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(教师版)排列组合,随机变量专题复习


排列组合概率与“二项分布”,“超几何分布”总结 排列组合的常见方法与问题专题总结
1.相邻排列问题捆绑法: 【例 1】把 5 件不同产品摆成一排.若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻, 则不同的摆法有________种.
2 3 解析 记 5 件产品为 A、B、C、D、E,A、B 相邻视为一个元素,先与 D、E 排列,有 A2 A3 3

1 种方法;再将 C 插入,仅有 3 个空位可选,共有 A2 6× 3=36(种)不同的摆法. 2A3C3=2×

2.间隔排列问题插空法: 【例 2】马路上有编号为 1,2,3…,9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻 的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
3 解析:把此问题当作一个排对模型,在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 C5 种方法,

所以满足条件的关灯方案有 10 种. 3.定序问题除序法: 【例 3】一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课,如果数学必须 排在体育之前,语文必须排在数学之前,那么该天的课程表有多少种排法?60 种 【例 4】若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误方法共有________种. 解析 把 g、o、o、d 4 个字母排一列,可分两步进行,第一步:排 g 和 d,共有 A2 4种排 法;第二步:排两个 o.共一种排法,所以总的排法种数为 A2 4=12(种).其中正确的有一 种,所以错误的共 A2 4-1=12-1=11(种). 4.特殊元素特殊考虑之(优先考虑,滞后考虑,占位法) 【例 5】1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多 少种?
4 1 解析:老师在中间三个位置上选一个有 A3 种,4 名同学在其余 4 个位置上有 A4 种方法;所 1 4 以共有 A3 A4 ? 72 种。.

【例 6】9 名乒乓球运动员,其中男 5 名,女 4 名,现在要进行混合双打训练,有多少种不 同的分组方法?
2 2 2 解析:先取男女运动员各 2 名,有 C5 中排法,故 C4 种,这四名运动员混和双打练习有 A2

共有 C5 C4 A2 ? 120 种.
2 2 2

【例 7】如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2,且 a2>a3,则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等),那么所有凸数的个数为( A.240 B.204 C.729 D.920 解析 若 a2=2,则“凸数”为 120 与 121,共 1× 2=2 个.若 a2=3,则“凸数”有 2× 3=6 个.若 a2=4,满足条件的“凸数”有 3× 4=12 个,…,若 a2=9,满足条件的“凸数”有 8× 9
1

)

=72 个.∴所有凸数有 2+6+12+20+30+42+56+72=240(个). 【例 8】 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数, 如 22, 121, 3 443, 94249 等. 显 然 2 位回文数有 9 个: 11, 22, 33, …, 99.3 位回文数有 90 个: 101, 111, 121, …, 202, …, 999.则(1)4 位回文数有________个;(2)2n+1(n∈N*)位回文数有________个. 解析 (1)4 位回文数相当于填 4 个方格,首尾相同,且不为 0,共 9 种填法,中间两位一样, 有 10 种填法,共计 9× 10=90(种)填法,即 4 位回文数有 90 个. (2)根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格.结合计数原理,知有 9× 10n 种填法.答 案 (1)90 (2)9× 10n 5.枚举之(字典法,游码法,表格法,格点法) 【例 9】设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的盒子现将这 5 个球 投入 5 个盒子要求每个盒子放一个球, 并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同, 问有多少 种不同的方法?
2 解析:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C5 种,还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应,

利用枚举法分析,如果剩下 3,4,5 号球与 3,4,5 号盒子时,3 号球不能装入 3 号盒子, 当 3 号球装入 4 号盒子时,4,5 号球只有 1 种装法,3 号球装入 5 号盒子时,4,5 号球也
2 只有 1 种装法,所以剩下三球只有 2 种装法,因此总共装法数为 2C5 ? 20 种.

【例 10】在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不 同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数 字相同的信息个数为________. 解析 与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:
2 第一类:与信息 0110 有两个对应位置上的数字相同有 C4 =6(个); 1 第二类:与信息 0110 有一个对应位置上的数字相同有 C4 =4(个);

第三类:与信息 0110 没有一个对应位置上的数字相同有 C0 4=1(个); 故与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息有 6+4+1=11(个). 【例 11】已知集合 M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素 作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是 _______. 解析 分两类:第一类:M 中元素作横坐标,共 3× 2=6 个点,第二类:N 中元素作横 坐标,共 4× 2=8 个点,由分类加法原理知点的个数共 6+8=14 个. 6.枚举之错位排列 【例 12】将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,则每
2

个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( ) A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 解析:先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其 它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有 3× 3× 1=9 种 填法,选 B . 7.分配问题之(分抽象事物,分具体事物;分堆,分组;均分,非均分) (1)分抽象事物,如___________,看作_______;分具体事物,如___________,看作______; (2)分堆,如___________,_______顺序;分组,如___________,_______顺序, (3)均分,天生________顺序;非均分天生________顺序. 【例 13】有 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放如盒子内,求: (1)共有多少种放法?256 (2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法?144 (3)恰有一个盒子放 2 个球,有多少种放法?144 (4)恰有两个盒子不放球,有多少 种放法?84 【例 14】7 个优秀学生的名额分给 A、B、C、D 这 4 个班级 (1)一个班 1 个,另三个班各 2 个的分法有 4 种。一个班 3 个,一个班 2 个,另两个班 各 1 个的分法有 12 种。 (2)每个班至少分 1 个的分法有 20 种。 (3)没有限制的分法 120 种 【例 15】5 个相同的小球放入 3 个不同的小盒内,每盒至少一个的放法为 。330 【例 16】6 本不同的书分给甲、乙、丙三人 (1)甲得 3,乙得 2、丙得 1 的分法有 60 种。每人 2 本的分法有 90 种。 (2)一人得 4 本,另两人各得 1 本的分法有 90 种。一人得 3 本,一人得 2 本,一人得 1 本的分法有 360 种。 (3) 每人至少一本的分法有 540 种。 可以有人没有分到 (任意分) 的分法有 729 种。 (4)分成两堆的分法有 31 种。分成三堆的分法有 种。分成 1,1,4 的堆呢? 【例 17】10 个三好学生名额分到 7 个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方 案? 解析:10 个名额分到 7 个班级,就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆,每堆至 少一个,可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板,每一种插法对应着一种分配方案,
6 故共有不同的分配方案为 C9 ? 84 种.

【例 18】把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法? 解析:完成此事共分 6 步,第一步;将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案,第二步: 将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有 7 种不 同方案. 8.分类讨论法 (1)普通分类讨论搭框架 【例 19】 某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开 发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案? 解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况: ①若甲乙都不参加,则有派遣方案 A8 种;②若甲参加而乙不参加,先安排甲有 3 种方法, 然后安排其余学生有 A8 方法,所以共有 3 A8 ;③若乙参加而甲不参加同理也有 3 A8 种;④
3 3 3 4
6

3

2 若甲乙都参加,则先安排甲乙,有 7 种方法,然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 A8 种, 2 4 3 3 2 共有 7 A8 方法.所以共有不同的派遣方法总数为 A8 ? 3A8 ? 3A8 ? 7 A8 ? 4088 种.

【例 20】由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数 字的共有( A、210 种 ) B、300 种 C、464 种 D、600 种

5 解析:按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4 共 5 种情况,分别有 A5 个, 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 A4 A3 A3 , A3 A3 A3 , A2 A3 A3 , A3 A3 个,合并总计 300 个,选 B .

【例 21】由 1,2,3,4,5 五个数字组成的没有重复数字的五位数排成一递增数列,则首 项为 12345,第 2 项是 12354,…直到末项(第 120 项)是 54321.问:43251 是第_____项. 解 比 43251 大的数有下列几类:①万位数是 5 的有 A4 4=24 个;
3 ②万位数是 4、千位数是 5 的有 A3 =6 个; 4 ③万位数是 4、千位数是 3、百位数是 5 的有 A2 2=2 个;所以比 43251 大的数共有 A4+ 3 A3 +A2 2=32 个,所以 43251 是第 120-32=88 项.

(2)分类讨论之集合划分(按同余划分) 【例 22】从 1,2,3,…,100 这 100 个数中任取两个数,使其和能被 4 整除的取法(不计 顺序)有多少种? 解 析 : 将 I ? ?1,2,3?,100? 分 成 四 个 不 相 交 的 子 集 , 能 被 4 整 除 的 数 集

A ? ?4,8,12,?100? ;能被 4 除余 1 的数集 B ? ?1,5,9,?97? ,能被 4 除余 2 的数集 C ? ?2,6,?,98? ,能被 4 除余 3 的数集 D ? ?3,7,11,?99? ,易见这四个集合中每一个有
25 个元素;从 A 中任取两个数符合要;从 B, D 中各取一个数也符合要求;从 C 中任取两个
2 1 1 2 数也符合要求; 此外其它取法都不符合要求; 所以符合要求的取法共有 C25 种. ? C25 C25 ? C25

【例 23】从 1,2,3…,100 这 100 个数中,任取两个数,使它们的乘积能被 7 整除,这两 个数的取法(不计顺序)共有多少种? 解析:被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时,他们的乘积就能被 7 整除,将这 100 个数 组成的集合视为全集 I,能被 7 整除的数的集合记做 A ? ?7,14, 21,?98? 共有 14 个元素,不能 被 7 整除的数组成的集合记做 A ? ?1, 2,3, 4,?,100? 共有 86 个元素;由此可知,从 A 中任 取 2 个元素的取法有 C14 ,从 A 中任取一个,又从 A 中任取一个共有 C14C86 ,两种情形共 符合要求的取法有 C14 ? C14C86 ? 1295 种.
2 1 1
2 1 1

4

(3)分类讨论之集合划分(按容斥原理划分,常见多面手问题) 【例 24】(1)9 名翻译,有 6 人是英语翻译,5 人是法语翻译,有两人既是英语翻译又是法语 翻译,现从中选两人,承担一项英语翻译任务,一项法语翻译任务,有多少种不同选法? (2)若选 3 人,从事两项英语翻译任务,一项法语翻译任务,有多少种选法呢? . 【例 25】从 6 名运动员中选出 4 人参加 4× 100 米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四 棒,共有多少种不同的参赛方案? 解析:设全集={6 人中任取 4 人参赛的排列} ,A={甲跑第一棒的排列} ,B={乙跑第四棒 的排列} ,根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:
4 3 3 2 n( I ) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) ? A6 ? A5 ? A5 ? A4 ? 252 种.

9.反面排除法 【例 26】四面体的顶点和各棱中点共 10 点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法共有 ( ) A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种
4 解析:10 个点中任取 4 个点共有 C10 种,其中四点共面的有三种情况:①在四面体的四个面 4 4 上,每面内四点共面的情况为 C6 ,四个面共有 4C6 个;②过空间四边形各边中点的平行四

边形共 3 个;③过棱上三点与对棱中点的三角形共 6 个.所以四点不共面的情况的种数是
4 4 C10 ? 4C6 ? 3 ? 6 ? 141 种.

【例 27】 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台, 其中至少要甲型和乙 型电视机各一台, 则不同的取法共有 ( ) A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种 解析 1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,
3 3 3 故不同的取法共有 C9 ? C4 ? C5 ? 70 种,选. C

10.对应原理 【例 28】 (1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有( A、70 种 B、64 种 C、58 种

) D、52 种

4 解析:正方体 8 个顶点从中每次取四点,理论上可构成 C8 四面体,但 6 个表面和 6 个对角

面的四个顶点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有 C8 ? 12 ? 58 个.
4

(2)正方体 8 个顶点可连成多少对异面直线? 解析: 因为四面体中仅有 3 对异面直线, 可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构成多少个不 同的四面体,从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 C8 ? 12 ? 58 个,所以 8 个
4

顶点可连成的异面直线有 3× 58=174 对. 【例 29】亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有 5 名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方
5

先由 1 号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方 2 号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一 方获胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种? 解 设亚洲队队员为 a1,a2,…,a5,欧洲队队员为 b1,b2,…,b5,下标表示事先排列的出场 顺序,若以依次被淘汰的队员为顺序.比赛过程转化为这 10 个字母互相穿插的一个排列, 最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员, 所以比赛过程可表示为 5 个相同的
6 白球和 5 个相同黑球排列问题,比赛过程的总数为 C10 =252(种)

【例 30】某城市的街区有 12 个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从 A 到 B 的最短路径 有多少种? B

A 解析:可将图中矩形的一边叫一小段,从 A 到 B 最短路线必须走 7 小段,其中:向东 4 段,向北 3 段;而且前一段的尾接后一段的首,所以只要确定向东走过 4 段的走法,便能确
4 定路径,因此不同走法有 C7 种.

11.变形排列 (1)变形排列之多排问题单排法: 【例 31】6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数是______.
6 解析: 前后两排可看成一排的两段, 因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排, 共 A6 ? 720

种. 【例 32】8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素要排在前排,某 1 个元素排在后排,有多少种不同排法?
2 解析:看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有 A4 种,某 1 个元素排在后 1 5 半段的四个位置中选一个有 A4 种,其余 5 个元素任排 5 个位置上有 A5 种,故共有 1 2 5 A4 A4 A5 ? 5760 种排法.

(2)变形排列之圆排问题单排法(这也是一种除序法,作了解): 【例 33】5 对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法? 解析:首先可让 5 位姐姐站成一圈,属圆排列有 A4 种,然后在让插入其间,每位均可插入 其姐姐的左边和右边,有 2 种方式,故不同的安排方式 24 ? 2 ? 768 种不同站法.
5

4

6

说明:从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有

1 m An 种不同排法. m

(3)变形排列之合并单元格解决染色问题 【例 34】如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得使用同一 颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种(以数字作答) 。 分析:颜色相同的区域可能是 2、3、4、5. 下面分情况讨论: (ⅰ)当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时,将 2、4 合并成 一个单元格,此时不同的着色方法相当于 4 个元素
2,4

①③⑤的全排列数

A

4 4

(ⅱ)当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时,与情形(ⅰ)类 似同理可得

A

4 4

种着色法.

(ⅲ)当 2、4 与 3、5 分别同色时,将 2、4;3、5 分别合并,这样仅有三个单元格 2,4 ① 3,5 从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格,计有 C 4 ? A3 种方法.
3 3 由加法原理知:不同着色方法共有 2 A4 ? C 4 A3 =48+24=72(种) 4

3

3

12.递推法(了解思想即可) 【例 35】一楼梯共 10 级,如果规定每次只能跨上一级或两级,要走上这 10 级楼梯,共有 多少种不同的走法? 分析:设上 n 级楼梯的走法为 an 种,易知 a1=1,a2=2,当 n≥2 时,上 n 级楼梯的走法可分 两类:第一类:是最后一步跨一级,有 an-1 种走法,第二类是最后一步跨两级,有 an-2 种走 法 , 由 加 法 原 理 知 : an=an-1+ an-2, 据 此 , a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上 10 级楼梯共有 89 种 不同的方法。

二项分布与超几何分布常见方法与问题专题总结
1.二项分布与超几何分布的区别与联系 2.二项分布与伪二项分布的区别与联系

方法总结----三看:一看局与局之间是否__________;二看实验了____________次,成功了几 次;三看有无________________的局. 【例 36】(1)一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的、3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用,用 完后装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,则 P(X=4)的值为________.
1 C2 27 3C9 解析 由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球,故 P(X=4)= 3 = . C12 220

(2)在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村庄

7

6 C4 7C8 中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 10 的是 C15

(

)

A.P(X=2)

B.P(X≤2)

C.P(X=4)


D.P(X≤4)

10 k Ck 7C8 解析 X 服从超几何分布 P(X=k)= 10 ,故 k=4.答案 C C15

【例 37】某公交公司对某线路客源情况统计显示,公交车从每个停靠点出发后,乘客人数 及频率如下表: 人数 频率 0~6 0.10 7~12 0.15 13~18 0.25 19~24 0.20 25~30 0.20 31 人及以上 0.10

(1)从每个停靠点出发后,乘客人数不超过 24 人的概率约是多少? (2)全线途经 10 个停靠点,若有 2 个以上(含 2 个)停靠点出发后乘客人数超过 18 人的概 率大于 0.9,公交公司就考虑在该线路增加一个班次,请问该线路需要增加班次吗? 解 (1)由表知,乘客人数不超过 24 人的频率是 0.10+0.15+0.25+0.20=0.70, 则从每个停靠点出发后,乘客人数不超过 24 人的概率约是 0.70. 1 (2)由表知,从每个停靠点出发后,乘客人数超过 18 人的概率约为 ,设途经 10 个停靠 2 1? 站,乘车人数超过 18 人的个数为 X,则 X~B? ?10,2?, 1 1?10 1?9 1 ?1? ? ? 1 - 1 - ∴P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C0 - C × 10 10 2 ? 2? ? ? ? 2? 10 1?10 ?1? =1 013>0.9,故该线路需要增加班次. =1-? - 10× ?2? ?2? 1 024 【例 38】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件 产品作为样本称出它们的质量(单位: 克), 质量的分组区间为(490, 495], (495, 500], …, (510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图)

8

(1)根据频率分布直方图,求质量超过 505 克的产品数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为质量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分 布列; (3)从该流水线上任取 2 件产品,设 X 为质量超过 505 克的产品数量,求 X 的分布列. 解 (1)根据直方图可知质量超过 505 克的频率为(0.05+0.01)× 5=0.3, 所以超过 505 克的产品数量为 40× 0.3=12(件). (2)依题意,Y 的可能取值为 0,1,2,
1 C2 63 C1 28 C2 11 28 28C12 12 P(Y=0)= 2 = ,P(Y=1)= 2 = ,P(Y=2)= 2 = , C40 130 C40 65 C40 130

∴Y 的分布列为: Y P 0 63 130 1 28 65 2 11 130

(3)利用样本估计总体,该流水线上产品质量超过 505 g 的概率为 0.3,令 X 为任取的 2 件产品中质量超过 505 克的产品数量,则 X~B(2,0.3),
1 ∴P(X=0)=C0 0.30× 0.72=0.49,P(X=1)=C2 × 0.31× 0.71=0.42, 2×

P(X=2)=C2 0.32× 0.70=0.09.∴X 的分布列为: 2× X P 0 0.49 1 0.42 2 0.09

【例 39】乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (1)求甲以 4 比 1 获胜的概率;(2)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率; (3)求比赛局数的分布列. 1 解 (1)由已知,得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 . 2 1?3?1?4-3 1 1 ? 记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A,则 P(A)=C3 ·= . 4 2 ? ? ?2? 2 8 3 ?1? ?1? (2)记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B.乙以 4 比 2 获胜的概率为 P1=C3 5 2 ? ? ?2? 5-3 1 5 ·= , 2 32 3 6-3 1 5 5 ?1? ?1? 乙以 4 比 3 获胜的概率为 P2=C3 · = ,所以 P(B)=P1+P2= . 6 2 ? ? ?2? 2 32 16
9

(3)设比赛的局数为 X,则 X 的可能取值为 4,5,6,7. 4 3 4-3 1 1 3?1? ?1? ?1? 1 P(X=4)=2C4 ·= , 4 2 = ,P(X=5)=2C4 2 ? ? 8 ? ? ?2? 2 4 3 5-3 1 5 3 6-3 1 5 3?1? ?1? ?1? ?1? P(X=6)=2C3 · = , P ( X = 7) = 2C ·= . 5 2 6 ? ? ?2? ?2? ?2? 2 16 2 16 比赛局数的分布列为 X P 4 1 8 5 1 4 6 5 16 7 5 16

【变式】在上述比赛中,如果甲已经 2:0 领先,甲最后赢下比赛的概率是__________. 【例 40】甲乙互相比赛,每局输赢独立,甲胜概率均为 0.6,约定某人领先对方两局,或者 8 局比赛未分胜负就终止比赛, (1)将比赛局数作为分布列,列出此分布列(只列式),(2) 求比赛中甲胜,乙胜和打平的概率.

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