______

2.在△ABC中,已知AB=3,AC=4,BC= 形的面积.

13

,求三角

S ?3 3

练习13.正、余弦定理在实际中的应用

真题练习
(2009 湖北卷文)在锐角△ ABC 中,a、b、c 分别为 角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7
3 3 ,且△ABC 的面积为 2 ,求 a+b 的值。

(1)C ? 60

0

( 2)a ? b ? 5

一、知识回顾 等差数列
定义 通项 通项推广 中项 性质

等比数列
an?1 ? an ? q

an?1 ? an ? d
an ? a1 ? (n ?1)d an ? am ? (n ? m)d

an ? a1q n?1

an ? amq n?m

2 G ? ab 2 an ? am ? a p ? aq an ? am ? a p ? aq 2 an ? am ? 2a p an ? am ? a p Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 仍成等差 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 仍成等比

A ? (a ? b)

求和 公式

n(a1 ? an ) n(n ? 1)d Sn ? ? na1 ? 2 2

? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? ? Sn ? ? 1 ? q 1? q ? ?na1

q ?1 q ?1

关系式

an、Sn

?Sn ? Sn?1 n ? 2 an ? ? n ?1 ? S1

适用所有数列

练习14:已知Sn=2n2-3n,求an
解:当n>1时,

an ? Sn ? Sn?1 (n ? 1)
即an=4n-5

=2[n2-(n-1)2]-3[n-(n-1)] =2(2n-1)-3

当n=1时,a1=S1=-1,上式也适合. ∴通项公式是an=4n-5

练习14变式
(1)已知Sn=2n2-62n,当Sn最小时,求n的值

31 2 31 2 解:Sn ? 2(n ? 31n) ? 2(n ? ) ? 2 ? ( ) 2 2 1 2 31 2 =2(n-15 ) -2 ?( ) 2 2
2

∴当n=15或=16时,Sn最小.

100,则前3m项和为____________

(2)已知等差数列前m项和为30,前2m项和为

练习15

已知正数等比数列?an ? , 满足a3 ? a7 ? 16, a4 ? a6 ? 10 求数列?an ?的通项公式.

a ? a ? 10 ? 4 6 解: ∵a3a7=a4a6 ? ? ?a4 a6 ? 16

解得a4=2,a6=8 或a4=8,a6=2

∴ q=2 或 q=1/2 ∴通项公式是an=a4qn-4=2×2n-4=2n-3 或an=a6qn-6=2×26-n=27-n.

答:通项公式是an=2n-3 或an=27-n.

性质:序和相等,项积也相等.

练习16
例.求数列 1+ 2 , 2 + 2 , 3 + 2 , … , n + 2
2 3 n

的前n和 。 n 2 3 Sn=(1+2)+(2+2 )+(3+2 )+…+(n+ 2 ) 解:
+(2+2 +2 +…+2 ) =(1+2+3+ n … +n) n(n+1) 2(2 -1) = 2 + 2-1
n(n+1) n+1 = + 2 -2 2 2 3 n

练习17

例3、求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1)
2 + …… +nxn-1 ① S =1 + 2 x +3 x 解: n xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②

① -②(1-x)Sn =1

+ x + x2+ …… + xn-1 n项 - nx n

nxn

= 1-x n+nxn+1 1-(1+n)x = 1-x
n+nxn+1 1-(1+n)x ∴ Sn= (1-x)2

1-xn

练习18

1 求和 S ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? n 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 解:

an ?

(n ? 1)(n ? 2)

?

n ?1 n ? 2
1 1 ? ?( ? )? n ?1 n ? 2 ?

?

1 1 1 1 ? 1 1 ? Sn ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 4 4 5 ? 2 3

1 1 n ?( ? )? 2 n?2 2(n ? 2)

小评:1、此类题的关键是怎样把通项裂项 ,注意要与 原式相等,通常在 前面加系数使其相等。 2、在求和时要注意前后几项抵消的规律。 3、剩下的是哪几项,就可以马上求出。

练习19 解下列不等式
(1)3x2-7x+2<0
(2) –6x2-x+2 ? 0

解:因为⊿=49-24=25>0 解:整理,得6x2+x-2? 0 方程3x2-7x+2=0的解是 因为⊿=1+48=49>0 x1=1/3,x2=2 方程6x2+x-2=0的解是 x1= -2/3,x2=1/2 所以原不等式的解集为 ﹛x|1/3<x<2﹜ 所以原不等式的解集 为? : ? {x|x -2/3或x 1/2 }

(3)4x2+4x+1<0

(4)x2-3x+5>0
解:因为⊿=9-20<0 方程x2-3x+5=0无解 所以原不等式的 解集为R

解:因为⊿=42-4*4=0 方程4x2+4x+1=0的根为 x1=x2=-1/2 所以原不等式的 解集为?

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练习20
2 求y ? x ? ( x ? ?2)的最小值: x?2

练习21
设z=2x-y( z=y/x ),式中变量x、y满足下列条件 求z的最大值和最小值。 解:作出可行域如图: y 当z=0时,设直线 l0:2x-y=0 3x+5y=25 平移l0, 当l0经过可行域上点A时,
-z 最小,即z最大。

x -4y≤-3
3x+5y≤25 x≥1 2x-y=0

C (1,4.4)

平移l0 ,当l0经过可行域上点C时,
-z最大,即z最小。

x-4y=-3

o

B

(5,2)



x=1

x



x-4y=-3

(1,4.4) ; (5,2);由 得A点坐标_____ 得C点坐标_______ 3x+5y=25 3x+5y=25
zmax=2×5-2=8 zmin=2×1-4.4= -2.4

x=1



一.知识串讲 曲线的切线
以曲线的切线为例,在一条曲线C:y=f(x)

上取一点P(x0,y0),点Q(x0+△x,y0+△y)
是曲线C上与点P临近的一点,做割线PQ, 当点Q沿曲线C无限地趋近点P时,割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT,我们就 把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。

此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线的斜率, 用极限运算的表达式来写出,即 k=tanα= lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )
?x ?0

?x

(一)导数的概念:
1.导数的定义:对函数y=f(x),在点x=x0处给自变量
x以增量△x,函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)-f(x0), 若极限 lim ?y ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 存在,则此极限称为
?x ?0

?x

?x ? 0

?x

f(x)在点x=x0处的导数,记为f ’(x0),或x y? |x



0

2.导函数:如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导 ,就说y=f(x)在区间(a,b)内可导.即对于开区间(a,b)内每一 个确定的x0值,都相对应着一个确定的导数f ’(x0),这样在开 区间(a,b)内构成一个新函数,把这一新函数叫做f(x)在(a,b) 内的导函数.简称导数.记作f ’(x)或y’. 即f ’(x)=y’ = f ( x ? ?x ) ? f ( x ) lim
?x ? 0

?x

3.导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义,就是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率为k=f ’(x0).所以曲线 y =f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程为 y?y0=f ’(x0)· (x-x0). 4.导数的物理意义:物体作直线运动时,路程s关于时间t

的函数为:s=s(t),那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数
,即v(t)=s’(t).

基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c,则f(x)=0 ' n-1 2.若f(x)=x n,则f(x)=nx (n ? R) ' 3.若f(x)=sinx,则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx,则f(x)=-sinx ' x 5.若f(x)=ax,则f(x)=a ln a ' x 6.若f(x)=ex,则f(x)=e

1 7.若f(x)=logax,则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx,则f(x)= x
'

返回

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即: ?

? f ( x) ? g ( x)? ? f ?( x) ? g ?( x)

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

? f ( x) g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)

法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:

? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?
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当点Q沿着曲线无限接近点 P即Δx→0时,割线PQ如果有一 y 个极限位置PT.则我们把直线 PT称为曲线在点P处的切线.

y=f Q (x)

设切线的倾斜角为α,那 ? P 么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的 o 切线的斜率. f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ' ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

割 线 T 切 线 x

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定理 一般地,函数y=f(x)在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f′(x)>0,那么 y=f(x) 在这个区间(a,b)内单调递增;

2) 如果恒有 f′(x)<0,那么 y=f(x) 在这个区间(a,b)内单调递减。
y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x)

f '(x)<0

o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x)为常数. 返回

2.可导函数的极值 (1)极值是一个局部性概念, 一个函数在其定义域内可以有 许多极大值和极小值,在某一点的极小值也可能大于另一点的 极大值,也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系. (2)若 f(x)在(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b)内绝不是单 调函数,即在某区间上单调递增或递减的函数没有极值. (3)可导函数的极值点必须是导数为 0 的点, 但导数为 0 的 3 点不一定是极值点,例如函数 y=x 在 x=0 处有 y′|x=0=0, 但 x=0 不是极值点.此外,函数不可导的点也可能是函数的 极值点,例如 y=|x|的极值点为 x=0,而 y=|x|在 x=0 处不可 导.

函数的极值 1)如果b是f’(x)=0的一个根,并且在b左侧附近f’(x)>0 ,在b右侧附近f’(x)<0,那么f(b)是函数f(x)的一个极 大值 2)如果a是f’(x)=0的一个根,并且在a 的左侧附近 f’(x)<0,在a 右侧附近f’(x)>0,那么是f(a)函数 f(x)的一个极小值. 注:导数等于零的点不一定是极值点. 函数的最大(小)值与导数
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 线,则它必有最大值和最小值. f( x1 ) x1
g
f(x3)

y x2
0

a

x4 x3

f( g b) b x 返回

f(x2)

新题速递 2 1.(2012· 陕西卷)设函数 f(x)=x+lnx,则( 1 A.x=2为 f(x)的极大值点 1 B.x=2为 f(x)的极小值点 C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 )

2 1 1? 2? 解析:f′(x)=-x2+x=x?1-x?=0,可得 x=2. ? ? 当 0<x<2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当 x>2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增. ∴x=2 为 f(x)的极小值点. 答案:D

2.(2012· 重庆卷 ) 设函数 f(x) 在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,则函数 y=xf′(x) 的图象可能是( )

A

B

C

D

解析:由 f(x)在 x=-2 处取极小值知 f′(-2)=0 且在-2 的左侧时 f′(x)<0, 在-2 的右侧时 f′(x)>0, ∴C 项较合适. 答案:C


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