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澄清对一道题解的疑惑


澄清对一道题解的疑惑
物理组 陈光红


北京大学物理系舒幼生教授著的 《中学奥林匹克物理》 一书中 28 页的题 10, 其解答的 正确性自该书面市来就受到不少读者怀疑, 可疑者又没能给出另外的正确解法以确认或否 定原来的解法, 处于“自古华山一条道”的境地. 致使多年来新老读者对该题的解答一直处 于将信将疑的迷惑之中, 至今未决. 本文对该题给出一种新的解法, 以消除多年来读者存在 的疑虑. 原题如下: 在某铅垂面上有一光滑的直角三角形细管轨道,光滑小球从顶点 A 处沿斜边轨道自静 止出发自由地滑到端点 C 处所需的时间恰好等于小球从顶点 A 处自静止出发自由地经两直 角边轨道滑到端点 C 所需的时间. 这里假设两直角轨道交接处 B 有极少的圆弧, 可确保小球 无碰撞地拐弯,拐弯时间可忽略不计. 且设 AB 为铅垂轨道, BC 为水平轨道. 在此直角三角形范围内可构建一系列如图 1 虚线所示的光滑轨道, 每一轨道是由若干铅 垂与水平部分交接而成,交接处有极小圆弧 (作用同上), 轨道均从 A 点出发到 C 点终止, C 点所经时间的上限与下限之比值. 为说明方便, 现将原题解答略作删节后摘录如下. 解: 直角三角形 AB、BC 和 CA 的长分别记为 L1、L2 和 L3, 如图 2 所示, 小球自 A 到 B 所经 的时间设为 T1, 再从 B 到 C 的时间设为 T2, 而从 A 直接由斜边到 C 所经时间设为 T3, 则 可建立如下方程: L3sin? = ( L1) = 1 gT12
2
A L1 B L2 图2 L3 B C 图1 且不越出该直角三角形边界, 试求小球在各条轨道中, 由静止出发自由地从 A 点滑行到 A

L3cos? = ( L2) = (gT1)T2 L3= 1 g sin ? ? T 32 2 T1 +T2 = T3 由以上四式可解得: L1:L2:L3 =3:4:5, cot? = 4 ,
3

?
C

T2 T1

? 2 3

小球在图 1 所示的每一虚线所示轨道中, 经各铅直段所需时间之和为 t1 = T1 若水平部分有 n 段, 小球在各段中所经时间分别记为?t(i) , i 可为 1、2、3 ?? n, 那么所需 的时间之和为 t2 = ? ? t ( i )
i ?1 n

小球从 A 到 C 所经时间总和为

t = t1 + t2 =T1+ t2

T1 为定量, 故 t 的下限对应 t2 的下限, t 上限对应 t2 的上限. 各水平段内的运动分别是匀速运动, 同一水平段路程放在低处小球运动速度大, 所需时 间少. 因此所有水平段均处在最低位置(即 BC 重合)时 t2 最小, 故有 (t2)min =T2

即 t 的下限为

tmin= T1 +T2 =T1 + 2 T1 = 5 T1
3 3

t2 的上限显然对应各水平段放在各自可达到的最高位置. 实现它的方案是: 铅直段每下 降无限小量?L1 便连接一段水平量?L2 = ?L1 ? cot ? , 使其到达直角三角形区域的斜边边界, 而后再下降一无限小量并接一段相应水平段量. 如此继续下去, 构成如图 3 所示的微齿形轨 道. 由于?L1、?L2 均为无限小量, 小球在其中的运动可处理为匀速率运动, 分别所经的时间 ?t1(i)与?t2(i)有如下关系:
? t 2 (i ) ? t 1( i ) ? ?L 2 ? L1
n

?co? t

(1)

A L1 L3 L2 图3

于是 (t2)max = ? ? t 2 ( i ) ? cot ? ? ? ? t 1( i ) ? cot ? ? t 1 ? T1 cot ?
i ?1 i ?1

n

B

?
C

即得 t 的上限为

tmax =T1 + (t2)max = T1 +T1cot? = 7 T1
3

这样题文所求比值便为 tmax: tmin= 7 T1 : 5 T1 ? 7 : 5
3 3

题解中时间上限的求法, 著者采用微元法的思想: 把小球在铅直段小量?L1 与紧接的水 .......... . ..... . 平段小量?L2 中的运动都看作是相同速率的匀速率运动, 从而得出题解中的(1)式. 读者的疑 ..... . .................. . 问正是这里. (1)式意味着小球在各个齿中 通过水平量?L2 和铅直量?L1 的运动时间之比 .... ?t2(i) :?t1(i ) 恒等于 4/3, 这是个难以置信的结果, 因为小球在各个铅直量?L1 中是匀加速运动, 在各个水平量?L2 中是速率不同的匀速率运动, (1)式怎么会成立? 进而怀疑上述微元法把小 球在?L1、 2 中的运动处理为等速率运动是否可行? 但又没有否定它的理由, 致使多年来一 ?L 届又一届的学生提出这个疑问, 也使不少教师一直处于疑惑之中. 能有所作为的, 便是寻找新的解法来检校原解答的正确与否. 在此, 下文用极限理论中 “夹挤定理”这一数学工具, 给出时间上限的另一种求法, 权作原解答正确性的佐证. 设图 3 中齿形轨道铅直段和水平段各有 n 段, 每一铅直段长记为?L= 记为?L?= 4 ? L . 则小球到达各铅直段下端的速率依次为:
3
L1 n

, 每一水平段长

v1 ?

2 g?L , v 2 ?

2 g ? 2?L , v3 ?

2 g ? 3 ? L , ?? , v n ?

2 g ? n?L

小球在各铅直段运动所经的时间之和显然是 t1=T1=
2 L1 g

小球在各水平段运动所经的时间之和是
? ? ? ? 4 t 2n ? ?L ? ?L ? ?L ? ? ? ? ?L = 3 v1 v2 v3 vn

? L ? (1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? 1 ) 2g 2 3 n

=2
3

2 L1 g

? 1 (1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? 1 ) n 2 3 n

= 2 T1 ? 1 (1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 )
3 n 2 3 n

当齿形轨道段数 n→ ? 时, t2n 的极限值是小球在水平段运动时间的上限, 即
( t 2 ) max ? lim t 2 n ? 2 T1 lim 1 (1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? 1 ) n? ? n?? 3 n 2 3 n

对于 k ?1 的整数, 有如下关系
2( k ? 1 ? k)? 2 k ?1 ? ? k 2 ? 2 k k ? 1) 2 k ? k ?1 ? 2( k ? k ? 1)

所以

2( k ? 1 ?

k ) ? 1 ? 2( k ? k

(2)

那么根据(2)式可作如下变换
1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2[1 ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 3 n 2 ) ? ?? ? ( n ? n ? 1 )] ? 2 n

1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2[( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 3 n ? 2 ( n ? 1 ? 1)

2) ? ( 4 ?

3) ? ?? ? ( n ? 1 ?

n )]

便有

n? ?

lim [ 1 ? 2 ( n ? 1 ? 1)] ? lim 1 (1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? 1 ) ? lim 1 ? 2 n n?? n? ? n n 2 3 n n

上面不等式左、右两边的极限显然都是 2, 根据极限理论中的“夹挤定理”可得
n? ?

lim

1 (1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? 1 ) ? 2 n 2 3 n
3

那么可得到 ( t 2 ) max ? 4 T1 小球沿弯折轨道从 A 滑到 C 的时间上限 tmax = T1 + t2= 7 T1
3

以上求法避开了 “把小球在?L1、 2 中的运动处理为等速率运动是否可行?” ?L 之嫌疑, 而 结果与原解答相同, 这表明了原解答是可行的. 产生疑惑的根源可能是, 人们还是习惯于用 “有限量”的思想去思考“无限小量”中的问题, 原解答中明确的指出?L1、?L2 均为无限小 量. 当然, 若用微积分的知识求解(t2)max 可更方便一些, 虽不适宜于中学生, 但对教师也是 值得参考的, 求法如下: 小球竖直方向下降了高度 y 时达到的速度 v y ? 2 gy , 再经一铅直元段 dy 后进入水平 元段 dx= 4 dy, 小球在水平元段 dx 上运动的时间
3
A y dy B 图4

dy dt2 = dx ? 4 ? vy 3

2 gy

dx

?
C

则小球在所有水平元段运动的时间和为
(t 2 ) m a x ?

?

L1

0

4? 3

dy 2 gy

?

4 3 2g

?

L1

dy y

?

0

4 ?2 y 3 2g

L1 0

? 4 3

2 L1 g

? 4 T1 3

注: 1993 年 8 月第一版, 教育科学出版社.


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