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高二数学试题


高二数学试题
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)

7.双曲线

x

2

?

y

2

? 1 两焦点间距离为





10

r />
2

A. 2 2 1.有以下四个命题:①若 ③若 x ? y ,则 x ? A.①②
1 x ? 1 y
2 2

B. 4 2
x
2

C. 2 3
y
2

D. 4 3

,则 x ? y 。

②若 lg x 有意义,则 x ? 0 。 ( )

8. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

?

? 1 的右焦点重合,则 p 的值为





6

2

y 。 ④若 x ? y ,则 x ? y 。是真命题的序号为

B.①③

C.②③

D.③④ ( )

A. ? 2

B. 2

C. ? 4

D. 4

2. " x ? ?? " 是 " x ? ? ? ? ? " 的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 3. “ sin A ?
1 2

9.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于





B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
?

A. ( )

3 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

”是“ A ? 30 ”的

10.已知两点 F1 ( ? 1, 0 ) 、 F (1, 0 ) ,且 F1 F 2 是 PF 1 与 PF 2 的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是( B.必要而不充分条件 A.
x
2



A.充分而不必要条件

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

16

9

16

12

4

3

3

4

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件 二.填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)

4.命题“ ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是
3 2



) 11. 若 用 反 证 法 证 明 命 题 “ 一 个 三 角 形 中 至 少 有 一 个 角 不 小 于 60 ° ” 时 , 第 一 步 应 假 设 :

A.不 ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

B. ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

______________________________________________________________. C. ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

D. ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

12.设 p 是 r 的充分不必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 必要条件,则: 5.抛物线 y ? ?
1 32 1 8 x 的准线方程是 1 32
2

(

)

① s 是 q 充要条件; ② r 是 s 充分不必要条件; ③ r 是 q 必要不充分条件; ④¬ p 是¬ s 必要不充分条 件。其中正确的说法有______________.

A. x ?
2

B. y ? 2
2

C. y ?

D. y ? ? 2

13.过点 P (0,1) 与抛物线 y ? x 有且只有一个公共点的直线有________条;
2

6.双曲线

x

?

y

? ? 1 的渐近线方程是


3 2 9 4



4

9
2 3 x

14.已知 F1、F2 为椭圆

x

2

?

y

2

25

9

? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 F 2 A ? F 2 B ? 12 ,

A. y ? ?

B. y ? ?

4 9

x

C. y ? ?

x

D. y ? ?

x

则 AB = _____________

2 15.过抛物线 y ? 4 x 焦点的弦 AB ? 10 ,则 AB 中点的横坐标是__________;

21.(本小题满分 12 分) 设椭圆 C :
x a
2 2

16. 已知方程

x

2

1? k x a
2 2

?

y

2

1? k y b
2 2

? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是_______________;

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 过点(0,4) ,离心率为

3 5



(1)求 C 的方程; 17. 已知双曲线
? ? 1( a> 0, b > 0 ) 和椭圆 x
2

?

y

2

=1 有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离

16

9

(2)求过点(3,0)且斜率为

4 5

的直线被 C 所截线段的中点坐标.

心率的两倍,则双曲线方程为_________________. 18. 设 F 是抛物线 x =4y 的焦点,P 在抛物线上运动,A(2,3)是平面上一定点,当|PA|+|PF|最小时, P 点的坐标是_________________________。 三.解答题(本大题共 4 小题,共 46 分) 22、 (本小题满分 12 分) 抛物线 y ? 4 x ,直线 l 过定点 P ( ? 2 ,1) 且斜率为 k ,
2
2

19.(本小题满分 10 分) (1)当 k 为何值时,直线 l 与抛物线相交? 命题 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,命题 q : 方程 4 x ? 4 ( m ? 2 ) x ? 1 ? 0 无实数根。
2

2

(2)当 k ? ?

1 2

时,设直线 l 与抛物线相交于与 A , B 两点,求弦 AB 的长。

若命题“ p ∨ q ”为真,命题“ p ∧ q ”为假,求 m 的取值范围。

附加题: (本小题满分 10 分) 已知椭圆 C :
2 3

x m

2 2

20. (本小题满分 12 分) (1) 求实轴长为 12,离心率为 ,焦点在 x 轴上的椭圆标准方程;

? y ? 1 (常数 m ? 1 ) P 是椭圆 C 上的动点, M 是椭圆 C 上的右顶点, ,
2

定点 A 的坐标为 ( 2, 0 )

(1)若 M 与 A 重合,求椭圆 C 的焦点坐标; (2)若 m ? 3 ,求 P A 的最大值与最小值;

(2) 求焦点是双曲线 16 x ? 9 y ? 144 的左顶点的抛物线标准方程.
2 2

高二数学答题卡
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 题 号 答 案 二.填空题(本大题共 3 小题, 每小题 8 分,共 24 分) 11.______________________________; 12.______________________________; 13.______________________________; 14.______________________________; 15.______________________________; 16.______________________________; 17.______________________________; 18.______________________________. 三.解答题(本大题共 4 小题,共 46 分) 19. (本小题满分 10 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

21. (本小题满分 12 分)

22. (本小题满分 12 分)

20. (本小题满分 12 分) 附加题: (本小题满分 10 分)

高二数学答案 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1-5 A A B C B 6-10 C D D A C 二.填空题(本大题共 3 小题, 每小题 8 分,共 24 分) 11. 三角形中每一个角都小于 60° 12.①④ 13. 3 15. 4 16.k>1 或 k<-1 17.
x
2

得:

a ?b
2

2

a

2

?

9 25

,即 1 ?
4 5

16 a
2

?

9 25



∴ a ? 5 , ∴ C 的方程为
4 5

x

2

?

y

2

?1

25

16

(2)过点 ? 3, 0 ? 且斜率为 14. 14 18. ( 2, 1 )

的直线方程为 y ?

? x ? 3? ,
4 5

设直线与C的交点为A ? x1 , y1 ? ,B ? x 2 , y 2 ? ,将直线方程 y ?
x
2

? x ? 3 ? 代入C的方程,
3? 2 41

?

y

2

?1

4

3



?

? x ? 3?
25

2

25

? 1 ,即 x ? 3 x ? 8 ? 0 ,解得 x1 ?
2

3? 2

41

, x2 ?



三.解答题(本大题共 5 小题,共 46 分) 19.(本小题满分 10 分) 解:因为: p ∨ q ”为真,命题“ p ∧ q ”为假 “ 所以: p 为真命题, q 为假命题;或 p 为假命题, q 为真命题;
? ?1 ? m 2 ? 4 ? 0 ? 1°当 p 为真命题, q 为假命题时,则 ? x 1 ? x 2 ? ? m ? 0 ,得 m ? ? 2 ; ? x ?x ?1? 0 1 2 ?

?

AB 的中点坐标 x ?

x1 ? x 2 2

?

3 2

,y ?
6? ?. 5?

y1 ? y 2 2

?

2 5

? x1 ?

x2 ? 6 ? ? ?

6 5



即所截线段的中点坐标为 ? 22、 (本小题满分 12 分)

?3 ?2

,?

解: (1)由题意,设直线的 l 方程为: y ? 1 ? k ( x ? 2 ) ,即: y ? kx ? 2 k ? 1
? y ? kx ? 2 k ? 1 ? y
2

且 ? 2 ? 16 ( m ? 2 ) ? 16 ? 0 , 得 m ? ? 3 或 m ? ? 1 ,
2

所以得: m ? ? 3 由方程组 ?
? 4x

2°当 p 为假命题, q 为真命题时,得: m ? ? 2 或 ? 3 ? m ? ? 1 ,所以得: ? 2 ? m ? ? 1 综上所述:得: m ? ? 3 或 ? 2 ? m ? ? 1 20.(本小题满分 12 分)



可得: ky ? ky ? 4 ( 2 k ? 1) ? 0 (*)
2

2 当 k ? 0 时,直线 l 与 x 轴平行,此时 l 与抛物线 y ? 4 x 相交;

当 k ? 0 时,方程(*)的判别式 ? ? ? 16 ( 2 k ? k ? 1) ? 0 时, l 与抛物线相交;
2

解: (1)设椭圆的标准方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 由已知, 2 a ? 12 , e ?

c a

?

2 3
2 即: 2 k ? k ? 1 ? 0 ,得: ? 1 ? k ?

1 2

,综上所述:当 ? 1 ? k ?

1 2

直线 l 与抛物线 y ? 4 x 相交;
2

? a ? 6 , c ? 4 , b ? a ? c ? 20
2 2 2

所以椭圆的标准方程为:

x

2

?

y

2

? 1.

36 x
2

20

(2)当 k ? ? (2)由已知,双曲线的标准方程为
? y
2

1 2

时,直线的 l 方程为: y ? ?

1 2

x 与抛物线 y

2

? 4 x 联立

? 1 ,其左顶点为 ( ? 3 , 0 )

9
2

16
p 2 ,0 ) ,

得: x ? 16 x ? 0 ,设方程二根为 x 1、 x 2 ,则: x 1 ? x 2 ? 16 ,x 1 ? x 2 ? 0
2
2 2 2 由弦长公式得: AB = 1 ? k x 1 ? x 2 = 1 ? k ? ( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2

设抛物线的标准方程为 y ? ? 2 px ( p ? 0 ) , 其焦点坐标为 ( ?
p 2



? 3

即p ? 6

所以抛物线的标准方程为 y ? ? 12 x .
2

21.(本小题满分 12 分) 【解】 (1)将点(0,4)代入 C 的方程得
16 b
2

= 1 ? (?
? 1,

1 2

)

2

? 16

2

?8 3

∴b=4, 又 e ?

c a

?

3 5

附加题: (本小题满分 10 分) 已知椭圆 C :
x m
2 2

? y ? 1 (常数 m ? 1 ) P 是椭圆 C 上的动点, M 是椭圆 C 上的右顶点,定点 A 的 ,
2

坐标为 ( 2, 0 )

(1)若 M 与 A 重合,求椭圆 C 的焦点坐标; (2)若 m ? 3 ,求 P A 的最大值与最小值;
x
2

解:⑴ m ? 2 ,椭圆方程为

? y ? 1,c ?
2

4 ?1 ?

3

4



左、右焦点坐标为 ( ? 3 , 0), ( 3 , 0) 。
x
2



m ? 3 ,椭圆方程为

? y ? 1 ,设 P ( x , y ) ,则
2

9 x
2

| PA | ? ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? 1 ?
2 2 2 2

?

8 9

(x ?

9 4

) ?
2

1 2

( ? 3 ? x ? 3)

9
9 4



x ?

时, | P A | m in ?

2 2



x ? ? 3 时, | P A | m ax ? 5 。


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