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必修四 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)


必修四 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
一、选择题 1、在△ABC 中,角 C=120° ,tan A+tan B= ,则 tan Atan B 的值为( 3
1 A. 4 1 B. 3 1 C. 2 5 D. 3 2 3 )

2、化简 tan 10° tan 20° +tan 20° tan 60° +tan 60°

tan 10° 的值等于(
A.1 B.2 C.tan 10° D. 3tan 20°

)

3、 A, B, C 是△ABC 的三个内角, 且 tan A, tan B 是方程 3x2-5x+1=0 的两个实数根, 则△ABC 是(
A.钝角三角形 C.直角三角形 B.锐角三角形 D.无法确定

)

4、已知 tan α=2,tan β=3,0<α<2,π<β< 2 ,则 α+β 的值是(
π A. 4 3π B. 4 5π C. 4 7π D. 4

1

1

π



)

5、若 sin α=5,tan(α+β)=1,且 α 是第二象限角,则 tan β 的值是(
4 A. 3 4 B.- 3 C.-7 1 D.- 7

4

)

π ? 3 ? π? 6、已知 α∈? ?2,π?,sin α=5,则 tan?α+4?的值等于( 1 A. 7 B.7 1 C.- 7 D.-7

)

二、填空题 7、已知 α、β 均为锐角,且 tan β=
cos α-sin α ,则 tan(α+β)=________. cos α+sin α

8、如果 tan α,tan β 是方程 x2-3x-3=0 两根,则

sin?α+β? =________. cos?α-β?

π ? 9、已知 tan? ?4+α?=2,则

1 的值为________. 2sin αcos α+cos2α

10、

1+tan 75° =________. 1-tan 75°

三、解答题 11、已知锐角三角形 ABC 中,sin(A+B)=5,sin(A-B)=5.
(1)求证:tan A=2tan B; (2)设 AB=3,求 AB 边上的高. 3 1

12、已知 tan(α-β)=2,tan β=-7,且 α,β∈(0,π),求 2α-β 的值.

1

1

13、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α,β,它们的终边分别与单位圆相交于
A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 求 tan(α+β)的值. 2 2 5 , . 10 5

14、在△ABC 中,tan B+tan C+ 3tan Btan C= 3,且 3tan A+ 3tan B+1=tan Atan B,试判断△ABC
的形状.

以下是答案 一、选择题 1、B [tan(A+B)=-tan C=-tan 120° = 3,
2 3 3 tan A+tan B 1 ∴tan(A+B)= = 3,即 = 3,解得 tan A· tan B= .] 3 1-tan Atan B 1-tan Atan B

2、A [原式=tan 10° tan 20° + 3tan 20° + 3 tan 10°
= 3(tan 10° +tan 20° + = 3tan 30° =1.] 3 tan 10° tan 20° ) 3

3、A [tan A+tan B=3,tan A· tan B= , 3
5 5 ∴tan(A+B)= ,∴tan C=-tan(A+B)=- , 2 2 ∴C 为钝角.]

5

1

4、C 5、C 6、A 二、填空题 7、1
cos α-sin α 1-tan α tan β= = . cos α+sin α 1+tan α ∴tan β+tan αtan β=1-tan α. ∴tan α+tan β+tan αtan β=1. ∴tan α+tan β=1-tan αtan β. tan α+tan β ∴ =1,∴tan(α+β)=1. 1-tan αtan β 解析

8、-2
解析 2 sin?α+β? sin αcos β+cos αsin β tan α+tan β 3 3 = = = =- . 2 cos?α-β? cos αcos β+sin αsin β 1+tan αtan β 1+?-3?

3

9、3
π 1+tan α ? 解析 ∵tan? ?4+α?=2,∴1-tan α=2,

1 +1 sin2α+cos2α tan2α+1 9 1 1 2 解得 tan α= . ∴ = = . 2 = 2 = 3 3 2sin αcos α+cos α 2sin αcos α+cos α 2tan α+1 2 +1 3

10、- 3 三、解答题 11、(1)证明 ∵sin(A+B)=5,sin(A-B)=5,
3 1

?sin Acos B+cos Asin B=5 ∴? 1 ?sin Acos B-cos Asin B=5

3

?sin Acos B=5 ?? 1 ?cos Asin B=5

2 tan A ? =2,所以 tan A=2tan B. tan B

tan A+tan B π 3 3 3 (2)解 ∵ <A+B<π,sin(A+B)= ,∴tan(A+B)=- ,即 =- . 2 5 4 4 1-tan Atan B 2 将 tan A=2tan B 代入上式并整理得,2tan B-4tan B-1=0. 2+ 6 2± 6 解得 tan B= ,舍去负值,得 tan B= . 2 2 ∴tan A=2tan B=2+ 6.设 AB 边上的高为 CD. CD CD 3CD 则 AB=AD+DB= + = . tan A tan B 2+ 6 由 AB=3,得 CD=2+ 6.∴AB 边上的高等于 2+ 6.

12、解 tan α=tan[(α-β)+β]=

tan?α-β?+tan β 1 = >0. 1-tan?α-β?tan β 3

π 而 α∈(0,π),故 α∈(0, ). 2 1 π ∵tan β=- ,0<β<π,∴ <β<π. 7 2 1 ∴-π<α-β<0.而 tan(α-β)= >0, 2 π ∴-π<α-β<- . 2 ∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0). tan α+tan?α-β? ∵tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]= =1, 1-tan αtan?α-β? 3π ∴2α-β=- . 4

13、解 由条件得 cos α= 10 ,cos β= 5 .
∵α,β 为锐角,∴sin α= 1-cos2 α= sin β= 1-cos2 β= 5 . 5 7 2 , 10

2

2 5

sin α sin β 1 因此 tan α= =7,tan β= = . cos α cos β 2 1 7+ 2 tan α+tan β tan(α+β)= = =-3. 1 1-tan α· tan β 1-7× 2

14、解 由 tan B+tan C+ 3tan Btan C= 3,
得 tan B+tan C= 3(1-tan Btan C). tan B+tan C ∴tan(B+C)= = 3, 1-tan Btan C π 又∵B+C∈(0,π),∴B+C= . 3 又 3tan A+ 3tan B+1=tan Atan B, 3 ∴tan A+tan B=- (1-tan Atan B), 3 tan A+tan B 3 ∴tan(A+B)= =- , 3 1-tan Atan B 5π 而 A+B∈(0,π),∴A+B= ,又∵A+B+C=π, 6 2π π ∴A= ,B=C= .∴△ABC 为等腰三角形. 3 6


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