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圆锥曲线的弦长公式及其推导过程


弦长公式

二 、证明弦长= 证明方法如下: 假设直线为: 圆的方程为: 则有 把 ,

=

其中

为直线斜率, (

,

) , (

,

)为直线与曲线的两交点

,假设相交弦为 AB,点 A 为(

,

)点 B 为(

,



分别代入,则有:

证明 证明方法二

的方法也是一样的

这是两点间距离公式 因为直线 所以 得到 将其代入

弦长 公式二 =2px,过焦点直线交抛物

抛物线 线于 A(x1,y1)和 B(x2,y2)两点,则 AB 弦长:d=p+x1+x2 =-2px,过焦点直线交抛物线于 A﹙x1,y1﹚和 B﹙x2,y2﹚两点,则 AB 弦长:d=p-﹙x1+x2﹚ =2py,过焦点直线交抛物线于 A﹙x1,y1﹚和 B﹙x2,y2﹚两点,则 AB 弦长:d=p+y1+y2 =-2py,过焦点直线交抛物线于 A﹙x1,y1﹚和 B﹙x2,y2﹚两点,则 AB 弦长:d=p-﹙y1+y2﹚ 公式三 编辑

d= = = = ..........................................................1 式 关于直线与圆锥曲线相交求弦长, 通用方法是将直线 y=kx+b 代入曲线方程, 化为关于 x (或关于 y) 的一元二次方程,设出交点坐标,利用韦达定理及弦长公式求出弦长, 这种整体代换,设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的,然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐,利用圆锥曲线定

义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。d = ......................................................................................2 式 在知道圆和直线方程求弦长时,可利用方法二,将直线方程代入圆方程,消去一未知数,得到一个一元二次方程,其中△为一元二次方程中的 b^2-4ac ,a 为二次项系数。 补遗:公式 2 符合椭圆等圆锥曲线 不光是圆。2 式可以由 1 推出,很简单,由韦达定理,x1+x2=-b/a ,x1x2=c/a 代入再通分即可。在知道圆和直线方程求弦长时也可以 用勾股定理(点到直线距离、半径、半弦) 关于直线与圆锥曲线相交求弦长,通用方法是将直线 代入曲线方程,化为关于 x 的一元二次方 程,设出交点坐标,利用韦达定理及弦长公式 求出弦长,这种整体代换,设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有 效的,然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐,利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦 代入曲线方程,化为关于 x 的一元二次方关于直线与圆锥曲线相交求弦长,通用方法是将直线

长 若椭圆方程为 解: 连结 , 设

, 半焦距为

, 焦点

, 设过

的直线

的倾斜角为

交椭圆于 A、 B 两点, 求弦长

。 ,

, 由椭圆定义得

, 由余弦定理得

整理可得

,同理可求得

,则弦长

同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为 结论:椭圆过焦点弦长公式: 二

(a 为长半轴,b 为短半轴,c 为半焦距)

. 双曲线的焦点弦长

设双曲线

,其中两焦点坐标为

,过

的直线

的倾斜角为

,交双曲线于 A、B 两点,求弦长|AB|。



解: (1)当

时, (如图 2)直线

与双曲线的两个交点 A、B 在同一交点上,连

,设

,由双曲线

定义可得 则可求得弦长

, 由余弦定理可得

整理可得

, 同理



( 2 )当 ,

或 ,由余弦定理可得

时,如图 3 ,直线 l 与双曲线交点 A 、 B 在两支上,连 ,

,设

,则

整理可得

,则

因此焦点在 x 轴的焦点弦长为

同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式

三 其中 a 为实半轴,b 为虚半轴,c 为半焦距,

为 AB 的倾斜角。. 抛物线的焦点弦长

若抛物线

与过焦点

的直线

相交于 A、B 两点,若

的倾斜角为

,求弦长|AB|?(图 4)

解:过 A、B 两点分别向 x 轴作垂线

为垂足,设



,则点 A 的横坐标为

,点 B 横坐标为



由抛物线定义可得





同理

的焦点弦长为

的焦点弦长为 ,所以抛物线的焦点弦长为 由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长,非常简单明确,应予以掌握。 一




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